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第三章 函数
第4节 反比例函数及其应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1反比例函数相关概念 ☆ 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题. 综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备掌握其各性质规律，并且多注意其与几何图形结合题的思考探究
考点2反比例函数的图象与性质 ☆☆
考点3 比例系数k的几何意义 ☆☆☆
考点4反比例函数与一次函数综合 ☆☆☆
考点5反比例函数的实际应用 ☆☆☆
1．反比例函数的概念：
我们把形如y＝(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．自变量x≠0．
反比例函数有三种表达形式：①y＝(k为常数，k≠0)；②y＝kx－1(k为常数，k≠0)；③xy＝k(k为常数，k≠0)．
2．反比例函数的图象：
反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线，且不与两坐标轴相交．
图象 k>0 k<0
3．反比例函数的性质：
(1)当k＞0时，图象的两个分支位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
(2)当k＜0时，图象的两个分支位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
(3)其图象既是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．
4．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
■考点一　反比例函数相关概念
◇典例1：（2023 大渡口区模拟）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C． D．
【考点】反比例函数的定义．
【答案】C
【点拨】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．
【解析】解：A、y＝3x+1是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝3x2是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
D、y＝是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数解析式的一般形式：y＝（k≠0）是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 大兴区一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①面积一定的等腰三角形，底边上的高y与底边长x；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；
③计划从A地到B地铺设一段铁轨，每日铺设长度y与铺设天数x．
其中，变量y与变量x满足反比例函数关系的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】反比例函数的定义．
【答案】B
【点拨】分别求出对应的y与x的关系判断即可．
【解析】解：①由题意得，等腰三角形的面积一定，底边上的高y与底边长x是反比例函数，符合题意；
②速度一定，泳池中的剩余水量y与放水时间x是正比例函数，不合题意；
③从A地到B地的距离一定每日铺设长度y与铺设天数x是反比例函数，符合题意；
所以变量y与变量x满足反比例函数关系的是①③．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
2．（2023 雁峰区校级一模）若函数y＝（n﹣2）是反比例函数，则n为（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上都不对
【考点】反比例函数的定义．
【答案】C
【点拨】根据反比例函数的定义可得n2﹣5＝﹣1，且n﹣2≠0，解可得答案．
【解析】解：由题意得：n2﹣5＝﹣1，且n﹣2≠0，
解得：n＝﹣2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
■考点二 反比例函数的图象与性质
◇典例2：（2023 镇海区校级一模）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y＝（k≠0）的大致图象是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【答案】B
【点拨】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可．
【解析】解：∵y＝k（x﹣1），
∴函数y＝k（x﹣1）过点（1，0），
故①④不合题意；
当k＞0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、三、四象限，函数y＝（k≠0）在一、三象限；
当k＜0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、二、四象限，函数y＝（k≠0）在二、四象限；
故②③符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
2．（2022 温州）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）y＝﹣，图象见解答；（2）x≤﹣或x＞0．
【点拨】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用描点法补充函数图象；
（2）利用数形结合思想确定关键点，从而求得相应的自变量的取值范围．
【解析】解：（1）把点（3，﹣2）代入y＝（k≠0），
﹣2＝，
解得：k＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
补充其函数图象如下：
（2）当y＝5时，﹣＝5，
解得：x＝﹣，
∴当y≤5，且y≠0时，x≤﹣或x＞0．
【点睛】本题考查反比例函数，掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键．
◆变式训练
1．（2022 德阳）一次函数y＝ax+1与反比例函数y＝﹣在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A．B． C．D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【答案】B
【点拨】根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，和a＜0，两方面分类讨论得出答案．
【解析】解：分两种情况：
（1）当a＞0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y＝﹣图象在第二、四象限，无选项符合；
（2）当a＜0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y＝﹣图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
2．（2021 浙江）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】A
【点拨】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．
【解析】解：∵反比例函数y＝中，k＝2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴（x1，y1），（x2，y2）两点在第三象限，点（x3，y3）在第一象限，
∴y2＜y1＜0＜y3．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3．（2022 富阳区二模）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（1）求这个反比例函数的表达式：
（2）判断点B（﹣1，6）是否在这个函数图象上，并说明你的理由；
（3）点C（x1，y1），D（x2，y2）是图象上的两点，若x1＜x2，比较y1和y2的大小，并说明你的理由．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）函数的解析式为y＝；
（2）点B不在这个函数图象上；
（3）当两点在同一象限时，y1＞y2；当两点在不同象限时，y1＜y2．
【点拨】（1）把点（2，3）代入y＝（k≠0）可得k的值，进而可得函数的解析式；
（2）把点B（﹣1，6）代入函数解析式，能满足解析式的点就在此函数图象上；
（3）根据反比例函数图象位于第一、三象限，分两种情况：当C和D都在同一象限时，根据x1＜x2，判断出y1＞y2；当C和D不在同一象限x1＜x2，判断出y1＜y2．
【解析】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴这个函数的解析式为y＝；
（2）把B（﹣1，6）代入y＝，则6≠，
故点B不在这个函数图象上；
（3）∵k＝6＞0，
∴反比例函数y＝（k≠0）的图象在一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，
∴当两点在同一象限时，y1＞y2；
当两点在不同象限时，y1＜y2．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
■考点三反比例系数k的几何意义
◇典例3：（2023 南湖区模拟）如图，在直角坐标系xOy中，矩形OACB被三条直线分割成六个小矩形，D是边OB的中点，DE＝2OE，反比例函数的图象经过小矩形的顶点F，G，若图中的阴影矩形面积S1和S2满足2S1+S2＝16，则k的值为 　24　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【答案】24．
【点拨】设，则，然后表示出HI、HG、EI、OI，再分别用k表示出S1、S2，最后代入2S1+S2＝16解关于k的方程即可．
【解析】解：设，则，
∴，
∴，，
∵2S1+S2＝16，
∴，
解得：k＝24．
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象、解一元一次方程、坐标与图形等知识，巧妙设点坐标，正确用k表示出S1、S2是解答本题的关键．
◆变式训练
1．（2022 衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝　　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】．
【点拨】作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，根据平行线分线段成比例求出DN，BN，OA，MN，再根据面积公式即可求出k的值．
【解析】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，
设C（m，），
则OM＝m，CM＝，
∵OE∥CM，AE＝CE，
∴＝＝1，
∴AO＝m，
∵DN∥CM，CD＝2BD，
∴＝＝＝，
∴DN＝，
∴D的纵坐标为，
∴＝，
∴x＝3m，
即ON＝3m，
∴MN＝2m，
∴BN＝m，
∴AB＝5m，
∵S△ABC＝6，
∴5m ＝6，
∴k＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
■考点四　反比例函数与一次函数综合
◇典例4：（2022 宁波）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．
【答案】（1）A（﹣3，2），y＝﹣；
（2）n＞2或n＜﹣2．
【点拨】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案；
（2）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．
【解析】解：（1）把A（a，2）的坐标代入y＝﹣x，即2＝﹣a，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，2），
又∵点A（﹣3，2）是反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，
∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，
当m＝﹣3时，n＝＝2，当m＝3时，n＝＝﹣2，
由图象可知，
若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范围为n＞2或n＜﹣2．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
◆变式训练
1．（2023 舟山三模）如图，一次函数y1＝x﹣1的图象与反比例函数的图象交于点A（2，m），B（n，﹣2），当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】D
【点拨】求出点A、点B的坐标，再根据两个函数的交点坐标以及增减性进行判断即可．
【解析】解：∵一次函数y1＝x﹣1的图象过点A（2，m），B（n，﹣2），
∴m＝2﹣1，n﹣1＝﹣2，
即m＝1，n＝﹣1，
∴点A（2，1），B（﹣1，﹣2），
由图象可知，
当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞2，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的交点坐标，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
2．（2023 萧山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（3，4），B（6，2）两点．
（1）求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点P（a，0）作x轴的垂线，与直线 y＝k1x+b（k1≠0）和函数 （k2≠0，x＞0）的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，直接写出a的取值范围；
（3）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试求m的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】（1）一次函数的表达式为：y1＝﹣x+6，反比例函数的表达式为：y＝；（2）0＜a＜3或a＞6；（3）m＝6﹣4．
【点拨】（1）依据题意，将A、B两点的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式，进而计算可以得解；
（2）依据题意，作出直线AB，根据图象可以找出点M在点N下方时对应的a的取值范围；
（3）依据题意，当直线AB与反比例函数图象相切时，即对应转化的二次方程的Δ＝0，从而可以得解．
【解析】解：（1）由题意，将A（3，4），B（6，2）代入y1＝k1x+b得
，
∴解得．
∴一次函数的表达式为：y1＝﹣x+6．
将A（3，4），B（6，2）代入反比例函数，
∴k2＝12．
∴反比例函数的表达式为：y＝．
（2）由题意，如图，过P作x轴的垂线，
∵点M在点N下方，
∴0＜a＜3或a＞6．
（3）由题意，
∵直线AB向下平移m个单位长度，且直线AB为y1＝﹣x+6，
∴可设平移后的表达式为：y1＝﹣x+6﹣m．
若平移后的直线与反比例函数y＝的图象只有一个交点，
∴可以将反比例函数表达式与平移后直线表达式建立方程得．
∴2x2﹣（18﹣3m）x+36＝0．
∵只有一个交点，
∴Δ＝（18﹣3m）2﹣288＝0．
∴m＝6±4．
∵反比例函数图象自变量x＞0，
∴6﹣m＞0，即m＜6．
∴m＝6﹣4，（m＝6+4舍去）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时需要熟练掌握并理解．
■考点五　反比例函数的实际应用
◇典例5：（2023 路桥区二模）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如表：
v（千米/小时） 75 80 85 90 95
t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
（1）根据表中的数据，分析说明平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数关系，并求出其表达式：
（2）汽车上午8：00从甲地出发，能否在上午10：30之前到达乙地？请说明理由．
【考点】反比例函数的应用．
【答案】（1）v＝（t≥3）；
（2）平均速度v的取值范围是75≤v≤．
【点拨】（1）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设v＝，利用待定系数法求出k即可；
（2）根据时间t＝2.5，求出速度，即可判断．
【解析】解：（1）由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，
设v＝，
∵v＝75时，t＝4，
∴k＝75×4＝300，
∴v＝（t≥3）；
（2）∵10.5﹣8＝2.5，
∴t＝2.5时，v＝＝120＞100，
∴汽车上午8：00从甲地出发，不能在上午10：30之前到乙地；
【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
◆变式训练
1．（2023 龙湾区模拟）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例函数关系，其图象如图所示，小慧想通过矫正治疗使近视眼镜的度数D不超过200度，则她需佩戴镜片的焦距f应满足（　　）
A．f＜0.5 B．f＞0.5 C．f≤0.5 D．f≥0.5
【考点】反比例函数的应用．
【答案】D
【点拨】先用待定系数法求出函数解析式，再根据D≤200求出f的取值范围即可．
【解析】解：设近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）的函数解析式为D＝，
把（0.25，400）代入解析式得：400＝，
解得k＝100，
∴D＝，
当D≤200时，即≤200，
解得f≥0.5，
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，由两个量成反比例关系，可得两者乘积一定，因此再用待定系数法解答．
2．（2023 玉环市二模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）的关系如表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．
桌面所受压强P（Pa） 100 200 400 500 800
受力面积S（m2） 2 1 0.5 0.4 0.25
（1）求桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式；
（2）现将另一长、宽、高分别为0.2m，0.3m，0.2m与长方体A相同重量的长方体B按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的关系满足（1）中的函数表达式，且该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
【考点】反比例函数的应用．
【答案】（1）P＝；
（2）这种摆放方式安全．
【点拨】（1）用待定系数法可得函数关系式；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【解析】解：（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设P＝，将（400，0.5）代入得：
0.5＝，
解得k＝200，
∴P＝；
（2）这种摆放方式安全，理由如下：
由图可知S＝0.3×0.2＝0.06（m2），
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，P＝≈3333（Pa），
∵3333＜5000，
∴这种摆放方式安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
1．（2023 杭州模拟）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（　　）
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的应用．
【答案】B
【点拨】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【解析】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y＝．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
2．（2022 丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（　　）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
【考点】反比例函数的应用．
【答案】A
【点拨】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．
【解析】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，
∴I＝．
∵已知电灯电路两端的电压U为220V，
∴I＝．
∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，
∴≤0.11，
∴R≥2000．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，利用已知条件列出不等式是解题的关键．
3．（2023 黄岩区一模）下列关于反比例函数的描述中，正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限 B．图象过点（1，3）
C．y随x的增大而增大 D．当x＞﹣1时，y＞3
【考点】反比例函数的性质．
【答案】A
【点拨】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案．
【解析】解：A．∵k＝﹣3＜0，即：函数的图象在二，四象限内，∴A正确，
B．∵1×3＝3≠﹣3，函数的图象不经过（1，3），∴B错误，
C．∵k＝﹣3＜0，即：在每个象限内，y随x的增大而增大，∴C错误，
D．∵当x＞﹣1时，则y＞3或y＜0，∴D错误，
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握比例系数k的意义与增减性，是解题的关键．
4．（2023 缙云县二模）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过12A，那么用电器的可变电阻应控制在（　　）范围内
A．R≥4Ω B．R≤4Ω C．R≥8Ω D．R≤8Ω
【考点】反比例函数的应用．
【答案】A
【点拨】根据函数的图象即可得到结论．
【解析】解：从图中可以看出：I的值随着R的增加而减小，呈反比例函数关系，
设，
代入I＝6，R＝8，
得，
∴k＝48，
∴，
令I＝12，则，
如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过12A，则用电器的可变电阻应控制在R≥4Ω范围内，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象，能够读懂反比例函数的图象是解决问题的关键．
5．（2022 宁波模拟）一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【答案】D
【点拨】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．
【解析】解：A、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，矛盾，错误；
B、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故错误；
C、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，故错误；
D、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，故正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6．（2013 定海区模拟）函数图象的大致形状是（　　）
A．B． C． D．
【考点】反比例函数的图象．
【答案】D
【点拨】由题意只需找到图象在x轴下方的不经过原点的函数图象即可．
【解析】解：由函数解析式可得x可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数；
所以函数图象应在x轴下方，并且x，y均不为0．
故选：D．
【点睛】解决本题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置．
7．（2023 舟山）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【点拨】根据反比例函数的性质，可以判断出y1，y2，y3的大小关系．
【解析】解：∵反比例函数y＝，
∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
8．（2021 富阳区二模）已知反比例函数y＝，当﹣2＜x＜﹣1，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣3＜y＜0 B．﹣2＜y＜﹣1 C．﹣10＜y＜﹣5 D．y＞﹣10
【考点】反比例函数的性质．
【答案】C
【点拨】根据反比例函数的增减性求出y的范围即可．
【解析】解：∵k＝10，且﹣2＜x＜﹣1，
∴在第三象限内，y随x的增大而减小，
当x＝﹣2时，y＝﹣5，
当x＝﹣1时，y＝﹣10，
∴﹣10＜y＜﹣5，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟记性质是解决问题的关键．
9．（2023 临海市一模）若反比例函数的图象经过点（2，k﹣n2﹣2），则k的取值范围为（　　）
A．k≤﹣2 B．k≤﹣4 C．k≥2 D．k≥4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】D
【点拨】将点（2，k﹣n2﹣2）代入，求出k的值，再根据2n2≥0，即可求出k的取值范围．
【解析】解：∵反比例函数的图象经过点（2，k﹣n2﹣2），
∴2（k﹣n2﹣2）＝k，
∴k＝2n2+4，
∵2n2≥0，
∴k≥4．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟知将点坐标代入解析式左右相等是解题的关键．
10．（2023 金华）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解是（　　）
A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】A
【点拨】依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
【解析】解：∵A（2，3）在反比例函数上，
∴k＝6．
又B（m，﹣2）在反比例函数上，
∴m＝﹣3．
∴B（﹣3，﹣2）．
结合图象，
∴当ax+b＞时，﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数、一次函数的图象和性质，通过图象直接得出一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
11．（2023 温岭市一模）已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则m的取值范围为 　m＜﹣4　．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【答案】见试题解答内容
【点拨】根据反比例函数的性质得到m+4＜0，解不等式即可得到答案．
【解析】解：∵的图象位于第二、第四象限，
∴m+4＜0，
∴m＜﹣4，
即m的取值范围为m＜﹣4．
故答案为：m＜﹣4．
【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
12．（2023 温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　20　mL．
【考点】反比例函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【点拨】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．
【解析】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
当p＝75kPa时，V＝＝80，
当p＝100kPa时，V＝＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
13．（2023 义乌市模拟）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于A（2，3），B（m，1）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 　2＜x＜6　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】2＜x＜6．
【点拨】首先求得点B的坐标，然后根据图象直线在反比例函数图象的上方部分的对应的自变量的值即为所求．
【解析】解：∵一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于A（2，3），B（m，1）两点，
∴k＝2×3＝m×1，
∴m＝6，
∴B（6，1），
由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围为2＜x＜6，
故答案为：2＜x＜6．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
14．（2023 衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 　24　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；反比例函数的图象．
【答案】见试题解答内容
【点拨】设OA＝4a，因为OA＝2AB，所以AB＝2a，则A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，则C（4a，4a），因为CD⊥y轴，P在CD上，所以P点纵坐标为4a，则P点横坐标为：x＝k4a，由于Q为BE中点，切BE⊥x轴，所以BQ＝AB＝a，则Q（6a，a），由于Q在反比例函数y＝（k＞0）上，所以k＝6a2，根据已知阴影为矩形，长为，宽为：a，面积为6，所以可得12×k4a×a＝6，即可解决．
【解析】解：设OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q为BE中点，
∴BQ＝AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C（4a，4a），
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，
∴P点横坐标为：x＝，
∴P（，4a），
∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，
∴四边形OMNH是矩形，
∴NH＝，MH＝a，
∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，
则k＝24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解决问题的关键．
15．（2021 宁波）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为 　或　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【答案】或．
【点拨】设点A的坐标为（m，），由“倒数点”的定义，得点B坐标为（，），分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，得＝，解出m＝±2，（﹣2舍去），得点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；②点B在DC上，得点B横坐标为3，即＝3，求出点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC＝×3×＝．
【解析】解：设点A的坐标为（m，），
∵点B是点A的“倒数点”，
∴点B坐标为（，），
∵点B的横纵坐标满足＝，
∴点B在某个反比例函数上，
∴点B不可能在OE，OC上，
分两种情况：
①点B在ED上，
由ED∥x轴，
∴点B、点A的纵坐标相等，即＝，
∴m＝±2（﹣2舍去），
∴点B纵坐标为1，
此时，S△OBC＝×3×1＝；
②点B在DC上，
∴点B横坐标为3，即＝3，
∴点B纵坐标为：＝，
此时，S△OBC＝×3×＝；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的阅读理解能力，三角形面积的求法．解题关键是理解“倒数点”的定义．
16．（2022 湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 　y＝﹣　．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质．
【答案】y＝﹣．
【点拨】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．由tan∠ABO＝＝3，可以假设OB＝a，OA＝3a，利用全等三角形的性质分别求出C（a，2a），D（﹣2a，3a），可得结论．
【解析】解：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．
∵tan∠ABO＝＝3，
∴可以假设OB＝a，OA＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，
∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，
∴∠ABO＝∠BCT，
∴△AOB≌△BTC（AAS），
∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，
∴OT＝BT﹣OB＝2a，
∴C（a，2a），
∵点C在y＝的图象上，
∴2a2＝1，
同法可证△CHD≌△BTC，
∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，
∴D（﹣2a，3a），
设经过点D的反比例函数的解析式为y＝，则有﹣2a×3a＝k，
∴k＝﹣6a2＝﹣3，
∴经过点D的反比例函数的解析式是y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
17．（2023 瓯海区模拟）已知反比例函数的图象的左支如图所示，它经过点B（﹣3，2）．
（1）求这个反比例函数的表达式．补画这个反比例函数图象的另一支．
（2）当y≤4，且y≠0时，求自变量x的取值范围．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝﹣，图象见解答；
（2）x≤﹣或x＞0．
【点拨】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用描点法补充函数图象；
（2）利用数形结合思想确定关键点，从而求得相应的自变量的取值范围．
【解析】解：（1）把点（﹣3，2）代入，得2＝，
解得：k＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
补充其函数图象如下：
（2）当y＝4时，﹣＝4，
解得：x＝﹣＝﹣，
∴当y≤4，且y≠0时，x≤﹣或x＞0．
【点睛】本题考查反比例函数图象，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法及反比例函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
18．（2022 台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
【考点】反比例函数的应用．
【答案】（1）y＝；
（2）4cm．
【点拨】（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；
（2）根据解析式代入数值解答即可．
【解析】解：（1）由题意设：y＝，
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y关于x的函数解析式为：y＝；
（2）把y＝3代入y＝，得，x＝4，
∴小孔到蜡烛的距离为4cm．
【点睛】此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定系数法得出反比例函数的解析式解答．
19．（2021 德清县校级模拟）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
【考点】反比例函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）由反比例函数的性质可得，①；﹣＝a﹣4，②；可求a的值和k的值；
（2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解析】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1最大值为，①；
当x＝2时，y2最小值为﹣＝a﹣4，②；
由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圆圆的说法不正确，
理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，
则m0＜0，m0+1＞0，
∴当x＝m0时，p＝y1＝，
当x＝m0+1时，q＝y1＝＞0，
∴p＜0＜q，
∴圆圆的说法不正确．
方法二、当x＝m时，p＝y1＝，当x＝m+1时，q＝y1＝，
∴p﹣q＝﹣＝，
∴当m＜﹣1时，则p﹣q＝＞0，
∴p＞q，
当﹣1＜m＜0时，则p﹣q＝＜0，
∴p＜q，
当m＞0时，则p﹣q＝＞0，
∴p＞q，
∴圆圆的说法不正确．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是本题的关键．
20．（2021 杭州）在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】（1）①k1＝2，k2＝2；②x＞1；
（2）k1+k3＝0．
【点拨】（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），分别代入y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0），y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）即可求得k1，k2的值；
②根据图象即可求得；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），根据待定系数法即可求得k1＝x0 y，k3＝﹣x0 y，即可求得k1+k3＝0．
【解析】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），
∵函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，
∴2＝，2＝k2，
∴k1＝2，k2＝2；
②由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），
∴k1＝x0 y，k3＝﹣x0 y，
∴k1+k3＝0．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称的性质，待定系数法求函数的解析式，表示出B的坐标是解题的关键．
22．（2023 永康市一模）如图，在平面直角坐标系中，曲线AB是反比例函数图象的一部分．把曲线AB关于y轴对称，再向下平移m（m＞0）个单位得到曲线CD，且点D恰好在直线AB上．已知点B的坐标为（﹣1，﹣3），A，B两点间的水平距离为2．
（1）求曲线AB所在的反比例函数的解析式；
（2）求m的值．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数的图象．
【答案】（1）；
（2）m＝2．
【点拨】（1）将点B的坐标为（﹣1，﹣3）代入，即可求解；
（2）先求出点A的坐标为（﹣3，﹣1），再求出直线AB的关系式为：y＝﹣x﹣4，求出点D的坐标，即可求解．
【解析】解：（1）设：曲线AB所在的反比例函数的解析式，
将点B的坐标为（﹣1，﹣3）代入，得：，
解得：k＝3，
∴曲线AB所在的反比例函数的解析式为：；
（2）∵A，B两点间的水平距离为2，
∴点A的横坐标为x＝﹣3，
将点A的横坐标x＝﹣3代入，得：，
解得：y＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣3，﹣1），
设直线AB的关系式为：y＝ax+b，
∵y＝ax+b的图象经过点A（﹣3，﹣1）和点B（﹣1，﹣3），
则，
解得，
∴直线AB的关系式为：y＝﹣x﹣4，
∵把曲线AB关于y轴对称，
∴对称后点B的对应点为点F，
∴点F的坐标为（1，﹣3），
∵把曲线AB关于y轴对称，再向下平移m（m＞0）个单位得到曲线CD，且点D恰好在直线AB上．
∴点D的横坐标为1，
将点D的横坐标x＝1代入y＝﹣x﹣4，
得：y＝﹣1﹣4＝﹣5，
∴点D的坐标为（1，﹣5），
∵点F的坐标为（1，﹣3），
∴m＝﹣3﹣（﹣5）＝2．
【点睛】本题考查求反比例函数的关系式及反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据题意，正确求出关系式．
23．（2022 金华）如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1．
（1）求k的值及点D的坐标．
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【答案】（1）k＝4，（4，1）；
（2）2≤x≤4．
【点拨】（1）根据点C（2，2）在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，可以求得k的值，再把y＝1代入函数解析式，即可得到点D的坐标；
（2）根据题意和点C、D的坐标，可以直接写出点P的横坐标的取值范围．
【解析】解：（1）∵点C（2，2）在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，
∴2＝，
解得k＝4，
∵BD＝1．
∴点D的纵坐标为1，
∵点D在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，
∴1＝，
解得x＝4，
即点D的坐标为（4，1）；
（2）∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），
∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出k的值．
24．（2023 东阳市三模）
设计货船通过双曲线桥的方案
素材1 一座曲线桥如图1所示，当水面宽AB＝16米时，桥洞顶部离水面距离CD＝4米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．
素材2 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3米，EH＝9米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式h＝t．
问题解决
任务1 确定桥洞的形状 ①建立平面直角坐标系如图3所示，显然，CD落在第一象限的角平分线上． 甲说：点C可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点C落在（4，4）时，点A的坐标为 　（10，2）　，此时过点A的双曲线的函数表达式为 　y＝　，而点C所在双曲线的函数表达式为y＝显然不符合题意．
任务2 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？
【考点】反比例函数的应用；角平分线的性质；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称．
【答案】任务1：（10，2），y＝，乙正确；
任务2：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞．
【点拨】任务1：设曲线AB的解析式为y＝，把点C（4，4）代入，可得曲线AB的解析式为y＝，再由反比例函数图象的对称性可得：点D是AB的中点，OD⊥AB，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE于F，可得△CDE、△ADF是等腰直角三角形，进而可得D（6，6），A（10，2），点A（10，2）在双曲线y＝上与点C在双曲线y＝上矛盾；
任务2：设A（a，），B（b，），其中a＞b，则D（，），可得k＝ab，由CD＝4，AB＝16，可得（a﹣b）2＝128，C（﹣2，﹣2），可得k＝18，再根据矩形的性质可得E（，），即可判断此时货船不能通过；运用待定系数法可得直线EF的解析式为y＝x+，进而可得直线EF与双曲线的交点E′（，6），即可求得答案．
【解析】解：任务1：设曲线AB的解析式为y＝，把点C（4，4）代入，得：4＝，
解得：k＝32，
∴曲线AB的解析式为y＝，
∵CD落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于CD对称，即A、B关于第一象限角平分线y＝x对称，
∴点D是AB的中点，OD⊥AB，
过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE于F，如图，
则△CDE、△ADF是等腰直角三角形，
∵CD＝4，
∴CE＝DE＝2，
∴D（6，6），
∵AB＝16，
∴AD＝8，AF＝DF＝4，
∴A（10，2），
∵10×2＝40，
∴点A（10，2）在双曲线y＝上，
∴点C所在双曲线的函数表达式为y＝显然不符合题意．
故答案为：（10，2），y＝，乙正确；
任务2：设A（a，），B（b，），其中a＞b，则D（，），如图，
∵点D在直线y＝x上，
∴＝，即k＝ab，
∵CD＝4，AB＝16，
∴（a﹣b）2＝128，C（﹣2，﹣2），
∵（﹣2）2＝ab，
∴a+b＝10，
∴k＝ab＝＝18，
∴A（9，），B（，9），C（3，3），D（5，5），
∵四边形EFGH是矩形，
∴FG＝EH，GH＝EF，
∵EF＝3，EH＝9，
∴F（，），E（，），
∵×＝＜18，
∴此时货船不能通过该桥洞；
设直线EF的解析式为y＝x+n，把F（，）代入，得+n＝，
解得：n＝，
∴直线EF的解析式为y＝x+，
联立得x+＝，
解得：x1＝﹣6（舍去），x2＝，
∴E′（，6），
∴EE′＝，即h＝，
∵h＝t，
∴t＝5h＝，
故要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞．
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞．
【点睛】本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
1．（2023 山西模拟）下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝x2+3 C．y＝3x+1 D．y＝
【考点】反比例函数的定义．
【答案】D
【点拨】根据反比例函数的定义解答即可．
【解析】解：A、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、该函数是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是一次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义．反比例函数的定义：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
2．（2023 临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（　　）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系
【考点】反比例函数的定义．
【答案】A
【点拨】列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案．
【解析】解：根据题意得：Vt＝105，
∴V＝，V与t满足反比例函数关系；
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义．
3．（2023 丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（　　）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
【考点】反比例函数的应用．
【答案】A
【点拨】根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案．
【解析】解：∵，F＝100，
∴，
∵产生的压强p要大于1000Pa，
∴，
∴S＜0.1，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
4．（2022 婺城区一模）已知反比例函数，下列说法中错误的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣4） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
【考点】反比例函数的性质；坐标与图形变化﹣对称；正比例函数的性质．
【答案】D
【点拨】依据反比例函数的性质以及图象进行判断，即可得到错误的选项．
【解析】解：∵反比例函数中，k＝﹣4＜0，
∴图象在二，四象限内，故B选项正确；
∵﹣4×1＝﹣4，
∴图象必经过（1，﹣4），故A选项正确；
图象关于直线y＝x对称，故C选项正确；
∵反比例函数中，k＝﹣4＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
5．（2022 西湖区一模）如图，是三个反比例函数y1＝，y2＝，y3＝在y轴右侧的图象，则（　　）
A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【答案】C
【点拨】取x＝1分别代入三个函数中，可得y1，y2，y3的关系，即可求解．
【解析】解：当x＝1时，
y1＝k1，y2＝k2，y3＝k3，
从图中可得
y1＜y2＜y3，
∴k1＜k2＜k3，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象和性质，解题的关键是利用图象解决问题．
6．（2023 襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝的图象可能是（　　）
A．B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【答案】A
【点拨】根据一次函数和反比例函数的解析式，可分为两种情况进行讨论：①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；据此可得出答案．
【解析】解：分两种情况进行讨论：
①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；
∴一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝k/x的图象可能是A．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，熟练掌握一次函数得图象、反比例函数图象与系数的关系是解答此题的关键．
7．（2023 广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象．
【答案】C
【点拨】根据正比例函数的性质可以判断a的正负，根据反比例函数的性质可以判断b的正负，然后即可得到一次函数y＝ax+b的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解析】解：∵正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），点（1，﹣1）位于第四象限，
∴正比例函数y1＝ax的图象经过第二、四象限，
∴a＜0；
∵反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，
∴b＞0；
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出a、b的正负情况．
8．（2021 金华）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【点拨】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断点A在第二象限，点B在第四象限，从而判定y2＜0＜y1．
【解析】解：∵k＝﹣12＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴y2＜0＜y1；
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数y＝图象和性质是解题的关键，即当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象在第二、四象限内，且在每个象限内y随x的增大而增大．
9．（2023 宁波）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2＝（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】B
【点拨】根据图象即可．
【解析】解：由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．
10．（2023 湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠﹣2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p﹣m与q﹣n的积为负数时，t的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0 D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】D
【点拨】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得k1＝k2．令k1＝k2＝k，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出p﹣m与q﹣n的表达式，代入解不等式（p﹣m）（q﹣n）＜0并求出t的取值范围即可．
【解析】解：∵y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，
∴k1＝k2．
令k1＝k2＝k（k＞0），则y＝k1x＝kx，＝．
将点A（t，p）和点B（t+2，q）代入y＝kx，得；
将点C（t，m）和点D（t+2，n）代入y＝，得．
∴p﹣m＝kt﹣＝k（t﹣），q﹣n＝k（t+2）﹣＝k（t+2﹣），
∴（p﹣m）（q﹣n）＝k2（t﹣）（t+2﹣）＜0，
∴（t﹣）（t+2﹣）＜0．
∵（t﹣）（t+2﹣）＝ ＝＜0，
∴＜0，
∴t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0．
①当t＜﹣3时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，
∴t＜﹣3不符合要求，应舍去．
②当﹣3＜t＜﹣2时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，
∴﹣3＜t＜﹣2符合要求．
③当﹣2＜t＜0时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，
∴﹣2＜t＜0不符合要求，应舍去．
④当0＜t＜1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，
∴0＜t＜1符合要求．
⑤当t＞1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，
∴t＞1不符合要求，应舍去．
综上，t的取值范围是﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．
11．（2022 路桥区模拟）请你写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式 　y＝﹣，答案不唯一　．
【考点】反比例函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【点拨】根据反比例函数的性质可知，反比例函数过二、四象限则比例系数为负数，据此即可写出函数解析式．
【解析】解：由于反比例函数图象经过二、四象限，
所以比例系数为负数，
故解析式可以为y＝．答案不唯一．
故答案为：y＝，答案不唯一．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，难度不大，但具有开放性．
12．（2022 镇江）反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，y1＞y2，写出符合条件的k的值 　﹣1　（答案不唯一，写出一个即可）．
【考点】反比例函数的性质．
【答案】﹣1．
【点拨】先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可．
【解析】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，y1＞y2，
∴此反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k可为小于0的任意实数，例如，k＝﹣1等．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
13．（2023 宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 　12　，a的值为 　9　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【答案】12，9．
【点拨】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．
【解析】解：设A（m，），
∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，
∴E（，）．
∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，
∴B（﹣2m，﹣）．
∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，
∴D（﹣2m，﹣）．
∵△ABE的面积为9，
∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m ＝＝9．
∴a﹣b＝12．
∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，
∴S△BDE＝DB （+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b） （） m＝3（）＝5．
∴a＝﹣3b．
又a﹣b＝12．
∴a＝9．
故答案为：12，9．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键．
14．（2022 绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 　6　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；平移的性质；反比例函数的图象．
【答案】6．
【点拨】根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
【解析】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，
∴四边形HFGO的面积为2（a+），
∴k＝4a＝2（a+），
解得：a＝，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
15．（2023 余姚市二模）如图，y＝﹣2x+b与交于A、B两点，过B作y轴的垂线，垂足为C，交于点D，点D关于直线AB的对称点E恰好落在x轴上，且AE⊥x轴，连接BE，则＝　　；若△ABE的面积为15，则k1的值为 　20　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】，20．
【点拨】（1）设，则E（t，0），联立直线，则A，B的横坐标为方程的两个根，分别为x1，x2，根据根与系数的关系得出①，根据题意DE的中点在y＝﹣2x+b上，得②，联立①②即可求解；
（2）根据（1）的结论得出，，证明AD＝CD，勾股定理得出，，即，则或，根据，进而分类讨论，即可求解．
【解析】解：（1）设，则E（t，0），
联立，
即，
即2x2﹣bx+k1＝0，
则A，B的横坐标为方程的两个根，分别为x1，x2，
∴，
∵x1＝t，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，即①，
∵D，E关于直线AB对称，
∴DE的中点在y＝﹣2x+b上，
∴，
即②，
由①②得：，
即，
∴，
故答案为：．
（2）∵D，E关于AB对称，
∴AD＝AE，
又，，则，
∵，
∴，
则，
∴CD＝AE，
∴AD＝CD，
∵，，
∴，，
即，
解得：或，
∵，
，
当时，，无解（舍去），
当时，，
解得：t＝2，t＝﹣2（舍去），
∴k＝20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
16．（2023 嵊州市一模）如图，直线y＝x+3的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点B，AD⊥x轴于点D，平移直线y＝x+3的图象，使其经过点D，且与函数的图象交于点C，若AB＝2CD，则k的值为 　18　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】18．
【点拨】设A（m．m+3），通过△ABD∽△CDE表示出D的坐标，由k＝xy得到k＝m（m+3）＝ ，即可求得k的值．
【解析】解：作CE⊥x轴于E，
由直线y＝x+3可知B（﹣3，0），
∴OB＝3
设A（m．m+3），
∴OD＝m，AD＝m+3，
∴BD＝3+m，
由题意可知，△ABD∽△CDE，
∴＝，即＝＝，
∴DE＝，CE＝，
∴OE＝OD+DE＝m+＝，
∴D（，），
∵反比侧函数的图象过点A、点C，
∴k＝m（m+3）＝ ，
解得m＝3（负数舍去），
∴k＝m（m+3）＝3×6＝18，
故答案为：18．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的解析式，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，由k＝xy列出关于m的方程是解题的关键．
17．（2023 遵化市模拟）已知函数 y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m），
（1）当m，n为何值时是一次函数？
（2）当m，n为何值时，为正比例函数？
（3）当m，n为何值时，为反比例函数？
【考点】反比例函数的定义；一次函数的定义；正比例函数的定义．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）根据一次函数的定义知2﹣n＝1，且5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值；
（2）根据正比例函数的定义知2﹣n＝1，m+n＝0，5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值；
（3）根据反比例函数的定义知2﹣n＝﹣1，m+n＝0，5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值．
【解析】解：（1）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是一次函数时，
2﹣n＝1，且5m﹣3≠0，
解得：n＝1且m≠；
（2）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是正比例函数时，，
解得：n＝1，m＝﹣1．
（3）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是反比例函数时，，
解得：n＝3，m＝﹣3．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式以及三种函数的关系是形式．
18．（2023 台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．
【考点】反比例函数的应用．
【答案】（1）h关于p的函数解析式为 ；
（2）该液体的密度ρ为 0.8g/cm3．
【点拨】（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，把ρ＝1，h＝20代入解析式，解方程即可得到结论；
（2）把 h＝25 代入 ，求得ρ＝0.8，于是得到结论．
【解析】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，
把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
∴h关于ρ的函数解析式为 ；
（2）把 h＝25 代入 ，得 ，
解得：ρ＝0.8，
答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
19．（2023 金东区三模）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，请求出点P的坐标．
（3）对于反比例函数，当y≤3时，直接写出x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】（1）一次函数的解析式y1＝﹣x+2，反比例函数解析式y2＝﹣；（2）P的坐标为（，﹣4）；（3）当y≤3时，x的取值范围是x≤﹣1或x＞0．
【点拨】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式，最后将A点的坐标代入解析式就可以求出a的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）由直线解析式求得C、D的坐标，进而求得S△OBD＝1，进一步根据题意得到S△OCP＝OC |yP|＝4，即|yP|＝4，求得P的纵坐标，进而求得横坐标；
（3）通过图象观察就可以直接看出当y≤3时x的取值范围．
【解析】解：（1）∵比例函数的图象过点B（﹣1，3），
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴y2＝﹣，
∵A（a，﹣1）在双曲线上．
∴﹣1＝﹣，
∴a＝3，
∴A（3，﹣1），
∵一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式y1＝﹣x+2；
（2）在y＝﹣x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，则x＝2，
∴D（0，2），C（2，0），
∴OD＝OC＝2，
∴S△OBD＝＝1，
∵S△OCP＝4S△OBD，
∴S△OCP＝OC |yP|＝4，即|yP|＝4，
∴yp＝﹣4，
代入y2＝﹣得，﹣4＝﹣，解得x＝，
∴P的坐标为（，﹣4）；
（3）观察图象可知，对于反比例函数，当y≤3时，x的取值范围是x≤﹣1或x＞0．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
20．（2022 杭州）设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），
①求函数y1，y2的表达式；
②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．
（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】（1）①y1＝，y2＝﹣x+4；②y1＜y2；（2）1．
【点拨】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②利用函数图象分析比较；
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．
【解析】解：（1）①把点B（3，1）代入y1＝，
1＝，
解得：k1＝3，
∴函数y1的表达式为y1＝，
把点A（1，m）代入y1＝，解得m＝3，
把点A（1，3），点B（3，1）代入y2＝k2x+b，
，
解得，
∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+4；
②如图，
当2＜x＜3时，y1＜y2；
（2）由平移，可得点D坐标为（﹣2，n﹣2），
∴﹣2（n﹣2）＝2n，
解得：n＝1，
∴n的值为1．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图象性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解题是关键．
21．（2021 台州）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【考点】反比例函数的应用．
【答案】（1）R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）；（2）；（3）最大质量为115千克．
【点拨】（1）待定系数法求出k，b；
（2）通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为R1关于U0的函数解析式；
（3）把第（1）问求出的R1与m的函数解析式代入第（2）中的R1与U0的关系式中消去R1，然后变形；
（4）利用第（3）问中U0与m的关系式，结合0≤U0≤6和m关于U0的增减性，得出电子体重秤可称的最大质量m．
【解析】解：（1）将（0，240），（120，0）代入R1＝km+b，
得：，
解得：．
∴R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）．
（2）由题意得：可变电阻两端的电压＝电源电压﹣电表电压，
即：可变电阻电压＝8﹣U0，
∵I＝，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
∴．
化简得：R1＝，
∵R0＝30，
∴．
（3）将R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）代入，
得：﹣2m+240＝，
化简得：m＝（0≤m≤120）．
（4）∵m＝中k＝﹣120＜0，且0≤U0≤6，
∴m随U0的增大而增大，
∴U0取最大值6的时候，mmax＝＝115（千克）．
【点睛】本题以物理中的电路问题为背景，考查了学生对于求解一次函数和反比例函数关系式的掌握情况，解题的关键是先要求找出两个要求量之间的等量关系，然后化简为要求的表达式，转化过程中需要注意无关量的消去，一般情况下都是用代入法消元来解决这一问题的．第（4）问除应用反比例函数的增减性解题外，也可以将m与U0的关系式转化为关于m的不等式，再代入0≤U0≤6中，求出电子体重秤可称的最大质量m．
22（2022 宁波模拟）已知反比例函数y＝（m为常数）的图象在第一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过 ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，3），（﹣2，0），求出该反比例函数的解析式；
（3）若E（x1，y1），F（x2，y2）都在该反比例函数的图象上，且x1＞x2＞0，则y1和y2有怎样的大小关系？
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）由图象在第一象限可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围；
（2）由平行四边形的性质可求的D点坐标，代入可求得反比例函数解析式；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）∵y＝的图象在第一、三象限，
∴1﹣2m＞0，
∴m＜；
（2）∵四边形ABOD为平行四边形，
∴AD∥OB，AD＝OB＝2，
∴D点坐标为（2，3），
∴1﹣2m＝2×3＝6，
∴该反比例函数的解析式为y＝；
（3）∵x1＞x2＞0，
∴E，F两点都在第一象限，
又∵该反比例函数在每一个象限内，函数值y都随x的增大而减小，
∴y1＜y2．
【点睛】本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及知识点有反比例函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质等．在（1）中注意反比例函数y＝（k≠0）中k与图象的关系，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中确定E，F两点都在第一象限是解题的关键．本题主要考查基础知识，难度不大．
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第三章 函数
第4节 反比例函数及其应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1反比例函数相关概念 ☆ 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题. 综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备掌握其各性质规律，并且多注意其与几何图形结合题的思考探究
考点2反比例函数的图象与性质 ☆☆
考点3 比例系数k的几何意义 ☆☆☆
考点4反比例函数与一次函数综合 ☆☆☆
考点5反比例函数的实际应用 ☆☆☆
1．反比例函数的概念：
我们把形如 (k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．自变量 ．
反比例函数有三种表达形式：①y＝(k为常数，k≠0)；②y＝kx－1(k为常数，k≠0)；③xy＝k(k为常数，k≠0)．
2．反比例函数的图象：
反比例函数的图象是由两个分支组成的 ，且不与两坐标轴相交．
图象 k>0 k<0
3．反比例函数的性质：
(1)当k＞0时，图象的两个分支位于第 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ．
(2)当k＜0时，图象的两个分支位于第 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ．
(3)其图象既是关于原点对称的 图形，又是 图形．
4．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
■考点一　反比例函数相关概念
◇典例1：（2023 大渡口区模拟）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C． D．
◆变式训练
1．（2023 大兴区一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①面积一定的等腰三角形，底边上的高y与底边长x；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；
③计划从A地到B地铺设一段铁轨，每日铺设长度y与铺设天数x．
其中，变量y与变量x满足反比例函数关系的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2023 雁峰区校级一模）若函数y＝（n﹣2）是反比例函数，则n为（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上都不对
■考点二 反比例函数的图象与性质
◇典例2：（2023 镇海区校级一模）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y＝（k≠0）的大致图象是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
2．（2022 温州）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
◆变式训练
1．（2022 德阳）一次函数y＝ax+1与反比例函数y＝﹣在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A．B． C．D．
2．（2021 浙江）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
3．（2022 富阳区二模）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（1）求这个反比例函数的表达式：
（2）判断点B（﹣1，6）是否在这个函数图象上，并说明你的理由；
（3）点C（x1，y1），D（x2，y2）是图象上的两点，若x1＜x2，比较y1和y2的大小，并说明你的理由．
■考点三反比例系数k的几何意义
◇典例3：（2023 南湖区模拟）如图，在直角坐标系xOy中，矩形OACB被三条直线分割成六个小矩形，D是边OB的中点，DE＝2OE，反比例函数的图象经过小矩形的顶点F，G，若图中的阴影矩形面积S1和S2满足2S1+S2＝16，则k的值为 　　．
◆变式训练
1．（2022 衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝　　．
■考点四　反比例函数与一次函数综合
◇典例4：（2022 宁波）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
◆变式训练
1．（2023 舟山三模）如图，一次函数y1＝x﹣1的图象与反比例函数的图象交于点A（2，m），B（n，﹣2），当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
2．（2023 萧山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（3，4），B（6，2）两点．
（1）求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点P（a，0）作x轴的垂线，与直线 y＝k1x+b（k1≠0）和函数 （k2≠0，x＞0）的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，直接写出a的取值范围；
（3）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试求m的值．
■考点五　反比例函数的实际应用
◇典例5：（2023 路桥区二模）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如表：
v（千米/小时） 75 80 85 90 95
t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
（1）根据表中的数据，分析说明平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数关系，并求出其表达式：
（2）汽车上午8：00从甲地出发，能否在上午10：30之前到达乙地？请说明理由．
◆变式训练
1．（2023 龙湾区模拟）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例函数关系，其图象如图所示，小慧想通过矫正治疗使近视眼镜的度数D不超过200度，则她需佩戴镜片的焦距f应满足（　　）
A．f＜0.5 B．f＞0.5 C．f≤0.5 D．f≥0.5
2．（2023 玉环市二模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）的关系如表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．
桌面所受压强P（Pa） 100 200 400 500 800
受力面积S（m2） 2 1 0.5 0.4 0.25
（1）求桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式；
（2）现将另一长、宽、高分别为0.2m，0.3m，0.2m与长方体A相同重量的长方体B按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的关系满足（1）中的函数表达式，且该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
1．（2023 杭州模拟）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（　　）
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A． B． C． D．
2．（2022 丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（　　）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
3．（2023 黄岩区一模）下列关于反比例函数的描述中，正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限 B．图象过点（1，3）
C．y随x的增大而增大 D．当x＞﹣1时，y＞3
4．（2023 缙云县二模）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过12A，那么用电器的可变电阻应控制在（　　）范围内
A．R≥4Ω B．R≤4Ω C．R≥8Ω D．R≤8Ω
5．（2022 宁波模拟）一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
6．（2013 定海区模拟）函数图象的大致形状是（　　）
A．B． C． D．
7．（2023 舟山）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
8．（2021 富阳区二模）已知反比例函数y＝，当﹣2＜x＜﹣1，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣3＜y＜0 B．﹣2＜y＜﹣1 C．﹣10＜y＜﹣5 D．y＞﹣10
9．（2023 临海市一模）若反比例函数的图象经过点（2，k﹣n2﹣2），则k的取值范围为（　　）
A．k≤﹣2 B．k≤﹣4 C．k≥2 D．k≥4
10．（2023 金华）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解是（　　）
A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
11．（2023 温岭市一模）已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则m的取值范围为 　　．
12．（2023 温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　　mL．
13．（2023 义乌市模拟）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于A（2，3），B（m，1）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
14．（2023 衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 　 　．
15．（2021 宁波）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为 　 　．
16．（2022 湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 　 　．
17．（2023 瓯海区模拟）已知反比例函数的图象的左支如图所示，它经过点B（﹣3，2）．
（1）求这个反比例函数的表达式．补画这个反比例函数图象的另一支．
（2）当y≤4，且y≠0时，求自变量x的取值范围．
18．（2022 台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
19．（2021 德清县校级模拟）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
20．（2021 杭州）在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．
22．（2023 永康市一模）如图，在平面直角坐标系中，曲线AB是反比例函数图象的一部分．把曲线AB关于y轴对称，再向下平移m（m＞0）个单位得到曲线CD，且点D恰好在直线AB上．已知点B的坐标为（﹣1，﹣3），A，B两点间的水平距离为2．
（1）求曲线AB所在的反比例函数的解析式；
（2）求m的值．
23．（2022 金华）如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1．
（1）求k的值及点D的坐标．
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．
24．（2023 东阳市三模）
设计货船通过双曲线桥的方案
素材1 一座曲线桥如图1所示，当水面宽AB＝16米时，桥洞顶部离水面距离CD＝4米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．
素材2 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3米，EH＝9米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式h＝t．
问题解决
任务1 确定桥洞的形状 ①建立平面直角坐标系如图3所示，显然，CD落在第一象限的角平分线上． 甲说：点C可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点C落在（4，4）时，点A的坐标为 　（10，2）　，此时过点A的双曲线的函数表达式为 　y＝　，而点C所在双曲线的函数表达式为y＝显然不符合题意．
任务2 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？
1．（2023 山西模拟）下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝x2+3 C．y＝3x+1 D．y＝
2．（2023 临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（　　）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系
3．（2023 丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（　　）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
4．（2022 婺城区一模）已知反比例函数，下列说法中错误的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣4） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
5．（2022 西湖区一模）如图，是三个反比例函数y1＝，y2＝，y3＝在y轴右侧的图象，则（　　）
A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2
6．（2023 襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝的图象可能是（　　）
A．B． C． D．
7．（2023 广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2021 金华）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
9．（2023 宁波）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2＝（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
10．（2023 湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠﹣2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p﹣m与q﹣n的积为负数时，t的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0 D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1
11．（2022 路桥区模拟）请你写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式 　　．
12．（2022 镇江）反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，y1＞y2，写出符合条件的k的值 　　（答案不唯一，写出一个即可）．
13．（2023 宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 　　，a的值为 　　．
14．（2022 绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 　　．
15．（2023 余姚市二模）如图，y＝﹣2x+b与交于A、B两点，过B作y轴的垂线，垂足为C，交于点D，点D关于直线AB的对称点E恰好落在x轴上，且AE⊥x轴，连接BE，则＝　　；若△ABE的面积为15，则k1的值为 　　．
16．（2023 嵊州市一模）如图，直线y＝x+3的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点B，AD⊥x轴于点D，平移直线y＝x+3的图象，使其经过点D，且与函数的图象交于点C，若AB＝2CD，则k的值为 　　．
17．（2023 遵化市模拟）已知函数 y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m），
（1）当m，n为何值时是一次函数？
（2）当m，n为何值时，为正比例函数？
（3）当m，n为何值时，为反比例函数？
18．（2023 台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．
19．（2023 金东区三模）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，请求出点P的坐标．
（3）对于反比例函数，当y≤3时，直接写出x的取值范围．
20．（2022 杭州）设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），
①求函数y1，y2的表达式；
②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．
（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．
21．（2021 台州）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
22（2022 宁波模拟）已知反比例函数y＝（m为常数）的图象在第一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过 ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，3），（﹣2，0），求出该反比例函数的解析式；
（3）若E（x1，y1），F（x2，y2）都在该反比例函数的图象上，且x1＞x2＞0，则y1和y2有怎样的大小关系？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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