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第七章 随机变量及其分布
第7.1.2讲 全概率公式
1．理解并掌握乘法公式和全概率公式，并会用这两个公式解决简单的实际问题，重点提升数学运算核心素养．
2．理解贝叶斯公式并能简单应用，重点培养数学建模、数据分析核心素养．
1、利用全概率公式求概率
2、利用贝叶斯公式求概率
3、综合应用
　乘法公式
由条件概率公式P(B|A)＝可知，P(BA)＝
P(A)P(B|A)．这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率．一般地，这个结论称为乘法公式．
若Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(A1)＞0，P(A1A2)＞0.则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率．
　全概率公式和贝叶斯公式
1．一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)．
2．全概率公式
(1)当P(A)＞0且P()＞0时，由乘法公式有
P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，
所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．这称为全概率公式．
(2)公式推广
定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)．
上述公式也称为全概率公式．n＝3时的情形可借助下图来理解．
3．贝叶斯公式
(1)一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝＝.
这称为贝叶斯公式．
(2)贝叶斯公式推广
定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有
P(Aj|B)＝＝.
上述公式也称为贝叶斯公式．
　　　　
全概率公式是“由原因推结果”即事件B发生(结果发生)的可能性与各种情形的“作用”大小有关，而贝叶斯公式是“已知结果求原因．”即已知事件B发生条件下，探求导致B发生的每个情形的概率(如P(A1|B))．
题型1、利用全概率公式求概率
1．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别为50%，30%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为3%，5%，现从中任取一件，若取到的是次品的概率为3.6%，则推测丙车间的次品率为（ ）
A．3% B．4% C．5% D．6%
2．小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，那么电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是（ ）
A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8
5．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅，人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型2、利用贝叶斯公式求概率
6．根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）．
A． B． C． D．
7．“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（ ）
A． B．
C． D．
10．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型3、综合应用
11．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.
(1)求取到的是不合格品的概率；
(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.
12．现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．
(1)求；
(2)求．
13．中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：
(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.
一、单选题
1．据美国的一份资料报道，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，人群中有80%是不吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.025%，则在美国总的来说患肺癌的概率约为（ ）
A．0.1% B．0.425% C．1% D．10%
2．某餐馆在网站有200条评价，好评率为，在网站有100条评价，好评率为．综合考虑这两个网站的信息，这家餐馆的好评率为（ ）
A． B． C． D．
3．据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（ ）
A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02%
4．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（ ）
A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.43
5．某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
6．现有两个袋子，第一个袋子中有2个红球和3个黑球，第二个袋子中有1个红球和3个黑球．随机选择一个袋子，然后从中随机摸出2个球，则恰好摸出1个红球和1个黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．重庆某高校有橘园 桃园 李园3个食堂，根据大数据统计分析，某天上午下课后，在校学生进入橘园 桃园 李园食堂的学生人数分别占，但因为各种原因，进入橘园 桃园 李园食堂的学生中有一些同学未用餐，而选择出校就餐.其中进入橘园 桃园食堂未用餐而选择出校就餐的学生分别占，现从在校学生中任选一位学生，若发现这位学生是出校就餐的概率为，则推测进入李园食堂中但未用餐而选择出校用餐的学生占（ ）
A． B． C． D．
8．居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（ ）
A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1
二、多选题
9．有两个书架，第一个书架上有4本语文书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分别以和表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，以表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
三、填空题
11．甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为 .
12．甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则
四、解答题
13．某公司有三个制造厂，全部产品的由甲厂生产，由乙厂生产，由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为．求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率．
14．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到．
(1)问这个人迟到的概率是多少
(2)如果这个人迟到了，问他乘轮船迟到的概率是多少
15．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求投篮结束时，甲、乙各只投1个球的概率；
(2)求甲获胜的概率；
(3)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率．第七章 随机变量及其分布
第7.1.2讲 全概率公式
1．理解并掌握乘法公式和全概率公式，并会用这两个公式解决简单的实际问题，重点提升数学运算核心素养．
2．理解贝叶斯公式并能简单应用，重点培养数学建模、数据分析核心素养．
1、利用全概率公式求概率
2、利用贝叶斯公式求概率
3、综合应用
　乘法公式
由条件概率公式P(B|A)＝可知，P(BA)＝
P(A)P(B|A)．这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率．一般地，这个结论称为乘法公式．
若Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(A1)＞0，P(A1A2)＞0.则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率．
　全概率公式和贝叶斯公式
1．一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)．
2．全概率公式
(1)当P(A)＞0且P()＞0时，由乘法公式有
P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，
所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．这称为全概率公式．
(2)公式推广
定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)．
上述公式也称为全概率公式．n＝3时的情形可借助下图来理解．
3．贝叶斯公式
(1)一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝＝.
这称为贝叶斯公式．
(2)贝叶斯公式推广
定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有
P(Aj|B)＝＝.
上述公式也称为贝叶斯公式．
　　　　
全概率公式是“由原因推结果”即事件B发生(结果发生)的可能性与各种情形的“作用”大小有关，而贝叶斯公式是“已知结果求原因．”即已知事件B发生条件下，探求导致B发生的每个情形的概率(如P(A1|B))．
题型1、利用全概率公式求概率
1．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别为50%，30%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为3%，5%，现从中任取一件，若取到的是次品的概率为3.6%，则推测丙车间的次品率为（ ）
A．3% B．4% C．5% D．6%
【答案】A
【分析】设出未知数，根据全概率公式列出方程，求出答案.
【详解】设丙车间的次品率为，
由题知，解得.
故选：A
2．小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，那么电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用条件概率公式即可求得电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率.
【详解】电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为
故选：A
3．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全概率公式求得正确答案.
【详解】依题意，从乙箱中取出的是红球的概率为：
.
故选：D
4．“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是（ ）
A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8
【答案】B
【分析】分别求出乘坐公共汽车和骑单车准时到校的概率，然后求和即为准时到校的概率.
【详解】李明上学骑单车准时到校的概率为，乘坐公共汽车准时到校的概率为，因此李明准时到校的概率为：，
故选：B
5．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅，人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由全概率公式求解
【详解】由题意得运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为
故选：C
题型2、利用贝叶斯公式求概率
6．根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可.
【详解】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，
则本题所求．
故选：A．
7．“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解.
【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，
则，，，，
则，
，
故，
故.
故选：D
8．设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合贝叶斯公式求解即可.
【详解】设事件表示“取到第号袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”，
则由贝叶斯公式得，
故选：A
9．一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据全概率公式，结合贝叶斯公式进行求解即可.
【详解】[设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确”，
由全概率公式：
．
又由贝叶斯公式： ．
故选：B
10．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据贝叶斯概率公式计算即可.
【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率．
故选：A.
题型3、综合应用
11．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.
(1)求取到的是不合格品的概率；
(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.
【详解】（1）取到的是不合格品的概率为：
.
（2）取到的产品为不合格品，
它是机器甲生产的概率为，
它是机器乙生产的概率为，
它是机器甲生产的概率为，
所以它是机器乙生产的概率最大.
12．现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．
(1)求；
(2)求．
【详解】（1）依题意，.
（2）依题意，，
由（1）知，
由全概率公式得
.
13．中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：
(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.
【详解】（1）设事件“取出饺子是肉馅”，，
（2）设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，
事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，
（3）设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.
设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，
一、单选题
1．据美国的一份资料报道，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，人群中有80%是不吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.025%，则在美国总的来说患肺癌的概率约为（ ）
A．0.1% B．0.425% C．1% D．10%
【答案】A
【分析】根据全概率公式求得正确答案.
【详解】依题意，在美国总的来说患肺癌的概率约为：
.
故选：A
2．某餐馆在网站有200条评价，好评率为，在网站有100条评价，好评率为．综合考虑这两个网站的信息，这家餐馆的好评率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知数据直接计算可得.
【详解】解：由已知可得这家餐馆的好评率为.
故选:C.
3．据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（ ）
A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02%
【答案】A
【分析】根据全概率公式求得正确答案.
【详解】设不吸烟患肺癌的概率为，
则，
解得.
故选：A
4．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（ ）
A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.43
【答案】C
【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.
【详解】设事件表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则,
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，
故,
故选：C
5．某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
【答案】A
【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案.
【详解】此人是癌症患者的概率为.
故选：A
6．现有两个袋子，第一个袋子中有2个红球和3个黑球，第二个袋子中有1个红球和3个黑球．随机选择一个袋子，然后从中随机摸出2个球，则恰好摸出1个红球和1个黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全概率公式求得，，，再进行计算即可.
【详解】设“选到第一个袋子”为事件，“选到第二个袋子”为事件，“随机摸出2个球，
恰好摸出1个红球和1个黑球”为事件，
则，，，
所以．
故选：C．
7．重庆某高校有橘园 桃园 李园3个食堂，根据大数据统计分析，某天上午下课后，在校学生进入橘园 桃园 李园食堂的学生人数分别占，但因为各种原因，进入橘园 桃园 李园食堂的学生中有一些同学未用餐，而选择出校就餐.其中进入橘园 桃园食堂未用餐而选择出校就餐的学生分别占，现从在校学生中任选一位学生，若发现这位学生是出校就餐的概率为，则推测进入李园食堂中但未用餐而选择出校用餐的学生占（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用全概率公式即可求出结果.
【详解】设A表示学生进入橘园 桃园 李园食堂而外出就餐人数，分别表示学生进入橘园 桃园 李园食堂人数，由全概率公式：
得到，解得，
故选：D.
8．居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（ ）
A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1
【答案】C
【分析】记事件某人患病，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件某人患病，事件化验结果呈阳性，
由题意可知，，，
所以，
，
现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是：
.
故选：C.
二、多选题
9．有两个书架，第一个书架上有4本语文书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分别以和表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，以表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对选项A：根据事件的独立性概念判断即可；对B，根据条件概率公式求解即可；对C，根据全概率公式求解即可；对D，根据条件概率公式求解即可.
【详解】对选项A：发生时B发生的概率是，不发生时B发生的概率是，由事件的独立性概念知，事件与事件B不相互独立，A错误；
对选项B：，B正确；
对选项C：，C正确；
对选项D：，D正确；
故选：BCD．
10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.
【详解】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，
:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
三、填空题
11．甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为 .
【答案】
【分析】令事件，，分别为“从甲箱中取出一个球是红球、白球、黑球”，根据条件和相应的概率，再求出从乙箱中取出的是红球的概率即可.
【详解】令事件为“从甲箱中取出一个球是红球”，
事件为“从甲箱中取出一个球是白球”，
事件为“从甲箱中取出一个球是黑球”，
事件为“从乙箱中取出一个球是红球”，
则，，，
所以.
故答案为：
12．甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则
【答案】
【分析】由题设求出，，，利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可．
【详解】由题意得，，，
若发生，此时乙箱中有6个红球，2个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙箱中有5个红球，3个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙箱中有5个红球，2个白球和4个黑球，则．
，
；
.
故答案为：
四、解答题
13．某公司有三个制造厂，全部产品的由甲厂生产，由乙厂生产，由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为．求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率．
【详解】设=“抽到甲厂的产品”，=“抽到乙厂的产品”，=“抽到丙厂的产品”，B=“抽到不合格品”，
则，，两两互斥，且．
于是．
由题意可知，，两两互斥，因而有
．
又，，，
，，，
所以
．
14．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到．
(1)问这个人迟到的概率是多少
(2)如果这个人迟到了，问他乘轮船迟到的概率是多少
【详解】（1）设D表示“这个人迟到”，A表示“他乘火车”，B表示“他乘轮船”，C表示“他乘飞机”，则．
由全概率公式，得，
由题意可得：，，，，
，
所以这个人迟到的概率．
（2）由题意可知：，
所以可得如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是．
15．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求投篮结束时，甲、乙各只投1个球的概率；
(2)求甲获胜的概率；
(3)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率．
【详解】（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，
则，，，2，．
记“投篮结束时，甲、乙各只投1个球”为事件，
投篮结束时，甲、乙各只投1个球，则第一次甲投，未投中，第二次乙投，投中了，所以概率为
（2）记“甲获胜”为事件，
由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知：
（3）记甲投中的次数为，

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