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第1讲　集　合
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.（1）了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.（2）能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.（3）了解全集与空集的含义. 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.（1）理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.（3）能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 集合的概念 2022全国卷乙T1；2020全国卷ⅢT1 本讲是高考必考内容.命题热点有集合的交、并、补运算，集合的含义及集合间的基本关系，常与不等式、函数等相结合命题，考查学生的数学运算和逻辑推理素养.题型以选择题为主，属于送分题，解题时常借助数轴和Venn图.预计2025年高考命题点变化不大，但应加强对集合中创新问题的重视.
集合间的基本关系 2023新高考卷ⅡT2；2021全国卷乙T2
集合的基本运算 2023新高考卷ⅠT1；2023全国卷乙T2；2023全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT1；2022新高考卷ⅡT1；2022全国卷乙T1；2022全国卷甲T3；2021新高考卷ⅠT1；2021新高考卷ⅡT2；2021全国卷甲T1；2021全国卷乙T2；2020新高考卷ⅠT1；2020全国卷ⅠT2；2020全国卷ⅡT1；2020全国卷ⅢT1；2019全国卷ⅠT1；2019全国卷ⅡT1；2019全国卷ⅢT1
集合中的计数问题 2019全国卷ⅢT3
集合的新定义问题
1.集合的概念
集合中元素的特征 ①　确定性　、②　互异性　、无序性
集合的表示方法 ③　列举法　、④　描述法　、图示法
常见数集的记法 自然数集（非负整数集），记作⑤　N　；正整数集，记作⑥　N*　或⑦　N＋　；整数集，记作⑧　Z　；有理数集，记作⑨　Q　；实数集，记作⑩　R　
元素与集合之间的关系 “属于”或“不属于”，分别记为“ 　∈　”或“ 　 　”
2.集合间的基本关系
关系 定义 符号语言
子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 　任意一个元素　都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A B（或B A）
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且 　x A，就称集合A是集合B的真子集 　A B　（或B A）
相等 若A B，且 　B A　，则A＝B A＝B
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
规律总结
（1）A B（子集）
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即 A， B（B≠ ）.
（3）任何一个集合是它本身的子集，即A A.空集只有一个子集，即它本身.
（4）含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
（5）对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
3.集合的基本运算
运算 集合语言 图形语言 符号语言
并集 {x｜x∈A，或x∈B} 　A∪B　
交集 {x｜x∈A，且x∈B} 　A∩B　
补集 {x｜x∈U，且x A} 　 UA　
常用结论
集合的运算性质
（1）A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
（2） U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）， U（A∪B）＝（ UA）∩（ UB）.
1.下列说法正确的是（　D　）
A.{x｜y＝x2}＝{y｜y＝x2}＝{（x，y）｜y＝x2}
B.方程＋（y＋2 025）2＝0的解集为{2 024，－2 025}
C.若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或1
D.对任意两个集合A，B，（A∩B） （A∪B）恒成立
2.若集合P＝{x∈N｜x≤}，a＝2，则（　D　）
A.a∈P B.{a}∈P C.{a} P D.a P
3.集合{a，b}的真子集的个数为　3　.
解析　解法一　集合{a，b}的真子集为 ，{a}，{b}，有3个.
解法二　集合{a，b}有2个元素，则集合{a，b}的真子集的个数为22－1＝3.
4.设a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，则a－b＝　1　.
解析　∵P＝Q，∴∴a－b＝－1－（－2）＝1.
5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（ UB）＝　{2，4}　，（ UA）∩（ UB）＝　{6}　.
解析　∵ UA＝{1，3，6，7}， UB＝{2，4，6}，∴A∩（ UB）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（ UA）∩（ UB）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.
研透高考 明确方向
命题点1　集合的概念
例1 （1）[2022全国卷乙]设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（　A　）
A.2∈M B.3∈M
C.4 M D.5 M
解析　由题意知M＝{2，4，5}，故选A.
（2）[全国卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为（　C　）
A.2 B.3
C.4 D.6
解析　由题意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的个数为4，故选C.
方法技巧
1.解决集合含义问题的三个关键点：一是确定构成集合的元素；二是分析元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.2.常见集合的含义
集合 {x｜f（x）＝0} {x｜f（x）＞0} {x｜y＝f（x）} {y｜y＝f（x）} {（x，y）｜y＝ f（x）}
代表元素 方程f（x）＝ 0的根 不等式f（x）＞0的解 函数y＝f（x）的自变量的取值 函数y＝f（x）的函数值 函数y＝f（x）图象上的点
训练1 （1）[多选/2024黑龙江模拟]已知集合A＝{x｜4ax2－4（a＋2）x＋9＝0}中只有一个元素，则实数a的可能取值为（　ABD　）
A.0 B.1 C.2 D.4
解析　当a＝0时，－8x＋9＝0，解得x＝，所以A＝{}，符合题意；当a≠0时，由题意，得Δ＝[4（a＋2）]2－4×4a×9＝0，解得a＝1或a＝4.故选ABD.
（2）[多选/2023江苏省镇江中学模拟]已知集合A＝{y｜y＝x2＋2}，集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}，下列关系正确的是（　AB　）
A.（1，3）∈B B.（0，0） B
C.0∈A D.A＝B
解析　∵集合A＝{y｜y≥2}＝[2，＋∞），集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}是由抛物线y＝x2＋2上的点组成的集合，∴AB正确，CD错误，故选AB.
（3）已知集合A＝{0，m，m2－5m＋6}，且2∈A，则实数m的值为　1或4　.
解析　因为A＝{0，m，m2－5m＋6}，2∈A，所以m＝2或m2－5m＋6＝2.当m＝2时，m2－5m＋6＝0，不满足集合中元素互异性，所以m＝2不符合题意.当m2－5m＋6＝2时，m＝1或m＝4，
若m＝1，A＝{0，1，2}符合题意；若m＝4，A＝{0，4，2}符合题意.所以实数m的值为1或4.
命题点2　集合间的基本关系
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝（　B　）
A.2 B.1 C. D.－1
解析　依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B.所以a＝1，故选B.
（2）[2024山西太原模拟]满足条件{1，2} A {1，2，3，4，5}的集合A的个数是（　C　）
A.5 B.6 C.7 D.8
解析　解法一　因为集合{1，2} A {1，2，3，4，5}，所以集合A可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共 7 个.故选C.
解法二　问题等价于求集合{3，4，5}的真子集的个数，则共有23－1＝7个.故选C.
方法技巧
1.求集合的子集个数，常借助列举法和公式法求解.
2.根据两集合间的关系求参数，常根据集合间的关系转化为方程（组）或不等式（组）求解，求解时注意集合中元素的互异性和端点值能否取到.
注意　在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的情况，如已知集合A、非空集合B满足A B或A B，则有A＝ 和A≠ 两种情况.
训练2 （1）设集合P＝{y｜y＝x2＋1}，M＝{x｜y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是（　D　）
A.M＝P B.P∈M
C.M P D.P M
解析　∵P＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}，M＝{x｜y＝x2＋1}＝R，∴P M.故选D.
（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为　（－∞，3]　.
解析　因为B A，所以分以下两种情况：
①若B＝ ，则2m－1＜m＋1，此时m＜2；
②若B≠ ，则解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3].
命题点3　集合的基本运算
角度1　集合的交、并、补运算
例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（　C　）
A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}
C.{－2} D.{2}
解析　解法一 因为N＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C.
解法二　因为1 N，所以1 M∩N，排除A，B；因为2 N，所以2 M∩N，排除D.故选C.
（2）[2023全国卷甲]设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则 U（M∪N）＝（　A　）
A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.
解析　解法一　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
解法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好能被3整除的整数集，故选A.
角度2　已知集合运算结果求参数
例4 （1）[全国卷Ⅰ]设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，则a＝（　B　）
A.－4 B.－2 C.2 D.4
解析　易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝{x｜x≤－}，因为A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B.
（2）已知集合A＝{x｜y＝ln（1－x2）}，B＝{x｜x≤a}，若（ RA）∪B＝R，则实数a的取值范围为（　B　）
A.（1，＋∞） B.[1，＋∞）
C.（－∞，1） D.（－∞，1]
解析　由题可知A＝{x｜y＝ln（1－x2）}＝{x｜－1＜x＜1}， RA＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以由（ RA）∪B＝R，B＝{x｜x≤a}，得a≥1.
方法技巧
1.处理集合的交、并、补运算时，一是要明确集合中的元素是什么，二是要能够化简集合，得出元素满足的最简条件.
2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可借助Venn图求解；如果集合中的元素是连续的，可借助数轴求解，此时要注意端点的情况.
训练3 （1）[2023全国卷乙]设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝（　A　）
A. U（M∪N） B.N∪ UM
C. U（M∩N） D.M∪ UN
解析　由题意知M∪N＝{x｜x＜2}，所以 U（M∪N）＝{x｜x≥2}，故选A.
（2）[2023江西省联考]已知集合A＝{（x，y）｜（x－1）2＋y2＝1}，B＝{（x，y）｜kx－y－2＜0}.若A∩B＝A，则实数k的取值范围是（　A　）
A.（－∞，） B.（，3）
C.（，＋∞） D.（－∞，]
解析　因为A∩B＝A，所以A B，则圆（x－1）2＋y2＝1在直线y＝kx－2的上方，则解得k＜.
命题点4　集合中的计数问题
例5 [全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（　C　）
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
解析　解法一　由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90－80＋60＝70，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100＝0.7.故选C.
解法二　用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系，如图，
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.故选C.
方法技巧
集合中元素的个数问题的求解策略
关于集合中元素的个数问题，常借助Venn图或用公式card（A∪B）＝card（A）＋
card（B）－ card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－
card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的个数）求解.
训练4 向50名学生调查对A，B两种观点的态度，结果如下：赞成观点A的学生人数是全体人数的，其余的不赞成；赞成观点B的学生人数比赞成观点A的多3人，其余的不赞成；另外，对观点A，B都不赞成的学生人数比对观点A，B都赞成的学生人数的多1人，则对观点A，B都赞成的学生有　21　人.
解析　赞成观点A的学生人数为50×＝30，赞成观点B的学生人数为30＋3＝33.如图，记50名学生组成的集合为U，赞成观点A的学生全体为集合A，赞成观点B的学生全体为集合B.设对观点A，B都赞成的学生人数为x，则对观点A，B都不赞成的学生人数为＋1，赞成观点A或赞成观点B的学生人数为30＋33－x.依题意30＋33－x＋＋1＝50，解得x＝21.故对观点A，B都赞成的学生有21人.
命题点5　集合的新定义问题
例6 （1）[2024上海市晋元高级中学模拟]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A M，定义M（A）为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的
M（A）的和记为S，则S＝　120　.
解析　由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1个，其中最小值为1的有25个，最小值为2的有24个，最小值为3的有23个，最小值为4的有22个，最小值为5的有21个，最小值为6的有20个，故S＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5＋1×6＝120.
（2）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}和集合B＝{x｜x2－x－2＜0}，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为　（1，2）　.
解析　由题意，可知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}，集合B＝{x｜－1＜x＜2}，因为集合A，B构成“偏食”，所以解得1＜t＜2.所以实数t的取值范围为（1，2）.
方法技巧
解决集合新定义问题的关键
紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆.
训练5 [多选/2023山东省淄博一中月考]在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z}（k＝0，1，2，3，4），给出如下四个结论，正确结论为（　ACD　）
A.2 023∈[3]
B.－2∈[2]
C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
D.整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]
解析　由2 023÷5＝404……3，得2 023∈[3]，故A正确；－2＝5×（－1）＋3，所以
－2∈[3]，故B错误；因为整数集中的被5除的数可以且只可以分成五类，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确；因为整数a，b属于同一“类”，所以整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]，故D正确.故选ACD.第2讲　常用逻辑用语
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 4.理解全称量词与存在量词的意义. 5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 充分条件与必要条件 2023新高考卷ⅠT7；2023全国卷甲T7；2022北京T6；2022浙江T4；2022天津T2；2021全国卷甲T7；2021北京T3；2021浙江T3；2021天津T2；2020北京T9；2020浙江T6；2020天津T2；2019北京T7；2019浙江T5；2019天津T3 本讲主要以其他知识为情境考查充分条件、必要条件的判断及简单应用，全称量词命题与存在量词命题的真假判断及含有一个量词的命题的否定，对学生的逻辑推理素养要求较高.题型以选择题为主，难度中等偏易.预计2025年高考命题点变化不大，平时训练中应注重不同知识之间的综合.
全称量词与存在量词 2021全国卷乙T3
1.充分条件、必要条件与充要条件
若p q，则p是q的①　充分　条件，q是p的②　必要　条件
p是q的③　充分不必要　条件 p q且p q
p是q的④　必要不充分　条件 p q且p q
p是q的⑤　充要　条件 p q
p是q的⑥　既不充分也不必要　条件 p q且q p
常用结论
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}.
（1）若p是q的充分条件，则A B；若p是q的必要条件，则A B.
（2）若p是q的充分不必要条件，则A B；若p是q的必要不充分条件，则A B.
（3）若p是q的充要条件，则A＝B.
2.全称量词与存在量词
（1）全称量词与存在量词
量词名称 常见的量词 表示符号
全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等 ⑦　 　
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有的、有些、对某些等 ⑧　 　
（2）全称量词命题与存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立
简记 ⑨　 x∈M，p（x）　 ⑩　 x∈M，p（x）　
否定 x∈M， p（x） 　 x∈M， p（x）　
注意　 1. p（x）表示p（x）不成立.
2.含有一个量词的命题的否定规律是：改写量词，否定结论.对于省略了量词的命题，则需要根据命题的含义加上量词，再改写.
3.命题p与 p（p的否定）真假相反.
1.下列说法不正确的是（　D　）
A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件
B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题
C.已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B
D.命题“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题
2.“x是整数”是“2x＋1是整数”的（　A　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　若x是整数，则2x＋1是整数；当x＝时，2x＋1是整数，但x不是整数，所以“x是整数”是“2x＋1是整数”的充分不必要条件.故选A.
3.已知命题p：所有的三角函数都是周期函数，则 p为　有些三角函数不是周期函数　.
研透高考 明确方向
命题点1　充分条件与必要条件
角度1　充分条件与必要条件的判断
例1 （1）[2023天津高考]“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（　B　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析　因为“a2＝b2” “a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab” “a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B.
（2）[2023全国卷甲]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则（　B　）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析　甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sin α＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，两边同时平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B.
角度2　充分条件、必要条件中的含参问题
例2 （1）若x＞0，则x＋≥a恒成立的一个充分条件是（　B　）
A.a＞80 B.a＜80 C.a＞100 D.a＜100
解析　当x＞0时，x＋≥2，当且仅当x＝时，“＝”成立，因为x＋≥a（x＞0）恒成立，所以a≤2，80＜2＜100，结合各选项知x＋≥a恒成立的一个充分条件为a＜80.（注意区分“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”）
故选B.
（2）已知p：｜1－｜≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围为　[9，＋∞）　.
解析　由｜1－｜≤2，得－2≤x≤10，故p对应的集合为N＝{x｜－2≤x≤10}.由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），得1－m≤x≤1＋m，故q对应的集合为M＝{x｜1－m≤x≤1＋m，m＞0}.
因为q是p的必要不充分条件，所以N M，所以（1－m＝－2与1＋m＝10不会同时成立）
解得m≥9，所以实数m的取值范围为[9，＋∞）.
方法技巧
1.充分条件与必要条件的判断方法
（1）定义法：根据“若p，则q”及“若q，则p”的真假进行判断，适用于定义、定理等判断性问题.
（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断.
2.已知充分、必要条件求参数取值范围的方法
把充分、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式（组）求解.
注意　（1）条件的等价变形；（2）区间端点值的检验.
训练1 （1）[2024湖北部分重点中学联考]设m∈R，a＝（m，1），b＝（4，m），c＝（1，－2），则b⊥c是a∥b的（　A　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　若b⊥c，则4－2m＝0，得m＝2，即b⊥c m＝2；若a∥b，则m2＝4，得m＝±2，即a∥b m＝±2.因为m＝2是m＝±2的充分不必要条件，所以b⊥c是a∥b的充分不必要条件，故选A.
（2）[多选/2023沈阳市三检]已知空间中的两条直线m，n和两个平面α，β，则α⊥β的充分条件是（　ACD　）
A.m⊥α，m∥β B.m α，n β，m⊥n
C.m α，m∥n，n⊥β D.m⊥n，m⊥α，n⊥β
解析　对A，因为m∥β，所以在平面β内存在直线l，使得m∥l，又m⊥α，所以l⊥α，又l β，所以α⊥β，所以选项A符合题意；
对B，若m α，n β，m⊥n，则平面α，β不一定垂直，例如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB 平面ABCD，B1C1 平面A1B1C1D1，且AB⊥B1C1，但平面ABCD与平面A1B1C1D1不垂直，所以选项B不符合题意；
对C，因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β，又m α，所以α⊥β，所以选项C符合题意；
对D，因为m⊥α，n⊥β，所以直线m，n对应的方向向量分别为平面α，β的法向量，又m⊥n，所以平面α，β的法向量垂直，所以α⊥β，所以选项D符合题意.
综上，选ACD.
命题点2　全称量词与存在量词
角度1　全称量词命题和存在量词命题的否定及真假判断
例3 （1）[2023辽宁名校联考]已知命题p： x＜－1，2x－x－1＜0，则 p为（　B　）
A. x≥－1，2x－x－1≥0 B. x＜－1，2x－x－1≥0
C. x＜－1，2x－x－1≥0 D. x≥－1，2x－x－1≥0
解析　因为命题p： x＜－1，2x－x－1＜0，则 p： x＜－1，2x－x－1≥0.故选B.
（2）[2023湖北模拟]下列命题为真命题的是（　C　）
A. x∈R，x2－｜x｜＋1≤0 B. x∈R，－1≤≤1
C. x∈R，（ln x）2≤0 D. x∈R，sin x＝3
解析　因为x2－｜x｜＋1＝（｜x｜－）2＋＞0恒成立，所以 x∈R，x2－｜x｜＋1≤0是假命题；当x＝时，＝2，所以 x∈R，－1≤≤1是假命题；当x＝1时，ln x＝0，所以 x∈R，（ln x）2≤0是真命题；因为－1≤sin x≤1，所以 x∈R，sin x＝3是假命题.故选C.
角度2　已知全称（存在）量词命题的真假求参数的取值范围
例4 （1）若命题“ x＞0，ln x－x2－a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是（　D　）
A.（－∞，e] B.（－∞，1]
C.（－∞，] D.（－∞，－]
解析　命题“ x＞0，ln x－x2－a＜0”为假命题，则命题“ x＞0，ln x－x2－a≥0”为真命题.由ln x－x2－a≥0，得a≤lnx－x2.设g（x）＝ln x－x2，则原问题可转化为a≤g（x）max，g'（x）＝－x＝.令g'（x）＞0，得0＜x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，从而g（x）≤g（1）＝－，故a≤－.故选D.
（2）[2024江苏南通学业质量监测]设命题p： x∈R，ax2－x＋1≤0.写出一个实数a＝
　0（答案不唯一）　，使得p为真命题.
解析　当a＝0时，－x＋1≤0有解；当a≠0时，或a＜0，所以a∈（0，]∪
（－∞，0）.综上，a≤，即a≤中任取一个值都可以.
方法技巧
1.判定全称量词命题是真命题，需证明所有对象使命题成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个对象使命题成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
2.由命题真假求参数的范围，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式（组），再通过解方程或不等式（组）求解.
训练2 （1）[2023河北省盐山中学三模]已知命题p： x≥0，ln（x＋1）≥0且tan x＜1，则 p为（　C　）
A. x＜0，ln（x＋1）＜0且tan x≥1
B. x＜0，ln（x＋1）＜0或tan x≥1
C. x≥0，ln（x＋1）＜0或tan x≥1
D. x≥0，ln（x＋1）＜0且tan x≥1
解析　由含有一个量词的命题的否定规律易知C正确.
（2）若命题“ a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为（　C　）
A.[－1，4] B.[0，]
C.[－1，0]∪[，4] D.[－1，0）∪（，4]
解析　命题“ a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”为假命题，则其否定为真命题，（命题与命题的否定真假相反）
即“ a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a≥0”为真命题.令g（a）＝ax2－（2a－1）x＋3－a＝（x2－2x－1）a＋x＋3，a∈[－1，3]，则g（a）≥0恒成立，所以即得所以实数x的取值范围为[－1，0]∪[，4].故选C.
（3）[多选/2024重庆市合川区模拟]已知命题p： x∈R，x2＋1＜2x；命题q：若mx2－mx－1≠0恒成立，则－4＜m＜0.则（　BC　）
A.p的否定是假命题 B.q的否定是真命题
C.p与q都是假命题 D.p与q都是真命题
解析　对于命题p：因为x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以x2＋1≥2x，即不存在x，使x2＋1＜2x，故命题p是假命题，则命题p的否定是真命题.对于命题q：若mx2－mx－1≠0恒成立，则当m＝0时，－1≠0，原不等式恒成立；当m≠0时，Δ＝m2＋4m＜0，得－4＜m＜0.综合得－4＜m≤0，故命题q是假命题，则命题q的否定是真命题.综上所述，选项A错误、B正确、C正确、D错误.故选BC.第3讲　等式性质与不等式性质
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 比较两个数（式）的大小 2022全国卷甲T12；2020全国卷ⅢT12 本讲很少单独命题，常与其他知识综合命题，命题热点有比较大小，不等式性质的应用等，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养.题型以选择题和填空题为主，难度中等，预计2025年高考命题点变化不大，复习备考时要掌握等式与不等式的性质，并能充分运用.
不等式的性质及其应用 2020新高考卷ⅠT11；2019全国卷ⅡT6
1.两个实数比较大小的方法
关系 方法
作差法 作商法
a＞b a－b＞0 ＞1（a，b＞0）或①　＜　1（a，b＜0）
a＝b a－b＝0 ＝1（b≠0）
a＜b a－b＜0 ＜1（a，b＞0）或②　＞　1（a，b＜0）
2.等式的性质
对称性 如果a＝b，那么b＝a
传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c
可加（减）性 如果a＝b，那么a±c＝b±c
可乘性 如果a＝b，那么ac＝bc
可除性 如果a＝b，c≠0，那么＝
3.不等式的性质
性质 性质内容
对称性 a＞b ③　b＜a　
传递性 a＞b，b＞c ④　a＞c　
可加性 a＞b a＋c＞b＋c
可乘性 a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ⑤　ac＜bc　
同向可加性 a＞b，c＞d ⑥　a＋c＞b＋d　
同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 ⑦　ac＞bd　
同正可乘方性 a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）
常用结论
1.a＞b＞0 ＞.
2.（1）a＞b，ab＞0 ＜；（2）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
3.a＞b＞0，m＞0 ＜，＞.
1.已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则（　C　）
A.t＞s B.t≥s C.t≤s D.t＜s
解析　因为t－s＝（2a＋2b）－（a2＋2b＋1）＝－（a－1）2≤0，所以t≤s.故选C.
2.[易错题]设a，b∈[0，＋∞），A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是（　B　）
A.A≤B B.A≥B C.A＜B D.A＞B
解析　由题意得，A2－B2＝2≥0，又A≥0，B≥0，故A≥B.
3.[多选]下列说法不正确的是（　AD　）
A.一个不等式的两边同时加上或同时乘以同一个数，不等号方向不变
B.若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞
C.若ab＞0，a＞b，则＜
D.若x＞y，则x2＞y2
4.[教材改编]已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则2a－b的取值范围是　（5，8）　.
解析　∵2＜a＜3，∴4＜2a＜6　①.∵－2＜b＜－1，∴1＜－b＜2　②.①＋②得，5＜2a－b＜8.
研透高考 明确方向
命题点1　比较两个数（式）的大小
例1 （1）[2024湖北襄阳宜城第一中学模拟]已知0＜a＜，若A＝1＋a2，B＝，则A与B的大小关系是（　A　）
A.A＜B B.A＞B C.A＝B D.不确定
解析　A－B＝1＋a2－＝＝＝，因为0＜a＜，所以
1－a＞0，－a2＋a－1＝－（a－）2－＜－＜0，所以A－B＜0，即A＜B.故选A.
（2）eπ·πe与ee·ππ 的大小关系为　eπ·πe＜ee·ππ　.
解析　＝＝（）π－e，又0＜＜1，0＜π－e＜1，所以（）π－e＜1，即＜1，又ee·ππ＞0，所以eπ·πe＜ee·ππ.
方法技巧
比较数（式）大小的常用方法
1.作差法：（1）作差；（2）变形；（3）定号；（4）得出结论.
2.作商法：（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小关系；（4）得出结论.
3.构造函数，利用函数的单调性比较大小.
训练1 （1）若a＞b＞1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是（　C　）
A.P＞Q B.P＝Q C.P＜Q D.不能确定
解析　P，Q作商可得＝＝.
令f（x）＝，则f'（x）＝，
当x＞1时，f'（x）＞0 ，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，
因为a＞b＞1，所以＜，
又＞0，＞0，
所以＝＜1，所以P＜Q.
（2）[多选/2023江苏省南京市调研]已知a＞b＞0，则（　AC　）
A.＞
B.a－＞b－
C.a3－b3＞2（a2b－ab2）
D.－＞－
解析　对于A，因为函数y＝在（0，＋∞）上单调递减，a＞b＞0，所以＞，故A正确.
对于B，解法一　由a－＞b－，得a－b＋－＞0，即（a－b）（1－）＞0，
因为a＞b＞0，所以a－b＞0，ab＞0，
所以1－＞0，
所以ab＞1，而该式不一定成立，
所以不等式a－＞b－不一定成立，故B不正确.
解法二　当a＝，b＝时，a－＝－，b－＝－，则a－＜b－，故B不正确.
对于C，由a3－b3＞2（a2b－ab2），得（a－b）（a2－ab＋b2）＞0，因为a－b＞0，
所以a2＋b2－ab＞0，即（a－b）2＋ab＞0，该不等式恒成立，故C正确.
对于D，由－＞－，得－＞－，即＞，
所以＋＞＋，该不等式不成立，故D不正确.
综上所述，选AC.
命题点2　不等式的性质及其应用
角度1　不等式的性质
例2 （1）[全国卷Ⅱ]若a＞b，则（　C　）
A.ln（a－b）＞0 B.3a＜3b
C.a3－b3＞0 D.｜a｜＞｜b｜
解析　解法一　由函数y＝ln x的图象（图略）知，当0＜a－b＜1时，ln（a－b）＜0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a＞b时，3a＞3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b＜a＜0时，｜a｜＜｜b｜，故D不正确.故选C.
解法二　当a＝0.3，b＝－0.4时，ln（a－b）＜0，3a＞3b，｜a｜＜｜b｜，故排除A，B，D.故选C.
（2）[多选/2023湖南省邵阳二中模拟]如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列结论一定正确的是（　ACD　）
A.ab＞ac B.cb2＜ab2
C.c（b－a）＞0 D.ac（a－c）＜0
解析　由c＜b＜a，且ac＜0，得a＞0，c＜0.对于A，由c＜b，a＞0得ac＜ab，故A正确.对于B，取c＝－1，b＝0，a＝1，显然B不一定正确.对于C，b－a＜0，c＜0，故c（b－a）＞0，故C正确.对于D，ac＜0，a－c＞0，故ac（a－c）＜0，故D正确.故选ACD.
方法技巧
判断不等式是否成立的常用方法
（1）利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件；
（2）利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项；
（3）根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断.
角度2　不等式性质的综合应用
例3 （1）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是（　A　）
A.（－3，－1） B.（－1，－）
C.（－2，－1） D.（－1，－）
解析　因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.因为a＞b＞c，所以
－2a－c＜a，即3a＞－c，解得＞－3，将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得＜－1，所以－3＜＜－1.故选A.
（2）[2024湖北孝感部分学校模拟]已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，则3a－2b的取值范围为　[－4，11]　.
解析　设3a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b）＝（m＋n）a＋（m－n）b，则解得所以3a－2b＝（a＋b）＋（a－b）.又－≤（a＋b）≤1，－≤（a－b）≤10，所以－4≤3a－2b≤11.
方法技巧
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解.
训练2 （1）[2024吉林长春东北师范大学附属中学模拟]设a≥b≥c，且1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个实根，则的取值范围是（　A　）
A.[－2，－]
B.（－2，－）
C.（－∞，－2）∪（－，＋∞）
D.（－∞，－2]∪[－，＋∞）
解析　因为1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个实根，
所以a＋b＋c＝0，则b＝－a－c，
又a≥b≥c，所以a≥－a－c≥c，则
又a≥b≥c，所以3a≥a＋b＋c＝0，又a≠0，所以a＞0，
则不等式组等价于即故－2≤≤－，故选A.
（2）[多选/2024山东省鄄城县第一中学模拟]已知a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是（　ABC　）
A.若bc2＜ac2，则b＜a
B.若a3＞b3且ab＜0，则＞
C.若a＞b＞c＞0，则＞
D.若c＞b＞a＞0，则＞
解析　选项A，若bc2＜ac2成立，则c≠0，所以c2＞0，故选项A正确；
选项B，由a3＞b3得a＞b，又ab＜0，所以a＞0＞b，所以＞0＞，故选项B正确；
选项C，因为a＞b＞c＞0，所以ac＞bc，所以ac＋ab＞bc＋ab，因为＞0，所以两边同乘得＞，故选项C正确；
选项D，易知a－b＜0，c－a＞0，c－b＞0，所以－＝＜0，即＜，故选项D不正确.
故选ABC.第4讲　基本不等式
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
掌握基本不等式≤（a，b≥0）.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 利用基本不等式求最值 2021天津T13；2020新高考卷ⅠT11；2020天津T14；2019天津T13 本讲是高考的热点，常作为工具与其他知识综合考查，主要考查基本不等式及其应用，如求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件.题型以选择题、填空题为主，难度不大.预计2025年高考命题点变化不大，但应加强对应用基本不等式解决实际问题的重视.
基本不等式的综合问题 2022新高考卷ⅡT12；2021浙江T8；2020新高考卷ⅡT12
1.基本不等式：≤
（1）基本不等式成立的条件：①　a＞0，b＞0　.
（2）等号成立的条件：当且仅当②　a＝b　时取等号.
（3）其中，③　　叫做a，b的算术平均数，④　　叫做a，b的几何平均数.基本不等式表明：正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数.
注意　若a＜0，b＜0，应先转化为－a＞0，－b＞0，再运用基本不等式求解.
2.几个重要不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.
（2）a＋b≥2（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.
（3）≤≤≤（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.
思维拓展
基本不等式链的几何解释
如图，AB是☉O的直径，AC＝a，CB＝b，点D，F在☉O上，且DC⊥AB，FO⊥AB，连接DA，DO，DB，FC，作CE⊥DO，垂足为E.由图可知，☉O的半径等于＝＝.
（1）因为DC是Rt△ADB斜边上的高，所以由射影定理得DC2＝AC·CB＝ab DC＝.由DO≥DC得≥，当且仅当C与O重合，即a＝b时不等式取等号.
（2）因为CE是Rt△DOC斜边上的高，所以由射影定理得DC2＝DE·DO，所以DE＝＝＝.由DC≥DE得≥，当且仅当C与E重合，即a＝b时不等式取等号.
（3）因为OC＝AC－AO＝a－＝，OF＝，所以在Rt△COF中，由勾股定理可得CF＝＝＝.由CF≥OF得≥，当且仅当C与O重合，即a＝b时不等式取等号.
则由（1）（2）（3）可得不等式链：≤≤≤，当且仅当a＝b时不等式取等号.
拓展思维：类似地，我们可以由DO≥DE得≥；由CF≥DE得≥；由CF≥DC得≥.
归纳总结：不等式链≤≤≤一共包含了6个不等式（它们取等号的条件一致，均是当且仅当a＝b时不等式取等号），对于其中的每一个不等式，我们都可以根据上图给出它的几何解释.
注意　，，，分别称为正实数a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数，故基本不等式链也称为均值不等式.
3.利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0.
（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值⑤　2　（简记：积定和最小）；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值⑥　　（简记：和定积最大）.
注意　应用基本不等式求最值应满足三个条件“一正”“二定”“三相等”.
1.下列说法正确的是（　C　）
A.函数y＝x＋的最小值是2
B.函数f（x）＝cos x＋，x∈（0，）的最小值为4
C.“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充分不必要条件
D.不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件
2.矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是（　B　）
A.4 B. C. D.2
解析　依题意可得a＞0，b＞0，则6＝a＋2b≥2＝2·，当且仅当a＝2b时取等号，所以ab≤＝，即矩形面积的最大值为.故选B.
3.已知a，b为正数，则下列不等式中不成立的是（　D　）
A.ab≤ B.ab≤（）2 C.≥ D.≥
解析　易知A，B成立；对于C，因为a2＋b2≥2ab，所以2（a2＋b2）≥（a＋b）2，所以≥（）2，所以≥，故C成立；对于D，取a＝4，b＝1，代入可知，不等式不成立，故D不成立.由以上分析可知，选D.
4.[教材改编]已知x＞2，则＋x的最小值是　6　.
解析　由x＞2知x－2＞0，则＋x＝＋（x－2）＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝x－2，即x＝4时取“＝”，所以＋x的最小值是6.
研透高考 明确方向
命题点1　利用基本不等式求最值
角度1　配凑法
例1 （1）[2024四川省南充第一中学模拟]已知a＞b＞0，则2a＋＋的最小值为（　D　）
A.4 B.6 C.3 D.10
解析　∵a＞b＞0，∴a＋b＞0，a－b＞0，∴2a＋＋＝[（a＋b）＋]＋[（a－b）＋]≥2＋2＝6＋4＝10，当且仅当a＋b＝且a－b＝，即a＝，b＝时取等号，故2a＋＋的最小值为10.故选D.
（2）[2024宁夏银川模拟]已知0＜x＜4，则的最大值为　2　.
解析　0＜x＜4，则0＜4－x＜4，由基本不等式可得≤＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，等号成立.故的最大值为2.
角度2　常数代换法
例2 （1）[2023江西省南昌一中模拟]已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为（　C　）
A.54 B.56 C.72 D.81
解析　解法一　因为8a＋4b＝ab，所以b＝＞0，因为a＞0，所以a＞4，所以8a＋b＝8a＋＝＝8[（a－4）＋＋5]≥8×（2＋5）＝72，当且仅当a＝6时取等号.故选C.
解法二　∵8a＋4b＝ab，a＞0，b＞0，∴＋＝1，∴8a＋b＝（8a＋b）（＋）＝＋＋40≥2＋40＝72，当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取“＝”，故选C.
（2）[山东高考]若直线＋＝1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a＋b的最小值为8.
解析　∵直线＋＝1（a＞0，b＞0）过点（1，2），∴＋＝1.∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝（2a＋b）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝和＋＝1同时成立，即a＝2，b＝4时等号成立，∴2a＋b的最小值为8.
角度3　消元法
例3 （1）[2024河南名校调研]若正数x，y满足xy－2x－y＝0，则x＋的最小值是（　C　）
A.2 B.2 C.4 D.4
解析　因为正数x，y满足xy－2x－y＝0，所以y＝＞0，则x－1＞0，所以x＋＝x＋＝x＋＋1＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.故选C.
（2）[江苏高考]已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是　　.
解析　解法一　由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，故x2＋y2的最小值是.
解法二　因为4＝（5x2＋y2）·4y2≤[]2＝，所以x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，故x2＋y2的最小值是.
方法技巧
1.基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.
2.配凑、常数代换、消元的目的都是为了凑出和为定值或者积为定值的形式.
3.多次使用基本不等式时，尤其要注意等号能否同时成立.
训练1 （1）[2024辽宁省阜新市高级中学模拟]两个正实数x，y满足＋＝1，若关于m的不等式x＋＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是（　C　）
A.（－1，4） B.（－4，1）
C.（－∞，－4）∪（1，＋∞） D.（－∞，－3）∪（0，＋∞）
解析　∵正实数x，y满足＋＝1，∴x＋＝（x＋）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝且＋＝1，即x＝2，y＝8时取等号.∵不等式x＋＜m2＋3m有解，∴4＜m2＋3m，解得m＞1或m＜－4，即m∈（－∞，－4）∪（1，＋∞）.故选C.
（2）[2021天津高考]若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为　2　.
解析　因为＋＋b≥2＋b＝＋b≥2，当且仅当即a＝b＝时取等号，所以＋＋b的最小值为2.
（3）[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为　1　.
解析　因为4x2－3xy＋y2－z＝0，所以z＝4x2－3xy＋y2，所以＝＝≤＝＝1，当且仅当＝，即y＝2x时等号成立，所以的最大值为1.
命题点2　基本不等式的综合问题
角度1　基本不等式的综合应用
例4 （1）[2021浙江高考]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，
sinγcosα三个值中，大于的个数的最大值是（　C　）
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin α，cos β，sin β，cos γ，sin γ，cos α均为正数.由基本不等式可知sin αcos β≤，sin βcos γ≤，sin γcosα≤
，三式相加可得sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcosα≤，当且仅当sin α＝
cos β，sin β＝cos γ，sin γ＝cos α，即α＝β＝γ＝时取等号，因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcosα＜，所以sin αcos β，sin βcos γ，sin γcosα不会都大于.若取α＝，β＝，γ＝，则sincos＝×＝＜，sincos＝×＝＞＝，sincos＝×＝＞，所以三个值中大于的个数的最大值为2.故选C.
（2）[多选/2022新高考卷Ⅱ]若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（　BC　）
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
解析　解法一　由题意得，x2＋y2＝xy＋1，所以（x＋y）2＝3xy＋1，当x＞0且y＞0时，显然有（x＋y）2＞1，即x＋y＞1，故A错误.因为x2＋y2≥2xy，所以xy＋1≥2xy，所以xy≤1，所以x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立，故C正确.因为（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝3xy＋1≤4，所以｜x＋y｜≤2，所以－2≤x＋y≤2，故B正确.因为x2＋y2＝xy＋1，所以当xy＜0时，x2＋y2＜1，故D错误.故选BC.
解法二　由x2＋y2－xy＝（x－y）2＋y2＝1，可设x－y＝cos α，y＝sin α，所以x＝＋cos α，y＝.x＋y＝sin α＋cos α＝2sin（α＋）∈[－2，2]，且当α＝时，x＋y可取得最大值2，故A错误，B正确.x2＋y2＝＝∈[，2]，且当α＝－时，x2＋y2取得最小值，所以C正确，D错误，故选BC.
角度2　利用基本不等式解决实际问题
例5 [江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是　30　.
解析　一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4（＋x）≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
例6 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G（x）万元，且G（x）＝每台该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润W（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式（利润＝销售收入－成本）.
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
解析　（1）由题意可得，当0＜x≤50时，W（x）＝200x－（x2＋120x）－200＝－x2＋80x－200，当50＜x≤100时，W（x）＝200x－（201x＋－2 100）－200＝－（x＋）＋1 900，
故W（x）＝
（2）当0＜x≤50时，W（x）＝－x2＋80x－200＝－（x－40）2＋1 400，W（x）max＝
W（40）＝1 400；
当50＜x≤100时，W（x）＝－（x＋）＋1 900≤－2＋1 900＝1 760，当且仅当x＝，即x＝70时等号成立，此时W（x）max＝1 760.
综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1 760万元.
方法技巧
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
训练2 （1）[2024陕西省商洛市部分学校阶段测试]在△ABC中，＝，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设＝x＋y（x，y∈R），则的最小值是（　D　）
A.6 B.7 C.8 D.9
解析　如图，因为＝，所以＝，因为＝x＋y，所以＝x＋y，因为A，D，E三点共线，所以x＋y＝1，易知x＞0，y＞0，所以＝＋＝（＋）（x＋y）＝＋4＋1＋≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，所以的最小值是9，故选D.
（2）[2023湖南省部分学校联考]某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1 800平方米的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的最大面积是（　C　）
A.1 208平方米 B.1 448平方米
C.1 568平方米 D.1 698平方米
解析　设AB＝x米，x＞0，则种植花卉区域的面积S＝（x－4）（－2）＝－2x－＋1 808.因为x＞0，所以2x＋≥2＝240，当且仅当x＝60时，等号成立，则S≤－240＋1 808＝1 568，即当AB＝60米，BC＝30米时，种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1 568平方米，故选C.
思维帮·提升思维　快速解题
基本不等式链与柯西不等式的应用
角度1　求最值
例7 已知x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y的最小值为　20　.
解析　解法一（基本不等式链法）　＝－2≥－2＝－2＝10，当且仅当x＝y＝10时取等号，故x＋y的最小值为20.
解法二（柯西不等式法）　∵x，y均为正实数，且＋＝，∴6（＋）＝1，则
x＋y＝（x＋2）＋（y＋2）－4＝6（＋）[（x＋2）＋（y＋2）]－4≥
6[＋]2－4＝20，当且仅当（x＋2）2＝（y＋2）2，且＋＝，即x＝y＝10时取等号，则x＋y的最小值为20.
解法三（基本不等式法）　∵x，y均为正实数，且＋＝，∴6（＋）＝1，则
x＋y＝（x＋2）＋（y＋2）－4＝6（＋）[（x＋2）＋（y＋2）]－4＝6（2＋＋）－4≥6（2＋2）－4＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号，则x＋y的最小值为20.
角度2　判断关于不等式的命题的真假
例8 [2024四川成都联考]已知正实数m，n满足m＋n＝1，则下列不等式中错误的是（　D　）
A.mn≤ B.2m2＋2n2≥1
C.m（n＋1）＜1 D.＋≤1
解析　对于A，mn≤（）2＝，当且仅当m＝n＝时取等号，选项A正确.
对于B，≤ m2＋n2≥＝，当且仅当m＝n＝时取等号，选项B正确.
对于C，易知m，n∈（0，1），mn＜n m（n＋1）＜n＋m＝1，选项C正确.
对于D，≤＝ ＋≤，当且仅当m＝n＝时取等号，选项D错误.故选D.
方法技巧
1.柯西不等式：（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
2.无论是均值不等式还是柯西不等式，在使用的时候都要注意“配凑”技巧，还要注意验证等号成立的条件.
训练3 （1）已知正实数x，y满足＋＝1，则x＋y的最小值是　　.
解析　x＋y＝[（x＋3y）＋（4x＋2y）]＝[（x＋3y）＋（4x＋2y）]（＋）≥[＋]2＝，当且仅当（x＋3y）2＝（4x＋2y）2且＋＝1时等号成立，即x＝，y＝时，x＋y取得最小值.
（2）[多选/2024云南省大理模拟]若12a＝3，12b＝4，则下列结论正确的是（　ACD　）
A.＞1 B.ab＞ C.a2＋b2＞ D.2a－b＞
解析　由12a＝3，12b＝4得a＝log123，b＝log124，a＋b＝log123＋log124＝log1212＝1，且a＝log123＞log121＝0，b＝log124＞log121＝0.
选项A：＝＝log34＞log33＝1，故A正确.
选项B：ab≤（）2＝，当且仅当a＝b时等号成立，因为a≠b，所以ab＜，故B错误.
选项C：a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，因为a≠b，所以a2＋b2＞，故C正确.
选项D：a－b＝log123－log124＝log12＞log12＝－1，
所以2a－b＞2－1＝，故D正确.故选ACD.第5讲　二次函数与一元二次方程、不等式
课标要求 命题点 五年考情 命题分析预测
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 二次函数的图象与性质 2023新高考卷ⅠT4；2020新高考卷ⅡT7 本讲很少单独命题，常与其他知识综合命题，如作为工具求解集合、函数、导数、圆锥曲线等问题，命题热点有一元二次不等式的解法及恒成立问题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养.预计2025年高考命题点变化不大，复习备考时要重点掌握一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质，并能充分运用.
“三个二次”之间的关系与一元二次不等式的解法
一元二次不等式的恒成立问题 2019天津T8
1.二次函数的图象与性质
函数 y＝ax2＋bx＋c（a＞0） y＝ax2＋bx＋c（a＜0）
图象 开口向上的抛物线 开口向下的抛物线
定义域 R R
值域 [，＋∞） （－∞，]
单调性 在①　（－∞，－）　上单调递减， 在②　（－，＋∞）　上单调递增 在③　（－∞，－）　上单调递增， 在④　（－，＋∞）　上单调递减
奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点坐标 （－，）
对称轴 直线x＝⑤　－　
注意　对于函数y＝ax2＋bx＋c，要使它是二次函数，就必须满足a≠0.当题中条件未说明a≠0时，要讨论a＝0和a≠0两种情况.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个相异的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝⑥－　 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 ⑦　{x｜x＜x1或x＞x2}　 {x｜x≠－} ⑧　R　
ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 ⑨　{x｜x1＜x＜x2}　 ⑩　 　
对于a＜0的情况同理可得出相应的结论.
注意　（1）当二次项系数含参时，需要对参数分类讨论；（2）对于含参的一元二次不等式，需要注意对应的一元二次方程两根的大小关系.
常用结论
分式不等式的解法
（1）＞0 f（x）g（x）＞0；（2）＜0 f（x）g（x）＜0；（3）≥0
（4）≤0 （5）＜a（a≠0） －a＜0（a≠0）.
1.不等式＜0的解集为（　B　）
A. B.（2，3）
C.（－∞，2）∪（3，＋∞） D.（－∞，＋∞）
解析　＜0等价于（x－3）（x－2）＜0，解得2＜x＜3.
2.已知函数f（x）＝ax2＋ax＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是（　B　）
A.（0，20） B.[0，20） C.[0，20] D.[20，＋∞）
3.一元二次不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x｜x＞3或x＜－2}，则m＋n的值是（　D　）
A.14 B.0 C.－10 D.－14
解析　由题意可知一元二次方程2x2＋mx＋n＝0的两个根分别为3，－2，所以由根与系数的关系得解得所以m＋n＝－14.故选D.
4.[多选]下列说法不正确的是（　BCD　）
A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0
B.若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R
C.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且b2－4ac≤0
D.≥0 （x－a）（x－b）≥0（a≠b）
5.＜1＋的解集为　[－1，0）∪（0，＋∞）　.
研透高考 明确方向
命题点1　二次函数的图象与性质
角度1　二次函数的图象及应用
例1 （1）[2024江苏省苏州市模拟]一次函数y＝ax－b（a≠0）与二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在同一坐标系中的大致图象是（　B　）
解析　若a＞0，则一次函数y＝ax－b（a≠0）为增函数，
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，则一次函数y＝ax－b（a≠0）为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象开口向下，故可排除D；对于选项C，由直线可知a＜0，b＞0，从而－＞0，即二次函数图象的对称轴应该在y轴的右侧，故应排除C.故选B.
（2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），且截x轴所得的线段长为2，若对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）＝　x2－4x＋3　.
解析　因为f（2－x）＝f（2＋x）对任意x∈R恒成立，所以f（x）图象的对称轴为直线x＝2.又f（x）的图象截x轴所得的线段长为2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）的解析式为f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0），因为f（x）的图象过点（4，3），所以3a＝3，即a＝1，所以f（x）＝（x－1）（x－3）＝x2－4x＋3.
方法技巧
识别二次函数图象应学会“三看”
一看符号 看二次项系数的符号，它的正负决定二次函数图象的开口方向.若符号不确定，要分类讨论.
二看对称轴 看对称轴和最值，它们决定二次函数图象的具体位置.
三看特殊点 看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等.
角度2　二次函数的性质及应用
例2 （1）[2024江西景德镇统考改编]若函数f（x）＝x2－3x－4在区间[t，t＋2]上的最小值为6，则实数t＝　－4或5　.
解析　当t＋2≤，即t≤－时，函数f（x）在区间[t，t＋2]上单调递减，则f（x）min＝
f（t＋2）＝（t＋2）2－3（t＋2）－4＝t2＋t－6＝6，解得t＝－4或t＝3（舍去）；当t≥时，函数f（x）在区间[t，t＋2]上单调递增，则f（x）min＝f（t）＝t2－3t－4＝6，解得t＝5或t＝－2（舍去）；当t＜＜t＋2，即－＜t＜时，函数f（x）min＝f（）＝－≠6.
综上所述，t＝－4或t＝5.
命题拓展
[变条件]若函数f（x）＝x2－3x－4在区间[t，t＋2]上的最大值为6，则实数t＝　－2或3　 .
解析　因为f（x）＝x2－3x－4在区间[t，t＋2]上的最大值为6，且其图象的对称轴方程为x＝，所以当－t＞1，即t＜时，f（x）max＝f（t）＝t2－3t－4＝6，解得t＝5（舍去）或t＝－2；当－t≤1，即t≥时，f（x）max＝f（t＋2）＝（t＋2）2－3（t＋2）－4＝t2＋t－6＝6，解得t＝－4（舍去）或t＝3.综上所述，t＝－2或3.
（2）若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞），则a＝　－3　.
解析　由题意知f（x）为二次函数且a＜0，＝－1，所以a＝－3.
命题拓展
[变条件]若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在区间[－1，＋∞）上单调递减，则实数a的取值范围是　[－3，0]　.
解析　当a＝0时，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上单调递减，满足题意；当a≠0时，
f（x）图象的对称轴为直线x＝，由f（x）在[－1，＋∞）上单调递减知解得－3≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－3，0].
方法技巧
1.二次函数的单调性取决于图象的开口方向及对称轴.
2.二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：①轴定区间定；②轴动区间定；③轴定区间动.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.
训练1 （1）已知函数f（x）＝x2－2（a＋2）x＋a2，g（x）＝－x2＋2（a－2）x－a2＋8.设H1（x）＝max{f（x），g（x）}，H2（x）＝min{f（x），g（x）}（max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值）.记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A－B＝（　C　）
A.a2－2a－16 B.a2＋2a－16
C.－16 D.16
解析　易知f（x）的图象的顶点坐标为（a＋2，－4a－4），g（x）的图象的顶点坐标为（a－2，－4a＋12），并且f（x）与g（x）的图象的顶点都在对方的图象上，f（x）与
g（x）的大致图象如图所示，所以A－B＝－4a－4－（－4a＋12）＝－16，故选C.
（2）已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，则实数a的值为　－1或2　.
解析　易知y＝－x2＋2ax＋1－a（x∈R）的图象的对称轴为直线x＝a.
当a＜0时，函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（0≤x≤1）的大致图象如图1中实线部分所示，当x＝0时，f（x）有最大值且f（x）max＝f（0）＝1－a，∴1－a＝2，即a＝－1.
当0≤a≤1时，函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（0≤x≤1）的大致图象如图2中实线部分所示，当x＝a时，f（x）有最大值且f（x）max＝f（a）＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，解得a＝.
∵0≤a≤1，∴a＝不满足题意.
当a＞1时，函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（0≤x≤1）的大致图象如图3中实线部分所示，当x＝1时，f（x）有最大值且f（x）max＝f（1）＝a＝2，∴a＝2.
综上可知，a的值为－1或2.
命题点2　“三个二次”之间的关系与一元二次不等式的解法
角度1　“三个二次”之间的关系
例3 [多选/2023山东枣庄调研]已知关于x的不等式（x＋2）（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2），则（　ABD　）
A.x1＋x2＝2 B.x1x2＜－8
C.－2＜x1＜x2＜4 D.x2－x1＞6
解析　解法一　（x＋2）（x－4）＋a＜0即（x＋2）（x－4）＜－a，作出f（x）＝（x＋2）（x－4）及y＝－a（a＜0）的图象，如图.因为（x＋2）（x－4）＋a＜0的解集是（x1，x2），所以f（x）＝（x＋2）·（x－4）的图象与直线y＝－a的交点的横坐标分别为x1，x2，则由图象易得x1＜－2＜4＜x2，x1＋x2＝－2＋4＝2，所以A正确，C错误.易知x2－x1＞4－（－2）＝6，所以D正确.因为－x1＞2，x2＞4，所以－x1x2＞8，所以x1x2＜－8，故B正确.故选ABD.
解法二　因为关于x的不等式（x＋2）（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2），所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，故A正确；x1x2＝a－8＜－8，故B正确；
x2－x1＝＝2＞6，故D正确；
由x2－x1＞6，x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4，故C错误.
故选ABD.
方法技巧
1.一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以代入根或利用根与系数的关系求待定系数.
角度2　一元二次不等式的解法
例4 [2024河南省名校调研]不等式－x2－｜x｜＋6＞0的解集为（　B　）
A.{x｜－2＜x＜3}
B.{x｜－2＜x＜2}
C.{x｜x＜－2或x＞3}
D.{x｜x＜－3或x＞2}
解析　不等式可化为｜x｜2＋｜x｜－6＜0，即－3＜｜x｜＜2，解得－2＜x＜2.故选B.
例5 [2024湖北省孝感市部分学校模拟]设a∈R，解关于x的不等式：ax2－（a＋4）x＋4≤0.
解析　∵ax2－（a＋4）x＋4≤0，
∴（ax－4）（x－1）≤0.
当a＝0时，原不等式可化为x－1≥0，解得x≥1.
当a≠0时，（ax－4）（x－1）＝0 x＝或x＝1，
①当a＜0时，＜1，此时原不等式的解集为x≤或x≥1；
②当0＜a＜4时，＞1，此时原不等式的解集为1≤x≤；
③当a＝4时，＝1，此时原不等式的解集为x＝1；
④当a＞4时，＜1，此时原不等式的解集为≤x≤1.
综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x｜x≥1}；当a＜0时，原不等式的解集为{x｜x≤或x≥1}；
当0＜a＜4时，原不等式的解集为{x｜1≤x≤}；
当a＝4时，原不等式的解集为{x｜x＝1}；
当a＞4时，原不等式的解集为{x｜≤x≤1}.
方法技巧
1.解不含参数的一元二次不等式
2.解含参数的一元二次不等式
训练2 （1）[2024山西太原模拟]不等式≤－1的解集为（　D　）
A.{x｜x≤或x≥1} B.{x｜x＜或x≥1}
C.{x｜≤x≤1} D.{x｜＜x≤1}
解析　由≤－1，得＋1≤0，
化简得≤0，得解得＜x≤1，
所以不等式≤－1的解集为{x｜＜x≤1}.
故选D.
（2）[多选/2024甘肃省张掖市模拟]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤3或x≥4}，则下列结论中正确的是（　AD　）
A.a＞0
B.ab＞0
C.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－或x＞}
D.a＋b＋c＞0
解析　由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤3或x≥4}得ax2＋bx＋c＝a（x－3）（x－4）＝
a（x2－7x＋12），a＞0，得b＝－7a，c＝12a，ab＝－7a2＜0，a＋b＋c＝6a＞0，故A正确、B错误、D正确.
对于选项C，cx2－bx＋a＜0可转化为12ax2＋7ax＋a＜0，又a＞0，可得12x2＋7x＋1＜0，解得－＜x＜－，所以不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜－＜x＜－}，故C错误.故选AD.
命题点3　一元二次不等式的恒成立问题
角度1　在R上恒成立
例6 [2023甘肃省酒泉市玉门油田第一中学期中]已知不等式x2－2x＋k2－1＞0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是（　C　）
A.（，＋∞）
B.（－∞，－）
C.（－∞，－）∪（，＋∞）
D.（－，）
解析　因为不等式x2－2x＋k2－1＞0对一切实数x恒成立，所以对应方程的Δ＝4－4（k2－1）＜0，解得k＞或k＜－.故选C.
角度2　在给定区间上恒成立
例7 [2023石家庄质检]当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为（　A　）
A.（－2，2） B.（－∞，－2）
C.[－2，2] D.（2，＋∞）
解析　设f（x）＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2.
①当≤－2，即m≤－4时，函数f（x）在[－2，2]上单调递增，
则f（x）min＝f（－2）＝2m＋5＞0，解得m＞－，此时m不存在；
②当－2＜＜2，即－4＜m＜4时，f（x）min＝f（）＝1－＞0，解得－2＜m＜2；
③当≥2，即m≥4时，函数f（x）在[－2，2]上单调递减，则f（x）min＝f（2）＝－2m＋5＞0，解得m＜，此时m不存在.
综上所述，实数m的取值范围是（－2，2）.
角度3　给定参数范围的恒成立
例8 [2023广东省深圳市模拟]对任意的实数m∈[0，2]，不等式（x－2）（x－3＋m）＞0恒成立，则x的取值范围是（　A　）
A.（－∞，1）∪（3，＋∞） B.（－∞，1）∪（2，＋∞）
C.（－∞，2）∪（3，＋∞） D.R
解析　依题意，对任意的实数m∈[0，2]，不等式（x－2）（x－3＋m）＞0，即（x－2）m＋（x－2）（x－3）＞0恒成立.令h（m）＝（x－2）m＋（x－2）（x－3），则解得x＜1或x＞3.故选A.
方法技巧
1.一元二次不等式在R上恒成立，可以利用判别式判断.
2.一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般分离参数求最值或分类讨论.
3.一元二次不等式在给定参数范围恒成立，可变换主元求解，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
方法技巧
求解不等式恒成立问题的常用方法
不等式解集法 不等式f（x）≥0在集合A中恒成立等价于集合A是不等式f（x）≥0的解集B的子集，通过求不等式的解集，并研究集合间的关系可以求出参数的取值范围.
分离参数法 若不等式f（x，λ）≥0（x∈D，λ为实参数）恒成立，将f（x，λ）≥0转化为λ≥ g（x）或λ≤g（x）（x∈D）恒成立，进而转化为λ≥g（x）max或λ≤g（x）min，求g（x）（x∈D）的最值即可.该方法适用于参数与变量能分离，函数最值易求的题目.
主参换位法 变换思维角度，即把主元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原参数的取值范围列式求解.一般地，条件给出谁的范围，就看成是有关谁的函数，利用函数单调性求解.
数形结 合法 结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x轴）求解.此外，若涉及的不等式能转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
训练3 （1）已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为（　C　）
A.（－∞，2）∪（3，＋∞）
B.（－∞，1）∪（2，＋∞）
C.（－∞，1）∪（3，＋∞）
D.（1，3）
解析　把不等式的左边看成关于a的一次函数，记f（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，则由
f（a）＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2－5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式组得x＜1或x＞3.故选C.
（2）[2024江苏省扬州市模拟]设函数f（x）＝mx2－mx－1，若对于任意的x∈{x｜1≤x≤2}，f（x）＜－m＋4恒成立，则（　C　）
A.m≤0 B.0≤m＜
C.m＜ D.0＜m＜
解析　∵ x∈[1，2]，mx2－mx－1＜－m＋4恒成立，
∴m（x2－x＋1）＜5对 x∈[1，2]恒成立，
又当x∈[1，2]时，y＝x2－x＋1＝（x－）2＋∈[1，3]，
∴m＜（）min＝，即m＜.
故选C.
（3）[2024湖南省长沙市模拟]已知关于x的不等式kx2－3kx＋k＋5＞0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为　[0，4）　.
解析　当k＝0时，不等式为5＞0，恒成立，符合题意；当k＞0时，若不等式kx2－3kx＋k＋5＞0对任意x∈R恒成立，则对应方程的Δ＝9k2－4k（k＋5）＜0，解得0＜k＜4；
当k＜0时，不等式kx2－3kx＋k＋5＞0不能对任意x∈R恒成立.
综上，k的取值范围是[0，4）.

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