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第五章
数理统计的基本知识
§5.6 综合例题
证:
[例1]
样本
解:
[例2]
取样本
求：
于是，
于是，
[2001数学 三]
设总体
服从参数为
是来自总体 的简单随机样本．
的指数分布，
时，
依概率收敛于
证明
已知总体
则 的概率密度为
于是
置换积分变量
得
[例3]
证明当
又
置换积分变量
得
于是
由样本的性质可知，
独立同分布，
且
从而由切比雪夫大数定律可知，
率收敛于
依概
解:
(1)由§5.5定理2知,样本函数
[例4]
所以,
已知
(2)由§5.5定理4知,统计量
所以,
已知
[例5]
近似地服从什么分布？
解:
由林德伯格-列维中心极限定理可知：
当
充分大时，
近似地服从正态分布
[例6]
的数学期望与方差.
设随机变量
服从自由度为
的
分布，
求
解:
已知
令
其中
相互独立.
由已知结论
于是,
因为
相互独立，
所以
也相互独立，
由方差的性质得 的方差
[例7]
证:
由§5.5定理4知：
于是，
又
所以，
[2001数学 一]
设总体 服从正态分布
从总体中抽样
其均值
求统计量
学期望
解法一
设
则因为样本
相互独立，
且与总体 服从相同的分布，
所以按正态随机变量的线性性可知：
[例8]
的数
可视为来自总体
的简单
随机样本，
记其样本均值及样本方差分别为
则
因为
所以有
从而
解法二
设样本
的样本均值为
样本方差为
样本
的样本均值为
样本方差为
显然
于是
由样本性质知
与
独立，
所以
于是
因为
所以

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