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2024年中考数学高频考点专题复习-二次函数的最值问题
1．如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示意图，楼梯平台宽为3，前方有六个台阶（各拐点均为90°），每个台阶的高为2，宽为2，楼梯平台到x轴距离，从y轴上的点C处向右上方弹射出一个小球P（小球视为点），飞行路线为抛物线，当点P落到台阶后立即弹起，其飞行路线是与L形状相同的抛物线．
(1)通过计算判断小球P第一次会落在哪个台阶上；
(2)若小球P第二次的落点在台阶中点M上，求小球P第二次飞行路线的解析式；
(3)若小球P再次从点M处弹起后落入x轴上一圆柱形小球接收装置（小球落在圆柱形边沿也为接收），接收装置最大截面为矩形，点E横坐标为16，，，求出小球第三次飞行路线的顶点到x轴距离最小值．
2．如图在中，，，点P是边上由B向C运动（不与点B， C重合）的一动点，P点的速度是，设点P的运动时间为t，过P点作的平行线交于点N，连接．

(1)请用含有t的代数式表示线段的长；
(2)当t为何值时，的面积等于面积的四分之一；
(3)在点P的运动过程中，是否存在某一时刻的t的值，使得的面积有最大值，若存在请求出t的值，并计算最大面积；若不存在，请说明理由．
3．某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在湖面上距水枪水平距离为d米的位置，水柱距离湖面高度为h米．
d（米） 0.5 1.0 2.0 3.0 3.5 4.5 …
h（米） 1.6 2.1 2.5 2.1 m 0 …
请解决以下问题：
(1)以水枪与湖面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水枪所在直线为y轴，在下边网格中建立平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点的坐标．
(3)湖面上距水枪水平距离为3.5米时，水柱距离湖面的高度____________米．
(4)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的游船能从喷泉下方通过．游船左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，若游船宽（指船的最大宽度）为2米，从水面到棚顶的高度为2.1米，要求是游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．请问公园该如何调节水枪高度以符合要求？请通过计算说明理由．
4．如图，一小球从斜坡上的点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线的一部分．若小球经过点，解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴；
(2)小球在斜坡上的落点为，求点的坐标；
(3)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
(4)直接写出小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
5．草莓是深受大家喜爱的一种水果，某超市每天调运一批成本价为每千克元的草莓，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售，每天销售草莓的数量y（千克）与每千克的售价x（元）之间的函数关系如图所示：
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)该超市将草莓的每千克售价定为多少元时，每天销售草莓的利润可达到元；
(3)当草莓的每千克售价定为多少元时，该超市每天获利最大？最大利润是多少元？
6．祁门红茶是中国名茶，某茶叶公司经销某品牌祁门红茶，每千克成本为50元，规定每千克售价需超过成本，但不高于90元．经调查发现：其日销售量千克与售价元/千克之间的函数关系如图所示：

(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设日利润为元，求W与x之间的函数表达式，并说明日利润W随售价x的变化而变化的情况以及最大日利润；
(3)若公司想获得不低于2000元日利润，请直接写出售价范围．
7．某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价P（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：
(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？
(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
(3)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠元给村里的特困户，在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
8．容智公司计划共投入资金50万元研发生产甲，乙两种新型智能产品，该公司市场部根据调查后得出：①甲种新型智能产品所获年利润（单位：万元）与投入资金m（单位：万元）的函数关系式是；②乙种新型智能产品所获年利间（单位：万元）与投入资金n（单位，万元）的函数关系式是．
注：记该公司所获全年总利润W（单位：万元）为与之和．
(1)设其中投入乙种新型智能产品资金为x（单位：万元），用含x的代数式表示下列各量：
①投入甲种新型智能产品的资金为_______万元；
②投入甲种新型智能产品所获年利润为_______万元；
③该计划该公司所获全年总利润为_______万元．
(2)求公司市场部预判该公司全年总利润W（单位：万元）的范围；
(3)若该公司从全年总利润W（单位：万元）中扣除投入乙种新型智能产品资金的k倍用于其他产品的生产后，得到剩余利润（单位：万元），若随x的增大而减小，请直接写出k的取值范围．
9．某商店出售一款商品，经市场调查，该商品的日销量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销量，日销售利润的部分对应数据如下表．[注：日销售利润日销量（销售单价进价）]
销售单价（元） 75 78 82
日销量（件） 150 120 80
日销售利润（元） 5250 3360
(1)根据表信息填空：该商品的进价是______元/件，表中的值是______，与之间的函数关系式是______；
(2)求该商品日销售利润的最大值；
(3)由于某种原因，该商品进价降低了元/件，商店规定，在今后的销售中，该商品的销售单价不能低于68元，日销量与销售单价之间仍满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润为6600元，求的值．
10．某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？
11．某商户在线上投资销售A，B两种商品．已知销售A种商品可获得的月利润（万元）是该商品投资金额的40%，销售B种商品可获得的月利润（万元）与该商品投资金额x（万元）满足函数关系（其图象如图所示）．
(1)求销售A种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额x（万元）的函数关系式，并在图中画出其图象．
(2)若只选择其中一种商品投资销售，根据函数图象求销售哪种商品获得的月利润更高？
(3)若该商户共投资10万元同时销售A，B两种商品，要获得月总利润最大，应怎样分配投资金额？并求出最大月总利润．
12．甲、乙两个种植户销售同一种苹果．甲种植户，不论一次购买数量是多少，价格均为6元．乙种植户，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，其中有的价格仍为7，超过部分的价格为5元．设小王只在同一个种植户处一次购买苹果的数量为．
（1）根据题意填表：
一次购买数量 30 50 150 …
甲种植户花费/元 300 …
乙种植户花费/元 350 …
（2）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式；
（3）若这种苹果市场统一售价为元，且，请你给小王建议如何进货可获最大利润？最大利润是多少？
13．如图，四边形为正方形，直线经过点D，分别过点A、C作于点E、于点F．
（1）求证：；
（2）若，求正方形面积的最小值．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，tan∠BAC=，BC=3，点D为线段AC上一动点，过点D作AB的垂线交⊙O于点E，交AB于点F，连结BD，CF，并延长BD交⊙O于点H．
(1)求⊙O的半径；
(2)当DE经过圆心O时，求AD的长；
(3)求证：=；
(4)求CF DH的最大值．
15．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；
（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；
（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．
16．已知二次函数的图象经过点．
(1)求a的值；
(2)，求y的最大值与最小值的差；
(3)若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标是且时，求函数的最小值．
17．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和．
（1）求的值，并用含的代数式表示．
（2）当时，
①求此函数的表达式，并写出当时，的最大值和最小值．
②如图：抛物线与轴的左侧交点为，作直线，为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，作于点．是否存在点使的周长最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若线段的端点、的坐标分别为、，此二次函数的图象与线段只有一个公共点，求出的取值范围．
18．已知抛物线C：y=x2-(m+1)x+1的顶点在坐标轴上．
（1）求m的值；
（2）m>0时，抛物线C向下平移n(n>0)个单位后与抛物线C1:y=ax2+bx+c关于y轴对称，且C1过点(n，3)，求C1的函数关系式；
（3）-3参考答案：
1．(1)台阶上．
(2)
(3)
2．(1)
(2)当t为时，的面积等于面积的四分之一
(3)存在；时，的面积最大，最大值为3
3．(1)11
(2)（2，2.5）
(3)1.6
(4)水枪高度至少向上平移0.5米
4．(1)；
(2)
(3)小球能飞过这棵
(4)
5．(1)
(2)
(3)；
6．(1)
(2)w与x之间的函数表达式为，售价为85元时获得最大利润，最大利润是2450元
(3)售价元/千克的范围为
7．(1)
(2)第30天利润最大，最大利润为2450元
(3)
8．(1)①；②；③
(2)该公司市场部预判该公司全年总利润的范围是
(3)
9．(1)，，
(2)该商品日销售利润的最大值为
(3)
10．这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．
11．(1)
(2)当时，选择B种商品；当时，选A、B 均可；当时，选择A种商品
(3)投资销售B商品为3万元，A商品为7万元，月总利润为4.9万元
（1）180，210，900，850；
，当时，，当时，；
（3）去乙种植户进货750千克，最大利润为1025元
13．（1）证明略；（2）正方形的面积最小值为32．
14．（1）5；（2）；（3）见解析；（4）当时，为最大值
15．（1）；（2）；O1的坐标为（-，0）；（3）存在，O2M的长或或或．
16．(1)；
(2)差为；
(3)．
17．（1）；（2）①，的最小值为， 的最大值为；②存在，；（3）或
18．（1）m=±1或m=-3．（2）C1的函数关系式是y=x2+2x．（3）在直线x=-1上存在一点Q，使得△QPM的周长最小，点Q的坐标是（-1，）．

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