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第三章 函数
第五节 二次函数的图形与性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数的概念及表达式 ☆☆ 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2024年中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识。
考点2 二次函教的图象与性质 ☆☆☆
考点3 二次函数的图象与系数的关系 ☆☆
考点4二次函数的图象变换 ☆☆
1．二次函数的定义：
一般地，形如 (其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
2．二次函数的三种表达式：
(1)一般式： (a，b，c是常数，a≠0)．
(2)顶点式： (a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是 ．
(3)交点式： (a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 ．
3．二次函数的图象与性质：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口 ，这时当x≤－时，y随x的增大而 ；当x≥－时，y随x的增大而 ；当x＝－时，y有最 值 ．当a＜0时，抛物线开口 ，这时当x≤－时，y随x的增大而 ；当x≥－时，y随x的增大而 ；当x＝－时，y有最 值 ．该抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
4．二次函数的图象的平移：
平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．
■考点一　二次函数的概念与表达式
◇典例1：（2023 金山区一模）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝3x2+1 D．y＝
2．（2023 宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
◆变式训练
1．（2023 南平模拟）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝x B． C．y＝x2 D．y＝x﹣2
2．（2023 绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
■考点二 二次函数的图象与性质
◇典例2：（2022 上城区二模）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（　　）
A．B． C．D．
2．（2023 天台县一模）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5，点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）都在该函数的图象上，且x1+x2＝2．
（1）求函数图象的对称轴；
（2）若点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，求m的值；
（3）若y1≥y2，求y1的最小值．
◆变式训练
1．（2022 株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）
A．B． C．D．
2．（2022 景宁县模拟）关于二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+5的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值5 D．有最小值5
3．（2023 庆元县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，﹣1），（0，1）．
（1）请用含b的关系式表示a；
（2）当x＝﹣2时，y＞1．
①求b的取值范围；
②若点P（m，y1），Q（n，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，且，求证：y2＞y1．
■考点三 二次函数的图象与系数的关系
◇典例3：（2023 杭州模拟）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②3a+c＞0；③2a+b＝0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确结论为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
◆变式训练
1．（2023 余姚市一模）已知二次函数y＝（x﹣m）2+3（m为常数），点A（1，y1），B（3，y2）是该函数图象上的点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A．1＜m＜2 B．m＜2 C．2＜m＜3 D．m＞3
2．（2023 萧山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下三个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
③的最小值为．
其中，正确结论为（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
■考点四　 二次函数的图象变换
◇典例4：（2023 瓯海区二模）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
◆变式训练
1．（2023 宁波模拟）二次函数y＝（x+4）2+1的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为 　 　．
2．（2023 平阳县一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3经过点A（﹣2，n），将点A先向右平移3个单位，再向下平移b个单位恰好落在抛物线的最低点处，则b的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
1．（2023 婺城区校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
2．（2022 湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
3．（2023 宁波模拟）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021 杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 瓯海区模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣3）2+c的图象上，若|x1﹣3|＞|x2﹣3|，则下列结论正确的是（　　）
A．y1+y2＞0 B．y1﹣y2＞0 C．a（y1+y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
6．（2023 兰溪市模拟）已知二次函数y＝（x+m﹣5）（x﹣m）+3，点A（x1，y1），B（x2，x2）（x1＜x2）是其图象上两点，下列说法正确的是（　　）
A．若 x1+x2＞5，则y1＞y2 B．若x1+x2＜5，则y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣5，则y1＞y2 D．若x1+x2＜﹣5，则y1＜y2
7．（2023 钱塘区三模）已知二次函数y＝ax2﹣2（b﹣1）x+1（a≠0），当﹣2≤x≤﹣1时，y随x的增大而增大，则（　　）
A．当a＞0时，ab的最大值为 B．当a＞0时，ab的最大值为
C．当a＜0时，ab的最大值为 D．当a＜0时，ab的最大值为
8．（2022 嘉兴一模）已知抛物线y＝x2+3x+c（﹣3≤x≤0）与直线y＝x﹣2有且只有一个交点，若c为整数，则c的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021 金华模拟）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标为 　 　．
10．（2021 衢州四模）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为　 　．
11．（2023 鄞州区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣1，﹣2），对称轴为直线x＝1，则9a+3b+c的值是 　 　．
12．（2022 宁波模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣7 ﹣12 …
则该图象的对称轴是　 　．
13．（2023 临海市一模）若二次函数y＝x2﹣8x+m的图象经过点（n，0），（5，y1），（6，y2），且y1 y2＜0，则下列结论：
①y1＜0；②n＞2；③n＞5；④n＜6中，一定成立的有 　①②④　．（填序号）
14．（2021 杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
15．（2023 宁波一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点（﹣1，﹣7），点（3，1）．
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）点P（m，n）在该二次函数图象上，当m＝4时，求n的值．
（3）已知A（0，3），B（4，3），若将该二次函数的图象向上平移k（k＞0）个单位后与线段AB有交点，请结合图象，直接写出k的取值范围．
16．（2023 丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
17．（2023 温州二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（4，1）在二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象上，且x2﹣x1＝6．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）已知点A，B在对称轴的异侧，当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为5，设x1，x2的最小值分别为m，n，求m+n的值．
1．（2023 嘉定区一模）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝（a+2）x2+1 B． C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x
2．（2023 长兴县一模）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
3．（2023 宁波模拟）对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．函数的最小值为1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣2 D．图象的顶点坐标是（1，2）
4．（2021 深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B． C． D．
5．（2023 绍兴模拟）二次函数 的图象经过平移后得到新的抛物线，此抛物线恰好经过点（﹣2，﹣2），下列平移方式中可行的是（　　）
A．先向左平移8个单位，再向下平移4个单位
B．先向左平移6个单位，再向下平移7个单位
C．先向左平移4个单位，再向下平移6个单位
D．先向左平移7个单位，再向下平移5个单位
6．（2022 衢州一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3经过点（2，3），且函数最大值为4，则a的值为（　　）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣2 D．﹣
7．（2023 保康县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①a+b+c＝0； ②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④c＝﹣3a，
其中正确的命题是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
8．（2023 拱墅区二模）已知二次函数y1＝（x+2a）（x﹣2b）和一次函数y2＝﹣x+2b（a，b为常数）．若a+2＝b．当函数y＝y1+y2的图象经过点（c，0）时，b与c之间的数量关系为（　　）
A．c＝5﹣2b或c＝2b B．c＝﹣5+2b或c＝﹣2b C．c＝2b D．c＝﹣5+2b
9．（2022 衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
10．（2023 淳安县一模）已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A． B． C．m≥1 D．m≤1
11．（2021 萧山区模拟）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 40 …
则二次函数的解析式为　y＝x2﹣2x﹣8　．
12．（2022 鄞州区模拟）将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y＝x2+4x﹣1，则a+b+c＝　　．
13．（2023 金华模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1　　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
14．（2021 滨江区校级三模）若实数a，b满足a+b2＝3，则a2+8b2的最小值为　　．
15．（2020 萧山区二模）已知二次函数，当x＝1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形　 　．
16．（2023 宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论．
①abc＜0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k（ka+b）（k为常数，且k≠1）．
其中正确的结论有 　 　（填写序号）．
17．（2021 温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
18．（2021 瑞安市模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），（﹣1，12）．
（1）求b，c的值．
（2）若点A（m，k），B（n，k）在二次函数图象上，其中m≠n，当﹣2＜m＜3时，求n的取值范围．
19．（2023 杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
20．（2023 鹿城区三模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（2，3）两点．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标．
（2）如果将此二次函数的图象向上平移n个单位后过点P（m，4），再将点P向右平移3个单位后得点Q，点Q恰好落在原二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，求n的值．
21．（2023 绍兴模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数 y＝x2+bx﹣3 的图象上．
（1）当m＝n时，求b的值；
（2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围；
（3）若﹣1≤x≤2时，函数的最小值为﹣5，求m+n的值．
22．（2023 定海区模拟）二次函数y＝x2+bx过点（2，8）．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函数y＝x+2和二次函数y＝x2+bx在同一平面直角坐标系中．其中点A（m，y1）是二次函数y＝x2+bx图象上一点，点B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2图象上一点．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范围．
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第三章 函数
第五节 二次函数的图形与性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数的概念及表达式 ☆☆ 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2024年中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识。
考点2 二次函教的图象与性质 ☆☆☆
考点3 二次函数的图象与系数的关系 ☆☆
考点4二次函数的图象变换 ☆☆
1．二次函数的定义：
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
2．二次函数的三种表达式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 x＝．
3．二次函数的图象与性质：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口向上，这时当x≤－时，y随x的增大而减小；当x≥－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y有最小值．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－时，y随x的增大而增大；当x≥－时，y随x的增大而减小；当x＝－时，y有最大值．该抛物线的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是．
4．二次函数的图象的平移：
平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．
■考点一　二次函数的概念与表达式
◇典例1：（2023 金山区一模）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝3x2+1 D．y＝
【考点】二次函数的定义．
【答案】C
【点拨】根据二次函数定义即可解答．
【解析】解：A、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．（2023 宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【点拨】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
【解析】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）如图：
∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），
∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【点睛】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．
◆变式训练
1．（2023 南平模拟）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝x B． C．y＝x2 D．y＝x﹣2
【考点】二次函数的定义．
【答案】C
【点拨】根据二次函数的定义求解，二次函数的一般式是y＝ax2+bx+c，其中a≠0．
【解析】解：A、y＝x，是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、，是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、y＝x2，符合定义，故本选项符合题意；
D、y＝x﹣2，是一次函数，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．
2．（2023 绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【答案】（1）（2，7）；
（2）﹣2≤y≤7；
（3）y＝﹣x2+2x+2．
【点拨】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；
（2）根据函数的增减性求解；
（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
【解析】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，
∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），
∴当 x＝2 时，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，
∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c＝2，
又∵，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2．
∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
■考点二 二次函数的图象与性质
◇典例2：（2022 上城区二模）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（　　）
A．B． C．D．
【考点】二次函数的图象．
【答案】B
【点拨】先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，然后即可得到函数y＝a（x﹣b）2+c的图象的开口方向，顶点坐标解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意．
【解析】解：由y＝ax2+bx+c的图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∵函数y＝a（x﹣b）2+c，
∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象限，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出a、b、c的正负情况，利用二次函数的性质解答．
2．（2023 天台县一模）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5，点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）都在该函数的图象上，且x1+x2＝2．
（1）求函数图象的对称轴；
（2）若点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，求m的值；
（3）若y1≥y2，求y1的最小值．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【答案】（1）函数图象的对称轴为直线x＝2．
（2）m的值为1．
（3）y1≥y2时，y1的最小值为﹣8．
【点拨】（1）根据二次函数的性质可知，对称轴为直线x＝﹣，即可求解；
（2）根据题意，列出方程，化简后将x1+x2＝2代入即可求解；
（3）根据题意，由（1）（2）可得，P1在直线x＝1的左侧，P2在直线x＝1的右侧或重合在直线x＝1上，根据二次函数的增减性即可求解．
【解析】解（1）二次函数y＝x2﹣4x﹣5，a＝1，b＝﹣4，
∵，
∴对称轴为直线x＝2．
答：函数图象的对称轴为直线x＝2．
（2）∵点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，
∴|x1﹣m|＝|x2﹣m|，
∴，
化简得（x1﹣x2）[（x1+x2）﹣2m]＝0，
又∵x1+x2＝2，x1≠x2，
∴m＝1．
答：m的值为1．
（3）∵y1≥y2，
由（1）（2）可得，P1在直线x＝1的左侧，P2在直线x＝1的右侧或重合在直线x＝1上，
∴x1≤1，
∵y1随x1的增大而减小，
∴当x1＝1时，y1的最小值为﹣8．
答：y1≥y2时，y1的最小值为﹣8．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数上点的坐标特征，解题的关键掌握二次函数的性质及二次函数上点的坐标特征．
◆变式训练
1．（2022 株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）
A．B． C．D．
【考点】二次函数的图象．
【答案】C
【点拨】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．
【解析】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x＝＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x＝＞0，
故C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
2．（2022 景宁县模拟）关于二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+5的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值5 D．有最小值5
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【答案】C
【点拨】由抛物线解析式可得抛物线开口向下，从而可得函数最大值．
【解析】解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+5，
∴抛物线开口向下，x＝2时，y有最大值为y＝5，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质．
3．（2023 庆元县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，﹣1），（0，1）．
（1）请用含b的关系式表示a；
（2）当x＝﹣2时，y＞1．
①求b的取值范围；
②若点P（m，y1），Q（n，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，且，求证：y2＞y1．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）a＝b﹣2；
（2）①b＞4；②见解析．
【点拨】（1）将（﹣1，﹣1），（0，1）两点代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，进而得出答案；
（2）①根据x＝﹣2时，y＞1，可得4a﹣2b+1＞1，结合（1）中的结论可得答案；
②表示二次函数的对称轴，然后根据二次函数的增减性进行解答即可．
【解析】（1）解：将（﹣1，﹣1）和（0，1）代入y＝ax2+bx+c，
得﹣1＝a﹣b+c①，c＝1②，
将②代入①得，a＝b﹣2；
（2）①解：∵x＝﹣2，y＞1，
∴4a﹣2b+1＞1，
∵a＝b﹣2，
∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，
解得，b＞4；
②证明：∵y＝ax2+bx+c，
∴抛物线的对称轴，
∵b＞4，
∴，
∴，
∵a＝b﹣2＞0，
∴抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵，
∴Q点在P点的右侧，
∴y2＞y1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的基本性质是解本题的关键．
■考点三 二次函数的图象与系数的关系
◇典例3：（2023 杭州模拟）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②3a+c＞0；③2a+b＝0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确结论为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【答案】B
【点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
【解析】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；
③∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；故正确；
④根据图示知，当x＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
◆变式训练
1．（2023 余姚市一模）已知二次函数y＝（x﹣m）2+3（m为常数），点A（1，y1），B（3，y2）是该函数图象上的点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A．1＜m＜2 B．m＜2 C．2＜m＜3 D．m＞3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【点拨】分别求出y1，y2，利用y1＜y2，得出关于m的不等式，即可求出m的范围．
【解析】解：∵点A（1，y1），B（3，y2）是二次函数y＝（x﹣m）2+3（m为常数）图象上的点，
∴y1＝（1﹣m）2+3，y2＝（3﹣m）2+3，
∵y1＜y2，
∴（1﹣m）2+3＜（3﹣m）2+3，
解得m＜2，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
2．（2023 萧山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下三个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
③的最小值为．
其中，正确结论为（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【答案】A
【点拨】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解析】解：①∵b＞a＞0，即a、b同号，
∴该抛物线的对称轴在y轴左侧；
故①正确；
②∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）开口向上，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，
∴抛物线的顶点在x轴上或在x轴的上面，
∴抛物线与直线y＝﹣2无交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
故②正确；
③当x＝时，y＝a+b+c＞0，
∴a+b+c＞a+b，
即a+b+c＞（3a+2b），
而b＞a＞0，
∴＞，
故③错误；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
■考点四　 二次函数的图象变换
◇典例4：（2023 瓯海区二模）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【答案】B
【点拨】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解析】解：将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y＝3（x+1）2﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
◆变式训练
1．（2023 宁波模拟）二次函数y＝（x+4）2+1的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为 　y＝（x+2）2+6　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【答案】y＝（x+2）2+6．
【点拨】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
【解析】解：将二次函数y＝（x+4）2+1的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为y＝（x+4﹣2）2+1+5，即y＝（x+2）2+6．
故答案为：y＝（x+2）2+6．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
2．（2023 平阳县一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3经过点A（﹣2，n），将点A先向右平移3个单位，再向下平移b个单位恰好落在抛物线的最低点处，则b的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】D
【点拨】求得抛物线的顶点坐标，求得A平移后的坐标，根据题意得到m＝1，n﹣b＝﹣4，即可求得抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，代入A（﹣2，n）求得n，即可求得b的值．
【解析】解：∵y＝x2﹣2mx﹣3＝（x﹣m）2﹣m2﹣3，
∴顶点为（m，﹣m2﹣3），
将点A（﹣2，n）先向右平移3个单位，再向下平移b个单位得到（1，n﹣b），
∴m＝1，n﹣b＝﹣4，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过点A（﹣2，n），
∴n＝4+4﹣3＝5，
∴b＝9，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值，根据题意列出等式是解题的关键．
1．（2023 婺城区校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．
【答案】A
【点拨】由对称轴公式x＝﹣可得对称轴方程．
【解析】解：抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴为x＝﹣＝1，
故选：A．
【点睛】考查二次函数的性质，熟练运用对称轴公式．也可以运用配方法写成顶点式求对称轴．
2．（2022 湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【答案】A
【点拨】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解析】解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y＝x2+3．
故选：A．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．
3．（2023 宁波模拟）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【答案】C
【点拨】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择．
【解析】解：当a＞0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知开，口向上，顶点在y轴负半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），
由一次函数y＝ax+a可知过一，二，三象限，交x轴于（﹣1，0）；
当a＜0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知，开口向下，顶点在y轴正半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过二，三，四象限，交x轴于（﹣1，0）；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的图象，解题的关键是熟记二次函数的图象及一次函数的图象的特征．
4．（2021 杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【答案】A
【点拨】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．
【解析】解：由图象知，A、B、D组成的二次函数图象开口向上，a＞0；
A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．
设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x2+b1x+c1，
把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，
，
解得a1＝；
设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，
把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，
，
解得a＝，
即a最大的值为，
也可以根据a的绝对值越大开口越小直接代入ABD三点计算，即可求解．
故选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．
5．（2023 瓯海区模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣3）2+c的图象上，若|x1﹣3|＞|x2﹣3|，则下列结论正确的是（　　）
A．y1+y2＞0 B．y1﹣y2＞0 C．a（y1+y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】D
【点拨】分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．
【解析】解：①a＞0时，二次函数图象开口向上，
∵|x1﹣3|＞|x2﹣3|，
∴y1＞y2，
∵无法确定y1+y2的正负情况，
∴a（y1﹣y2）＞0，
②a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵|x1﹣3|＞|x2﹣3|，
∴y1＜y2，
∵无法确定y1+y2的正负情况，
∴a（y1﹣y2）＞0，
综上所述，表达式正确的是a（y1﹣y2）＞0．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论．
6．（2023 兰溪市模拟）已知二次函数y＝（x+m﹣5）（x﹣m）+3，点A（x1，y1），B（x2，x2）（x1＜x2）是其图象上两点，下列说法正确的是（　　）
A．若 x1+x2＞5，则y1＞y2 B．若x1+x2＜5，则y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣5，则y1＞y2 D．若x1+x2＜﹣5，则y1＜y2
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【点拨】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝及抛物线开口方向，再通过判断点A与点B到对称轴的距离求解．
【解析】解：∵y＝﹣（x+m﹣5）（x﹣m）+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝，开口向下，
当x1+x2＝5时，点A（x1，y1），B（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，即y1＝y2，
∴当x1+x2＜5时，点A到抛物线对称轴的距离大于点B到抛物线对称轴的距离，
∴y1＞y2，
a＝1，开口向上，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
7．（2023 钱塘区三模）已知二次函数y＝ax2﹣2（b﹣1）x+1（a≠0），当﹣2≤x≤﹣1时，y随x的增大而增大，则（　　）
A．当a＞0时，ab的最大值为 B．当a＞0时，ab的最大值为
C．当a＜0时，ab的最大值为 D．当a＜0时，ab的最大值为
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【答案】B
【点拨】根据抛物线解析式求得其对称轴为直线x＝，分两种情况：当a＞0时，由当﹣2≤x≤﹣1时，y随x的增大而增大可得b≤1﹣2a，进而得到ab≤a（1﹣2a）＝，以此判断A、B选项；当a＜0时，当﹣2≤x≤﹣1时，y随x的增大而增大可得b≤1﹣a，进而得到ab≥a（1﹣a）＝，以此判断C、D选项．
【解析】解：∵y＝ax2﹣2（b﹣1）x+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝，
①当a＞0时，
∵当﹣2≤x≤﹣1时，y随x的增大而增大，
∴≤﹣2，
∴b﹣1≤﹣2a，即b≤1﹣2a，
∴ab≤a（1﹣2a）＝﹣2a2+a＝，
∴ab最大值为，故A选项错误，B选项正确；
②当a＜0时，
∵当﹣2≤x≤﹣1时，y随x的增大而增大，
∴≥﹣1，
∴b﹣1≤﹣a，即b≤1﹣a，
∴ab≥a（1﹣a）＝﹣a2+a＝，
此时ab无最大值，故C、D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是熟知二次函数的性质，掌握通过配方求最值问题．
8．（2022 嘉兴一模）已知抛物线y＝x2+3x+c（﹣3≤x≤0）与直线y＝x﹣2有且只有一个交点，若c为整数，则c的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】D
【点拨】由函数解析式作出抛物线与直线的图象，根据图象关系求值即可．
【解析】解：∵y＝x2+3x+c（﹣3≤x≤0），
对称轴为：x＝﹣，
∴x＝0时，y＝c；x＝﹣3时，y＝c，
如图为抛物线与直线的关系图，
由图象可知：
①当直线过抛物线左端点时c＝5，当直线过抛物线右端点时c＝﹣2，
∴当﹣5≤c＜2时，直线与抛物线只有一个交点，
∴c为整数时可取﹣5，﹣4，﹣3；
②令x2+3x+c＝x﹣2，
则x2+2x+c+2＝0，
当Δ＝0时，4﹣4（2+c）＝0，
解得，c＝﹣1，
此时方程有两个相等的实数根，抛物线与直线只有一个交点，
∴c值为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数与直线的关系，根据题意画草图，利用数形结合是解题的关键．
9．（2021 金华模拟）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标为 　（0，1）　．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（0，1）．
【点拨】取x＝0，求出y的值，即可得出答案．
【解析】解：设x＝0，则y＝﹣（﹣1）2+2＝1，
∴抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与y轴的交点的求法．
10．（2021 衢州四模）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为　y3＜y1＜y2　．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】y3＜y1＜y2
【点拨】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣1到﹣2的距离比﹣4到﹣2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为y3＜y1＜y2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
11．（2023 鄞州区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣1，﹣2），对称轴为直线x＝1，则9a+3b+c的值是 　﹣2　．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】﹣2．
【点拨】根据抛物线的轴对称性质得到：当x＝3与当x＝﹣1时，所对应的y值相等，据此解答．
【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣1，﹣2），对称轴为直线x＝1，
∴点A（﹣1，﹣2）关于直线x＝1对称的点的坐标为（3，﹣2）．
∴当x＝3时，y＝﹣2，
即9a+3b+c＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．
12．（2022 宁波模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣7 ﹣12 …
则该图象的对称轴是　直线x＝﹣2　．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】直线x＝﹣2．
【点拨】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴．
【解析】解：由表格可得，
该函数图象的对称轴为直线x＝＝﹣2，
故答案为：直线x＝﹣2．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．（2023 临海市一模）若二次函数y＝x2﹣8x+m的图象经过点（n，0），（5，y1），（6，y2），且y1 y2＜0，则下列结论：
①y1＜0；②n＞2；③n＞5；④n＜6中，一定成立的有 　①②④　．（填序号）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】①②④．
【点拨】由y＝x2﹣8x+m，可知对称轴为直线x＝4，由a＝1＞0，可知开口向上，x＞4时，y随x增大而增大，根据已知条件可得y1＜0，根据对称轴为直线x＝4，可知与x的一个交点在5和6之间，与x的另一个交点在2和3之间，即可得出n＞2，n＜6，即可得出结论．
【解析】解：∵y＝x2﹣8x+m＝（x﹣4）2+m﹣16，
∴对称轴为直线x＝4，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，
∴x＞4时，y随x增大而增大，
∴y＝x2﹣8x+m的图象经过点（5，y1），（6，y2），
∴y1＜y2，
∴y1 y2＜0，
∴y1＜0，
故①一定成立，
∴与x的一个交点在5和6之间，
∵对称轴为x＝4，
∴与x的另一个交点在2和3之间，
∵y＝x2﹣8x+m的图象经过点（n，0），
∴2＜n＜3或5＜n＜6，
故②④一定成立，
∴综上所述，一定成立的有①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
14．（2021 杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）y＝x2﹣2x+1，顶点坐标（1，0）；
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，该图象与x轴有两个不同的交点；
（3）证明P+Q＞6．
【点拨】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
（2）写出一组a，b，使得b2﹣4ac＞0即可；
（3）已知a＝b＝1，则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．
【解析】解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，以及利用b2﹣4ac判断二次函数图象与x轴交点个数的方法．第（3）小问的关键是利用p+q＝2，首先对代数式P+Q化简，然后配方说明P+Q的范围，另外注意q≠1．
15．（2023 宁波一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点（﹣1，﹣7），点（3，1）．
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）点P（m，n）在该二次函数图象上，当m＝4时，求n的值．
（3）已知A（0，3），B（4，3），若将该二次函数的图象向上平移k（k＞0）个单位后与线段AB有交点，请结合图象，直接写出k的取值范围．
【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣2；（2，2）；
（2）﹣2；
（3）1≤k≤5．
【点拨】（1）把点（﹣1，﹣7），点（3，1）代入y＝ax2+bx﹣2得方程组，求出a，b的值可得函数解析式，再把函数关系式化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）把m＝4代入函数关系式即可求出n的值；
（3）分别求出抛物线与线段AB有一个交点和两个交点时k的值即可得到k的取值范围．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点（﹣1，﹣7），点（3，1），
∴把点（﹣1，﹣7），点（3，1）分别代入y＝ax2+bx﹣2得，
解得，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2，
又y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣x2+4x﹣4+2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为：（2，2）；
（2）∵点P（m，n）在该二次函数图象上，
∴当m＝4时，n＝﹣（4﹣2）2+2＝﹣2；
（3）∵A（0，3），B（4，3），
∴线段AB∥x轴，其中点坐标为（2，3），
①若原抛物线向上平移k个单位，与线段AB只有一个公共点时，如图，
此时，k＝3﹣2＝1；
②若原抛物线向上平移k个单位，与线段AB只有一个公共点时，且恰好为A、B两点，如图，
设此时抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+c，
把A（0，3）或B（4，3）代入，求得c＝7，
∴k＝7﹣2＝5，
综上所述，将该二次函数的图象向上平移k（k＞0）个单位后与线段AB有交点，k的取值范围为1≤k≤5．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用数形结合是解答本题的关键．
16．（2023 丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）﹣4＜n＜﹣2；
（3）证明见解答过程．
【点拨】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；
（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把 （﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【解析】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），
∴，
∴解得，
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，
∴由图象的对称性得n＝2m，
∴m＝，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴﹣4＜n＜﹣2；
（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，
∴﹣＝m，
∴b＝﹣2am，
把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【点睛】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用．
17．（2023 温州二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（4，1）在二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象上，且x2﹣x1＝6．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）已知点A，B在对称轴的异侧，当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为5，设x1，x2的最小值分别为m，n，求m+n的值．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【答案】（1）二次函数的表达式为；
（2）10﹣2．
【点拨】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可知函数的最大值为3，最小值为﹣2，把y＝﹣2代入解析式即可求得自变量x的值，即可求得m＝，n＝2﹣+6＝8﹣，进一步求得m+n的值．
【解析】解：（1）∵C（4，1）在二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象上，
∴1＝a（4﹣2）2+3，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）∵A，B在对称轴异侧，且x1≤x≤x2，
∴函数的最大值为3，
∵函数的最大值与最小值的差为5，
∴最小值为﹣2，
把y＝﹣2代入 ，得 ，
∵，
∴由图象得x1最小值 ，
∴x2最小值＝2﹣+6＝8﹣，
∴m+n＝2﹣+8﹣＝10﹣2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
1．（2023 嘉定区一模）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝（a+2）x2+1 B． C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x
【考点】二次函数的定义．
【答案】D
【点拨】根据二次函数的一般形式：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答．
【解析】解：A、y＝（a+2）x2+1（a≠﹣2），是二次函数，故A不符合题意；
B、y＝+1，不是二次函数，故B不符合题意；
C、y＝（x+2）（x+1）﹣x2＝3x+2，是一次函数，故C不符合题意；
D、y＝2x2+3x，是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
2．（2023 长兴县一模）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【答案】D
【点拨】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
【解析】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
3．（2023 宁波模拟）对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．函数的最小值为1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣2 D．图象的顶点坐标是（1，2）
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【答案】B
【点拨】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解析】解：二次函数y＝2（x﹣2）2+1，a＝2＞0，
∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是y＝1，故选项B正确，
图象的对称轴是直线x＝2，故选项C错误，
顶点坐标为（2，1），故选项D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（2021 深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【答案】A
【点拨】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．
【解析】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
5．（2023 绍兴模拟）二次函数 的图象经过平移后得到新的抛物线，此抛物线恰好经过点（﹣2，﹣2），下列平移方式中可行的是（　　）
A．先向左平移8个单位，再向下平移4个单位
B．先向左平移6个单位，再向下平移7个单位
C．先向左平移4个单位，再向下平移6个单位
D．先向左平移7个单位，再向下平移5个单位
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【点拨】分别求得平移后的抛物线解析式，代入点（﹣2，﹣2）判断即可．
【解析】解：＝﹣（x﹣4）2+5，
A、先向左平移8个单位，再向下平移4个单位得到y＝﹣（x﹣4+8）2+5﹣4，即y＝﹣（x+4）2+1，
当x＝﹣2时，y＝﹣1，故此时抛物线不经过点（﹣2，﹣2），不合题意；
B、先向左平移6个单位，再向下平移7个单位得到y＝﹣（x﹣4+6）2+5﹣7，即y＝﹣（x+2）2﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣2，故此时抛物线经过点（﹣2，﹣2），符合题意；
C、先向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到y＝﹣（x﹣4+4）2+5﹣6，即y＝﹣x2﹣1，
当x＝﹣2时，y＝﹣3，故此时抛物线不经过点（﹣2，﹣2），不合题意；
D、先向左平移7个单位，再向下平移5个单位得到y＝﹣（x﹣4+7）2+5﹣5，即y＝﹣（x+3）2，
当x＝﹣2时，y＝﹣，故此时抛物线不经过点（﹣2，﹣2），不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练平移的规律是解题的关键．
6．（2022 衢州一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3经过点（2，3），且函数最大值为4，则a的值为（　　）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣2 D．﹣
【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【点拨】把（2，3）代入y＝ax2+bx+3得到﹣＝1，二次函数可化为y＝a（x﹣1）2+3﹣a，由函数最大值为4可求出a．
【解析】解：把（2，3）代入y＝ax2+bx+3得4a+2b+3＝3，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴y＝a（x﹣1）2+3﹣a，
∵函数最大值为4，
∴3﹣a＝4且a＜0，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线的对称轴是解决问题的关键．
7．（2023 保康县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①a+b+c＝0； ②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④c＝﹣3a，
其中正确的命题是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
【考点】二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；命题与定理．
【答案】D
【点拨】①观察图象可得，当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0；
②对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a；
③抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，即可得ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；
④当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，即可得c＝﹣3a．
【解析】解：观察图象可知：
①当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
所以①正确；
②对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，
∴②错误；
③∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，
∴③正确；
④∵当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∴④正确．
所以正确的命题是①③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决本题的关键是观察图象所给信息与二次函数性质结合．
8．（2023 拱墅区二模）已知二次函数y1＝（x+2a）（x﹣2b）和一次函数y2＝﹣x+2b（a，b为常数）．若a+2＝b．当函数y＝y1+y2的图象经过点（c，0）时，b与c之间的数量关系为（　　）
A．c＝5﹣2b或c＝2b B．c＝﹣5+2b或c＝﹣2b C．c＝2b D．c＝﹣5+2b
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】A
【点拨】把y1＝（x+2a）（x﹣2b）和y2＝﹣x+2b代入y＝y1+y2中可以求出y＝（x+2b﹣5）（x﹣2b），然后把（c，0）代入，得出关于b，c等式即可求解．
【解析】解：∵y＝y1+y2，
∴y＝（x+2a）（x﹣2b）﹣x+2b
＝（x+2a﹣1）（x﹣2b），
又a＝b﹣2，
∴y＝（x+2b﹣5）（x﹣2b），
∵抛物线经过点（c，0），
∴（c+2b﹣5）（c﹣2b）＝0，
∴c+2b﹣5＝0或c﹣2b＝0．（也可以写成2b+c＝5或2b﹣c＝0．也可以写成c＝5﹣2b或c＝2b）．
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
9．（2022 衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【答案】D
【点拨】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．
【解析】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
10．（2023 淳安县一模）已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A． B． C．m≥1 D．m≤1
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【点拨】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，x≤2时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解．
【解析】解：∵点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，
∵当x≤2时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2或在其右侧，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线x＝2或在其右侧是解决本题的关键．
11．（2021 萧山区模拟）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 40 …
则二次函数的解析式为　y＝x2﹣2x﹣8　．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】y＝x2﹣2x﹣8．
【点拨】从表格中选三组数代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可．
【解析】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（﹣2，0）、（0，﹣8）、（4，0）代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；
故答案为：y＝x2﹣2x﹣8．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是选三组数代入解方程组．
12．（2022 鄞州区模拟）将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y＝x2+4x﹣1，则a+b+c＝　1　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【答案】1
【点拨】抛物线平移．不改变二次项系数，平移后抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），根据平移规律可推出原抛物线顶点坐标为（0，0），根据顶点式可求抛物线解析式．
【解析】解：平移后的抛物线y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，顶点为（﹣2，﹣5），
根据平移规律，得原抛物线顶点坐标为（0，0），
又平移不改变二次项系数，
∴原抛物线解析式为y＝x2，
∴a＝1，b＝c＝0，
∴a+b+c＝1，
故答案为1．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13．（2023 金华模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1　＞　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【点拨】由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）离对称轴的远近可判断y1与y2的大小关系．
【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，
而1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，
∴点（﹣1，y1）离对称轴的距离比点（2，y2）要远，
∴y1＞y2．
故答案为＞．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．
14．（2021 滨江区校级三模）若实数a，b满足a+b2＝3，则a2+8b2的最小值为　9　．
【考点】二次函数的最值．
【答案】9
【点拨】把a+b2＝3，化成b2＝3﹣a，代入a2+8b2，得出a2+8b2＝（a﹣4）2+8，根据二次函数的性质即可求得．
【解析】解：∵实数a，b满足a+b2＝3，
∴b2＝3﹣a≥0，则a≤3
∴a2+8b2＝a2+8（3﹣a）＝a2﹣8a+24＝（a﹣4）2+8，
当a＝3时，a2+8b2有最小值为9，
故答案为9．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，由b2＝3﹣a，代替代数式中的b2，得到关于a的二次函数是解题的关键．
15．（2020 萧山区二模）已知二次函数，当x＝1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形　直角三角形　．
【考点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数的定义．
【答案】直角三角形．
【点拨】根据顶点横坐标公式，得b+c＝2a①，由x＝1，y＝，得c＝②，①与②联立，得出用含b的代数式分别表示a、c的式子，从而根据三边关系判断△ABC的形状．
【解析】解：∵当x＝1时有最小值，
∴
∴，
解得，，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标公式，勾股定理的逆定理，熟记抛物线的顶点坐标是解答本题的关键．
16．（2023 宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论．
①abc＜0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k（ka+b）（k为常数，且k≠1）．
其中正确的结论有 　①③　（填写序号）．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【答案】①③．
【点拨】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c故b＜a+c，故②错误；
③当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，
即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得c＜b，
∵b＞0，
∴c＜4b，故③正确；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝k时，y＝ak2+bk+c，
所以a+b+c＞ak2+bk+c，
故a+b＞ak2+bk，即a+b＞k（ak+b），故④错误．
故①③正确．
故答案为：①③．
【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
17．（2021 温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；（1，﹣9）．
（2）﹣4＜xP＜5，﹣9≤yP＜16．
【点拨】（1）将点（﹣2，0）代入求解．
（2）分别求出点A，B坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．
【解析】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x2﹣2x﹣8，
解得x＝5或x＝﹣3，
∴n＝5或n＝﹣3，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），点B坐标为（5，7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣4＜xP＜5，﹣9≤yP＜16．
【点睛】本题考查求二次函数解析式及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求函数解析式．
18．（2021 瑞安市模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），（﹣1，12）．
（1）求b，c的值．
（2）若点A（m，k），B（n，k）在二次函数图象上，其中m≠n，当﹣2＜m＜3时，求n的取值范围．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）b＝﹣6，a＝5；（2）3＜n＜8．
【点拨】（1）将点（2，﹣3），（﹣1，12）代入函数y＝x2+bx+c即可求b、c；
（2）由题意可知，A、B关于对称轴对称，则有m+n＝6，再结合m的取值范围即可求n的范围．
【解析】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），（﹣1，12），
∴，
∴；
（2）∵b＝﹣6，c＝5，
∴y＝x2﹣6x+5，
∴函数的对称轴为直线x＝3，
∵点A（m，k），B（n，k）在二次函数图象上，
∴A点与B点关于对称轴对称，
∴m+n＝6，
∴m＝6﹣n，
∵﹣2＜m＜3，
∴﹣2＜6﹣n＜3，
∴3＜n＜8．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，由函数的对称性得到m、n的关系是解题的关键．
19．（2023 杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．
【答案】（1）①y＝x2﹣2x+1；②当x＜1时，y随x的增大而减小；
（2）a≤﹣．
【点拨】（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用二次函数的性质得出结论；
（2）根据题意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，则二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣．
【解析】解：（1）①由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，
∴m＝a+2a+1≤0，
∴a≤﹣．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出m＝a+2a+1＜0是解题的关键．
20．（2023 鹿城区三模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（2，3）两点．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标．
（2）如果将此二次函数的图象向上平移n个单位后过点P（m，4），再将点P向右平移3个单位后得点Q，点Q恰好落在原二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，求n的值．
【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，（1，4）；）（2）9．
【点拨】（1）根据函数图象可确定函数上的点的坐标，代入函数解析式即可求出b，c的值，得出解析式，即可得出顶点坐标．
（2）根据平移规律得到y＝﹣（x﹣1）2+4+n，代入P（m，4）得到n＝（m﹣1）2，求得Q（m+3，4），代入y＝﹣x2+2x+3，求得m＝﹣2，即可求得n＝9．
【解析】解：将A，B两点代入函数解析式得，
解得：，
∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点为（1，4）；
（2）将此二次函数的图象向上平移n个单位后得到y＝﹣（x﹣1）2+4+n，
∵过点P（m，4），
∴4＝﹣（m﹣1）2+4+n，
∴n＝（m﹣1）2，
∵将点P向右平移3个单位后得点Q，
∴Q（m+3，4），
∵点Q恰好落在原二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，
∴4＝﹣（m+3﹣1）2+4，
∴m+2＝0，
∴m＝﹣2，
∴n＝（m﹣1）2＝9，
故n的值为9．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，求得抛物线的解析式是解题的关键．
21．（2023 绍兴模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数 y＝x2+bx﹣3 的图象上．
（1）当m＝n时，求b的值；
（2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围；
（3）若﹣1≤x≤2时，函数的最小值为﹣5，求m+n的值．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣≤y＜9；
（3）﹣2﹣1或2．
【点拨】（1）把点（﹣1，m），（2，n）代入 y＝x2+bx﹣3，用b表示m、n，由m＝n建立方程解b；
（2）把x＝、﹣3、2代入求函数值，最后写出y的取值范围；
（3）二次函数 y＝x2+bx﹣3 的对称轴x＝﹣位置不确定，﹣与﹣1和2比较大小，分三类讨论．
【解析】解：（1）把点（﹣1，m），（2，n）代入 y＝x2+bx﹣3 得m＝﹣b﹣2，n＝1+2b，
∵m＝n，
∴﹣b﹣2＝1+2b，
∴b＝﹣1；
（2）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，
∴当x＝时，y＝﹣，
当x＝﹣3时，y＝9，
当x＝2时，y＝﹣1，
∴当﹣3＜x＜2时，y的取值范围为﹣≤y＜9；
（3）二次函数 y＝x2+bx﹣3 的对称轴为x＝﹣，
①当﹣≤﹣1即b≥2时，x＝﹣1的函数值最小，y最小＝﹣b﹣2＝﹣5，b＝3，
∴y＝x2+3x﹣3，
∴当x＝﹣1时，m＝﹣5；当x＝2时，n＝7，
∴m+n＝2；
②当﹣1＜﹣＜2即﹣4＜b＜2时，x＝﹣的函数值最小，y最小＝﹣b2﹣3＝﹣5，b＝2（舍）或b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴当x＝﹣1时，m＝2﹣2；当x＝2时，n＝1﹣4，
∴m+n＝﹣2﹣1；
③当﹣≥2即b≤﹣4时，x＝2的函数值最小，y最小＝2b+1＝﹣5，b＝﹣3，不满足b≤﹣4，所以此种情况不存在；
综上，m+n＝﹣2﹣1或2．
【点睛】本题考查了自变量在某个范围内函数的最值问题，定函数相对简单，动函数求最值，关键是找到分类标准，一般以对称轴对应的值与范围的两个端点值比较大小
22．（2023 定海区模拟）二次函数y＝x2+bx过点（2，8）．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函数y＝x+2和二次函数y＝x2+bx在同一平面直角坐标系中．其中点A（m，y1）是二次函数y＝x2+bx图象上一点，点B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2图象上一点．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【答案】（1）y＝x2+2x；
（2）；
（3）m＜或m＞或﹣2＜m＜﹣1．
【点拨】（1）把已知点的坐标代入y＝x2+bx中求出b的值，从而得到二次函数解析式；
（2）根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征得到y1＝m2+2m，y2＝m2﹣8m+15，则y1+y2＝2m2﹣6m+15，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先确定抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，再求出点A（m，y1）关于对称轴的对称点A′的坐标为（﹣2﹣m，y1），则|y1﹣y2|＝|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，通过解方程m2+3m＝2和二次函数的性质得到m2+3m＞2的解集为m＜或m＞，通过解方程m2+3m＝﹣2和二次函数的性质得到得m2+3m＜﹣2的解集为﹣2＜m＜﹣1．
【解析】解：（1）把（2，8）代入y＝x2+bx得4+2b＝8，
解得b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x；
（2）∵点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，
∴y1＝m2+2m，y2＝（3﹣m）2+2（3﹣m）＝m2﹣8m+15，
∵y1+y2＝m2+2m+m2﹣8m+15＝2m2﹣6m+15＝2（m﹣）2+，
∴当m＝时，y1+y2有最小值，最小值为；
（3）∵抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点A（m，y1）关于对称轴的对称点A′的坐标为（﹣2﹣m，y1），
∵点B的坐标为（﹣2﹣m，y2），
∴|y1﹣y2|表示点A′与点B的距离，
∴|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，
整理得|m2+3m|＞2，
即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，
解方程m2+3m＝2得m1＝，m2＝，
∴m2+3m＞2的解集为m＜或m＞，
解方程m2+3m＝﹣2得m1＝﹣2，m2＝﹣1，
∴m2+3m＜﹣2的解集为﹣2＜m＜﹣1，
综上所述．m的取值范围为m＜或m＞或﹣2＜m＜﹣1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了一次函数，、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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