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第1讲　任意角和弧度制、三角函数的概念
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 2.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 任意角及其表示 该讲知识比较基础，单独命题比较少，常见的命题点有三角函数定义的应用，扇形的弧长公式和面积公式的应用，有时也应用于圆锥的平面展开图的有关计算，题型以选择题和填空题为主，难度不大.预计2025年高考单独命题的概率不大，但作为三角部分的基础，还是需要掌握.
扇形的弧长公式与面积公式 2020新高考卷ⅠT15
三角函数定义的应用 2021北京T14；2020全国卷ⅡT2
1.任意角与弧度制
（1）任意角
角的分类
（2）弧度制
定义 长度等于④　半径长　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
圆心角α的弧度数公式 ｜α｜＝（弧长用l表示，半径用r表示）.
角度与弧度的换算 a.1°＝ rad≈0.017 45 rad；b.1 rad＝（）°≈57.30°.
弧长公式 l＝⑤　｜α｜r　.
扇形面积公式 S＝⑥　l·r　＝｜α｜·r2.
注意　 1.用弧度制表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，但用角度制表示角的大小时，度（°）一定不能省略.
2.正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
3.利用扇形的弧长和面积公式时，要注意角的单位必须是弧度.
常用结论
1.象限角及轴线角
2.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β｜β＝α＋2kπ，k∈Z}.
注意　 1.第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角.
2.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，不相等的角的终边有可能相同.
2.任意角的三角函数
（1）任意角的三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝⑦　y　，cos α＝⑧　x　，tan α＝⑨　　（x≠0）.
推广：设角α终边上任意一点P（原点除外）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r，即r＝，则sin α＝⑩　　，cos α＝ 　　，tan α＝ 　　（x≠0）.
（2）三角函数值在各象限内的符号
上述符号的规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
注意　已知三角函数值的符号，判断角的终边所在位置时，不要遗漏终边在坐标轴上的情况，如sin ＝1＞0，cos π＝－1＜0.
（3）特殊角的三角函数值
角α 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°
角α的弧度数 0 　　 　　 　　
sin α 0 　　 　　 　　 1
cos α 1 　　 　　 　　 　0　
tan α 　0　 2－ 　　 　1　 　　 2＋ 　不存在　
3.角的终边的对称性
（1）β，α的终边关于x轴对称 β＝－α＋2kπ，k∈Z.
（2）β，α的终边关于y轴对称 β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
（3）β，α的终边关于原点对称 β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
1.下列说法正确的是（　B　）
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
C.若sin α＝sin β，则α与β的终边相同
D.若α，β的终边关于x轴对称，则α＋β＝0
解析　对于A，当三角形内角为时，角的终边在y轴上，A错误；对于B，角的大小只与旋转方向及角度有关，B正确；对于C，若α＝，β＝，此时sin α＝sin β，但α与β的终边不相同，C错误；对于D，与的终边关于x轴对称，但＋＝2π≠0，D错误.
2.已知P（－4，3）是角α的终边上一点，则cos α＝（　D　）
A. B.－ C. D. －
解析　设点P（－4，3）到原点O的距离为r，则r＝＝5，所以cos α＝＝－，故选D.
3.已知α是第一象限角，那么是（　D　）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角
解析　易知2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，故kπ＜＜＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角.
4.[全国卷Ⅰ]若tan α＞0，则（　C　）
A.sinα＞0 B.cosα＞0 C.sin 2α＞0 D.cos 2α＞0
解析　因为tan α＞0，所以α为第一或第三象限角，即2kπ＜α＜2kπ＋或2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，则4kπ＜2α＜4kπ＋π或4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π，k∈Z.所以2α为第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上的角，从而sin 2α＞0.
5.在直径为20 cm的圆中，的圆心角所对弧的长为　　cm.
解析　由弧长公式l＝｜α｜r可得，弧长为×＝（cm）.
6.[易错题]已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为　12π　.
解析　∵圆心角α＝30°＝，l＝｜α｜r，∴r＝＝12，∴扇形面积S＝lr＝×2π×12＝12π.
研透高考 明确方向
命题点1　任意角及其表示
例1 （1）时针经过四个小时，转过了（　B　）
A. rad B.－ rad C. rad D.－ rad
解析　因为时针顺时针旋转，所以转过一圈的弧度为－2π rad，则时针经过四个小时，转过了×（－2π）rad＝－ rad.
（2）终边在直线y＝x上的角的集合为（　B　）
A.{β｜β＝kπ＋，k∈Z} B.{β｜β＝kπ＋，k∈Z}
C.{β｜β＝2kπ＋，k∈Z} D.{β｜β＝2kπ＋，k∈Z}
解析　解法一　易知直线y＝x的倾斜角为.若终边落在射线y＝x（x≥0）上，则有β＝2nπ＋，n∈Z，若终边落在射线y＝x（x≤0）上，则有β＝2nπ＋，n∈Z.综上可得β＝kπ＋，k∈Z.故终边在直线y＝x上的角的集合为{β｜β＝kπ＋，k∈Z}.故选B.
解法二　易知直线y＝x的倾斜角为.终边落在x轴上的角的集合为{α｜α＝kπ，k∈Z}，将其逆时针旋转，即可得到终边在y＝x上的角，故所求集合为{β｜β＝kπ＋，k∈Z}.
方法技巧
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k（k∈Z）赋值来求得所需的角.
2.确定kα，（k∈N*）的终边位置的方法：先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.
训练1 [2023湖北十堰月考]与终边相同的角的表达式中，正确的是（　D　）
A.45°＋2kπ，k∈Z B.k·360°＋，k∈Z
C.k·360°＋315°，k∈Z D.2kπ－，k∈Z
解析　在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误.与终边相同的角可以写成2kπ＋（k∈Z）的形式，k＝－2时，2kπ＋＝－，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确.故选D.
命题点2　扇形的弧长公式与面积公式
例2 [2023天津南开中学统练]如图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图2是会徽的几何图形，设弧AD长度是l1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若＝2，则＝（　A　）
A.3 B.4 C.1 D.2
解析　设∠BOC＝α（α＞0），由＝2，得＝＝2，即OA＝2OB，则＝＝＝＝3.故选A.
方法技巧
有关扇形弧长和面积问题的解题策略
（1）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
（3）扇形面积的最值问题，常转化为二次函数的最值问题.
训练2 （1）[2023广东深圳统考]荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，秋千源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为85°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（　B　）
A.米 B.米 C.13.6米 D.198米
解析　由题意得最大摆角，即圆心角｜α｜＝＝，半径R＝8，由弧长公式可得l＝｜α｜·R＝×8＝（米）.故选B.
（2）[2024河北张家口期中]如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长AB＝（　A　）
A.3sin 1 B.3sin 2
C.3sin 1° D.3sin 2°
解析　设扇形的圆心角为α（α＞0），半径为r，弧长为l，则l＋2r＝6，l＝6－2r，由可得0＜r＜3，所以扇形的面积为S＝lr＝（3－r）r≤（）2＝，当且仅当3－r＝r，即r＝时，扇形的面积S最大，此时l＝6－2r＝3.因为l＝αr，所以扇形的圆心角α＝＝＝2.
如图，取线段AB的中点E，连接OE，由垂径定理可知OE⊥AB，因为OA＝OB，所以∠AOE＝∠AOB＝×2＝1，所以AB＝2AE＝2OAsin 1＝3sin 1.故选A.
命题点3　三角函数定义的应用
角度1　利用三角函数的定义求值
例3 [2023南京江宁区模拟]在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边过点（x，4）且tan（－π＋α）＝－2，则cos α＝（　B　）
A.－ B.－
C. D.
解析　∵角α的终边过点（x，4）且tan（－π＋α）＝tan α＝－2，∴＝－2，∴x＝－2，∴cos α＝＝－，故选B.
方法技巧
三角函数的定义中常见的三种题型及解题方法
题型 解题方法
已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值. 先求出点P到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解.
已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横（纵）坐标，求与角α有关的三角函数值. 先求出点P到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题.
已知角α的终边所在的直线方程（y＝kx，k≠0），求角α的三角函数值. 先设出终边上一点P（a，ka），a≠0，求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解. 注意　由于终边所在的象限不确定，因此取点时应分a＞0和a＜0两种情况讨论.
训练3 已知角α的终边经过点P（－1，m），且sin α＝－，则tan α的值是（　B　）
A.± B. C.－ D.
解析　∵角α的终边经过点P（－1，m），∴sin α＝＝－，解得m＝－，∴tan α＝－m＝.故选B.
角度2　判断三角函数值的符号
例4 （1）[全国卷Ⅱ]若α为第四象限角，则（　D　）
A.cos 2α＞0 B.cos 2α＜0
C.sin 2α＞0 D.sin 2α＜0
解析　由α为第四象限角，故－＋2kπ＜α＜2kπ（k∈Z），可得－π＋4kπ＜2α＜4kπ（k∈Z），所以2α的终边
在第三、四象限或y轴的非正半轴上，因此sin 2α＜0，cos 2α的正负无法确定.
（2）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y＝3x上，且
sin α＜0，P（m，n）是角α终边上一点，且｜OP｜＝（O为坐标原点），则m－n等于（　A　）
A.2 B.－2 C.4 D.－4
解析　因为P（m，n）在直线y＝3x上，所以n＝3m　①，又sin α＜0，所以m＜0，n＜0.由｜OP｜＝，得m2＋n2＝10　②.
联立①②，并结合m＜0，n＜0，可得m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2.
方法技巧
判断三角函数值的符号，先确定角所在象限，再根据三角函数在各象限的符号确定正负.若不确定角所在象限，需分类讨论求解.注意角的终边在坐标轴上的情况.
训练4 [2023福建漳州质检]已知sin θ＜0，tan θ＜0，则角θ的终边位于（　D　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析　由sin θ＜0，tan θ＜0，根据三角函数值的符号与角的终边所在象限间的关系，可得角θ的终边位于第四象限.故选D.第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±，α±π的正弦、余弦、正切） 同角三角函数关系的应用 2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9 本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.
诱导公式的应用 2020北京T9；2019全国卷ⅠT7
同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
1.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
（2）商的关系：tan α＝（α≠＋kπ，k∈Z）.
（3）公式常见变形：sin2α＝1－cos2α；sinα＝±；sin2α＝＝，cos2α＝＝①　　；（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.
注意　利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.
2.诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α（k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α ②　－sinα　 －sinα ③　sinα　 cos α ④　cosα　
余弦 cos α ⑤　－cosα　 cos α ⑥　－cosα　 sin α ⑦　－sinα　
正切 tan α ⑧　tanα　 －tan α ⑨　－tanα　
口诀 奇变偶不变，符号看象限.
1.[易错题]已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝（　A　）
A.－ B.－ C. D.
解析　因为α是第二象限角，所以cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝
－＝－.
2.[2023贵州联考]已知tan θ＝－2，则＝（　D　）
A.－1 B.－3 C.－ D.
解析　因为tan θ＝－2，则＝1＋＝1－＝.
3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（　C　）
A.sin（θ－）＝cosθ B.cos（＋θ）＝－sinθ
C.sin（－θ）＝－cosθ D.cos（θ－）＝－sinθ
解析　∵sin（θ－）＝－sin（－θ）＝－cosθ，∴A错误；∵cos（＋θ）＝sinθ，∴B错误；∵sin（－θ）＝－cosθ，∴C正确；∵cos（θ－）＝cos（－θ）＝sinθ，∴D错误.
4.sin 1 050°＝　－　.
解析　sin 1 050°＝sin（－30°）＝－.
5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则＝　　.
解析　因为tan（π＋α）＝tan α＝2，所以＝＝＝＝.
研透高考 明确方向
命题点1　同角三角函数关系的应用
例1 （1）[2024山东模拟]若tan θ＝2，则1＋sinθcosθ＝（　B　）
A. B.
C. D.
解析　易知cosθ≠0，则1＋sinθcosθ＝＝＝＝＝.
（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，），tan θ＝，则sinθ－cosθ＝　－　.
解析　由且θ∈（0，），解得故sinθ－cosθ＝－.
方法技巧
同角三角函数基本关系的应用技巧
（1）利用sin2α＋cos2α＝1和tan α＝，可以解决sinα，cosα，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.
（2）利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，可以解决sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－
cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用.
（3）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝可以实现角α的弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.
训练1 [多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sinθ＋cosθ＝，则下列结论正确的是（　BD　）
A.θ∈（－π，－） B.cosθ＝
C.tanθ＝ D.sinθ－cosθ＝－
解析　由sinθ＋cosθ＝可得，cosθ＝－sinθ，
则（－sinθ）2＋sin2θ＝1，
解得sinθ＝或sinθ＝－.
由θ∈（－π，0），可得sinθ＝－，cosθ＝，故B正确；
由sinθ＝－＜0，cosθ＝＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈
（－，0），故A错误；
tan θ＝＝－，故C错误；
sin θ－cos θ＝－－＝－，故D正确.故选BD.
命题点2　诱导公式的应用
例2 （1）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝（x＋）＋cos（x－）的最大值为（　A　）
A. B.1 C. D.
解析　因为cos（x－）＝cos[（x＋）－]＝sin（x＋），所以f（x）＝（x＋），所以f（x）的最大值为，故选A.
（2）[北京高考]若函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为　（答案不唯一）　.
解析　易知当y＝sin（x＋φ），y＝cosx同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cosx取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cosx，则φ＝＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为.
方法技巧
应用诱导公式的一般思路
（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；
（2）统一角，统一名；
（3）角中含有的整数倍时，用公式去掉的整数倍.
训练2 （1）[2023山东省济宁市模拟]已知cos（－θ）＝，则cos（＋θ）＋
2sin（－θ）的值为　－1　.
解析　原式＝cos[π－（－θ）]＋2sin[＋（－θ）]＝－cos（－θ）－2cos（－θ）＝
－3cos（－θ）＝－1.
（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则·
tan2（π－α）的值为　－　.
解析　原式＝·tan2α＝·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，得x1＝－，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－，∴cosα＝－，∴tan α＝.故原式＝－tan2α＝－.
命题点3　同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
例3 （1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜，cos（α＋）＝－，则tan （－α）＝（　A　）
A. B.－ C. D.－
解析　由0＜α＜，得＜α＋＜，则sin（α＋）＝＝＝，所以tan（α＋）＝＝－，所以tan（－α）＝tan[π－（α＋）]＝－tan（α＋）＝.故选A.
（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋）＝，则tan（θ－）＝　－　.
解析　解法一　因为sin（θ＋）＝，所以cos（θ－）＝sin[＋（θ－）]＝sin（θ＋）＝.因为θ为第四象限角，所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，k∈Z，所以sin（θ－）＝－＝－，所以tan（θ－）＝＝－.
解法二　因为θ是第四象限角，且sin（θ＋）＝，所以θ＋为第一象限角，所以
cos（θ＋）＝，所以tan（θ－）＝＝＝－＝－.
方法技巧
利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路
（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；
（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；
（3）化简求值.
注意　（1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.
（2）化简过程是恒等变换.
训练3 [2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M（2，4）在角α终边上，则＝（　B　）
A. B. C.－ D.－
解析　由题意可得tan α＝2，所以原式＝＝＝＝.故选B.第3讲　两角和与差的正弦、余弦、正切公式与二倍角公式
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 和、差、倍角公式的直接应用 2023新高考卷ⅠT8；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9；2020全国卷ⅢT9；2019全国卷ⅡT10 本讲每年必考，主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的正用、逆用、变形用，主要体现在三角函数式的化简和求值中.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计 2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.
和、差、倍角公式的逆用与变形用 2023新高考卷ⅡT7；2022新高考卷ⅡT6；2022北京T13；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅢT5
角的变换问题 2022浙江T13；2019江苏T13
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
S（α±β）：sin（α±β）＝①　sinαcosβ±cosαsinβ　.
C（α±β）：cos（α±β）＝②　cosαcosβ sinαsinβ　.
T（α±β）：tan（α±β）＝③　　（α，β，α±β≠kπ＋，k∈Z）.
注意　在公式T（α±β）中，α，β，α±β都不等于kπ＋（k∈Z），即保证tan α，
tan β，tan（α±β）都有意义.
2.二倍角公式
S2α：sin 2α＝④　2sinαcosα　.
C2α：cos 2α＝⑤　cos2α－sin2α　＝⑥　2cos2α－1　＝⑦　1－2sin2α　.
T2α：tan 2α＝⑧　　（α≠kπ＋且α≠＋，k∈Z）.
（1）对于两角和的正弦、余弦、正切公式，分别令β＝α，可得二倍角的正弦、余弦、正切公式.
（2）二倍角是相对的，如是的2倍，3α是的2倍.
3.辅助角公式
asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）（其中a≠0，sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝⑨　　）.
规律总结
1.两角和与差的正切公式的变形
tan α±tan β＝tan（α±β）（1 tan αtan β）；tan α·tan β＝1－＝－1.
2.降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α.
3.升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1；cos 2α＝1－2sin2α.
4.其他常用变式
sin 2α＝；cos 2α＝；tan＝＝；1＋sin 2α＝（sin α＋cos α）2；1－sin 2α＝（sin α－cos α）2.
规律总结
1.积化和差
cos α·cos β＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]；sin α·sin β＝－[cos（α＋β）－cos（α－β）]；
sin α·cos β＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；cos α·sin β＝[sin（α＋β）－sin（α－β）].
2.和差化积
sin α＋sin β＝2sincos；sin α－sin β＝2cossin；
cos α＋cos β＝2coscos；cos α－cos β＝－2sinsin.
注意　和差化积和积化和差公式不要求记忆，可借助推导过程找规律，先得到积化和差的公式，再通过换元得到和差化积的公式.
1.[2023北京海淀区月考]若tan（α－）＝，则tan（α－）的值为（　A　）
A.3 B. C.－3 D.－
解析　因为tan（α－）＝tan[（α－）－]＝＝，所以tan（α－）＝3.
2.已知sin α＝，α∈（，π），则cos（－α）的值为　　.
解析　∵sin α＝，α∈（，π），∴cos α＝－＝－＝－，
∴cos（－α）＝cos cos α＋sin sin α＝×（－）＋×＝.
3.[全国卷Ⅱ]若sin x＝－，则cos 2x＝　　.
解析　cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×（－）2＝.
4.[易错题]＝　　.
解析　＝＝tan（45°＋15°）＝tan 60°＝ .
5.若sin x－cos x＝2sin（x－φ），φ＞0，则φ的最小值为　　.
解析　因为sin x－cos x＝2（sin x－cos x）＝2（sin xcosφ－cos xsinφ），所以cos φ＝，sin φ＝.因为φ＞0，所以φ的最小值为.
6.[积化和差]函数f（x）＝sin（x＋）cos x的最小值为　－＋　.
解析　因为f（x）＝[sin（x＋＋x）＋sin（x＋－x）]＝sin（2x＋）＋，所以函数
f（x）的最小值为－＋.
7.[和差化积]在△ABC中， sin A＝cos B＋cos C，则△ABC的形状是　直角三角形　.
解析　cos B＋cos C＝2cos·cos＝2sin·cos.
因为sin A＝cos B＋cos C，所以2sincos＝2sin·cos，
因为sin≠0，所以cos＝cos，易得与均小于，所以＝，即A＝｜B－C｜，
所以A＋C＝B或A＋B＝C，即π－B＝B或π－C＝C，即B＝或C＝，所以△ABC是直角三角形.
研透高考 明确方向
命题点1　和、差、倍角公式的直接应用
例1 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知sin（α－β）＝，cos αsin β＝，则cos（2α＋2β）＝（　B　）
A. B. C.－ D.－
解析　依题意，得所以sin αcos β＝，所以sin（α＋β）＝
sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos（2α＋2β）＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×（）2＝，故选B.
（2）[全国卷Ⅲ]已知2tan θ－tan（θ＋）＝7，则tan θ＝（　D　）
A.－2 B.－1 C.1 D.2
解析　由已知得2tan θ－＝7，得tan θ＝2.
方法技巧
应用和、差、倍角公式化简求值的策略
（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”；
（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；
（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
训练1 （1）[全国卷Ⅰ]已知α∈（0，π），且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝（　A　）
A. B. C. D.
解析　∵3cos 2α－8cos α＝5，∴3（2cos2α－1）－8cos α＝5，∴6cos2α－8cos α－8＝0，∴3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2（舍去）或cos α＝－.∵α∈（0，π），∴sin α＝＝.故选A.
（2）[2024广西玉林市联考]已知cos（α＋β）＝，cos αcos β＝，则cos（2α－2β）＝（　B　）
A.－ B.－ C. D.
解析　由cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β，即＝－sin αsin β，可得sin α·sin β＝，则cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsinβ＝＋＝，所以cos（2α－2β）＝2cos2（α－β）－1＝2×（）2－1＝－.故选B.
命题点2　和、差、倍角公式的逆用与变形用
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝（　D　）
A. B. C. D.
解析　cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝（）2，又α为锐角，所以sin＞0，所以sin＝，故选D.
（2）[2021全国卷乙]cos2－cos2＝（　D　）
A. B. C. D.
解析　解法一　原式＝－＝＝.
解法二　因为cos＝sin（－）＝sin，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝
cos（2×）＝cos＝.故选D.
（3）[2022新高考卷Ⅱ]若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cos（α＋）sin β，则（　C　）
A.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1
C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1
解析　sin （α＋β）＋cos （α＋β）＝sin （α＋β＋）＝2sin βcos （α＋），所以
sin（α＋）cos β＋sin βcos（α＋）＝2sin βcos （α＋），整理得sin（α＋）cos β－
sin βcos（α＋）＝0，即sin（α＋－β）＝0，所以α－β＋＝kπ，k∈Z，所以tan（α－β）＝tan（kπ－）＝－1.
方法技巧
1.运用两角和与差的三角函数公式时，要熟悉公式的正用、逆用及变形用，如tan α＋
tan β＝tan（α＋β）·（1－tan αtan β）和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
2.对asinx＋bcosx化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.
训练2 （1）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为（　B　）
A. B. C. D.
解析　解法一　由题意得tan（A＋B）＝－tan C＝－tan 120°＝，所以tan（A＋B）＝＝，即＝，解得tan Atan B＝，故选B.
解法二　由已知，可取A＝B＝30°，则tan Atan B＝×＝，故选B.
（2）[2022北京高考]若函数f（x）＝Asin x－cos x的一个零点为，则A＝　1　；
f（）＝　－　.
解析　依题意得f（）＝A×－×＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sin x－cos x＝
2sin（x－），所以f（）＝2sin（－）＝－.
命题点3　角的变换问题
例3 （1）[2024山东省部分学校联考]已知sin（x＋）＝－，则cos（－2x）＝（　C　）
A. B. C.－ D.－
解析　因为sin（x＋）＝－，所以cos（－2x）＝cos（π－－2x）＝－cos（＋2x）＝－[1－2sin2（x＋）]＝－[1－2×（－）2]＝－.故选C.
（2）若tan（α＋2β）＝2，tan β＝－3，则tan（α＋β）＝　－1　，tan α＝　　.
解析　因为tan（α＋2β）＝2，tan β＝－3，所以tan（α＋β）＝tan（α＋2β－β）＝＝＝－1，tan α＝tan（α＋β－β）＝＝.
方法技巧
角的变换问题的解题思路
1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和差倍半的形式.
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和差倍半的关系，注意换元思想的应用.
3.常见的配角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；15°＝45°－30°；＋α＝－（－α）等.
训练3 （1）[2024江苏省南通市学情检测]已知sin（α＋）＝，则sin（－2α）＝（　C　）
A.－ B. C.－ D.
解析　设α＋＝t，则α＝t－，sin t＝，∴sin（－2α）＝sin[－2（t－）]＝sin（－2t）＝cos 2t＝1－2sin2t＝1－2×（）2＝－，故选C.
（2）[2024辽宁省辽东南协作体联考]已知＜α＜，0＜β＜，cos（－α）＝，sin（＋β）＝，则sin（α＋β）的值为　　.
解析　∵＜α＜，0＜β＜，∴－＜－α＜0，＜＋β＜π，∴sin（－α）＝
－＝－，cos（＋β）＝－＝－，∴sin（α＋β）＝－cos[＋（α＋β）]＝－cos[（＋β）－（－α）]＝－cos（＋β）cos（－α）－sin（＋β）sin（－α）＝×－×（－）＝.第4讲　简单的三角恒等变换
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
能运用和、差、倍角公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）. 三角函数式的化简 2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9 本讲每年必考，主要考查利用三角函数的基本关系、诱导公式以及和、差、倍角公式进行化简求值.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.
三角函数式的求值 2022浙江T13；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅠT9；2020全国卷ⅢT9；2019全国卷ⅡT10
命题点1　三角函数式的化简
例1 （1）[2021全国卷甲]若α∈（0，），tan 2α＝，则tan α＝（　A　）
A. B. C. D.
解析　因为tan 2α＝＝，且tan 2α＝，所以＝，由α∈（0，）得cos α≠0，解得sin α＝，cos α＝，tan α＝＝.故选A.
（2）化简：＝　1　.
解析　原式＝＝＝＝＝1.
方法技巧
化简三角函数式的方法与技巧
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构特征.
2.化简时要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子与三角函数公式间的联系，找到变形方向.
训练1 [2021新高考卷Ⅰ]若tan θ＝－2，则＝（　C　）
A.－ B.－ C. D.
解析　解法一　因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ（sin θ＋
cos θ）＝＝＝＝.故选C.
解法二　因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，
所以或所以＝＝sin θ（sin θ＋
cos θ）＝sin2θ＋sin θcosθ＝－＝.故选C.
命题点2　三角函数式的求值
角度1　给角求值
例2 （1）sin 50°（1＋tan 10°）＝　1　.
解析　sin 50°（1＋tan 10°）＝sin 50°（1＋tan 60°tan 10°）＝
sin 50°×＝sin 50°×＝＝＝＝1.
（2）sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝　　.
解析　原式＝cos 20°·cos 40°·cos 80°＝＝＝.
方法技巧
给角求值问题的解题策略
一般给出的角都是非特殊角，求解时要观察所给角与特殊角的关系及三角函数名称，然后进行角的变换和式子结构的变换，通过公式的正用、逆用及变形化简求值.
注意　当式子中出现，1，，等数时，要考虑引入特殊角，通过“值变角”化简计算.
角度2　给值求值
例3 （1）[2022浙江高考]若3sin α－sin β＝，α＋ β＝，则sin α＝　　，cos 2 β＝　　.
解析　因为α＋ β＝，所以 β＝－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin（－α）＝3sin α－cos α＝sin（α－φ）＝，其中sin φ＝，cos φ＝，所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sin α＝sin（＋φ＋2kπ）＝cos φ＝，k∈Z.因为sin β＝3sin α－＝－，所以cos 2 β＝1－2sin2 β＝1－＝.
（2）[江苏高考]已知＝－，则sin（2α＋）的值是　　.
解析　解法一　＝＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－.
当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝.同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin（2α＋）＝（sin 2α＋cos 2α）＝.
解法二　＝＝－，则sin αcos（α＋）＝－cos αsin（α＋），又＝sin[（α＋）－α]＝sin（α＋）cos α－cos（α＋）·sin α＝sin（α＋）cos α，则sin（α＋）cos α＝，则sin（2α＋）＝sin[（α＋）＋α]＝sin（α＋）cos α＋cos（α＋）sin α＝sin（α＋）·cos α＝×＝.
方法技巧
给值求值问题的解题策略
1.将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据已知条件和角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2.把已知角与未知角建立联系求解.求解时要注意，角的范围不确定时应分类讨论.
角度3　给值求角
例4 （1）若sin 2α＝，sin（ β－α）＝，且α∈[，π]， β∈[π，]，则α＋ β的值是（　A　）
A. B.
C.或 D.或
解析　因为α∈[，π]，所以2α∈[，2π].又sin 2α＝，所以2α∈（，π），α∈（，），所以cos 2α＝－＝－.因为 β∈[π，]，所以α＋ β∈（π，2π）， β－α∈（，），所以cos（ β－α）＝－＝－，所以cos（α＋ β）＝cos[2α＋（ β－α）]＝cos 2αcos（ β－α）－sin 2α·sin（ β－α）＝－×（－）－×＝.又α＋ β∈（，2π），所以α＋ β＝.
（2）已知α， β为锐角，且（1－tan α）（1－tan β）＝4，则α＋ β＝　　.
解析　将（1－tan α）（1－tan β）＝4展开，得－（tan α＋tan β）＝3（1－
tan α·tan β），即＝tan（α＋ β）＝－，由于α， β为锐角，所以0＜α＋ β＜π，故α＋ β＝.
方法技巧
给值求角问题的解题策略
1.给值求角问题可转化为给值求值问题，通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则.
（1）已知正切函数值，选正切函数.
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是（0，），选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数较好；若角的范围为（－，），选正弦函数较好.
注意　所选函数尽量在确定的角的范围内单调，即一个函数值只对应一个角，避免产生多解.
2.准确缩小角的范围也是求解的关键.常见的缩小角范围的方法：一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质（如“同向可加性”）求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围.
训练2 （1）[2024湖南省长沙市第一中学模拟]已知0＜ β＜α＜，且cos（α－ β）＝，cos 2 β＝，则cos（α＋ β）＝（　A　）
A. B. C. D.
解析　由0＜ β＜α＜，得0＜α－ β＜，又cos（α－ β）＝，所以sin（α－ β）＝＝，因为0＜2 β＜π，cos 2 β＝，所以sin 2 β＝＝，所以
cos（α＋ β）＝cos[（α－ β）＋2 β]＝cos（α－ β）cos 2 β－sin（α－ β）sin 2 β＝×－×＝.故选A.
（2）[2024 河南省南阳市第一中学质量评估]已知tan α＝，sin β＝，α， β∈（0，），则α＋2 β＝　　.
解析　因为tan α＝，α是锐角，所以0＜α＜，因为sin β＝， β为锐角，所以0＜ β＜，0＜α＋2 β＜，因为sin β＝，所以cos β＝，tan β＝，则tan 2 β＝＝＝，tan（α＋2 β）＝＝＝1，故α＋2 β＝.
（3）（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝　2　.
解析　由题意知，（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°.因为tan 20°＋tan 25°＝tan 45°（1－tan 20°tan 25°）＝1－tan 20°tan 25°，所以（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.第5讲　三角函数的图象与性质
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.借助单位圆能画出三角函数（正弦、余弦、正切）的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在（－，）上的性质. 三角函数的定义域 本讲每年必考，主要考查三角函数的定义域、值域（最值）、周期性、单调性、对称性和奇偶性，有时与函数零点和极值点综合命题，题型以选择题和填空题为主，难度中等.预计2025年高考命题趋势变化不大，备考时要注意区分正弦函数和余弦函数的图象与性质，不要混淆，另应关注新角度、新综合问题.
三角函数的值域（最值） 2021全国卷乙T4
三角函数的性质及应用 2023新高考卷ⅠT15；2023全国卷乙T6；2023天津T5；2022新高考卷ⅠT6；2022全国卷乙T15；2022全国卷甲T11；2022北京T5；2021新高考卷ⅠT4；2020全国卷ⅢT16；2019全国卷ⅠT11；2019全国卷ⅡT9
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点是（0，0），（，1），①　（π，0）　，（，－1），②　（2π，0）　.
在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点是（0，1），（，0），③　（π，－1）　，（，0），④　（2π，1）　.
五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）.
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
三角函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R ⑤　{x｜x≠kπ＋，k∈Z}　
值域 ⑥　[－1，1]　 ⑦　[－1，1]　 R
周期性 周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是⑧　2π　. 周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是⑨　2π　. 周期是kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是⑩　π　.
对称性 对称轴方程是 　x＝kπ＋　（k∈Z），对称中心是 　（kπ，0）　（k∈Z）. 对称轴方程是 　x＝kπ　（k∈Z），对称中心是 　（kπ＋，0）　（k∈Z）. 无对称轴，对称中心是 　（，0）　（k∈Z）.
奇偶性 　奇函数　 　偶函数　 　奇函数　
单调性 在 　[－＋2kπ，＋2kπ]　（k∈Z）上单调递增，在 　[＋2kπ，＋2kπ]　（k∈Z）上单调递减. 在 　[2kπ－π，2kπ]　（k∈Z）上单调递增，在 　[2kπ，2kπ＋π]　（k∈Z）上单调递减. 在 　（－＋kπ，＋kπ）　（k∈Z）上单调递增.
注意　y＝tan x在其定义域内不单调.
常用结论
1.三角函数的对称性与周期T的关系
（1）相邻的两条对称轴（或两个对称中心）之间的距离为；
（2）相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；
（3）相邻的两个最低点（或最高点）之间的距离为T.
2.与三角函数奇偶性有关的结论
（1）若函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）是奇函数，则φ＝kπ（k∈Z）；若为偶函数，则φ＝kπ＋（k∈Z）.
（2）若函数y＝Acos（ωx＋φ）（x∈R）是奇函数，则φ＝kπ＋（k∈Z）；若为偶函数，则φ＝kπ（k∈Z）.
（3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则φ＝kπ（k∈Z）.
1.设A是△ABC最小的内角，则sin A＋cos A的取值范围是（　D　）
A.（－，） B.[－，] C.（1，） D.（1，]
解析　∵A是△ABC最小的内角，∴0＜A≤，∴＜A＋≤，∴＜sin（A＋）≤1，则
sin A＋cos A＝sin（A＋）∈（1，]，故选D.
2.函数f（x）＝tan（－4x＋）的最小正周期为（　A　）
A. B. C.π D.2π
解析　函数f（x）＝tan（－4x＋）的最小正周期T＝＝＝.
3.[全国卷Ⅱ]若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（　A　）
A.2 B. C.1 D.
解析　依题意得函数f（x）的最小正周期T＝＝2×（－）＝π，解得ω＝2，选A.
4.函数f（x）＝sin（x－）的图象的一条对称轴的方程是（　C　）
A.x＝ B.x＝ C.x＝－ D.x＝－
解析　函数y＝sin x的图象的对称轴方程为x＝kπ＋（k∈Z），令x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝kπ＋（k∈Z），故函数f（x）＝sin（x－）的图象的对称轴方程为x＝kπ＋（k∈Z）.令k＝－1，得x＝－.故选C.
5.[易错题]函数y＝2sin（－x＋）（x∈[－π，0]）的单调递增区间是（　A　）
A.[－π，－] B.[－，－] C.[－，0] D.[－，0]
解析　令＋2kπ≤－x＋≤＋2kπ，k∈Z，则－－2kπ≤x≤－－2kπ，k∈Z.又x∈[－π，0]，所以所求单调递增区间为[－π，－].
6.函数f（x）＝tan（3x＋）的图象的对称中心为　（－，0）（k∈Z）　.
解析　令3x＋＝，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，
所以f（x）的图象的对称中心为（－，0），k∈Z.
研透高考 明确方向
命题点1　三角函数的定义域
例1 函数y＝lg（sin x）＋的定义域为　{x｜2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}　.
解析　要使函数有意义，则解得所以2kπ＜x≤＋2kπ（k∈Z），所以函数的定义域为{x｜2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}.
方法技巧
求三角函数的定义域实质上是解不等式或不等式组，常借助于三角函数的图象解决.
训练1 函数f（x）＝的定义域为　{x｜x≠，k∈Z}　.
解析　tan 2x，tan x有意义，则k∈Z，又tan 2x－tan x≠0，即－
tan x≠0，则tan x≠0，即x≠kπ，k∈Z，综上可得，x≠，k∈Z，则函数f（x）的定义域为{x｜x≠，k∈Z}.
命题点2　三角函数的值域（最值）
例2 （1）[2021全国卷乙]函数f（x）＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是（　C　）
A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和2
解析　因为函数f（x）＝sin＋cos＝（sincos＋cossin）＝sin（＋），所以函数f（x）的最小正周期T＝＝6π，最大值为.故选C.
（2）已知函数f（x）＝cos（2x＋）＋2的定义域为[α，π]，值域为[，3]，则α的取值范围是（　C　）
A.[，π] B.[0，] C.[，] D.[，]
解析　由题意知，2x＋∈[2α＋，]，且y＝cos（2x＋）在[α，π]上的值域为[，1]，∴2α＋≥，且2α＋≤2π，解得≤α≤，∴α的取值范围是[，]，故选C.
方法技巧
三角函数值域的不同求法
1.把所给的三角函数式变换成y＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式求值域.
2.把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.
3.利用sin x±cosx和sin xcosx的关系转换成二次函数求值域.
训练2 （1）[2023四川省模拟]已知函数f（x）＝cos2x＋sin x－的定义域为[0，m]，值域为[，1]，则实数m的最大值为（　A　）
A.π B. C. D.
解析　由已知，得f（x）＝cos2x＋sin x－＝1－sin2x＋sin x－＝－sin2x＋sin x＋，令t＝sin x，函数f（x）可转换为y＝－t2＋t＋＝－（t－）2＋1，因为y∈[，1]，所以根据二次函数的图象与性质可得t∈[0，1]，即sin x∈[0，1]，又x∈[0，m]，所以根据三角函数的图象与性质可得m∈[，π]，所以实数m的最大值为π，故选A.
（2）函数y＝sin x－cos x＋sin xcosx的值域为　[－－，1]　.
解析　令sin x－cos x＝t，则t＝sin（x－），t∈[－，]，t2＝sin2x＋cos2x－
2sin xcosx，故sin xcosx＝，所以y＝t＋＝－（t－1）2＋1，所以当t＝1时，函数有最大值1；当t＝－时，函数有最小值－－，即值域为[－－，1].
命题点3　三角函数的性质及应用
角度1　三角函数的周期性
例3 （1）[2023天津高考]已知函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可能为（　B　）
A.f（x）＝sin（x） B.f（x）＝cos（x）
C.f（x）＝sin（x） D.f（x）＝cos（x）
解析　对于A，f（x）＝sin（x），其最小正周期为＝4，因为f（2）＝sin π＝0，所以函数f（x）＝sin（x）的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f（x）＝
cos（x），其最小正周期为＝4，因为f（2）＝cos π＝－1，所以函数f（x）＝
cos（x）的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin（x）和y＝cos（x）的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D.综上，选B.
（2）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝的最小正周期为（　C　）
A. B. C.π D.2π
解析　f（x）＝＝＝＝sin xcosx＝sin 2x，所以f（x）的最小正周期T＝＝π.故选C.
方法技巧
1.求三角函数周期的基本方法
（1）定义法.（2）公式法：函数y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ））的最小正周期T＝，函数y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝.（3）图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期.
2.有关周期的2个结论
（1）函数y＝｜Asin（ωx＋φ）｜，y＝｜Acos（ωx＋φ）｜，y＝｜Atan（ωx＋φ）｜的最小正周期T均为.
（2）函数y＝｜Asin（ωx＋φ）＋b｜（b≠0），y＝｜Acos（ωx＋φ）＋b｜（b≠0）的最小正周期T均为.
角度2　三角函数的单调性
例4 （1）[2022北京高考]已知函数f（x）＝cos2x－sin2x，则（　C　）
A.f（x）在（－，－）上单调递减
B.f（x）在（－，）上单调递增
C.f（x）在（0，）上单调递减
D.f（x）在（，）上单调递增
解析　依题意可知f（x）＝cos2x－sin2x＝cos 2x，对于A，因为x∈（－，－），所以2x∈（－π，－），函数f（x）＝cos 2x在（－，－）上单调递增，所以A不正确；对于B，因为x∈（－，），所以2x∈（－，），函数f（x）＝cos 2x在（－，）上不单调，所以B不正确；对于C，因为x∈（0，），所以2x∈（0，），函数f（x）＝cos 2x在（0，）上单调递减，所以C正确；对于D，因为x∈（，），所以2x∈（，），函数f（x）＝cos 2x在（，）上不单调，所以D不正确.故选C.
（2）[全国卷Ⅱ]若f（x）＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是（　A　）
A. B. C. D.π
解析　f（x）＝cos x－sin x＝cos（x＋），因为函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f（x）在[－a，a]上是减函数，｜－｜＜，所以
－a≥－，解得a≤.又区间[－a，a]有意义时，a＞0，所以0＜a≤，所以a的最大值是.
方法技巧
三角函数单调性问题的常见类型及求解策略
常见类型 求解策略
已知三角函数解析式求单调区间 （1）将函数化简为“一角一函数”的形式，如y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）； （2）利用整体思想，视“ωx＋φ”为一个整体，根据y＝sin x的单调区间列不等式求解.对于y＝Acos（ωx＋φ），y＝Atan（ωx＋φ），可以利用类似方法求解. 注意　求函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的单调区间时要先看A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆.
已知三角函数的单调性求参数 （1）求出原函数的相应单调区间，由已知区间是求出的单调区间的子集，列不等式（组）求解. （2）由所给区间求出“ωx＋φ”的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解.
角度3　三角函数的奇偶性与对称性
例5 （1）[2022全国卷甲]将函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（　C　）
A. B. C. D.
解析　记曲线C的函数解析式为g（x），则g（x）＝sin[ω（x＋）＋]＝sin[ωx＋（ω＋）].因为函数g（x）的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋（k∈Z），得ω＝2k＋（k∈Z）.因为ω＞0，所以ωmin＝.故选C.
（2）[2022新高考卷Ⅰ]记函数f（x）＝sin（ωx＋）＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点（，2）中心对称，则f（）＝（　A　）
A.1 B. C. D.3
解析　因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点（，2）中心对称，所以b＝2，且sin（ω＋）＋b＝2，即sin（ω＋）＝0，所以ω＋＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以
f（x）＝sin（x＋）＋2，所以f（）＝sin（×＋）＋2＝sin ＋2＝1.故选A.
方法技巧
1.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法：对于函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0），令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求出对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求出对称中心的横坐标（纵坐标为0）.对于y＝Acos（ωx＋φ），y＝Atan（ωx＋φ），可以利用类似方法求解（注意y＝Atan（ωx＋φ）的图象无对称轴）.
说明　选择题可以通过验证f（x0）的值进行判断，即f（x0）＝±A x＝x0是函数f（x）图象的对称轴方程；f（x0）＝0 点（x0，0）是函数f（x）图象的对称中心.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式.
训练3 （1）[2023全国卷乙]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（　D　）
A.－ B.－ C. D.
解析　由题意得×＝－＝，解得｜ω｜＝2，易知x＝是f（x）的最小值点.若ω＝2，则×2＋φ＝－＋2kπ（k∈Z），得φ＝－＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝sin（2x－＋2kπ）＝sin（2x－），f（－）＝sin（－×2－）＝sin（－）＝sin＝；若ω＝
－2，则×（－2）＋φ＝－＋2kπ（k∈Z），得φ＝－＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝
sin（－2x－＋2kπ）＝sin（－2x－）＝sin（2x－π），所以f（－）＝.故选D.
（2）在函数①y＝cos｜2x｜，②y＝｜cos x｜，③y＝cos（2x＋），④y＝tan（2x－）中，最小正周期为π的所有函数为（　A　）
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
解析　对于①，y＝cos｜2x｜＝cos 2x，其最小正周期为＝π；对于②，y＝｜cos x｜的最小正周期为π；对于③，y＝cos（2x＋）的最小正周期为＝π；对于④，y＝tan（2x－）的最小正周期为.所以最小正周期为π的所有函数为①②③.
（3）函数f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则φ＝　　，f（x）图象的对称中心为　（＋，1），k∈Z　.
解析　∵f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1为偶函数，∴－＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又φ∈（0，π），∴φ＝，∴f（x）＝3sin（2x＋）＋1＝3cos 2x＋1.由2x＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，∴f（x）图象的对称中心为（＋，1），k∈Z.第6讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象及其应用
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.结合具体实例，了解y＝Asin（ωx＋φ）的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 三角函数的图象及变换 2023全国卷甲T10；2021全国卷乙T7 本讲是高考命题热点，主要考查三角函数的图象变换，根据图象求解析式，图象和性质的综合应用以及三角函数模型的应用.题型以选择题和填空题为主，难度中等.在2025年的高考备考中要掌握三角函数的图象及其变换技巧，并能从已知图象中识别出有效信息进行求解，同时关注命题新角度、新综合以及三角函数模型的应用问题.
由图象确定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 2023新高考卷ⅡT16；2021全国卷甲T16；2020新高考卷ⅠT10
三角函数的图象与性质的综合应用 2022新高考卷ⅡT9；2022天津T9；2019全国卷ⅢT12
三角函数模型的应用
1.用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象
设X＝ωx＋φ，由X取0，，π，，2π求出相应的x，通过列表（如下表所示），计算得出五点坐标，描点连线后得出图象.
X＝ωx＋φ 0 π 2π
x － ①　　 ②　　 ③　　 ④　　
y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0
2.三角函数的图象变换
函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ≠0）的图象的两种方法：
辨析比较
图象两种变换方法的区别与联系
区别 先平移变换（左右平移）再周期变换（伸缩变换），平移的量是｜φ｜个单位长度，而先周期变换（伸缩变换）再平移变换（左右平移），平移的量是个单位长度.
联系 两种变换方法都是针对x而言的，即x本身加减多少，而不是ωx加减多少.平移规律：“左加右减，上加下减”，前提是先把x的系数提取出来.
3.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的物理意义
y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0， x≥0）表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A ⑩　T＝　 f＝＝ 　ωx＋φ　 φ
注意　要求一个函数的初相，应先将函数解析式化成f（x）＝Asin（ωx＋φ）的形式（其中A＞0，ω＞0）.
1.要得到f（x）＝cos2x－sin2x的图象，只需要将g（x）＝cos（2x＋）的图象（　D　）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
解析　f（x）＝cos2x－sin2x＝cos 2x，g（x）＝cos（2x＋）＝cos[2（x＋）]，故只需将g（x）的图象向右平移个单位长度即可.
2.函数y＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（　B　）
A.y＝2sin（2x－） B.y＝2sin（2x＋）
C.y＝2sin（x＋） D.y＝2sin（＋）
解析　设函数的最小正周期为T，由图象可知，＝－＝，∴T＝π.由T＝，得ω＝2，∴y＝2sin（2x＋φ）.∵点（，2）在函数图象上，∴2＝2sin（2×＋φ），∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又｜φ｜＜，∴φ＝，故解析式为y＝2sin（2x＋）.
3.[2024江苏淮安模拟]某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：cm）之间满足函数关系：y＝sin t＋cos（t－），则这个简谐运动的振幅是（　C　）
A.1 cm B.2 cm C. cm D.2 cm
解析　因为y＝sin t＋cos（t－）＝sin t＋cos tcos＋sin tsin＝sin t＋cos t＝sin（t＋），所以这个简谐运动的振幅是cm.故选C.
4.用“五点法”画y＝2sin（2x＋）在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是（－，0），（，2），（，0），（，－2），　（，0）　.
解析　令2x＋＝2π，则解得x＝，故最后一个关键点是（，0）.
研透高考 明确方向
命题点1　三角函数的图象及变换
例1 （1）[2021全国卷乙]把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x－）的图象，则f（x）＝（　B　）
A.sin（－） B.sin（＋）
C.sin（2x－） D.sin（2x＋）
解析　依题意，将y＝sin（x－）的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f（x）的图象，所以y＝sin（x－）的图象y＝sin（x＋）的图象f（x）＝sin（＋）的图象.
（2）[2023全国卷甲]函数y＝f（x）的图象由函数y＝cos（2x＋）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝x－的交点个数为（　C　）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　把函数y＝cos（2x＋）的图象向左平移个单位长度后得到函数f（x）＝cos[2（x＋）＋]＝cos（2x＋）＝－sin 2x的图象.作出函数f（x）的部分图象和直线y＝x－，如图所示.观察图象知，共有3个交点.故选C.
方法技巧
（1）当x的系数不等于1时，注意先伸缩后平移和先平移后伸缩的区别，同时也要分清哪个是原始函数（图象），哪个是平移后的函数（图象）.
（2）如果平移前后两个图象对应的函数名称不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.
训练1 （1）[2023江西南昌联考]为了得到函数y＝2cos（2x－）的图象，只需将函数y＝2sin x（　A　）
A.图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B.图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C.图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D.图象向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
解析　将函数y＝2sin x＝2cos（x－）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝2cos（2x－）的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝2cos[2（x－）－]＝2cos（2x－）的图象，故A正确，B错误.
将函数y＝2sin x＝2cos（x－）的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数y＝
2cos（x－－）＝2cos（x－）的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝2cos（2x－）的图象，故C，D错误.故选A.
（2）[2023郑州二模]将函数y＝sin（2x＋）图象上的点A（m，n）向右平移个周期（最小正周期）得到点A'，若A'位于函数y＝cos 2x的图象上，则m的值可以是（　D　）
A. B. C. D.
解析　函数y＝sin（2x＋）的最小正周期T＝＝π，设A'（m'，n'），由题知将点
A（m，n）向右平移个单位长度得到点A'（m'，n'），则因为A'位于函数y＝cos 2x的图象上，所以n'＝cos 2m'，所以n＝cos 2（m＋），又n＝sin（2m＋），所以sin（2m＋）＝cos 2（m＋）＝cos（2m＋）＝－sin 2m，即sin 2mcos＋cos 2msin＝
－sin 2m，化简得sin 2m＝－cos 2m，所以tan 2m＝－，故2m＝－＋kπ（k∈Z），
m＝－＋（k∈Z），当k＝1时，m＝，故选D.
命题点2　由图象确定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则
f（π）＝　－　.
解析　对比正弦函数y＝sin x的图象，不妨设点（，0）为“五点作图法”中的第五个点，所以ω＋φ＝2π　①.设A，B的横坐标分别为xA，xB，由题知｜AB｜＝xB－xA＝，两式相减，得ω（xB－xA）＝，即ω＝，解得ω＝4.代入①，得φ＝
－，所以f（π）＝sin（4π－）＝－sin＝－.
（2）[2021全国卷甲]已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则满足条件（f（x）－f（－））（f（x）－f（））＞0的最小正整数x为　2　.
解析　由题图可知，T＝－＝（T为f（x）的最小正周期），解得T＝π，所以ω＝±2.
当ω＝－2时，f（x）＝2cos（－2x＋φ），因为＋＝＋＝π，所以函数f（x）的图象经过点（π，－1），所以2cos（－2×π＋φ）＝－1，所以－2×π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，令k＝－1，则φ＝，所以f（x）＝2cos（－2x＋）＝2cos（2x－）.
当ω＝2时，f（x）＝2cos（2x＋φ）.点（，0）可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f（x）＝2cos（2x－）.
综上，f（－）＝2cos[2×（－）－]＝2cos（－）＝2cos ＝1，f（）＝2cos（2×－）＝2cos＝0，所以（f（x）－f（－））（f（x）－f（））＞0，即（f（x）－1）
·f（x）＞0，可得f（x）＞1或f（x）＜0，所以cos（2x－）＞或cos（2x－）＜0.
当cos（2x－）＜0时，＋2kπ＜2x－＜＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，此时最小正整数x为2.当cos（2x－）＞时，－＋2kπ＜2x－＜＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，此时最小正整数x为3.综上，最小正整数x为2.
方法技巧
确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的解析式的步骤与方法
（1）求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
（2）求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
（3）求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入.
训练2 （1）[2023芜湖模拟]已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上各点的横坐标拉伸为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（　C　）
A.[－＋3kπ，3kπ]（k∈Z）
B.[3kπ，3kπ＋]（k∈Z）
C.[－＋3kπ，－＋3kπ]（k∈Z）
D.[－＋3kπ，＋3kπ]（k∈Z）
解析　依题意，得解得∴f（x）＝2cos（ωx＋φ）－1，而
f（）＝1，f（）＝－1，设T是f（x）的最小正周期，∴＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝＝2，∴f（x）＝2cos（2x＋φ）－1.又2cos（＋φ）－1＝1，∴＋φ＝2kπ（k∈Z），∵｜φ｜＜，∴φ＝－，∴f（x）＝2cos（2x－）－1.将函数f（x）的图象上各点的横坐标拉伸为原来的3倍，得到y＝2cos（x－）－1的图象，再向左平移个单位长度，得到g（x）＝2cos（x＋－）－1＝2cos（x＋）－1的图象，令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ（k∈Z），解得－＋3kπ≤x≤－＋3kπ（k∈Z），∴函数g（x）的单调递增区间为[－＋3kπ，－＋3kπ]（k∈Z）.
（2）[2023山东省泰安一中模拟]函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜）在区间[－，]上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为（　C　）
A. B. C. D.
解析　由题图可知函数f（x）的最小正周期T＝－（－）＝π，所以ω＝＝2，又
f（）＝1，故sin（＋φ）＝1，由于0＜φ＜，故φ＝，所以f（x）＝sin（2x＋）.
将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），
再向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，得到y＝sin（4x－4θ＋）的图象，因为该函数图象关于原点对称，所以y＝sin（4x－4θ＋）为奇函数，所以－4θ＋＝kπ，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z，又θ＞0，所以θ的最小值为，故选C.
命题点3　三角函数的图象与性质的综合应用
例3 （1）[2022天津高考]已知f（x）＝sin 2x，关于该函数有下面四个说法：
①f（x）的最小正周期为2π；②f（x）在[－，]上单调递增；③当x∈[－，]时，f（x）的取值范围为[－，]；④f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x＋）的图象向左平移个单位长度得到.
以上四个说法中，正确的个数有（　A　）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　①f（x）的最小正周期为T＝＝π，故①错误；
②解法一　当－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，即x∈[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z时，f（x）单调递增，又因为[－，] [－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，故f（x）在[－，]上单调递增，②正确；
解法二　当x∈[－，]时，设t＝2x∈[－，]，y＝sin t在[－，]上单调递增，②正确；
③当x∈[－，]时，2x∈[－，]，f（x）∈[－，]，③错误；
④f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x＋）＝sin 2（x＋）的图象向右平移个单位长度得到，④错误.故选A.
（2）[2023广东六校联考]已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　C　）
A.直线x＝π是f（x）图象的一条对称轴
B.f（x）图象的对称中心为（－＋kπ，0），k∈Z
C.f（x）在区间[－，]上单调递增
D.将f（x）的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
解析　根据函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象，可得A＝2，·＝－，所以ω＝2.结合“五点作图法”及｜φ｜＜，可得2×＋φ＝，所以φ＝，即f（x）＝2sin（2x＋）.令x＝π，得f（π）＝1，不是函数的最值，故直线x＝π不是
f（x）图象的对称轴，故A错误；令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，故f（x）图象的对称中心为（－＋，0），k∈Z，故B错误；x∈[－，]时，2x＋∈[－，]，函数f（x）单调递增，故C正确；将f（x）的图象向左平移个单位长度后，可得y＝
2sin（2x＋）的图象，故D错误.故选C.
方法技巧
有关三角函数图象与性质的综合应用问题，常以多选题或填空题的形式出现，破解此类题的关键：
一是转化思想的应用，如将函数转化为“一角一函数”的形式；
二是见数思形，熟悉正、余弦及正切函数的图象，并能适时应用；
三是整体思想的应用，会用整体换元的思想研究函数的性质.
训练3 （1）[多选/2024江苏省南通市模拟]已知（，0）是函数f（x）＝sin（ωx＋）（0＜ω＜3）图象的一个对称中心，则（　AC　）
A.ω＝2
B.x＝是函数f（x）图象的一条对称轴
C.将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D.函数f（x）在区间[－，0]上的最小值是－
解析　对于A，由题意得sin（ω＋）＝0，故ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝3k－1，k∈Z，又0＜ω＜3，故0＜3k－1＜3，解得＜k＜，所以k＝1，ω＝2，A正确；
对于B，由选项A可得f（x）＝sin（2x＋），当x＝时，f（）＝sin（＋）＝，故x＝不是函数f（x）图象的对称轴，B错误；
对于C，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到g（x）＝sin[2（x－）＋]＝
sin 2x的图象，易知g（x）为奇函数，其图象关于原点对称，C正确；
对于D，令z＝2x＋，当x∈[－，0]时，z∈[－，]，由于y＝sin z在区间[－，]上的最小值为－1，当且仅当z＝－时，等号成立，故f（x）在区间[－，0]上的最小值是－1，D错误.故选AC.
（2）[多选/2024福建省漳州市一检]函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　ABD　）
A.ω＝2
B.y＝f（x）的图象关于直线x＝－对称
C.将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于原点对称
D.若y＝f（λx）（λ＞0）在[0，π]上有且仅有一个零点，则λ∈[，）
解析　由题图可得，A＝2，设f（x）的最小正周期为T，则＝－＝，故T＝π，ω＝2，f（x）＝2sin（2x＋φ），A正确.
由f（）＝2sin（＋φ）＝2，得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，所以φ＝，f（x）＝2sin（2x＋）.
对于B，当x＝－时，2x＋＝－，y＝f（x）的图象关于直线x＝－对称，B正确.
对于C，将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到y＝2sin[2（x－）＋]＝
2sin（2x－）的图象，不关于原点对称，C错误.
对于D，设f（λx）＝2sin（2λx＋）在[0，π]上的唯一零点为x0，则2λx0＋∈[，2λπ＋]，∴π≤2λπ＋＜2π，∴≤λ＜，D正确.故选ABD.
命题点4　三角函数模型的应用
例4 水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，有1 700余年历史.如图2是一个水车的示意图，它的直径为 3 m，其中心（即圆心）O距水面0.75 m.如果水车每4 min逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是时间t（单位：s）的函数.为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时（t＝0），则我们可以建立函数关系式h（t）＝
Asin（ωt＋φ）＋k（其中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）来反映h随t变化的规律.下面关于函数h（t）的描述，正确的是（　D　）
A.最小正周期为80π
B.一个单调递减区间为[30，70]
C.y＝｜h（t）｜的最小正周期为40
D.图象的一条对称轴方程为t＝－
解析　由题意可得，A＝，k＝，T＝4÷3×60＝80（T为h（t）的最小正周期），所以ω＝，由h（0）＝0及｜φ｜＜可得，φ＝－，所以h（t）＝sin（t－）＋.因为T＝80，所以A错误；令2kπ＋≤t－≤2kπ＋（k∈Z），解得80k＋≤t≤80k＋（k∈Z），取k＝0，得[，]为其中一个减区间，因为[30，70]不是[，]的子区间，所以B错误；函数y＝｜h（t）｜＝｜sin（t－）＋｜的图象是把y＝h（t）的图象在t轴下方的部分翻折到t轴的上方，最小正周期
仍为80，所以C错误；令t－＝kπ＋（k∈Z），得t＝40k＋（k∈Z），取k＝－1得t＝－，即函数图象的一条对称轴方程为t＝－，所以D正确.故选D.
方法技巧
构建三角函数模型求解实际问题时，一般需要根据实际问题得到解析式，求得的解析式一般为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式，然后利用三角函数的有关性质和题中条件进行求解.
训练4 [2023江西赣州五校联考]在西双版纳热带植物园中有一种原产于美洲热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20 ℃，但当气温上升到31 ℃时，时钟花基本都会凋谢.已知某景区有时钟花观花区，且观花区每天6时～14时的气温T（单位：℃）与时间t（单位：时，6时对应t＝6）近似满足函数关系式T＝25＋10sin（t＋），则每天在6时～14时期间，观花的最佳时段约为（参考数据：sin ≈0.6.假设在花期内，时钟花每天开闭一次）（　C　）
A.6.7时～11.6时 B.6.7时～12.2时
C.8.7时～11.6时 D.8.7时～12.2时
解析　当t∈[6，14]时，t＋∈[，]，则T＝25＋10sin（t＋）在[6，14]上单调递增.设花开、花谢的时间分别为t1，t2（t1，t2∈[6，14]）.令T＝20，则sin（t1＋）＝
－0.5，即t1＋＝，解得t1＝≈8.7.令T＝31，则sin（t2＋）＝0.6≈sin＝sinπ，即t2＋≈，解得t2≈11.6.故每天在6时～14时期间，观花的最佳时段约为8.7时～11.6时.

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