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第四章
正态分布
§4.2 正态分布的数字特征
[定理1]
设随机变量
服从正态分布
则
证：
因为
所以
利用分部积分法计算积分
所以，
参数 是该分布的标准差.
正态分布的概率密度完全由数学期望和方差决定.
正态分布的参数 是该分布的数学期望,另一个
[例1]
设随机变量
服从正态分布
在区间
内的概率，
这里
解：
求
落
查附表2得
说明：
若
则
由此可知
落在
之外的概率小于
‰，
根据小概率事件的实际不可能性原理，
通常把区间
这一原理叫做
“三倍标准差原理”
可能的取值
看作是随机变量
的实际
区间.
[定理2]
设随机变量
服从正态分布，
则
阶中心矩
证：
当
是奇数时，
[例2]
的数学期望与方差.
解：
所以，
置换积分变量
得
于是
小 结
思考题
已知连续随机变量
的概率密度为
则
的数学期望为
方差为
解：
的概率密度可以写为
由此可知，
于是有，
补充例题
设随机变量
求随机变量函数
的概率密度、数学期望与方差.
解：
已知
则
的概率密度为
当
时，
显然有
当
时，
有
所以，
的分布函数为
对
求导数，
即得
的概率密度
注意到
在
处不可导，
不妨定义
下面求 的数学期望和方差：
又
置换积分变量
得
所以，
的方差

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