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第七章 随机变量及其分布
第7.1.1讲 条件概率
1．在具体情境中，了解条件概率的概念，并能辨别P(A|B)与P(B|A)的区别，重点培养数学抽象核心素养．
2．理解并掌握条件概率公式及其性质，会用条件概率公式解决一些简单的实际问题，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养．
1、利用条件概率公式求概率
2、条件概率性质的应用
3、条件概率的综合应用
　条件概率
1．条件概率的定义
一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)．
2．条件概率公式
(1)当P(B)＞0时，有P(A|B)＝.
(2)当P(A)＞0时，有P(B|A)＝.
(3)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率．
3．条件概率的性质
设A，B，C都是事件且P(A)＞0.
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
1．一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所讲的条件概率则是随机试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，如某一事件A已经发生，求另一事件B在此条件下发生的概率．
2．从集合角度理解条件概率
如图，用单位矩形来表示样本空间Ω，用矩形内封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为相应事件的概率，设A，B是Ω的子集．
条件概率P(B|A)＝，实际上是仅局限于A事件这个范围来考查B事件发生的概率．几何直观上，相当于B在A内的那部分AB在A中所占的比例．
题型1、利用条件概率公式求概率
1．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为8，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率公式计算即可.
【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件共有种，
其中事件有种，
事件有共种，
所以.
故选：C.
2．从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件概型的知识求得正确答案.
【详解】在第1次抽到奇数的条件下，余下个奇数和个偶数，
再次抽取时，抽到奇数的概率为.
故选：C
3．某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为男生”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件概率公式计算即可.
【详解】由题意得，事件包含的样本点数，
事件和包含的样本点数，
所以.
故选：D
4．小张 小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算事件的概率，再利用条件概率计算即可.
【详解】由题意可知两家都没选择丹东凤凰山，即，
所以，
而有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则，
所以.
故选：D
5．已知，是一个随机试验中的两个事件，若，，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由条件概率计算公式计算得，，求的值.
【详解】因为，所以，即，
同理，由得，
因为，所以，
，所以，
所以．
故选：A.
题型2、条件概率性质的应用
6．设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题设有，根据条件概率公式有，结合，即可得答案.
【详解】由，则，故，
而，则，又，
所以.
故选：D
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件概率的计算公式求解即可.
【详解】由题意，知.
故选：C.
8．下列有关事件的说法正确的是（ ）
A．事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大
B．若，则事件，为对立事件
C．若，为互斥事件，则
D．若事件，，满足条件，和为互斥事件，则
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件和条件概率的定义与计算，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若事件和都为不可能事件，此时两个概率相等，所以A错误；
对于B中，若在不同试验下，虽然有，但事件和不对立；若在同一试验下，说明事件和对立，则B错误；
对于C中，若，互斥，且，对立，则，
若，不对立，则，所以C正确；
对于D中，若事件，，满足条件，和为互斥事件，
则，所以D错误，
故选：C.
9．根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有紧急定位传送器的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论.
【详解】设“失踪的飞机后来被找到”，“失踪的飞机后来未被找到”，“安装有紧急定位传送器”，
则，，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为.
故选：C.
10．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用全概率公式进行求解.
【详解】设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B.
由题意，知，，所以，
所以两次都取到红球的概率为.
故选：C.
题型3、条件概率的综合应用
11．已知随机事件，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知结合条件概率公式，即可得出，进而推得.即可根据条件概率公式，得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为，
所以，.
又,
所以，.
又，
所以，.
故选：A.
12．太行山脉有很多优美的旅游景点．现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从C、D、E、F，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“甲和乙至少一人选择C”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出事件A发生的概率和事件A和事件B共同发生的概率，利用条件概率公式即可求出.
【详解】由题两位游客从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有种，
其中事件A的情况有种，
事件A和事件B共同发生的情况有种，
所以，
所以.
故选：D.
13．抛掷甲 乙两枚骰子，若事件：“甲骰子的点数小于”，事件：“甲 乙两枚骰子的点数之和等于”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用古典概型的概率公式求出，再利用条件概率公式可求得结果.
【详解】由题意知事件为甲骰子的点数小于，且甲 乙两枚骰子的点数之和等于，
则事件包含的基本事件为，
而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有种情况，所以，
因为甲骰子的点数小于的有，两种情况，所以，
所以，
故选：C
14．甲、乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据独立概率乘法公式结合条件概率公式运算求解.
【详解】设事件M：甲选择黄鹤楼，事件N：乙选择黄鹤楼，
可知，
因为事件：甲和乙均没有选择黄鹤楼，
可得，所以，
又因为事件：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，且甲和乙选择的景点不同，
自然，
所以.
故选：A.
15．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，利用条件概率的公式即可求解.
【详解】由，得．
因为，
所以．
故选：C．
一、单选题
1．已知，，，求（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】直接利用条件概率公式计算.
【详解】由题可得.
故选：C.
2．已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用缩小事件空间来求解.
【详解】第一次取得次品的条件下，第二次取产品时，共有6件产品，其中4件正品，所以第二次取得正品的概率为.
故选：B.
3．一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．
【详解】解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，
则，，
则．
故选：A．
4．2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】设事件A为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，则事件A包含的基本事件的个数为，事件AB包含的基本事件的个数为，所以,
故选：A
5．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在男主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据组合数的计算以及条件概率的计算求得正确答案.
【详解】在男主任医师被选派的条件下，
两名主任医师都被选派的概率为.
故选：C
6．某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用条件概率的定义及其概率计算公式求解即可．
【详解】设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A，“随后一天的接纳顾客量超过1万人次” 为事件B，
则，，
所以，
故选：D．
7．某铅笔工厂有甲，乙两个车间，甲车间的产量是乙车间产量的1.5倍，现在客户定制生产同一种铅笔产品，由甲，乙两个车间负责生产，甲车间产品的次品率为10%，乙车间的产品次品率为5%，现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到次品的概率为（　　）
A．0.08 B．0.06 C．0.04 D．0.02
【答案】A
【分析】先根据产量计算抽到甲车间产品和乙车间产品的概率，再由次品率分别计算抽到甲车间次品和乙车间次品的概率，最后相加即可.
【详解】从这种铅笔中任取一件抽到甲的概率为0.6，抽到乙的概率是0.4，
抽到甲车间次品的概率P1＝0.6×0.1＝0.06，
抽到乙车间次品的概率P2＝0.4×0.05＝0.02，
任取一件抽到次品的概率P＝P1+P2＝0.06+0.02＝0.08．
故选：A．
8．目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.
【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，
则男员工中，肥胖者有人，
女员工中，肥胖者有人，
设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，
则，，
则.
故选：D.
二、多选题
9．某气象台统计，该地区不下雨的概率为；刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据条件概率的计算公式即可代入求解.
【详解】由题意可知，
所以,,
故选：BD
10．已知随机事件，的概率分别为，，且，则下列说法中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案．
【详解】由条件概率知：，因为,，所以，故A不正确；
，，与不一定相等，所以不一定成立，故B不正确；
，，所以，故C正确；
，故D不正确．
故选：ABD．
三、填空题
11．将两个骰子各掷一次，设事件 “二个点数都相同”， “至少出现一个5点”，则 ．
【答案】
【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数以及古典概型的概率计算公式，可得答案.
【详解】，∵，，∴.
故答案：.
12．近年来，某市全力推进全国文明城市创建工作，构建良好的宜居环境，城市公园越来越多，某周末，甲、乙两位市民准备从A公园、公园、公园、公园4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件:甲和乙至少一人选择公园，事件：甲和乙选择的景点不同；易知，甲、乙两人随机选择景点所有的情况有种，甲、乙两人都不选公园的情况有种，那么，经计算可以得出条件概率 ．
【答案】
【分析】根据条件概率的定义计算．
【详解】由题意，，
∴．
故答案为：．
四、解答题
13．盒中装有6个同种产品，其中4个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求：
(1)取两次，两次都取得一等品的概率；
(2)取两次，第二次取得一等品的概率；
(3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率.
【详解】（1）解：根据题意，第1次取得一等品的概率为，第2次取到一等品的概率为，
根据相互独立事件的概率公式，可得两次都取得一等品的概率为.
（2）解：根据题意，可分为两类情况：
①第1次取得一等品，第2次取得一等品，其概率为；
②第1次取得二等品，第2次取得一等品，其概率为，
由互斥事件的概率加法公式，可得第二次取得一等品的概率.
（3）解：设第2次取得一等品为事件，由（2）知：，
设第1次取得二等品为事件，可得，
所以所求概率为.
14．某学校高二1班有五名学生报名参加社团活动，社团活动共有“记者在线”、“机器人行动”、“音乐之声”三个项目，每人都要报名且限报其中一项．
(1)求“每个项目都有人报名”的报名情况种数；
(2)已知其中一项目恰只有三名学生报名，求只有甲同学一人报“记者在线”的概率.
【详解】（1）“每个项目都有人报名”，则5名学生分三组，即人数分为3，1，1或2，2，1；
故此时报名情况有种.
（2）记事件为“其中一项目恰只有三名学生报名”，事件为“只有甲同学一人报记者在线”，
事件为“其中一项目恰只有三名学生报名”，报名情况有种，
所以，
若同时发生，即其中一项目恰只有三名学生报名，且只有甲同学一人报“记者在线”，则有种，
所以，
所以.
15．作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3、0.4和0.5．
(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．
【详解】（1）设“小明与第i（，2，3）类棋手相遇”，
根据题意，，
记“小明获胜”，则有，，，
由全概率公式，
小明在比赛中获胜的概率为
，
所以小明获胜的概率为0.375．
（2）小明获胜时，则与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为
，
即小明获胜，对手为一类棋手的概率为0.4．第七章 随机变量及其分布
第7.1.1讲 条件概率
1．在具体情境中，了解条件概率的概念，并能辨别P(A|B)与P(B|A)的区别，重点培养数学抽象核心素养．
2．理解并掌握条件概率公式及其性质，会用条件概率公式解决一些简单的实际问题，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养．
1、利用条件概率公式求概率
2、条件概率性质的应用
3、条件概率的综合应用
　条件概率
1．条件概率的定义
一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)．
2．条件概率公式
(1)当P(B)＞0时，有P(A|B)＝.
(2)当P(A)＞0时，有P(B|A)＝.
(3)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率．
3．条件概率的性质
设A，B，C都是事件且P(A)＞0.
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
1．一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所讲的条件概率则是随机试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，如某一事件A已经发生，求另一事件B在此条件下发生的概率．
2．从集合角度理解条件概率
如图，用单位矩形来表示样本空间Ω，用矩形内封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为相应事件的概率，设A，B是Ω的子集．
条件概率P(B|A)＝，实际上是仅局限于A事件这个范围来考查B事件发生的概率．几何直观上，相当于B在A内的那部分AB在A中所占的比例．
题型1、利用条件概率公式求概率
1．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为8，则（ ）
A． B． C． D．
2．从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为男生”，则（ ）
A． B． C． D．
4．小张 小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（ ）
A． B． C． D．
5．已知，是一个随机试验中的两个事件，若，，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型2、条件概率性质的应用
6．设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．下列有关事件的说法正确的是（ ）
A．事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大
B．若，则事件，为对立事件
C．若，为互斥事件，则
D．若事件，，满足条件，和为互斥事件，则
9．根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型3、条件概率的综合应用
11．已知随机事件，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．太行山脉有很多优美的旅游景点．现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从C、D、E、F，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“甲和乙至少一人选择C”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
13．抛掷甲 乙两枚骰子，若事件：“甲骰子的点数小于”，事件：“甲 乙两枚骰子的点数之和等于”，则（ ）
A． B． C． D．
14．甲、乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
15．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．已知，，，求（ ）
A． B． C． D．1
2．已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（ ）
A． B． C． D．
4．2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在男主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（ ）.
A． B． C． D．
7．某铅笔工厂有甲，乙两个车间，甲车间的产量是乙车间产量的1.5倍，现在客户定制生产同一种铅笔产品，由甲，乙两个车间负责生产，甲车间产品的次品率为10%，乙车间的产品次品率为5%，现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到次品的概率为（　　）
A．0.08 B．0.06 C．0.04 D．0.02
8．目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某气象台统计，该地区不下雨的概率为；刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知随机事件，的概率分别为，，且，则下列说法中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．将两个骰子各掷一次，设事件 “二个点数都相同”， “至少出现一个5点”，则 ．
12．近年来，某市全力推进全国文明城市创建工作，构建良好的宜居环境，城市公园越来越多，某周末，甲、乙两位市民准备从A公园、公园、公园、公园4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件:甲和乙至少一人选择公园，事件：甲和乙选择的景点不同；易知，甲、乙两人随机选择景点所有的情况有种，甲、乙两人都不选公园的情况有种，那么，经计算可以得出条件概率 ．
四、解答题
13．盒中装有6个同种产品，其中4个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求：
(1)取两次，两次都取得一等品的概率；
(2)取两次，第二次取得一等品的概率；
(3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率.
14．某学校高二1班有五名学生报名参加社团活动，社团活动共有“记者在线”、“机器人行动”、“音乐之声”三个项目，每人都要报名且限报其中一项．
(1)求“每个项目都有人报名”的报名情况种数；
(2)已知其中一项目恰只有三名学生报名，求只有甲同学一人报“记者在线”的概率.
15．作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3、0.4和0.5．
(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．

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