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2024年浙江省中考数学专题复习01------二次函数
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（2023·浙江金华·校联考模拟预测）将抛物线向上平移3个单位后所得的抛物线解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数关系式变换的平移法则“左加右减，上加下减”可以得出结论．
【详解】解：向上平移3个单位，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图像的平移问题，理解并会应用平移法则是本题解题的关键．
2．（本题3分）（2020·浙江绍兴·模拟预测）抛物线的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴是直线求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
3．（本题3分）（2021·浙江金华·统考二模）若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y1），（﹣2，y2），则y1，y2与的大小关系为（　　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【答案】A
【分析】分别把x＝1和x＝﹣2代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小．
【详解】解：当x＝1时，y1＝x2+2x+k＝1+2+k＝k+3；
当x＝﹣2时，y2＝x2+2x+k＝4﹣4+k＝k，
所以y1＞y2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
4．（本题3分）（2023·浙江·模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，且对称轴为直线，与x轴有2个交点，可得，，，，故②③正确；从而得到，故①正确；再由当时，，可得，故④正确；然后根据二次函数图像的对称性可得当时，，从而得到，故⑤错误，即可．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，且对称轴为直线，与x轴有2个交点，
∴，，，，故②③正确；
∴，故①正确；
当时，，
∴，故④正确；
∵当时，，且对称轴为直线，
∴当时，，
∴，故⑤错误；
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
5．（本题3分）（2023·浙江杭州·统考一模）已知二次函数，y与x的部分对应值为：
x … 0 1
y … 2 3 2
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数图象从左到右上升 B．抛物线开口向上
C．方程的一个根在与之间 D．当时，
【答案】C
【分析】根据表格数据知道函数图象关于对称，顶点为，所以图象的开口向下，则可以判断选项A、B、D错误；根据图象与轴的交点，即可判断C选项正确．
【详解】解：和时的函数值相同，都是2，
抛物线的对称轴为，
抛物线的顶点为，
是函数最大值，
抛物线的开口向下，故B选项错误；
当时，随的增大而减小，即函数图象从左到右下降，故A选项错误；
时，，时，，
方程的一个根在与之间，故C选项正确；
函数图象关于对称，
与的值相等，
时，，故D选项错误．
故答案选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6．（本题3分）（2023·浙江·一模）已知二次函数（其中是常数，），当时，的最小值为，则的值为（ ）
A． B．或3 C．或3 D．3或
【答案】A
【分析】首先求出二次函数的对称轴为，然后分两种情况和，分别根据题意列方程求解即可．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
∴当时，
∴当时，的最小值为，
∴，解得；
当时，抛物线开口向下，
∴当时，
∵，
∴当时，的最小值为，
∴，解得，
综上所述，的值为．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
7．（本题3分）（2023·浙江·模拟预测）已知、为抛物线与x轴交点的横坐标，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．0
【答案】A
【分析】由题意可作二次函数图象，当时，，由图象可得，进而可化简绝对值．
【详解】解：由题意可作如图：

当时，，
由图可知：，
则，
则的值是，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、化简绝对值，根据题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
8．（本题3分）（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知二次函数，下列说法中正确的个数是（ ）
（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；
（2）若点，点在此函数图象上，则；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；
（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令，根据，求得 m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线上，可知直线与直线平行，求得两直线的距离即可判断④．
【详解】解：（1）当时，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，点在此函数图象上，且，
∴，故该项错误；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，
则令，
整理得，
∴
解得，故该项错误；
（4）∵
∴顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，
∵直线与直线平行，
∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．

设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到 的距离为，
则，
∴
∵
∴
∴，
∴两直线间的距离为，故该项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．
9．（本题3分）（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）已知二次函数和，令，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据题意画出两个函数图象，然后结合函数图象及绝对值的意义依次判断即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，
∵
∴相当于将向右平移1个单位长度，对称轴为，如图所示：
当时，，即当点横坐标到的距离大于时，由图得即或时，
当时，；当时，；故A、B选项错误，不符合题意；
当时，即当点横坐标到的距离小于等于时，由图得即时，
由图得：当时，为负数，且二者之间距离最大，
∴，，
∴，
当时，为正数，且二者之间距离最大，
∴，，
∴，
∴时，，
故选：D．

【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，绝对值的意义，理解题意，采用数形结合思想求解是解题关键．
10．（本题3分）（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数与自变量的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误(其中，，，均为常数)
甲同学发现当时，是方程的一个根；乙同学发现当时，则．下列说法正确的是(　　)
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都错 D．甲乙都对
【答案】A
【分析】根据表格数据得出与的数据正确，进而得出，对称轴为直线，判断甲正确，假设乙正确，则出现2组数据错误，与题意不符，据此即可求解．
【详解】解：根据表格可知，与时的函数值相等，
当时，，时，
∴
由抛物线的对称性可得，对称轴为直线，即
∵
∴当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
∴抛物线开口向上，则，
∵对称轴为，当时，
∴当时，
即当时，是方程的一个根；
若时，则，则存在2组数据错误，故不符合题意，
故甲对乙错，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（2023·浙江·模拟预测）已知的斜边．以A为圆心，为半径的圆A与相切．设被圆覆盖后剩余部分面积为．则的最大值为 ．
【答案】
【分析】由题意列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图，是圆A的切线，切点为D，

则，
由题意得
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
12．（本题3分）（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，点在抛物线C：上，且在的对称轴右侧．坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．则点移动的最短路程是 ．

【答案】5
【分析】先求出平移后的顶点，结合平移前的顶点，求出这两点间的距离即为所求．
【详解】解：平移后的抛物线的解析式为，
平移后的顶点，
平移前抛物线的顶点，
点移动的最短路程．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．
13．（本题3分）（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如1．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
【答案】或/0或
【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为：，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一个公共点得到，求解即可．
【详解】解：∵，
∴
即，
∵的图象与x轴仅有一个公共点，令，得，
∴，
∴，
解得：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与二次函数图像和x轴交点坐标的关系，解题关键是熟记：一元二次方程有两个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有两个交点；一元二次方程有一个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有一个交点；一元二次方程（在实数范围）无解，说明二次函数图像和x轴的横坐标没有交点．
14．（本题3分）（2023·浙江台州·统考一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意分别将，…代入解析式，求得与的坐标，的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：把代入；中，
得到，，
∴，
∴，
同理，把代入，中，
得到，，
∴，
∴，
…
代入；中
得到，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的点的坐标求法及数字型的规律探索，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键．
15．（本题3分）（2023·浙江温州·校考二模）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为 ，n的值为

【答案】
【分析】运用待定系数法可求出抛物线的解析式，再与直线联立方程，令可求出的值．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
根据题意得，在抛物线上，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为，
与直线联立方程，得：
，
整理得：,
∵直线与抛物线有唯一公共点，
∴
解得，；
帮答案为：；．
【点睛】本题主要考查了函数图象与性质，正确求出抛物线的解析式是解答本题的关键．
16．（本题3分）（2023·浙江杭州·统考一模）已知二次函数，当时，y的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则m的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据二次函数的性质可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分三种情况讨论：若，该函数图象过点，；若，该函数图象过点，；若， 即可求解．
【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线，
∵该二次函数的对称轴为，
∴，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∵当时，y的取值范围是，
若，该函数图象过点，，
∴，解得：，
此时（舍去）；
若，该函数图象过点，，
∴，解得：，
此时（舍去）；
若，
当时，此时，当时，，且该函数图象过点，
∴，解得：或，
此时（舍去）或；
当时，此时，当时，，该函数图象过点，
∴，解得：或，
此时（舍去）或；
综上所述，m的值是为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
17．（本题3分）（2022·浙江衢州·统考一模）“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足，则称点P为线段的“U点”，如图，二次函数与x轴交于点A和点B．（1）线段的长度为 ；（2）若线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为 ．
【答案】 ； 或
【分析】令，得到，求得两点坐标，即可求得的长度，以为边，向上作等边三角形，再以为圆心，以为半径画弧，交轴于点，求得点坐标，设，根据求解即可．
【详解】解：令，得到
解得，，即，
∴，
以为边，向上作等边三角形，再以为圆心，以为半径画弧，交轴于点，如下图：
设原点为，由圆周角定理可知，，
由题意可得：
作OD⊥AB，则，，
，，
设，则，
化简可得，
解得，
即，，
故答案为：；或，
【点睛】此题考查了二次函数与坐标的轴的交点问题，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．（本题6分）（2023·浙江温州·统考二模）已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线解析式及对称轴．
(2)关于该函数在的取值范围内，有最小值，有最大值1，求m的取值范围．
【答案】(1)抛物线解析式为，对称轴为；
(2)
【分析】（1）把点，，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意画出图象，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：将点，代入抛物线，得
，
得，
∴抛物线解析式为，
对称轴为：；
（2）解：如图，由抛物线的对称性可画出草图，

由图象可知：当时，y的最小值为，最小值为1，
∴当时，对应的函数的的最小值为，最小值为1，m的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
19．（本题8分）（2022·浙江杭州·校考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数．
(1)若该函数的图象经过点，求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)若为此函数图象上两个不同点，当时，恒有，试求此函数的最值．
(3)当且时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．
【答案】(1)
(2)函数有最大值0
(3)在第二象限，理由见解析
【分析】（1）直接将点代入即可求得a的值，然后根据顶点公式求得即可；
（2）利用题意，求解a，然后把解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）利用顶点公式求得， ，由且即可判断，即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限．
【详解】（1）解：∵函数图象过点，
∴将点代入，得：
，解得，
∴二次函数的解析式为，
∴该二次函数的顶点坐标为；
（2）解：函数的对称轴是直线，
∵为此二次函数图象上的两个不同点，且，恒有，
∴，
∴，
∴，
∴当时，函数有最大值0；
（3）解：∵，
∴由顶点公式得：， ，
∵且，
∴，
∴该二次函数图象的顶点在第二象限．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质；二次函数图象上点的特征，二次函数的最值，熟知二次函数的顶点公式是解决本题的关键．
20．（本题8分）（2023·浙江绍兴·统考一模）某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下：
素材
内容
素材1
高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形．
素材3
已知，图2坐标系中，，记为，．
根据以上素材内容，丵试求解以下问题：
(1)求抛物线和抛物线的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留)
(3)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
【答案】(1)抛物线；抛物线
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的实际应用
（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，分别求出，，即可得出结果；
（3）分和进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴，
设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，
点在抛物线上，点在抛物线上，
，，
，，
抛物线；抛物线；
（2）解：设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，
在抛物线中：当时，
，
，
，
则，
；
（3）解：当时，由抛物线解析式可得：， ，
，
即，
解得；
则最深度为；
当时，由图象可得：， ，
可列方程：，
则，
解得；
则最深度为．
综上：杯中液体最深度为或．
21．（本题8分）（2023·浙江舟山·统考模拟预测）二次函数过点
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点A和点B都在二次函数图像上，求最小值；
(3)一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中．其中点A是二次函数图像上一点，点B是图像上一点．若，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）把已知点的坐标代入中，求出的值即可；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到，，则，然后利用二次函数的性质解答即可；
（3）先确定抛物线的对称轴为，再求出点关于对称轴的对称点的坐标为，则，即或，求出不等式的解集即可
【详解】（1）把代入得，
，
解得：，
∴二次函数解析式为；
（2）∵点A和点B都在二次函数图像上，
∴，，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为:；
（3）∵
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点的坐标为，
∵点的坐标为，
∴表示点与点的距离，
∴，
整理得，，
即或，
解方程得，，，
∴的解集为或；
解方程得，，
∴的解集为；
综上，的取值范围为：或或．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件选择恰当的方法设出函数关系式，从而代入数值求解，同时也考查了一次函数，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征等．
22．（本题9分）（2023·浙江·一模）根据素材，解决问题．
素材1：在忽略空气阻力的条件下，篮球在空中的飞行距离可分解为水平方向距离和竖直方向距离，水平方向距离适用公式：，竖直方向距离适用公式：，其中为篮球的初始速度，为飞行时间，为初始速度方向与水平面夹角．
素材2：篮球运动员小明在某次投篮训练时，篮球的出手点离地面距离为，投篮的初始速度方向与水平面夹角等于．（参考数据：）

(1)若小明投篮的初始速度为，解决下列问题．
①当时，则___________m，_____________，此时篮球距离地面___________．
②记篮球的水平方向距离为，篮球与地面的距离为，求关于的函数表达式．
(2)在又一次投篮中，当篮球在空中飞行的水平方向距离为时，篮球到地面的距离恰为，试确定这次投篮的篮球的初始速度．
【答案】(1)①3，2.75，4.45；②
(2)
【分析】（1）①根据水平方向距离适用公式和竖直方向距离适用公式代入求解即可；
②根据和求解即可；
（2）将，代入求出，然后代入求解即可．
【详解】（1）①∵，小明投篮的初始速度为，
∴，
∴
∴此时篮球距离地面，
故答案为：3，2.75，2.75；
②∵
∴
∴；
（2）当时，
∴
∴解得
∴将，代入得，
∴解得．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
23．（本题10分）（2023·浙江绍兴·统考三模）根据以下素材，探索完成任务
如何调整电梯球、落叶球的发球方向
素材1：如图是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分．

素材2：如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．

(1)求足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式，此时足球能否入网？
(2)小梅改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？（上述（1），（2）中球落在门柱边线视同球入网）
【答案】(1)，足球不能进入球网
(2)能
【分析】（1）由题意知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式的顶点式为，由抛物线过原点即可求出a的值，从而确定抛物线的解析式；求出当时的函数值，与球门高对比即可作出判断；
（2）原点不变，所在直线为x轴，函数解析式不变，求出的长，计算当，对应的函数值并与比较，即可判断足球是否入门．
【详解】（1）解：由题得抛物线顶点坐标为，设
∵抛物线经过点A（0，0），
∴，
∴，
∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为；
当时，，，
∴足球不能进入球网．
（2）解：∵足球运动轨迹抛物线形状不变，此时以点A为原点，所在直线为x轴，
∴抛物线的函数表达式仍为
∵，
∴由勾股定理得：，
当，，
∴能打到远角E处入网．
【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了求二次函数的解析式，求函数值，勾股定理等知识，正确理解题意，把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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2024年浙江省中考数学专题复习01------二次函数
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（2023·浙江金华·校联考模拟预测）将抛物线向上平移3个单位后所得的抛物线解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（本题3分）（2020·浙江绍兴·模拟预测）抛物线的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．（本题3分）（2021·浙江金华·统考二模）若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y1），（﹣2，y2），则y1，y2与的大小关系为（　　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
4．（本题3分）（2023·浙江·模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（本题3分）（2023·浙江杭州·统考一模）已知二次函数，y与x的部分对应值为：
x … 0 1
y … 2 3 2
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数图象从左到右上升 B．抛物线开口向上
C．方程的一个根在与之间 D．当时，
6．（本题3分）（2023·浙江·一模）已知二次函数（其中是常数，），当时，的最小值为，则的值为（ ）
A． B．或3 C．或3 D．3或
7．（本题3分）（2023·浙江·模拟预测）已知、为抛物线与x轴交点的横坐标，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．0
8．（本题3分）（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知二次函数，下列说法中正确的个数是（ ）
（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；
（2）若点，点在此函数图象上，则；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；
（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（本题3分）（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）已知二次函数和，令，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（本题3分）（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数与自变量的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误(其中，，，均为常数)
甲同学发现当时，是方程的一个根；乙同学发现当时，则．下列说法正确的是(　　)
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都错 D．甲乙都对
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（2023·浙江·模拟预测）已知的斜边．以A为圆心，为半径的圆A与相切．设被圆覆盖后剩余部分面积为．则的最大值为 ．
12．（本题3分）（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，点在抛物线C：上，且在的对称轴右侧．坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．则点移动的最短路程是 ．

13．（本题3分）（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如1．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
14．（本题3分）（2023·浙江台州·统考一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ．
15．（本题3分）（2023·浙江温州·校考二模）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为 ，n的值为

16．（本题3分）（2023·浙江杭州·统考一模）已知二次函数，当时，y的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则m的取值范围是 ．
17．（本题3分）（2022·浙江衢州·统考一模）“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足，则称点P为线段的“U点”，如图，二次函数与x轴交于点A和点B．（1）线段的长度为 ；（2）若线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为 ．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．（本题6分）（2023·浙江温州·统考二模）已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线解析式及对称轴．
(2)关于该函数在的取值范围内，有最小值，有最大值1，求m的取值范围．
19．（本题8分）（2022·浙江杭州·校考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数．
(1)若该函数的图象经过点，求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)若为此函数图象上两个不同点，当时，恒有，试求此函数的最值．
(3)当且时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．
20．（本题8分）（2023·浙江绍兴·统考一模）某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下：
素材
内容
素材1
高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形．
素材3
已知，图2坐标系中，，记为，．
根据以上素材内容，丵试求解以下问题：
(1)求抛物线和抛物线的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留)
(3)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
21．（本题8分）（2023·浙江舟山·统考模拟预测）二次函数过点
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点A和点B都在二次函数图像上，求最小值；
(3)一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中．其中点A是二次函数图像上一点，点B是图像上一点．若，求m的取值范围．
22．（本题9分）（2023·浙江·一模）根据素材，解决问题．
素材1：在忽略空气阻力的条件下，篮球在空中的飞行距离可分解为水平方向距离和竖直方向距离，水平方向距离适用公式：，竖直方向距离适用公式：，其中为篮球的初始速度，为飞行时间，为初始速度方向与水平面夹角．
素材2：篮球运动员小明在某次投篮训练时，篮球的出手点离地面距离为，投篮的初始速度方向与水平面夹角等于．（参考数据：）

(1)若小明投篮的初始速度为，解决下列问题．
①当时，则___________m，_____________，此时篮球距离地面___________．
②记篮球的水平方向距离为，篮球与地面的距离为，求关于的函数表达式．
在又一次投篮中，当篮球在空中飞行的水平方向距离为时，篮球到地面的距离恰为，试确定这次投篮的篮球的初始速度．
23．（本题10分）（2023·浙江绍兴·统考三模）根据以下素材，探索完成任务
如何调整电梯球、落叶球的发球方向
素材1：如图是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分．

素材2：如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．

(1)求足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式，此时足球能否入网？
(2)小梅改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？（上述（1），（2）中球落在门柱边线视同球入网）
试卷第1页，共3页
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