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第1讲　函数的概念及其表示
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.了解简单的分段函数，并能简单应用. 求函数的定义域 2022北京T11 本讲是函数部分的基础，命题热点为分段函数的求值、含参和解不等式问题，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏易.在2025年高考的备考中，要掌握函数的三要素和以分段函数为载体的有关应用.
求函数的解析式
分段函数 2022浙江T14；2021浙江T12
1.函数的概念及表示
函数的 定义 一般地，设A，B是①　非空的实数集　，如果对于集合A中的②　任意　一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有③　唯一确定　的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A.
三要素 ④　定义域　，⑤　对应关系　，⑥　值域　.
定义域 自变量x的取值范围A.
值域 函数值的集合{f（x）｜x∈A}，是集合B的⑦　子集　.
相等函数 ⑧　定义域　相同，⑨　对应关系　完全一致.
函数的表示法 ⑩　解析法　， 　列表法　， 　图象法　.
注意　（1）与x轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点；（2）解决函数问题时，优先考虑定义域.
常用结论
求函数的定义域时常用的结论
（1）分式型要满足f（x）≠0；（2）偶次根式型（n∈N*）要满足f（x）≥0；（3）[f（x）]0要满足f（x）≠0；（4）对数型logaf（x）（a＞0，且a≠1）要满足
f（x）＞0；（5）正切型tan f（x）要满足f（x）≠＋kπ，k∈Z.
2.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
注意　（1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.
1.下列f（x）与g（x）表示同一个函数的是（　B　）
A.f（x）＝与g（x）＝· B.f（x）＝x与g（x）＝
C.f（x）＝x与g（x）＝ D.f（x）＝与g（x）＝
2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是（　D　）
A.y＝x B.y＝lg x C.y＝2x D.y＝
3.[教材改编]已知函数f（x）＝则f（f（－2））＝（　B　）
A.8 B. C.－ D.－
解析　因为f（x）＝所以f（－2）＝（－2）2－1＝3，所以
f（f（－2））＝f（3）＝＝，故选B.
4.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为　{－1，1，3，5，7}　.
研透高考 明确方向
命题点1　求函数的定义域
例1 （1）[2022北京高考]函数f（x）＝＋的定义域是　（－∞，0）∪（0，1]　.
解析　因为f（x）＝＋，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈（－∞，0）∪（0，1].
（2）若函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，则函数f（x）的定义域为　[－3，3]　.
解析　因为函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，所以－1≤x≤2，所以－3≤1－2x≤3.所以函数f（x）的定义域为[－3，3].
命题拓展
若函数f（x）的定义域为[－1，2]，则函数f（1－2x）的定义域为　[－，1]　.
解析　由－1≤1－2x≤2，得－≤x≤1，所以函数f（1－2x）的定义域为[－，1].
方法技巧
1.求具体函数的定义域的策略
根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义.
2.求抽象函数的定义域的策略
（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；
（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域.
注意　无论函数的形式如何，定义域均是指其中的自变量x的取值集合.
训练1 （1）[2024浙江省宁波市余姚中学一检]已知函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，则函数y＝的定义域是（　A　）
A.[－，－1）∪（－1，1]
B.[－3，－1）∪（－1，7]
C.（－1，7]
D.[－，－1）
解析　因为函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x＋1≤3，且x＋1≠0，解得x∈[－，－1）∪（－1，1].故选A.
（2）[2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数f（x）＝＋（x－4）0的定义域为　[，4）∪（4，＋∞）　.
解析　要使函数f（x）＝＋（x－4）0有意义，则有解得x≥且x≠4，
所以函数f（x）＝＋（x－4）0的定义域为[，4）∪（4，＋∞）.
命题点2　求函数的解析式
例2 （1）[2024河南省内乡高中模拟]已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，则f（x）＝　4x－5或－4x＋　.
解析　设f（x）＝kx＋b（k≠0），则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴∴或∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋.
（2）已知f（x）满足2f（x）＋f（）＝3x－1，则f（x）＝　2x－－　.
解析　已知2f（x）＋f（）＝3x－1　①，
以代替①中的x（x≠0），得2f（）＋f（x）＝－1　②，
①×2－②，得3f（x）＝6x－－1，故f（x）＝2x－－.
方法技巧
求函数解析式的常用方法
（1）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），则可用待定系数法求解.
（2）换元法：若已知复合函数f（g（x））的解析式求解函数f（x）的解析式，可令
g（x）＝t，解出x，然后代入f（g（x））中即可求得f（t），从而求得f（x）.此时要注意新元的取值范围.
（3）配凑法：配凑法是将函数f（g（x））的解析式配凑成关于g（x）的形式，进而求出函数f（x）的解析式.
（4）构造方程组法（消元法）：若已知f（x）与f（），f（－x）等的表达式，则可通过赋值（如令x为，－x等）构造出另一个等式，通过解方程组求出f（x）.
注意　求函数解析式时，若定义域不是R，一定要注明函数定义域.
训练2 （1）已知f（x2＋）＝x4＋，则f（x）的解析式为　f（x）＝x2－2，x∈[2，
＋∞）.
解析　因为f（x2＋）＝（x2＋）2－2，所以f（x）＝x2－2，x∈[2，＋∞）.
（2）[2024安徽淮南模拟]已知f（x）是二次函数，且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x＋4，则f（x）＝　x2－2x＋1　.
解析　因为f（x）是二次函数，所以设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则有a（x＋1）2＋
b（x＋1）＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝2x2－4x＋4，即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x＋4，所以所以所以f（x）＝x2－2x＋1.
（3）[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知f（x）满足3f（x）＋2f（1－x）＝4x，则
f（x）的解析式为　f（x）＝4x－　.
解析　3f（x）＋2f（1－x）＝4x　①，用1－x代替①中的x可得3f（1－x）＋2f（x）＝
4（1－x）　②，由3×①－2×②可得f（x）＝4x－.
命题点3　分段函数
角度1　分段函数的求值（求参）问题
例3 （1）[山东高考]设f（x）＝若f（a）＝f（a＋1），则f（）＝（　C　）
A.2 B.4 C.6 D.8
解析　作出f（x）的图象，如图所示，因为a＜a＋1，所以要使f（a）＝f（a＋1），则有＝2（a＋1－1），0＜a＜1，所以解得a＝，所以f（）＝f（4）＝6.
（2）[2022浙江高考]已知函数f（x）＝则f（f（））＝　　；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b－a的最大值是　3＋　.
解析　由题意知f（）＝－（）2＋2＝，则f（f（））＝f（）＝＋－1＝＋－1＝.
作出函数f（x）的大致图象，如图所示，
结合图象，令－x2＋2＝1，解得x＝±1；令x＋－1＝3，解得x＝2±，又x＞1，所以x＝2＋.
所以（b－a）max＝2＋－（－1）＝3＋.
角度2　分段函数的解不等式问题
例4 [全国卷Ⅰ]设函数f（x）＝则满足f（x＋1）＜f（2x）的x的取值范围是（　D　）
A.（－∞，－1] B.（0，＋∞）
C.（－1，0） D.（－∞，0）
解析　解法一　当x≤0时，函数f（x）＝2－x是减函数，则f（x）≥
f（0）＝1.作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使
f（x＋1）＜f（2x），则需或所以x＜0，故选D.
解法二　当x＝－时，f（x＋1）＝f（）＝1，f（2x）＝f（－1）＝2－（－1）＝2，满足
f（x＋1）＜f（2x），排除A，B；当x＝－1时，f（x＋1）＝f（0）＝20＝1，f（2x）＝
f（－2）＝22＝4，满足f（x＋1）＜f（2x），排除C.故选D.
方法技巧
1.解分段函数的求值问题的思路：一般根据自变量所在区间代入相应的函数解析式求解，当出现f（f（a））形式时，一般由内向外逐层求值.
2.解分段函数的解不等式问题的思路：（1）若图象易画，可画出函数图象，数形结合求解；（2）根据分段函数的不同段分类讨论，最后取各段结果的并集.
注意　解得值或范围后，要注意检验其是否符合相应段的自变量的范围.
训练3 （1）[2024河南郑州外国语模拟]已知实数a＜0，函数f（x）＝若f（1－a）＝f（1＋a），则a的值为（　A　）
A.－ B.－ C.－ D.－1
解析　因为a＜0，所以1－a＞1，1＋a＜1.因为f（1－a）＝f（1＋a），所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－.故选A.
（2）[2024四川达州外国语模拟]已知函数f（x）＝则f（7）＝　8　.
解析　由题意得f（7）＝2f（5）＝2×2f（3）＝4×2f（1）＝8e1－1＝8.
（3）[2023江苏南通模拟]已知函数f（x）＝max{1－x，2x}，其中max{a，b}表示a，b中的较大者.则不等式f（x）＞4的解集为　（－∞，－3）∪（2，＋∞）　.
解析　作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知f（x）＝当x≤0时，由1－x＞4，得x＜－3.当x＞0时，由2x＞4，得x＞2，所以f（x）＞4的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.第2讲　函数的单调性与最值
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义. 确定函数的单调性（单调区间） 2023北京T4；2021全国卷甲T4；2020全国卷ⅡT9 本讲每年必考，命题稳定.命题热点有讨论函数的单调性，利用函数的单调性比较大小、解不等式、求最值等，也常与函数的奇偶性、周期性及对称性综合命题.题型既有选择题、填空题，也有解答题（常与导数综合命题），单独考查时难度不大，与导数综合时难度中等偏上.预计2025年高考命题趋势变化不大，备考时重点进行常规题型训练，并适当关注创新性命题.
函数单调性的应用 2023新高考卷ⅠT4；2023新高考卷ⅡT6；2020新高考卷ⅠT8；2020新高考卷ⅡT7；2019全国卷ⅢT11
与函数的最值（值域）有关的问题 2022北京T14
1.函数的单调性
单调递增 单调递减
定 义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I，
当x1＜x2时，都有①f（x1）＜f（x2），那么就称函数f（x）在区间I上单调递增.特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 当x1＜x2时，都有②f（x1）＞f（x2），那么就称函数f（x）在区间I上单调递减.特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
图 象 描 述 自左向右图象是③　上升　的 自左向右图象是④　下降　的
注意　（1）一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
（2）“函数f（x）的单调区间为M”与“函数f（x）在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N M .
（3）注意“增（减）函数”与“单调递增（减）”的区别，只有在定义域上单调递增（减），才能称它是增（减）函数.
规律总结
1.函数单调性的两个等价变形
若 x1，x2∈D（x1≠x2），则
（1）＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0） f（x）在区间D上单调递增；
（2）＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0） f（x）在区间D上单调递减.
2.函数单调性的常用结论
（1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数；
（2）当f（x）≠0时，函数f（x）与－f（x），在公共定义域内单调性相反；
（3）复合函数y＝f（g（x））的单调性与y＝f（t），t＝g（x）的单调性有关，即“同增异减”.
3.对勾函数y＝ax＋（a＞0，b＞0）的单调性与最值
如图，
（1）单调性：增区间为（－∞，－），（，＋∞）；减区间（－，0），（0，）.
（2）最值：当x＞0时，函数y＝ax＋在x＝处取得最小值2；当x＜0时，函数y＝ax＋在x＝－处取得最大值－2.
注意　对勾函数y＝ax＋（a＞0，b＞0）的图象有两条渐近线：x＝0，y＝ax.
2.函数的最值
前提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 （1） x∈D，都有⑤　f（x）≤M　； （2） x0∈D，使得f（x0）＝M. （1） x∈D，都有f（x）≥M； （2） x0∈D，使得f（x0）＝M.
结论 M是函数f（x）的最大值. M是函数f（x）的⑥　最小值　.
注意　闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.
1.以下说法正确的是（　D　）
A.对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数
B.函数y＝的单调递减区间为（－∞，0）∪（0，＋∞）
C.若函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）
D.闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到
2.[教材改编]函数y＝｜x｜－1的单调递减区间为（　B　）
A.（0，＋∞） B.（－∞，0）
C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）
3.[教材改编]y＝的值域为　（－∞，2）∪（2，＋∞）　.
解析　y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2.故函数的值域为（－∞，2）∪（2，＋∞）.
4.y＝2x－的值域为　[，＋∞）　.
解析　设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2（t2＋1）－t＝2（t－）2＋，由t≥0，可得函数的值域为[，＋∞）.
研透高考 明确方向
命题点1　确定函数的单调性（单调区间）
例1 （1）[2023北京高考]下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　C　）
A.f（x）＝－ln x B.f（x）＝
C.f（x）＝－ D.f（x）＝3｜x－1｜
解析　对于A，因为函数y＝ln x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝－ln x在（0，＋∞）上单调递减，所以A不符合要求；对于B，因为f（x）＝＝（）x在（0，＋∞）上单调递减，所以B不符合要求；对于C，由反比例函数的图象可知，f（x）＝－在（0，＋∞）上单调递增，所以C符合要求；对于D，当0＜x＜1时，y＝3｜x-1｜＝31-x在（0，1）上单调递减，所以D不符合要求.故选C.
（2）[全国卷Ⅱ]函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是（　D　）
A.（－∞，－2） B.（－∞，1）
C.（1，＋∞） D.（4，＋∞）
解析　由x2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4.因此，函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的定义域是（－∞，－2）∪（4，＋∞）.（先求函数f（x）的定义域）
易知函数y＝x2－2x－8在（－∞，－2）上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增，函数
y＝ln t为（0，＋∞）上的增函数，由复合函数的单调性知，f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是（4，＋∞）.故选D.
（3）讨论函数f（x）＝（a≠0）在（－1，1）上的单调性.
解析　解法一（导数法）　f'（x）＝＝－.
当a＞0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（－1，1）上单调递减；
当a＜0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（－1，1）上单调递增.
解法二（定义法）　设－1＜x1＜x2＜1，f（x）＝a（）＝a（1＋），则f（x1）－
f（x2）＝a（1＋）－a（1＋）＝.
由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递减；
当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增.
方法技巧
判断函数的单调性的方法
（1）定义法；（2）图象法；（3）导数法；（4）性质法.
训练1 （1）函数g（x）＝x·｜x－1｜＋1的单调递减区间为（　B　）
A.（－∞，] B.[，1]
C.[1，＋∞） D.（－∞，）∪[1，＋∞）
解析　g（x）＝x·｜x－1｜＋1＝画出函数图象，如图所示，根据图象知，函数的单调递减区间为[，1].
（2）[多选]下列函数在（0，＋∞）上单调递增的是（　ABC　）
A.y＝ex－e－x B.y＝lg x2
C.y＝2x＋2cos x D.y＝
解析　∵y＝ex与y＝－e－x均为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；
当x＞0时，y＝lg x2＝2lg x，此时函数在（0，＋∞）上单调递增，故B正确；
对于选项C，y'＝2－2sin x≥0，∴y＝2x＋2cos x在（0，＋∞）上单调递增，故C正确；
y＝的定义域为（－∞，－2]∪[1，＋∞），故D不正确.故选ABC.
命题点2　函数单调性的应用
角度1　比较大小
例2 （1）[2024厦门市湖滨中学模拟改编]已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0，1）时，＞0（x1≠x2），则f（－），f（4），
f（）的大小关系是（　A　）
A.f（－）＞f（4）＞f（） B.f（－）＞f（）＞f（4）
C.f（）＞f（4）＞f（－） D.f（4）＞f（）＞f（－）
解析　因为x∈[0，1）时，＞0，所以f（x）在[0，1）上单调递增.又因为
f（x）为奇函数，所以f（x）在（－1，1）上单调递增.由f（x＋2）＝f（x）可得f（x）的周期为2，所以f（－）＝f（－＋2×4）＝f（），f（4）＝f（0），f（）＝f（－2×3）＝f（－），所以f（）＞f（0）＞f（－），即f（－）＞f（4）＞f（）.故选A.
（2）[2024吉林长春东北师大附中校考改编]函数f（x）的定义域为（0，＋∞），对于 x，y∈（0，＋∞），f（xy）＝f（x）＋f（y），且当x＞1时，f（x）＜0.则a＝
f（sin 3），b＝f（ln 3），c＝f（21.5）的大小关系是（　A　）
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞c＞a D.c＞b＞a
解析　设 x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，则＞1，f（）＜0.因为f（x2）－f（x1）＝
f（·x1）－f（x1）＝f（）＜0，所以f（x2）＜f（x1），即f（x）为减函数. 因为0＜sin 3＜1＜ln 3＜2＜21.5，所以f（sin 3）＞f（ln 3）＞f（21.5），即a＞b＞c，故选A.
方法技巧
利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，应先将自变量的值转化到同一个单调区间内，再利用函数的单调性求解.
角度2　求解不等式
例3 （1）[全国卷Ⅰ]函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）＝
－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（　D　）
A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]
解析　∵函数f（x）为奇函数，且f（1）＝－1，∴f（－1）＝－f（1）＝1，由－1≤
f（x－2）≤1，得f（1）≤f（x－2）≤f（－1），（将常数转化为函数值）
又函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.
（2）[2024安徽名校联考]设函数f（x）＝x2－，则满足f（x＋2）＞f（2x－3）的x的取值范围是（　C　）
A.（－∞，5） B.（，＋∞）
C.（，5） D.（－∞，）∪（5，＋∞）
解析　f（x）＝x2－的定义域为R，∵f（－x）＝（－x）2－＝x2－＝
f（x），∴f（x）为偶函数.由f（x＋2）＞f（2x－3）可得f（｜x＋2｜）＞f（｜2x－3｜），又当x＞0时，f（x）＝x2－单调递增，∴｜x＋2｜＞｜2x－3｜，即（x＋2）2＞（2x－3）2，解得＜x＜5.故选C.
方法技巧
利用函数的单调性求解或证明不等式的策略
（1）将不等式转化为f（x1）＞f（x2）的形式，
（2）根据函数f（x）的单调性“脱去”函数符号“f”化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的不等式求解，注意必须在同一单调区间内进行.若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值.
角度3　已知函数单调性求参数的值或取值范围
例4 （1）[2023新高考卷Ⅰ]设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（　D　）
A.（－∞，－2] B.[－2，0）
C.（0，2] D.[2，＋∞）
解析　由题意得y＝x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，所以≥1，解得a≥2.故选D.
（2）[2023江苏省响水中学检测]已知函数f（x）＝在其定义域上单调递增，则实数a的取值范围为（　C　）
A.（0，1） B.（3，6） C.（1，4] D.（1，2]
解析　∵函数f（x）＝在其定义域上单调递增，∴解得1＜a≤4，∴实数a的取值范围为（1，4]，故选C.
方法技巧
已知函数的单调性求参数的取值范围的方法
根据函数的单调性构建含参数的方程（组）或不等式（组）进行求解，或先得到图象的升降情况，再结合图象求解.
注意　若分段函数是单调函数，则不仅要各段上函数单调性一致，还要在整个定义域内单调，即要注意分界点处的函数值大小.
训练2 （1）[2024浙江省宁波市育才高级中学模拟]已知函数f（x）＝在[0，1）上单调递增，则a的取值范围是（　A　）
A.（0，2] B.（0，2）
C.（0，＋∞） D.（－∞，0）
解析　设t＝2－ax，由已知易知t＝2－ax在[0，1）上单调递减，且在区间[0，1）上大于零恒成立，所以 0＜a≤2.故选A.
（2）[2023江苏南京模拟]已知f（x）＝则当x≥0时，
f（2x）与f（x2）的大小关系是（　B　）
A.f（2x）≤f（x2） B.f（2x）≥f（x2）
C.f（2x）＝f（x2） D.不确定
解析　由函数f（x）＝得函数f（x）在
（－∞，4）上单调递增，在[4，16]上单调递减，在（16，＋∞）上单调递增，作出函数y＝2x和y＝x2的图象，如图所示.
当x≥0时，令2x＝x2，得x＝2或x＝4.
结合图象可知，当0≤x＜2时，4＞2x＞x2≥0，则f（2x）＞f（x2），当2≤x≤4时，4≤2x≤x2≤16，则f（2x）≥f（x2），当x＞4时，2x＞x2＞16，则f（2x）＞f（x2）.
综上所述，当x≥0时，f（2x）≥f（x2）.故选B.
（3）[2023山东模拟]不等式x6－（2x＋3）＞（2x＋3）3－x2的解集是（　A　）
A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）
B.（－1，3）
C.（－3，1）
D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）
解析　由不等式x6－（2x＋3）＞（2x＋3）3－x2，得（x2）3＋x2＞（2x＋3）3＋（2x＋3）.设函数f（t）＝t3＋t，易知f（t）在R上单调递增，因为f（x2）＞f（2x＋3），所以x2＞2x＋3，解得x＞3或x＜－1.故选A.
命题点3　与函数的最值（值域）有关的问题
例5 （1）函数f（x）＝的值域为　（－∞，－3]∪[1，＋∞）　.
解析　f（x）＝＝x－1＋，由对勾函数y＝x＋的图象可知，x＋∈（－∞，
－2]∪[2，＋∞），所以函数f（x）的值域为（－∞，－3]∪[1，＋∞）.
命题拓展
[变条件]函数f（x）＝的值域为　（－∞，－2－3]∪[2－3，＋∞）　.
解析　令x＋1＝t（t≠0），则＝＝＝t－3＋，由对勾函数y＝t＋的图象可知，t＋∈（－∞，－2]∪[2，＋∞），所以函数f（x）的值域为（－∞，－2－3]∪[2－3，＋∞）.
（2）[2022北京高考]设函数f（x）＝若f（x）存在最小值，则a的一个取值为　0（答案不唯一）　；a的最大值为　1　.
解析　当a＝0时，函数f（x）＝存在最小值0，所以a的一个取值可以为0；当a＜0时，若x＜a，则f（x）＝－ax＋1，此时函数f（x）不可能存在最小值；当0＜a≤2时，若x＜a，则f（x）＝－ax＋1，此时f（x）∈（－a2＋1，＋∞），若x≥a，则f（x）＝（x－2）2∈[0，＋∞），若函数f（x）存在最小值，则－a2＋1≥0，得0＜a≤1；当a＞2时，若x＜a，则f（x）＝－ax＋1，此时f（x）∈（－a2＋1，＋∞），若x≥a，则f（x）＝（x－2）2∈[（a－2）2，＋∞），若函数f（x）存在最小值，则－a2＋1≥（a－2）2，此时不等式无解.综上，0≤a≤1，所以a的最大值为1.
方法技巧
求函数最值（值域）的方法
（1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法.
注意　对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域.
训练3 （1）[2023湖南常德一模改编]若函数f（x）＝的值域是[4，＋∞），则实数a的取值范围是（　D　）
A.（1，＋∞） B.（2，＋∞） C.（1，2] D.（，2]
解析　当x≤2时，0＜2x≤4，4≤8－2x＜8，所以f（x）∈[4，8）.当x＞2时，分以下两种情况讨论.若0＜a＜1，则函数y＝3＋logax单调递减，所以3＋logax∈（－∞，3＋loga2），与f（x）的值域是[4，＋∞）矛盾.若a＞1，则函数y＝3＋logax单调递增，所以3＋logax∈（3＋loga2，＋∞），要使f（x）的值域是[4，＋∞），则有4≤3＋loga2＜8，解得＜a≤2.故选D.
（2）[2024重庆市渝北中学模拟]已知f（x）＝2＋log3x，x∈[1，81]，则y＝[f（x）]2＋
f（x2）的最大值为　22　.
解析　由f（x）＝2＋log3x，得y＝[f（x）]2＋f（x2）＝（2＋log3x）2＋2＋log3x2＝（2＋log3x）2＋2＋2log3x＝（log3x＋3）2－3.∵函数f（x）的定义域为[1，81]，∴∴1≤x≤9，∴0≤log3x≤2，∴当log3x＝2，即x＝9时，ymax＝22.∴函数y＝[f（x）]2＋f（x2）的最大值为22.第3讲　函数的奇偶性、周期性与对称性
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.了解奇偶性的概念和几何意义. 2.了解周期性的概念和几何意义. 函数的奇偶性 2023新高考卷ⅠT11；2023新高考卷ⅡT4；2023全国卷乙T4；2023全国卷甲T13；2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T16；2021全国卷乙T4；2021全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT13；2021新高考卷ⅡT8；2021新高考卷ⅡT14；2020全国卷ⅡT9；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅡT14；2019全国卷ⅢT11 本讲为高考命题重点，命题热点有函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求解析式、求函数值、解不等式等，函数周期性的判断及应用.题型以选择题、填空题为主，函数性质综合命题时难度中等偏大.预计2025年高考命题稳定，备考时注重常规题型训练的同时，关注命题角度创新试题及抽象函数性质的灵活运用.
函数的周期性 2022新高考卷ⅠT12；2022新高考卷ⅡT8；2022全国卷乙T12
函数图象的对称性 2022全国卷乙T12
函数性质的综合应用 2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T12；2021新高考卷ⅡT8；2021全国卷甲T12；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅢT11
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特征 特性 单调性
奇函数 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果 x∈D，都有－x ∈D，且①f（－x）＝－f（x）　，那么函数f（x）就叫做奇函数. 关于②原点对称. （1）如果定义域中包含0，那么f（0）＝③　0　. （2）若函数在关于原点对称的区间上有最值，则f（x）max＋ f（x）min＝④　0　. 在关于原点对称的区间上单调性⑤　相同　.
偶函数 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果 x∈D，都有－x ∈D，且⑥　f（－x）＝f（x）　，那么函数f（x）就叫做偶函数. 关于⑦　y轴　对称. f（x）＝f（｜x｜）. 在关于原点对称的区间上单调性⑧　相反　.
注意　（1）只有函数在x＝0处有定义时，f（0）＝0才是f（x）为奇函数的必要不充分条件；
（2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.
规律总结
1.常见的奇（偶）函数
（1）函数f（x）＝ax＋a－x为偶函数，函数g（x）＝ax－a－x为奇函数；
（2）函数f（x）＝＝为奇函数，函数g（x）＝loga为奇函数；
（3）函数f（x）＝loga（x＋）为奇函数，函数g（x）＝loga（－x）也为奇函数.
2.函数奇偶性的拓展结论
（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a），函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
（2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则f（x＋b）＋f（－x＋b）＝0，函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.
2.函数的周期性
（1）周期函数
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且⑨　f（x＋T）＝f（x）　，那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做
f（x）的⑩　最小　正周期.
注意　并不是所有的周期函数都有最小正周期，如f（x）＝5.
常用结论
函数周期性的常用结论
设函数y＝f（x），x∈R，a＞0，a≠b.
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则2a是函数f（x）的周期；
（2）若f（x＋a）＝±，则2a是函数f（x）的周期；
（3）若f（x＋a）＝f（x＋b），则｜a－b｜是函数f（x）的周期.
3.函数图象的对称性
已知函数f（x）是定义在R上的函数，
（1）若f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线 　x＝　对称.
（2）若f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点 　（，）　对称.
注意　（1）奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有对称性.（2）注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内x的符号相同，对称性的表示中，括号内x的符号相反.
常用结论
函数f（x）图象的对称性与周期的关系
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a与直线x＝b对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；
（2）若函数f（x）的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；
（3）若函数f（x）的图象既关于直线x＝a对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为4｜b－a｜.
1.已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2＋，则f（－1）＝（　A　）
A.－2 B.0 C.1 D.2
2.函数f（x）＝图象的对称中心为（　B　）
A.（0，0） B.（0，1） C.（1，0） D.（1，1）
解析　由题知f（x）＝＝1＋，其图象可由y＝的图象向上平移一个单位长度得到，又y＝的图象关于（0，0）对称，所以f（x）＝1＋的图象关于（0，1）对称.
3.[多选]以下函数为偶函数的是（　AC　）
A.f（x）＝x2－1 B.f（x）＝x3
C.f（x）＝x2＋cos x D.f（x）＝＋｜x｜
4.已知函数f（x）为R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x（x－1），则当x＞0时，
f（x）＝　x（x＋1）　.
5.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x－2），当x∈[0，2）时，f（x）＝x2－4x，则当x∈[4，6）时，f（x）＝　x2－12x＋32　.
解析　设x∈[4，6），则x－4∈[0，2），则f（x－4）＝（x－4）2－4（x－4）＝x2－12x＋32.又f（x）＝f（x－2），所以函数f（x）的周期为2，所以f（x－4）＝f（x），所以当x∈[4，6）时，f（x）＝x2－12x＋32.
6.[2024北京市海淀区中国农业大学附属中学模拟]若f（x）＝是奇函数，则a＝　1　，b＝　1　.
解析　由f（x）为奇函数，知f（－x）＝－f（x），当x＞0时，可得－x＋a＝－bx＋1，所以b＝1，a＝1.
研透高考 明确方向
命题点1　函数的奇偶性
角度1　判断函数的奇偶性
例1 （1）[全国卷Ⅰ]设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（　B　）
A. f（x）g（x）是偶函数 B. f（x）｜g（x）｜是奇函数
C.｜f（x）｜g（x）是奇函数 D.｜f（x）g（x）｜是奇函数
解析　因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（x）g（x）为奇函数，f（x）·
｜g（x）｜为奇函数，｜f（x）｜g（x）为偶函数，｜f（x）g（x）｜为偶函数，故选B.
（2）[2021全国卷乙]设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（　B　）
A.f（x－1）－1 B.f（x－1）＋1
C.f（x＋1）－1 D.f（x＋1）＋1
解析　解法一　因为f（x）＝，所以f（x－1）＝＝，f（x＋1）＝＝.
对于A，F（x）＝f（x－1）－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F（x）＝－F（－x）；
对于B，G（x）＝f（x－1）＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G（x）＝
－G（－x）；
对于C，f（x＋1）－1＝－1，定义域不关于原点对称；
对于D，f（x＋1）＋1＝＋1，定义域不关于原点对称.
故选B.
解法二　f（x）＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝
f（x）的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f（x－1）＋1，故选B.
方法技巧
1.（1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；（2）若定义域关于原点对称，则判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断f（x）＋
f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数）是否成立.
2.在公共定义域内有：奇函数±奇函数＝奇函数，偶函数±偶函数＝偶函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数×偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数.
注意　对于分段函数奇偶性的判断，要分段判断f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）是否成立，只有当所有区间都满足相同关系时，才能判断该分段函数的奇偶性.
角度2　函数奇偶性的应用
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]若f（x）＝（x＋a）·ln为偶函数，则a＝（　B　）
A.－1 B.0 C. D.1
解析　解法一　设g（x）＝ln ，易知g（x）的定义域为（－∞，－）∪（，
＋∞），且g（－x）＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g（x），所以g（x）为奇函数.若
f（x）＝（x＋a）ln 为偶函数，则y＝x＋a应为奇函数，所以a＝0，故选B.
解法二　因为f（x）＝（x＋a）ln 为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，经检验，满足题意，故选B.
（2）[2024江苏南通模拟]已知定义在R上的函数f（x），g（x）分别是奇函数和偶函数，且f（x）＋g（x）＝x2－2x，则f（2）＋g（1）＝　－3　.
解析　由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，得f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），∵f（x）＋g（x）＝x2－2x，∴f（－x）＋g（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，即
－f（x）＋g（x）＝x2＋2x，则有f（x）＝－2x，g（x）＝x2，则f（2）＋g（1）＝－4＋1＝－3.
方法技巧
函数奇偶性的应用类型及解题策略
（1）求函数解析式或函数值：借助奇偶性转化为求已知区间上的函数解析式或函数值，或利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组）求解析式.
（2）求参数值：利用定义域关于原点对称或f（x）±f（－x）＝0列方程（组）求解，对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.
注意　利用特殊值法求参数时要检验.
训练1 （1）[2024辽宁鞍山一中模拟]下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（　C　）
A.f（x）＝xlnx
B.f（x）＝ln（－x＋）
C.f（x）＝ex＋e－x
D.f（x）＝ex－e－x
解析　对于A，因为f（x）＝xlnx的定义域为（0，＋∞），不关于原点对称，所以f（x）＝xlnx不是偶函数，故A选项不符合题意；对于B，因为f（x）＝ln（－x＋）的定义域为R，关于原点对称，f（x）＋f（－x）＝ln（－x＋）＋ln（x＋）＝ln 1＝0，所以f（x）＝ln（－x＋）是奇函数，故B选项不符合题意；对于C，因为f（x）＝ex＋e－x的定义域为R，关于原点对称，且f（－x）＝e－x＋ex＝f（x），所以
f（x）＝ex＋e－x是偶函数.f'（x）＝ex－e－x，当x∈（0，＋∞）时，有，则f'（x）＝ex－e－x＞0，所以f（x）＝ex＋e－x在（0，＋∞）上单调递增，故C选项符合题意；对于D，因为f（x）＝ex－e－x的定义域为R，关于原点对称，但f（－x）＝e－x－ex＝－（ex－e－x）＝－f（x），所以f（x）＝ex－e－x是奇函数，故D选项不符合题意.故选C.
（2）[2024江苏省扬州中学模拟]定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝2x－a·3－x，当x＜0时，f（x）＝　3x－2－x　.
解析　因为函数f（x）为奇函数，定义域为R，所以f（0）＝20－a×30＝0，解得a＝1.若x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝2－x－3x，又f（x）为奇函数，所以当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝3x－2－x，即当x＜0时，f（x）＝3x－2－x.
命题点2　函数的周期性
例3 （1）已知f（x＋1）是定义在R上且周期为2的函数，当x∈[－1，1）时，f（x）＝则f（3）·f（－）＝（　A　）
A. B.－ C.－ D.
解析　因为f（x＋1）是定义在R上且周期为2的函数，
所以f（x）也是周期为2的函数，（解题关键：由f（x＋1）的周期得到f（x）的周期）
则f（3）＝f（－1）＝－2＋4＝2，f（－）＝f（）＝sin ＝，可得f（3）·f（－）＝2×＝，故选A.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）·
f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（　A　）
A.－3 B.－2 C.0 D.1
解析　因为f（1）＝1，所以在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令y＝1，得
f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）f（1），所以f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）　①，所以f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1）　②.由①②相加，得f（x＋2）＋f（x－1）＝0，故f（x＋3）＋f（x）＝0，所以f（x＋3）＝－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函数
f（x）的一个周期为6.在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令x＝1，y＝0，得
f（1）＋f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2，再令x＝0，代入f（x＋3）＋f（x）＝0，得f（3）＝－2.令x＝1，y＝1，得f（2）＋f（0）＝f（1）f（1），所以f（2）＝－1.由
f（x＋3）＋f（x）＝0，得f（1）＋f（4）＝0，f（2）＋f（5）＝0，f（3）＋f（6）＝0，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0，根据函数的周期性知，f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝f（2）＋f（3）＝－1－2＝－3，故选A.
方法技巧
（1）利用函数的周期性可以将局部的函数性质扩展到整体.（2）判断抽象函数的周期一般需要对变量进行赋值.
训练2 （1）[2024广东梅州模拟]已知函数f（x）＝则f（2 024－
ln 2）＝（　A　）
A.－ B.－ C. D.
解析　当x＞1时，f（x）＝－f（x－1），则f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以x＞1时，f（x）是周期为2的函数.因为2 024－ln 2＝2 022＋2－ln 2，且2＞2－ln 2＞2－ln e＝1，所以f（2 024－ln 2）＝f（2－ln 2）＝－f（1－ln 2）＝－e1－ln 2＋1＝－＝－.故选A.
（2）[2024云南部分名校联考]已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）＋f（4－x）＝0，当0≤x≤2时，f（x）＝a·2x＋x2，则f（2 024）＝　－1　.
解析　因为f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）＋f（4－x）＝0，所以f（x）＝－f（4－x）＝－f（x－4），f（x－4）＝－f（x－8），所以f（x）＝f（x－8），故f（x）是以8为周期的函数，则f（2 024）＝f（0）.令x＝2，则f（2）＋f（4－2）＝2f（2）＝8a＋8＝0，则a＝－1，所以f（0）＝－20＝－1，即f（2 024）＝－1.
命题点3　函数图象的对称性
例4 （1）已知函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝2－f（x），若函数y＝与y＝
f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi＋yi）＝（　B　）
A.0 B.m C.2m D.4m
解析　由f（－x）＝2－f（x）知f（x）的图象关于点（0，1）对称，而y＝＝1＋的图象也关于点（0，1）对称，因此两个函数图象的交点也关于点（0，1）对称，且成对出现，则x1＋xm＝x2＋xm－1＝…＝0，y1＋ym＝y2＋ym－1＝…＝2，所以（xi＋yi）＝0×＋2×＝m.
（2）函数f（x）＝（x2－1）（ex－e－x）＋x＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为　2　.
解析　设g（x）＝（x2－1）（ex－e－x）＋x，则f（x）＝g（x）＋1.
因为g（－x）＝（x2－1）（e－x－ex）－x＝－g（x），且g（x）的定义域关于原点对称，所以g（x）是奇函数.
由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，
故M＋N＝[g（x）＋1]max＋[g（x）＋1]min＝2＋g（x）max＋g（x）min＝2.
方法技巧
1.解决与函数图象的对称性有关的问题，应结合题设条件的结构特征及对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，进而利用对称性解决求值或参数问题.
2.常用结论：三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象的对称中心为（－，
f（－））.
训练3 （1）[多选]关于函数f（x）＝sin x＋，下列结论正确的是（　BC　）
A.f（x）的图象关于y轴对称
B.f（x）的图象关于原点对称
C.f（x）的图象关于直线x＝对称
D.f（x）的最小值为2
解析　由题意知f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称.又f（－x）＝
sin（－x）＋＝－（sin x＋）＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，所以A错误，B正确.因为f（π－x）＝sin（π－x）＋＝sin x＋＝
f（x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝对称，C正确.当sin x＜0时，f（x）＜0，所以D错误.故选BC.
（2）已知函数f（x）＝x3－3x2＋x＋1＋sin（x－1），则函数f（x）在（0，2）上的最大值与最小值的和为　0　.
解析　由三次函数图象的对称性可得，y＝x3－3x2＋x＋1的图象的对称中心为（1，0），因为y＝sin（x－1）的图象也关于（1，0）对称，所以函数f（x）在（0，2）上的图象关于（1，0）对称，所以f（x）在（0，2）上的最大值与最小值的和为0.
命题点4　函数性质的综合应用
例5 （1）[2021全国卷甲]设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f（）＝（　D　）
A.－ B.－ C. D.
解析　因为f（x＋1）为奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，即有f（x）＋f（2－x）＝0，令x＝1，得f（1）＝0，即a＋b＝0　①，令x＝0，得f（0）＝－f（2）.因为f（x＋2）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，即有f（x）－f（4－x）＝0，令x＝1，得f（3）＝f（1），所以f（0）＋f（3）＝－f（2）＋f（1）＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6　②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f（x）＝－2x2＋2.根据函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，且关于点（1，0）对称，可得函数f（x）的周期为4，所以f（）＝f（）＝－f（）＝2×（）2－2＝.
（2）[2024平许济洛第一次质检]定义在R上的偶函数f（x）满足f（2－x）＋f（x）＝0，且f（x）在[－2，0]上单调递增.若a＝f（tan），b＝f（3），c＝f（log43），则（　A　）
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
解析　由f（2－x）＋f（x）＝0可得f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，由f（x）为偶函数可得f（x）的图象关于y轴对称，根据函数周期性结论可得函数f（x）的周期为4，所以f（3）＝f（3－4）＝f（－1）＝f（1），因为0＜log43＜1，1＝tan＜tan＜tan＝＜2，所以0＜log43＜1＜tan＜2，因为偶函数f（x）在[－2，0]上单调递增，所以函数f（x）在（0，2]上单调递减，所以f（tan）＜f（1）＝f（3）＜f（log43），即a＜b＜c.故选A.
方法技巧
1.对于函数单调性与奇偶性的综合问题，常利用奇、偶函数的图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解.
2.对于函数周期性与奇偶性的综合问题，常利用奇偶性及周期性将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的自变量的取值范围内求解.
3.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
训练4 （1）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝ex＋x2＋x，则不等式f（2－a）＋f（2a－3）＞0的解集为（　B　）
A.（－1，＋∞） B.（1，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（－∞，1）
解析　易知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且在（0，＋∞）上，f（x）＞1.因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，f（x）在（－∞，0）上单调递增，且在（－∞，0）上f（x）＜－1，故f（x）在R上单调递增.原不等式可化为f（2－a）＞－f（2a－3），即
f（2－a）＞f（3－2a），所以2－a＞3－2a，故a＞1，选B.
（2）[2024湖北部分重点中学联考]已知函数y＝f（x）是
R上的奇函数， x∈R，都有f（2－x）＝f（x）＋f（2）成立，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 024）＝　0　.
解析　因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.因为 x∈R，都有f（2－x）＝
f（x）＋f（2），所以令x＝2，得f（0）＝2f（2），得f（2）＝0，所以f（2－x）＝
f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，且函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，则f（1）＋f（3）＝0，又f（2）＝0，f（4）＝f（0）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 024）＝506[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]＝0.第4讲　幂函数、指数与指数函数
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.通过对有理数指数幂（a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0）、实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 3.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 4.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 幂函数的图象与性质 该讲命题热点为指数函数的图象应用、性质判断，比较大小（常运用指、对、幂函数的性质或中间值比较大小，有时需要构造函数，借助函数单调性比较大小）.题型以选择题为主，难度中等.2025年高考备考时，应重点关注指数函数的图象与性质的灵活运用.
指数幂的运算
指数函数的图象及应用 2019浙江T6
指数函数的性质及应用 2023新高考卷ⅠT4；2023全国卷甲T11；2023天津T3；2020全国卷ⅡT12；2020天津T6；2019全国卷ⅠT3
1.幂函数
（1）幂函数的概念
一般地，函数①　y＝xα　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
（2）5种常见幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R ②　{x｜x≥0}　 ③　{x｜x≠0}　
值域 R ④　{y｜y≥0}　 R {y｜y≥0} ⑤　{y｜y≠0}　
奇偶性 奇函数 ⑥　偶函数　 奇函数 非奇非偶函数 ⑦　奇函数　
单调性 在R上单 调递增 在（－∞，0）上单调递减，在[0，＋∞）上单调递增 ⑧　在R上　 　单调递增　 ⑨　在（0，＋∞）上单调递增　 ⑩　在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减　
图象
过定点 　（1，1）　
规律总结
（1）幂函数y＝xα在第一象限的图象如图所示，可根据函数的定义域以及奇偶性判断幂函数在第二或第三象限的图象.
（2）在（0，1）上，幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴；在（1，＋∞）上，幂函数的指数越小，函数图象越接近x轴.
注意　幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，若与坐标轴有交点，则交点一定是原点.
2.指数与指数运算
（1）根式
a.（）n＝ 　a　（n∈N*，且n＞1）.
b.＝
（2）分数指数幂
a.＝ 　　（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）.
b.＝＝ 　　（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）.
注意　 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（3）有理数指数幂的运算性质
a.ar·as＝ 　ar＋s　（a＞0，r，s∈R）；＝ 　ar－s　（a＞0，r，s∈R）；
b.（ar）s＝ 　ars　（a＞0，r，s∈R）；
c.（ab）r＝ 　arbr　（a＞0，b＞0，r∈R）.
3.指数函数
（1）指数函数的概念
函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
（2）指数函数的图象和性质
函数 y＝ax（a＞1） y＝ax（0＜a＜1）
图象
性质 函数的定义域为R；值域为 　（0，＋∞）　.
函数图象过定点 　（0，1）　，即当x＝0时，y＝1.
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1. 当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1.
函数在R上单调递 　增　. 函数在R上单调递 　减　.
注意　当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.
规律总结
1.指数函数的图象过点（0，1），（1，a），（－1，），依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.
2.函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象与y＝a－x的图象关于y轴对称，y＝ax的图象与y＝－ax的图象关于x轴对称，y＝ax的图象与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称.
3.如图，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为0＜c＜d＜1＜a＜b.
1.[2024江苏省南通市质量监测]化简：＋＝（　A　）
A.1 B.－1 C.7－2π D.2π－7
解析　＋＝｜π－4｜＋π－3＝4－π＋π－3＝1.故选A.
2.[多选]已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列说法正确的有（　BCD　）
A.f（x）是偶函数 B.f（x）是增函数
C.当x＞1时，f（x）＞1 D.当0＜x1＜x2时，＜f（）
解析　因为幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），所以16α＝4，α＝，所以f（x）＝＝，由其图象可知，A错误，B正确；当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1，故C正确；由f（x）＝的图象可知＜f（），故D正确.故选BCD.
3.函数f（x）＝ax－1＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点　（1，3）　.
4.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝－.
研透高考 明确方向
命题点1　幂函数的图象与性质
例1 （1）[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象.已知n分别取±2，±四个值，与曲线C1，C2，C3，C4对应的n依次为（　A　）
A.2，，－，－2 B.2，，－2，－
C.－，－2，2， D.－2，－，，2
解析　如图所示，作直线x＝2分别与曲线C1，C2，C3，C4相交，因为函数y＝2x为增函数，所以22＞＞＞2－2，所以交点由上到下对应的n值分别为2，，－，－2，由图可知，曲线C1，C2，C3，C4对应的n值分别为2，，
－，－2.故选A.
（2）[全国卷Ⅲ]已知a＝，b＝，c＝2，则（　A　）
A.b＜a＜c B.a＜b＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
解析　因为a＝＝，b＝＝1，c＝，且幂函数y＝在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.故选A.
方法技巧
1.对于幂函数的图象识别问题，解题关键是把握幂函数的性质，尤其是单调性、奇偶性、图象经过的定点等.
2.比较幂值大小的方法
（1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较.
（2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较.
（3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断.
训练1 （1）[2024陕西省汉中市名校联考]已知幂函数f（x）＝（m2＋m－1）xm的图象与坐标轴没有公共点，则f（）＝（　A　）
A. B. C.2 D.2
解析　因为f（x）为幂函数，所以m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，又f（x）的图象与坐标轴无公共点，故m＜0，所以m＝－2，故f（x）＝x－2，所以f（）＝（）-2＝.故选A.
（2）若（2m＋1＞（m2＋m－1，则实数m的取值范围是　[，2）　.
解析　因为函数y＝的定义域为[0，＋∞），且在定义域内单调递增，所以解得≤m＜2，所以实数m的取值范围为[，2）.
命题点2　指数幂的运算
例2 计算：
（1）（－3＋（0.002－10×（－2）－1＋（－）0＝　－　；
解析　原式＝（－1×（3＋（－＋1＝（＋50－10×（＋2）＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
（2）若＋＝3，则＝　　.
解析　由＋＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，
∴x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45.
由（＋）3＝33，得＋3＋3＋＝27.
∴＋＝18，∴＋－3＝15.
∴＝.
方法技巧
指数幂的运算技巧
运算 顺序 ①有括号先算括号内的；②无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除，最后加减；③底数是负数的先确定符号.
运算基 本原则 ①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④化带分数为假分数.
训练2 （1）[2024重庆八中模拟]已知10α＝，10β＝，则＝　2　.
解析　＝×＝×＝＝2.
（2）＝　　（a＞0，b＞0）.
解析　原式＝＝·＝.
命题点3　指数函数的图象及应用
例3 （1）已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是（　B　）
A B C D
解析　由函数y＝kx＋a的图象可得k＜0，0＜a＜1.函数y＝ax＋k的图象可以看作是把y＝ax的图象向右平移－k个单位长度得到的，且函数y＝ax＋k是减函数，故此函数的图象与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，可知选B.
（2）[2024上海奉贤致远高级中学模拟]已知a∈R，若关于x的方程｜3x－1｜－2a＝0有两个不相等的实根，则a的取值范围是　（0，）　.
解析　关于x的方程｜3x－1｜－2a＝0有两个不相等的实根，即曲线y＝
｜3x－1｜与直线y＝2a的图象有两个交点，作出y＝｜3x－1｜与y＝2a的图象，如图，易得a的取值范围是（0，）.
命题拓展
已知a∈R，若关于x的方程｜ax－1｜－2a＝0有两个不等的实根，则a的取值范围是　（0，）　.
解析　关于x的方程｜ax－1｜－2a＝0有两个不等的实根，即曲线y＝｜ax－1｜与直线y＝2a的图象有两个交点，y＝｜ax－1｜的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；当0＜a＜1时，如图2，要使两个函数图象有两个公共点，则0＜2a＜1，得0＜a＜.
图1 图2
综上可知，a的取值范围是（0，）.
方法技巧
与指数函数有关的图象问题的求解策略
数形 结合 指数型函数图象识别，一般通过确定图象是“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解.
变换 作图 对于有关指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.
注意　在指数函数图象变换时，注意特殊点（如定点）、特殊线（如渐近线）的变化.
训练3 [2024重庆市巴蜀中学适应性考试]已知函数f（x）＝ax－1－2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m＋xn的图象不经过（　D　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析　∵a0＝1，∴f（x）＝ax－1－2的图象恒过定点（1，－1），∴m＝1，n＝－1，
∴g（x）＝1＋，其图象不经过第四象限，故选D.
命题点4　指数函数的性质及应用
角度1　比较大小
例4 （1）[2023天津高考]若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　D　）
A.c＞a＞b B.c＞b＞a
C.a＞b＞c D.b＞a＞c
解析　因为函数f（x）＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a＞1；因为函数g（x）＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.综上，b＞a＞c.故选D.
（2）[2023全国卷甲]已知函数f（x）＝.记a＝f（），b＝f（），c＝
f（），则（　A　）
A.b＞c＞a B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
解析　f（x）＝是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知
f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（）＝f（2－），又＜2－＜＜1，所以f（）＜f（2－）＜f（），所以b＞c＞a，故选A.
方法技巧
比较指数幂大小的常用方法
单调 性法 不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底.
取中间 值法 不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是1）比较大小，然后得出大小关系.
数形结 合法 根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小.
角度2　解简单的指数方程或不等式
例5 [2024北京市十一学校模拟]若不等式3ax－1＜（恒成立，则实数a的取值范围是（　B　）
A.（－4，0） B.（－4，0]
C.（0，4） D.[0，4）
解析　因为不等式3ax－1＜（恒成立，即3ax－1＜恒成立，所以ax－1＜－ax2恒成立，即ax2＋ax－1＜0恒成立，
当a＝0时，－1＜0恒成立，符合题意；
当a≠0时，则解得－4＜a＜0.
综上可得－4＜a≤0，即实数a的取值范围是（－4，0].故选B.
方法技巧
解简单的指数方程或不等式问题的思路
（1）af（x）＝ag（x） f（x）＝g（x）.
（2）①af（x）＞ag（x） 或
②形如ax＞b的不等式，一般先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解.
角度3　指数函数性质的应用
例6 已知函数f（x）＝（.
（1）若a＝－1，则f（x）的单调递增区间为（－2，＋∞），单调递减区间为（－∞，
－2）；
（2）若f（x）有最大值3，则a的值为　1　；
（3）若f（x）的值域是（0，＋∞），则a的值为　0　.
解析　（1）当a＝－1时，f（x）＝（.令u＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，则该函数在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减.因为y＝（）u在R上单调递减，所以函数f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）.
（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝（）h（x），因为f（x）有最大值3，所以h（x）有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值为1.
（3）令g（x）＝ax2－4x＋3，由f（x）的值域是（0，＋∞）知，g（x）＝ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
方法技巧
1.形如y＝af（x）的函数的单调性：若a＞1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝af（x）的单调递增（减）区间；若0＜a＜1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝af（x）的单调递减（增）区间.
2.求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路
一般利用指数函数的单调性或最值进行转化求解.
注意　当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论.
训练4 （1）[2024辽宁省名校联考]已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上单调递增，则a的取值范围为（　C　）
A.（0，] B.（1，＋∞） C.（0，] D.[，]
解析　由a＞0且a≠1，得y＝在[2，3]上单调递减，由复合函数单调性法则得a∈（0，1），由1－3a≥0，解得a≤，故a∈（0，].故选C.
（2）[2024浙江温州联考]如果1＜2a＜2b＜2，那么（　C　）
A.aa＜ab＜ba B.aa＜ba＜ab
C.ab＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa
解析　因为函数y＝2x在R上单调递增，20＝1＜2a＜2b＜2＝21，所以0＜a＜b＜1.因为函数y＝ax（0＜a＜1）在R上单调递减，所以aa＞ab.因为函数y＝xa（0＜a＜1）在（0，＋∞）上单调递增，所以aa＜ba，所以ab＜aa＜ba.故选C.
（3）[2024黑龙江省肇东市第四中学模拟]已知函数f（x）＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称，若f（2x－1）＞，则x的取值范围为（　B　）
A.（－∞，1） B.（1，＋∞） C.[3，＋∞） D.（－∞，－2）
解析　因为函数f（x）＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称且定义域为R，所以f（0）＝1＋a＝0，解得a＝－1，所以f（x）＝2x－2－x.因为y＝2x在R上单调递增，y＝2－x在R上单调递减，所以f（x）＝2x－2－x在R上单调递增，由f（1）＝，f（2x－1）＞，得f（2x－1）＞f（1），所以2x－1＞1，解得x＞1.故选B.第5讲　对数与对数函数
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）. 对数的运算 2022浙江T7；2022天津T6；2021天津T7；2020全国卷ⅠT8 该讲命题热点为对数运算、对数函数的图象与性质的判断及应用，常与指数函数综合考查，且难度有上升趋势.在2025年备考过程中要熟练掌握对数的运算性质和换底公式；学会构造新函数，结合单调性比较大小；注意对函数图象的应用，注意区分对数函数图象和指数函数图象.
对数函数的图象及应用 2019浙江T6
对数函数的性质及应用 2021新高考卷ⅡT7；2021全国卷乙T12；2020全国卷ⅠT12；2020全国卷ⅡT11；2020全国卷ⅢT12；2019全国卷ⅠT3
1.对数与对数运算
（1）对数的概念
一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作①　x＝logaN　，其中a叫做对数的②　底数　，N叫做③　真数　.
以10为底的对数叫做常用对数，记作④　lgN　；以e为底的对数叫做自然对数，记作⑤　lnN　.
（2）对数的性质、运算性质及换底公式
性质 loga1＝⑥　0　，logaa＝⑦　1　，＝⑧　N　（N＞0），其中a＞0，且a≠1.
运算 性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： （1）loga（M·N）＝⑨　logaM＋logaN　； （2）loga＝⑩　logaM－logaN　； （3）logaMn＝ 　nlogaM　，logaan＝ 　n　（n∈R）.
换底 公式 logab＝ 　　（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0）. 推论：（1）logab·logba＝ 　1　；（2）lobn＝logab；（3）logab·logbc·logcd＝logad.
2.对数函数的图象和性质
函数 y＝logax（a＞1） y＝logax（0＜a＜1）
图象
性质 定义域： 　（0，＋∞）　.
值域： 　R　.
图象过定点 　（1，0）　，即恒有loga1＝0.
当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0. 当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0.
在（0，＋∞）上单调递 　增　. 在（0，＋∞）上单调递 　减　.
规律总结
1.对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，
－1），函数图象只在第一、四象限.
2.如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右对数函数的底数逐渐增大.
注意　当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.
3.反函数
指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线 　y＝x　对称（如图所示）.反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域，互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性.
1.[全国卷Ⅰ]设alog34＝2，则4－a＝（　B　）
A. B. C. D.
解析　解法一　因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.
解法二　因为alog34＝2，所以a＝＝＝log49，所以4a＝9，所以4－a＝＝，故选B.
2.[多选]以下说法正确的是（　CD　）
A.若MN＞0，则loga（MN）＝logaM＋logaN
B.对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数
C.函数y＝ln 与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同
D.对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，0）且过点（a，1）,（，
－1），函数图象只在第一、四象限
3.lg 25＋lg 2·lg 50＋（lg 2）2＝　2　.
4.若loga＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是　（0，）∪（1，＋∞）　.
5.设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为　12　.
6.[2023北京高考]已知函数f（x）＝4x＋log2x，则f（）＝　1　.
解析　因为f（x）＝4x＋log2x，所以f（）＝＋log2＝2＋log22－1＝2－1＝1.
研透高考 明确方向
命题点1　对数的运算
例1 （1）[2022天津高考]化简（2log43＋log83）（log32＋log92）的值为（　B　）
A.1 B.2 C.4 D.6
解析　（2log43＋log83）（log32＋log92）＝（2lo3＋3）×（log32＋2）＝（log23＋log23）（log32＋log32）＝×log23××log32＝2，故选B.
（2）[2022浙江高考]已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝（　C　）
A.25 B.5 C. D.
解析　由2a＝5得a＝log25.又b＝log83＝＝log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4，所以4a－3b＝＝，故选C.
方法技巧
对数运算的一般思路
（1）转化：①利用ab＝N b＝logaN（a＞0且a≠1）对题目条件进行转化；②利用换底公式化为同底数的对数运算.
（2）利用恒等式：loga1＝0，logaa＝1，logaaN＝N，＝M.
（3）拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算性质化简.
（4）合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.
训练1 （1）[2024江苏省如皋市教学质量调研]我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lg N＝n＋lg a（0≤lg a＜1）.当n＞0时，N是n＋1位数，则41 000是（　C　）位数.（lg 2≈0.301 0）
A.601 B.602 C.603 D.604
解析　由lg41 000＝lg22 000＝2 000lg 2≈2 000×0.301 0＝602＝602＋lg 1，得n＝602，所以41 000是603位数.故选C.
（2）[2024山东泰安第二中学模拟]（2＋＋2log32－log3－＝　－　.
解析　原式＝[（）3＋log34－log3－＝（）－2＋log39－3 ＝＋2－3＝－.
命题点2　对数函数的图象及应用
例2 （1）[浙江高考]在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga（x＋）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（　D　）
A B
C D
解析　若0＜a＜1，则函数y＝是增函数，y＝loga（x＋）是减函数且其图象过点（，0），结合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝是减函数，而y＝loga（x＋）是增函数且其图象过点（，0），结合选项可知，没有符合的图象.故选D.
（2）已知当0＜x≤时，有＜logax，则实数a的取值范围为　（，1）　.
解析　若＜logax在x∈（0，]时成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，作出y＝，y＝logax的图象如图所示.由图象知＜loga，所以解得＜a＜1.故实数a的取值范围是（，1）.
方法技巧
与对数函数有关的图象问题的求解策略
1.对于图象的识别，一般通过观察图象的变化趋势、利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.
2.对于对数型函数的图象，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.
训练2 （1）[多选/2024辽宁省部分学校模拟]已知ax＝b－x（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数y＝loga（－x）与y＝bx的图象可能是（　AB　）
解析　因为ax＝b－x，即ax＝（）x，所以a＝，当a＞1时，0＜b＜1，函数y＝bx在R上单调递减，且过点（0，1），因为y＝logax与y＝loga（－x）的图象关于y轴对称，故y＝loga（－x）在（－∞，0）上单调递减且过点（－1，0），故A符合题意.
当0＜a＜1时，b＞1，函数y＝bx在R上单调递增，且过点（0，1），y＝loga（－x）在（－∞，0）上单调递增且过点（－1，0），故B符合题意.故选AB.
（2）[2024安徽省皖江名校联考]已知函数f（x）＝设a，b，c，d是四个互不相同的实数，且满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范围是　（4，＋∞）　.
解析　作出函数f（x）的图象，如图所示，易知f（x）图象关于y轴对称.
设f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m（m＞0），且a＞b＞c＞d，作直线y＝m，则由图象得0＜b＜1＜a，则由题意知，log3a＝
－log3b，且a＝－d，b＝－c，所以ab＝1，即b＝，则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜＝
2（a＋b）＝2（a＋）＞4，所以｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范围是（4，＋∞）.
命题点3　对数函数的性质及应用
角度1　比较大小
例3 （1）[2021新高考卷Ⅱ]若a＝log52，b＝log83，c＝，则（　C　）
A.c＜b＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c
解析　a＝log52＝log5＜log5＝＝c，b＝log83＝log8＞log8＝＝c，所以a＜c＜b.故选C.
（2）[2024天津市蓟州区第一中学模拟]已知函数f（x）在R上是增函数，若a＝
f（log2），b＝f（log24.1），c＝f（20.5），则a，b，c的大小关系为（　A　）
A.a＜c＜b B.b＜a＜c
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
解析　log2＝－log25＜－log24＝－2，log24.1＞log24＝2，20.5＝∈（1，2），故log2＜20.5＜log24.1.由于f（x）在R上是增函数，故f（log2）＜f（20.5）＜f（log24.1），所以a＜c＜b.故选A.
方法技巧
比较对数值大小的常用方法
1.底数相同时，比较真数的大小；真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的形式，再比较大小，也可以借助对数函数的图象比较大小.
2.当底数和真数都不相同时，常借助0，1或题干中出现的有理数等中间量比较大小，也可以通过作差或者作商比较大小.
角度2　解对数方程或不等式
例4 （1）[2024湘豫名校联考]已知函数f（x）＝log2｜x｜＋x2，则不等式f（ln x）＋
f（－ln x）＜2的解集为（　D　）
A.（，1） B.（，e）
C.（1，e） D.（，1）∪（1，e）
解析　由题可知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），∴ln x≠0.
∵f（－x）＝log2｜－x｜＋（－x）2＝log2｜x｜＋x2＝f（x），
∴f（x）是偶函数，∴由f（ln x）＋f（－ln x）＜2可得2f（ln x）＜2，即f（ln x）＜1.
当x＞0时，f（x）＝log2x＋x2.
∵y＝log2x和y＝x2在（0，＋∞）上都是单调递增的，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（1）＝1，∴｜ln x｜＜1且ln x≠0，∴＜x＜e且x≠1，所以原不等式的解集为（，1）∪（1，e）.故选D.
（2）[2024江苏省淮安市五校联考]已知x＝－，y＝＋，则的值为（　B　）
A. B.
C.＋1 D.－1
解析　令log6x＝m，log4y＝n，则x＝6m，y＝4n.
由x＝－，y＝＋可得6m＝4m－9m，4n＝9n＋6n，
进而可得（）m＝1－（）2m，故（）m＋（）2m＝1，同理得（）2n＋（）n＝1，所以（）m与（）n均为方程t2＋t－1＝0的实数根，
由t2＋t－1＝0，解得t＝或t＝，
因为（）m＞0，（）n＞0，
所以（）m＝（）n＝.
由于函数y＝（）x为增函数，所以m＝n，＝＝（）m＝，故选B.
方法技巧
1.（1）logaf（x）＝b f（x）＝ab（a＞0，且a≠1）.
（2）logaf（x）＝logag（x） f（x）＝g（x）（f（x）＞0，g（x）＞0）.
2.解简单对数不等式，先统一底数，化为形如logaf（x）＞logag（x）的不等式，再借助y＝logax的单调性求解.
角度3　对数函数性质的应用
例5 （1）[全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（　D　）
A.是偶函数，且在（，＋∞）单调递增
B.是奇函数，且在（－，）单调递减
C.是偶函数，且在（－∞，－）单调递增
D.是奇函数，且在（－∞，－）单调递减
解析　由得函数f（x）的定义域为（－∞，－）∪（－，）∪（，
＋∞），其关于原点对称，因为f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除A，C.当x∈
（－，）时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函数f（x）单调递增，排除B.当x∈（－∞，－）时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln＝ln（1＋），易知函数f（x）单调递减，故选D.
（2）[全国卷Ⅰ]若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则（　B　）
A.a＞2b B.a＜2b
C.a＞b2 D.a＜b2
解析　令f（x）＝2x＋log2x，因为y＝2x在（0，＋∞）上单调递增，y＝log2x在（0，
＋∞）上单调递增，所以f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增.又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2（2b），所以f（a）＜f（2b），所以a＜2b.故选B.
方法技巧
对数型复合函数的单调性问题的求解策略
（1）对于y＝logaf（x）型的复合函数的单调性，有以下结论：函数y＝logaf（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）＞0）的单调性在a＞1时相同，在0＜a＜1时相反.
（2）研究y＝f（logax）型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f（t）的单调性即可.
注意　研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错.
训练3 （1）[2024河南名校联考]“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋）在区间（2，＋∞）上单调递增”的（　A　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　二次函数y＝x2－ax＋图象的对称轴为x＝，若函数f（x）＝ln（x2－ax＋）在区间（2，＋∞）上单调递增，则根据复合函数的单调性可得即a≤，故“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋）在区间（2，＋∞）上单调递增”的充分不必要条件.故选A.
（2）[2024河南商丘高三名校联考]已知a＝log64，b＝log53，c＝log76，则（　B　）
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
解析　由题意得a，b，c∈（0，1），
∵log64·log67＜（）2＝（）2＜1，
∴log64＜＝log76，即a＜c.
∵a＝log64＝log6＞log6＝，b＝log53＝log5＜log5＝，∴a＞b.综上所述，可得b＜a＜c.故选B.
（3）[2024湖北名校联考改编]已知奇函数f（x）＝lg（k≠1），则不等式－1＜f（x）＜lg的解集为　（，）　.
解析　因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＋f（x）＝lg＋lg＝lg＝0，所以k2＝1.因为k≠1，所以k＝－1，则由－1＜f（x）＜lg，得lg＜lg＜lg，所以＜＜，解得＜x＜.第6讲　函数的图象
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数，理解函数图象的作用. 作函数的图象 本讲是高考的一个热点，主要考查函数图象的识别和应用，题型以选择题为主，中档难度.在2025年高考备考过程中要掌握数形结合思想，并能灵活应用.
函数图象的识别 2023天津T4；2022全国卷乙T8；2022全国卷甲T5；2019全国卷ⅠT5；2019全国卷ⅢT7
函数图象的应用 2020北京T6
1.利用描点法作函数的图象
2.利用图象变换法作函数的图象
平移变换 y＝f（x）的图象y＝f（x＋a）的图象.
y＝f（x）的图象y＝①　f（x－a）　的图象.
y＝f（x）的图象y＝f（x）＋h的图象.
y＝f（x）的图象y＝②　f（x）－h　的图象.
对称变换 y＝f（x）的图象y＝－f（x）的图象.
y＝f（x）的图象y＝③　f（－x）　的图象.
y＝f（x）的图象y＝f（x）的反函数的图象.
y＝f（x）的图象y＝④　－f（－x）　的图象.
翻折变换 y＝f（x）的图象y＝｜f（x）｜的图象.
y＝f（x）的图象y＝⑤　f（｜x｜）　的图象.
伸缩变换 y＝f（x）的图象y＝f（ax）的图象.
y＝f（x）的图象y＝⑥　Af（x）　的图象.
注意　（1）平移变换，基本原则是“左加右减”“上加下减”.“左加右减”只针对x本身，若x的系数不是1，需先将系数变为1后，再进行变换.
（2）对称变换的对称是指两个函数的图象之间的关系，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征.
常用结论
1.函数图象自身的对称性
（1）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称.特别地，若f（a＋x）＝f（a－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称.
（2）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋kx）＝f（b－kx）（k≠0），则函数
f（x）的图象关于直线x＝对称，函数f（kx）的图象关于直线x＝对称.
（3）函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）中心对称 f（a＋x）＝2b－f（a－x） f（x）＝2b－f（2a－x）.特别地，若f（a＋x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
2.两个函数图象之间的对称关系
（1）函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线x＝对称（由a＋x＝b－x得对称轴方程）.
（2）函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b）对称.
1.下列说法正确的是（　D　）
A.函数y＝f（1－x）的图象可由y＝f（－x）的图象向左平移1个单位长度得到
B.函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称
C.当x∈（0，＋∞）时，函数y＝f（｜x｜）的图象与y＝｜f（x）｜的图象相同
D.若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
解析　y＝f（1－x）可由y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到，A错误；y＝
f（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，B错误.令f（x）＝－x，当x∈（0，＋∞）时，y＝｜f（x）｜＝x，y＝f（｜x｜）＝－x，两者图象不同，C错误.易知D正确.
2.函数y＝的图象是（　C　）
A 　　B 　　　C D
解析　x＜0时，图象单调递减，x≥0时，图象单调递增，且函数图象过点（0，－1），易知C正确.
3.[全国卷Ⅲ]下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是（　B　）
A.y＝ln（1－x） B.y＝ln（2－x） C.y＝ln（1＋x） D.y＝ln（2＋x）
解析　设f（x）＝ln x，易知函数f（2－x）与f（x）的图象关于直线x＝1对称，f（2－x）＝ln（2－x），故选B.
4.[2024北京师范大学附属实验中学模拟]要得到函数y＝的图象，只需将函数y＝的图象（　A　）
A.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析　y＝＝＝1＋，故将y＝的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到y＝的图象.故选A.
5.[2024江西省部分学校联考]将二次函数y＝3（x＋1）2－2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则a＋b＋c＝　2　.
解析　由题意可得ax2＋bx＋c＝3（x－2＋1）2－2＋4＝3x2－6x＋5，所以a＝3，b＝－6，c＝5，则a＋b＋c＝2.
研透高考 明确方向
命题点1　作函数的图象
例1 分别画出下列函数的图象：
（1）y＝2x＋1－1；
（2）y＝｜lg（x－1）｜；
（3）y＝x2－｜x｜－2.
解析　（1）将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1所示.
图1 图2
（2）首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图2所示（实线部分）.
（3）y＝x2－｜x｜－2＝其图象如图所示.
方法技巧
作函数的图象的策略
（1）熟练掌握几种基本初等函数的图象.
（2）若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.
训练1 分别画出下列函数的图象：
（1）y＝（）｜x｜；（2）y＝.
解析　（1）先作出y＝（）x的图象，再去掉y轴左侧图象，并将y轴右侧图象翻折到y轴左侧，y轴上及右侧图象不变，即得y＝（）｜x｜的图象，如图中实线部分所示.
（2）y＝＝2－的图象可由y＝－的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示.
命题点2　函数图象的识别
角度1　知式选图或知图选式
例2 （1）[2022全国卷甲]函数y＝（3x－3－x）·cos x在区间[－，]的图象大致为（　A　）
A B
C D
解析　解法一（特值法）　取x＝1，则y＝（3－）cos 1＝cos 1＞0；取x＝－1，则y＝（－3）cos（－1）＝－cos 1＜0.结合选项知选A.
解法二　令y＝f（x），则f（－x）＝（3－x－3x）cos（－x）＝－（3x－3－x）cos x＝
－f（x），所以函数y＝（3x－3－x）cos x是奇函数，且当x∈（0，）时，3x－3－x＞0，
cos x＞0，故f（x）＞0，故选A.
（2）[2022全国卷乙]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是（　A　）
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝
解析　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当x＞0时，y＝＝，因为x＋≥2，当x＝1时取等号，所以y≤cosx≤1，与图象在y轴右侧最大值大于1不符，所以排除C.故选A.
方法技巧
识别函数图象的主要方法有：（1）利用函数的定义与性质，如定义域、奇偶性、单调性等判断；（2）利用函数的零点、极值点等判断；（3）利用特殊函数值判断.
角度2　借助动点探究函数图象
例3 如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝
f（x）的图象大致为（　B　）
A B
C D
解析　由题易知f（0）＝2，f（）＝1＋，f（）＝2＜f（），可排除选项C，D；当点P在边BC上时，f（x）＝BP＋AP＝tan x＋（0≤x≤），不难发现f（x）的图象是非线性的，排除选项A，故选B.
方法技巧
借助动点探究函数图象的两种方法
（1）定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.
（2）定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同位置时图象的变化特征，从而作出选择.
训练2 （1）[2024重庆七校联考]函数f（x）＝·cos（＋x）的部分图象大致是（　C　）
解析　因为f（x）＝·cos（＋x）＝·sin x的定义域为R，且f（－x）＝·
sin（－x）＝－·sin x＝·sin x＝f（x），所以f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，D；当0＜x＜π 时，＜0，sin x＞0，所以f（x）＝·sin x＜0，故选项A错误，选项C正确.故选C.
（2）如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右平行移动（与线段AB有公共点）时，l把四边形ABCD分成两部分.设AE＝x，l左侧的面积为y，则y关于x的图象大致是（　C　）
解析　当l从左至右移动时，一开始l左侧面积的增加速度越来越快，过了D点后l左侧面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后l左侧面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.
命题点3　函数图象的应用
角度1　研究函数性质
例4 已知函数f（x）＝x｜x｜－2x，则下列结论正确的是（　C　）
A.f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）
B.f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）
C.f（x）是奇函数，递减区间是（－1，1）
D.f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）
解析　由题意得f（x）＝画出函数f（x）的图象，如图所示，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数
f（x）为奇函数，且在（－1，1）上单调递减.故选C.
角度2　解不等式（或方程）
例5 （1）[北京高考]已知函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集是（　D　）
A.（－1，1） B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
C.（0，1） D.（－∞，0）∪（1，＋∞）
解析　函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集即2x＞x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象，如图所示，结合图象易得2x＞x＋1的解集为（－∞，0）∪（1，
＋∞）.故选D.
（2）设f（x）＝｜lg（x－1）｜，若1＜a＜b且f（a）＝f（b），则ab的取值范围是　（4，＋∞）　.
解析　画出函数f（x）＝｜lg（x－1）｜的图象，如图所示.由1＜a＜b且f（a）＝f（b）可得－lg（a－1）＝lg（b－1），解得ab＝a＋b＞2（由于a＜b，故取不到等号），所以ab＞4.
角度3　求参数范围
例6 [2024福建三明第一中学模拟]已知函数f（x）＝若实数a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a＋b＋c的取值范围是（　A　）
A.（2，2 025） B.（2，2 025]
C.（2，2 024） D.（2，2 024]
解析　函数f（x）＝的图象如图所示，
不妨令a＜b＜c，由f（a）＝f（b）＝f（c）及正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，1＜c＜
2 024，所以2＜a＋b＋c＜2 025.故选A.
方法技巧
函数图象的应用，实质是数形结合思想的应用.
（1）研究函数的性质可借助函数图象的对称性、走向趋势、最高点、最低点等进行分析；
（2）不等式问题可转化为图象的上下位置关系问题；
（3）函数零点或方程根的问题可转化为函数图象的交点问题.
训练3 （1）把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，所得图象对应的函数在（0，＋∞）上单调递增，则a的最大值为（　B　）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，得到函数g（x）＝
ln｜x＋2－a｜的图象，则函数g（x）在（a－2，＋∞）上单调递增，又因为所得函数在（0，＋∞）上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2，所以a的最大值为2.
（2）已知函数f（x）＝则f（x）≤x的解集为（　C　）
A.（－∞，0] B.（－1，0]
C.（－1，0]∪[1，＋∞） D.[1，＋∞）
解析　作出函数y＝f（x）与y＝x的图象，如图.
结合图象知不等式f（x）≤x的解集为（－1，0]∪[1，＋∞），故选C.
（3）已知函数f（x）＝若方程f（x）＝－2x＋a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是　（－∞，1]　.
解析　方程f（x）＝－2x＋a有两个不同的实数根，即方程f（x）＋x＝－x＋a有两个不同的根，等价于函数y＝f（x）＋x与函数y＝－x＋a的图象有两个不同的交点.
因为f（x）＝
所以y＝f（x）＋x＝
作出函数y＝f（x）＋x与y＝－x＋a的大致图象，如图所示.
数形结合可知，当a≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，即方程f（x）＝－2x＋a有两个不同的实数根.第7讲　函数的零点与方程的解
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.了解函数零点与方程解的关系. 2.了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性. 判断函数零点所在区间 本讲是高考的热点，主要考查函数是否存在零点，判断函数的零点个数，利用零点（方程实根）的存在情况求相关参数的范围，题型以选择题、填空题为主，有时与导数等知识综合考查，一般难度较大.备考时，要掌握函数零点存在定理及数形结合思想.
判断函数的零点个数 2021北京T15；2019全国卷ⅢT5
函数零点的应用 2023天津T15；2022天津T15；2020天津T9；2019浙江T9
1.函数零点的概念
对于函数y＝f（x），我们把使①　f（x）＝0　的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.
注意　零点不是点，是满足f（x）＝0的实数x.
2.三个等价关系
3.零点存在定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有④　f（a）·f（b）＜0　，那么，函数y＝f（x）在区间⑤　（a，b）　内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得⑥　f（c）＝0　，这个c也就是方程f（x）＝0的解.
注意　（1）函数的零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点.
（2）对于连续函数f（x），在[a，b]上，f（a）·f（b）＜0是f（x）在（a，b）上存在零点的充分不必要条件.
规律总结
（1）若图象连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则函数f（x）至多有一个零点.
（2）图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值同号.
4.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）·f（b）＜0 的函数y＝f（x），通过不断地把它的⑦　零点　所在区间⑧　一分为二　，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
思维拓展
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤：
1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0.
2.求区间（a，b）的中点c.
3.计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
（1）若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；
（2）若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；
（3）若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c.
4.判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2～4.
1.下列说法正确的是（　D　）
A.函数的零点就是函数的图象与x轴的交点
B.若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0
C.二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac≤0时没有零点
D.函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数解
2.函数y＝－ln x的零点所在区间是（　B　）
A.（3，4） B.（2，3） C.（1，2） D.（0，1）
解析　因为y＝在（0，＋∞）上单调递减，y＝－ln x在（0，＋∞）上单调递减，所以函数y＝－ln x在（0，＋∞）上单调递减.又当x＝2时，y＝－ln 2＞0；当x＝3时，y＝1－ln 3＜0，两函数值异号，所以函数y＝－ln x的零点所在区间是（2，3）.
3.已知函数f（x）＝则f（x）的零点为　－2，e　.
解析　当x≤0时，由x2＋x－2＝0，得x＝－2.当x＞0时，由－1＋ln x＝0，得x＝e.所以
f（x）的零点为－2，e.
4.已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有　3　个.
解析　依题意，f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，根据零点存在定理可知，
f（x）在区间（2，3），（3，4），（4，5）上均至少含有1个零点，故函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有3个.
研透高考 明确方向
命题点1　判断函数零点所在区间
例1 （1）[2024海南模拟]函数f（x）＝x＋sin x－2的零点所在区间为（　B　）
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
解析　因为f'（x）＝1＋cos ≥0，所以f（x）在定义域内单调递增.因为f（1）＝－1＋
sin 1＜0，f（2）＝sin 2＞0，所以函数f（x）的零点在（1，2）内.故选B.
（2）函数f（x）＝log3x＋x－2的零点所在的区间为 （　B　）
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
解析　解法一　函数f（x）＝log3x＋x－2的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，
＋∞）上单调递增.由题意知f（1）＝－1＜0，f（2）＝log32＞0，根据零点存在定理可知，函数f（x）＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间（1，2）内.故选B.
解法二　将判断函数f（x）的零点所在的区间转化为判断函数g（x）＝log3x，h（x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（1，2）.故选B.
方法技巧
确定函数零点所在区间的常用方法
（1）利用函数零点存在定理：先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.
（2）数形结合法：画函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，也可转化为观察两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
训练1 若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　A　）
A.（a，b）和（b，c）内
B.（－∞，a）和（a，b）内
C.（b，c）和（c，＋∞）内
D.（－∞，a）和（c，＋∞）内
解析　因为f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝
（c－a）（c－b）＞0，所以f（a）·f（b）＜0，f（b）·f（c）＜0，所以函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b）和（b，c）内.故选A.
命题点2　判断函数的零点个数
例2 （1）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为（　B　）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析　f（x）＝2sin x－2sin xcosx＝2sin x（1－cos x），令f（x）＝0，则sin x＝0或cos x＝1，所以x＝kπ（k∈Z），又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B.
（2）[2024江苏苏州常熟中学模拟]设定义域为R的函数f（x）＝则关于x的函数y＝2f2（x）－3f（x）＋1的零点的个数为（　B　）
A.3 B.7 C.5 D.6
解析　根据题意，令2f2（x）－3f（x）＋1＝0，得f（x）＝1或f（x）＝.作出y＝
f（x），y＝1，y＝的图象，如图所示，
由图象可得f（x）的图象与直线y＝1和y＝分别有3个和4个交点，故关于x的函数y＝2f2（x）－3f（x）＋1的零点的个数为 7.
方法技巧
判断函数零点个数的方法
（1）直接法：令f（x）＝0，解方程可得.
（2）利用函数的零点存在定理：利用函数的零点存在定理结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）判断.
（3）图象法：将判断函数f（x）零点个数转化为判断函数f（x）的图象与x轴交点的个数，或将函数f（x）拆成两个函数h（x）和g（x）的差的形式，判断函数y＝h（x）和y＝g（x）的图象的交点个数.
训练2 （1）定义在R上的函数y＝f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且x∈[－1，1]时，
f（x）＝1－x2.若函数g（x）＝则函数h（x）＝f（x）－g（x）在区间
[－6，6]内的零点个数为（　B　）
A.14 B.13 C.12 D.11
解析　易得函数y＝f（x）是周期为2的函数，因为x∈[－1，1]时，f（x）＝1－x2，所以作出y＝f（x）的图象，如图所示.
再作出函数g（x）＝的图象，容易得出所求交点为13个.故选B.
[2023河南省部分学校押题信息卷]设f（x）是定义在R上且周期为5的奇函数，
f（3）＝0，则f（x）在[0，10]内的零点个数最少是（　D　）
A.4 B.6 C.7 D.9
解析　因为f（x）是定义在R上且周期为5的奇函数，所以f（0）＝f（5）＝f（10）＝0.又f（3）＝0，所以f（3）＝f（8）＝0，f（－3）＝f（2）＝f（7）＝0.f（－）＝
－f（），f（－）＝f（－＋5）＝f（），所以f（－）＝f（）＝0，f（）＝f（＋5）＝f（）＝0，故零点至少有0，2，，3，5，7，8，，10，则f（x）在[0，10]内的零点个数最少是9.故选D.
命题点3　函数零点的应用
角度1　根据函数零点个数求参数的范围
例3 函数f（x）＝g（x）＝kx－3k，若函数f（x）与g（x）的图象有三个交点，则实数k的取值范围为（　D　）
A.（2－6，0） B.（2－6，0）
C.（－2，0） D.（2－6，0）
解析　作出函数f（x）＝的图象，如图所示.g（x）＝kx－3k＝k（x－3），故g（x）过定点（3，0），设过（3，0）且与y＝4－x2相切的直线为l，切点为P（x0，4－），x0＜2，因为y'＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0＝，解得x0＝3－或x0＝3＋（舍去），所以切线的斜率k＝2－6，由图象知，要想函数f（x）与g（x）的图象有三个交点，则实数k的取值范围为（2－6，0）.
角度2　根据函数零点的范围求参数的范围
例4 已知函数f（x）＝3x－.若存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（　B　）
A.（－∞，） B.（0，）
C.（－∞，0） D.（，＋∞）
解析　由f（x）＝3x－＝0，可得a＝3x－.令g（x）＝3x－，x∈（－∞，－1）.由于存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则函数g（x）的值域即为实数a的取值范围.因为函数y＝3x和y＝－在区间（－∞，－1）上均单调递增，所以函数g（x）在（－∞，－1）上单调递增，所以g（x）＝3x－＜3－1＋1＝，且g（x）＝3x－＞0，所以函数
g（x）的值域为（0，），因此，实数a的取值范围是（0，），故选B.
方法技巧
已知函数零点情况求参数取值范围的方法
（1）直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围.
（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题.
（3）数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，最后数形结合求解.
角度3　函数零点（或方程根）的和
例5 [2023广东六校第一次联考]定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＋f（x）＝0，
f（x）＝f（2－x）；且当x∈[0，1]时，f（x）＝x3－x2＋x.则方程7f（x）－x＋2＝0所有的根的和为（　A　）
A.14 B.12 C.10 D.8
解析　由f（－x）＋f（x）＝0，f（x）＝f（2－x）可得f（x）为奇函数，且图象关于直线x＝1对称，且易得f（x）的周期为4.
当x∈[0，1]时，f（x）＝x3－x2＋x，此时f'（x）＝3x2－2x＋1＝3（x－）2＋＞0，故
f（x）＝x3－x2＋x在[0，1]上单调递增.综上，可画出y＝f（x）的部分图象如图所示.
方程7f（x）－x＋2＝0的根，即y＝f（x）与y＝（x－2）的图象的交点的横坐标，作出直线l：y＝（x－2），易知直线l也关于点（2，0）对称且y＝f（x）与l的图象在区间
[－5，2），（2，9]上均有3个交点，且关于点（2，0）对称，加上点（2，0）共7个交点，所以方程7f（x）－x＋2＝0所有的根的和为3×2×2＋2＝14.故选A.
方法技巧
解函数零点（或方程根）的和的问题的方法
（1）把函数零点转化为方程的根，通过解方程，求出方程的所有根，再求出这些根的和.
（2）作出函数的草图，通过函数的图象的对称性，得出函数零点的对称性，从而求出这些零点的和.
训练3 （1）[2023湖北省沙市中学模拟]若函数f（x）＝ln x＋x2＋a－1在区间（1，e）内有零点，则实数a的取值范围是（　A　）
A.（－e2，0） B.（－e2，1）
C.（1，e） D.（1，e2）
解析　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），因为函数y＝ln x与y＝x2在（0，＋∞）上均单调递增，所以函数f（x）＝ln x＋x2＋a－1在（0，＋∞）上单调递增，则由函数f（x）在区间（1，e）内有零点知f（1）f（e）＜0，即a（e2＋a）＜0，解得－e2＜a＜0，故选A.
（2）[2024江西抚州模拟]已知函数f（x）＝则函数g（x）＝
[f（x）]2－f[f（x）]的所有零点之和为（　D　）
A.2 B.3 C.0 D.1
解析　令t＝f（x），则h（t）＝t2－f（t），令h（t）＝0，可得t2＝f（t），当t＞0时，由t2＝f（t），可得t2＝（t－2）2，即－4t＋4＝0，解得t＝1；当t＜0时，由t2＝f（t），可得t2＝2t＋3，即t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3（舍去），所以t＝±1，即f（x）＝±1.当x＞0时，令（x－2）2＝1或（x－2）2＝－1（舍去），解得x＝1或x＝3；当x＜0时，令2x＋3＝1或2x＋3＝－1，解得x＝－1或x＝－2，所以函数g（x）＝[f（x）]2－
f[f（x）]的零点之和为1＋3－1－2＝1.故选D.
（3）[多选/2023廊坊模拟]已知函数f（x）＝｜x2＋3x＋1｜－a｜x｜，则下列结论正确的是（　AC　）
A.若f（x）没有零点，则a∈（－∞，0）
B.若f（x）恰有2个零点，则a∈（1，5）
C.若f（x）恰有3个零点，则a＝1或a＝5
D.若f（x）恰有4个零点，则a∈（5，＋∞）
解析　f（0）＝1≠0，所以x＝0不是f（x）的零点；当x≠0时，由f（x）＝0，整理得a＝｜x＋＋3｜，令g（x）＝｜x＋＋3｜，则函数f（x）的零点个数即为函数g（x）＝｜x＋＋3｜的图象与直线y＝a的交点个数，作出函数g（x）＝｜x＋＋3｜的大致图象（如图）.
由图可知，若f（x）没有零点，则a∈（－∞，0），故A正确；
若f（x）恰有2个零点，则a∈{0}∪（1，5），故B不正确；
若f（x）恰有3个零点，则a＝1或a＝5，故C正确；
若f（x）恰有4个零点，则a∈（0，1）∪（5，＋∞），故D不正确.故选AC.第8讲　函数模型的应用
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义. 利用函数图象刻画实际变化过程 2022北京T7；2020北京T15 本讲主要考查实际情境载体下的数学模型的构建及应用，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式综合命题，各种题型均有可能，属中档题.在2025年高考备考的过程中要注重对情境创新试题的训练，并能构建模型解决问题.
已知函数模型求解实际问题 2023新高考卷ⅠT10；2021全国卷甲T4；2020新高考卷ⅠT6；2020全国卷ⅢT4
构造函数模型求解实际问题
1.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f（x）＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）
二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
反比例函数模型 f（x）＝＋b（k，b为常数，k≠0）
指数函数模型 f（x）＝abx＋c（a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）
对数函数模型 f（x）＝mlogax＋n（m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1）
幂函数模型 f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠1）
对勾函数模型 f（x）＝ax＋（a＞0，b＞0）
2.指数、对数、幂函数模型性质的比较
y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝xn（n＞0）
在（0，＋∞）上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越①　快　 越来越②　慢　 随n值变化而各有不同
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与③　y　轴平行 随x的增大逐渐表现为与④　x　轴平行 随n值变化而各有不同
联系 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
1.下列说法正确的是（　D　）
A.函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大
B.幂函数增长比一次函数增长更快
C.某种商品进价为每件100元，按进价增加10％后出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利
D.在（0，＋∞）上，随着x的增大，y＝ax（a＞1）的增长速度会超过并远远大于y＝xα（α＞0）的增长速度
2.已知f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是（　B　）
A.f（x）＞g（x）＞h（x） B.g（x）＞f（x）＞h（x）
C.g（x）＞h（x）＞f（x） D.f（x）＞h（x）＞g（x）
3.[2021全国卷甲]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（≈1.259）（　C　）
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
解析　由题可知，4.9＝5＋lg V lgV＝－0.1 V＝1＝≈≈0.8，故选C.
4.[2023湖南省株洲市模拟]“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是（　C　）
A.y＝log0.95x B.y＝log0.995x C.y＝log1.005x D.y＝log1.05x
解析　由题意得x＝（1＋）y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x，故选C.
研透高考 明确方向
命题点1　利用函数图象刻画实际变化过程
例1 [北京高考]为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是　①②③　.
解析　由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；甲企业污水排放量与时间的关系图象在t2时刻切线的斜率的绝对值大于乙企业，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]这段时间的污水治理能力最强，故④错误.
方法技巧
判断函数图象与实际变化过程是否吻合的方法
（1）构建函数模型法：若易构建函数模型，则先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.
（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
训练1 [多选/2023江西省宜春市模拟]周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分）之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（　ABD　）
A.乙的速度为300米/分
B.25分钟后甲的速度为400米/分
C.乙比甲晚14分钟到达B地
D.A，B两地之间的路程为29 400米
解析　因为乙比甲早出发5分钟，由题图知乙的速度为＝300（米/分），故选项A正确；设甲的原速度为v，由题图可知25×300－（25－5）v＝2 500，解得v＝250米/分，所以25分钟后甲的速度为250×＝400（米/分），故选项B正确；根据题图知，当x＝86时，甲到达B地，此时乙距离B地还有250×20＋400×（86－25）－300×86＝3 600（米），＝12（分），所以乙比甲晚12分钟到达B地，故选项C不正确；利用甲行驶的路程计算可得，A，B两地之间的路程为300×（86＋12）＝29 400（米），故选项D正确.故选ABD.
命题点2　已知函数模型求解实际问题
例2 （1）[2024武汉部分学校调考]某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为N＝N0e－kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数.若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30％，则可计算前6个小时共能过滤掉污染物的（　C　）
A.49％ B.51％ C.65.7％ D.72.9％
解析　当t＝2时，（1－30％）N0＝N0e－2k，所以0.7N0＝N0e－2k，所以e－2k＝0.7.当t＝6时，N＝N0e－6k＝N0＝0.73N0＝0.343N0，所以前6个小时共能过滤掉污染物的＝65.7％，故选C.
（2）[多选/2023新高考卷Ⅰ]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（　ACD　）
A.p1≥p2 B.p2＞10p3
C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
解析　由已知，知60≤20×lg≤90，解得1 000p0≤p1≤10 000P0；50≤20×lg≤60，解得100p0≤p2≤1 000p0；20×lg＝40，解得p3＝100p0.易知A，C正确.10p3＝1 000p0≥p2，故B错误.100p2≥10 000p0≥p1.故D正确.
方法技巧
已知函数模型求解实际问题的步骤
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数；
（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
训练2 [2024贵州黔东南模拟]已知超市内某商品的日销量y（单位：件）与当日销售单价x（单位：元）满足关系式y＝－2x＋100，其中10＜x＜55，a为常数.当该商品的销售单价为15元时，日销量为110件.若该商品的进价为每件10元，则超市该商品的日利润最大为（　C　）
A.1 500元 B.1 200元
C.1 000元 D.800元
解析　将x＝15，y＝110代入y＝－2x＋100，得a＝200.若该商品的进价为每件10元，则超市该商品的日利润为g（x）＝（x－10）（－2x＋100）＝－2x2＋120x－800＝－2（x－30）2＋1 000，其中10＜x＜55，所以当x＝30时，超市该商品的日利润取得最大值，且最大值为1 000元，故选C.
命题点3　构造函数模型求解实际问题
例3 （1）[2024四川省叙永一中模拟]净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式的，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80 mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L，则PP棉滤芯的层数最少为（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（　A　）
A.10 B.9 C.8 D.7
解析　设经过n层PP棉滤芯过滤后水中的大颗粒杂质含量为y，则y＝80×（1－）n＝80×（）n，令80×（）n≤2，解得（）n≤，两边取常用对数得nlg≤lg，即nlg≥lg 40，即n（lg 3－lg 2）≥1＋2lg 2.因为lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，所以（0.477－0.301）n≥1.602，解得n≥9.102，因为n∈N*，所以n的最小值为10.故选A.
（2）[2023南昌市模拟]某市出台两套出租车计价方案，方案一：2千米及2千米以内收费8元（起步价），超过2千米的部分每千米收费3元，不足1千米按1千米计算；方案二：3千米及3千米以内收费12元（起步价），超过3千米不超过10千米的部分每千米收费2.5元，超过10千米的部分每千米收费3.5元，不足1千米按1千米计算.以下说法正确的是（　C　）
A.方案二比方案一更优惠
B.乘客甲打车行驶4千米，他应该选择方案二
C.乘客乙打车行驶12千米，他应该选择方案二
D.乘客丙打车行驶16千米，他应该选择方案二
解析　设乘客打车行驶x千米，f（x）为按照方案一收费的费用，g（x）为按照方案二收费的费用，[x]为不超过实数x的最大整数，
则f（x）＝
g（x）＝
对于A，当x＝1时，f（1）＝8，g（1）＝12，此时选择方案一更优惠，所以A错误；对于B，因为f（4）＝14，g（4）＝14.5，f（4）＜g（4），所以乘客甲应选择方案一，所以B错误；对于C，因为f（12）＝38，g（12）＝36.5，f（12）＞g（12），所以乘客乙应选择方案二，所以C正确；对于D，因为f（16）＝50，g（16）＝50.5，f（16）＜g（16）
，所以乘客丙应选择方案一，所以D错误.故选C.
方法技巧
构建函数模型解决实际问题的步骤
（1）建模：抽象出实际问题的数学模型；
（2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
（3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解.
训练3 [2024江苏省江都中学、仪征中学联考]网店模式和实体店模式各有特色，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x（单位：万件）与投入实体店体验安装的费用t（单位：万元）之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150％”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（　B　）万元.
A.45.5 B.37.5 C.36 D.35
解析　因为x＝3－，所以t＝－1.由t＞0，得1＜x＜3，因此月利润y＝（32×1.5＋）x－32x－3－t＝16x－－3＝16x－－2.5＝45.5－[16（3－x）＋]≤45.5－2＝37.5，当且仅当16（3－x）＝，即x＝2.75时取等号，所以当x＝2.75时，该公司月利润最大，为37.5万元.故选B.

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