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16.2.2《二次根式的加减》导学案
学习目标﹒导思
1.知道二次根式加减运算的步骤;
2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算;
3.经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法
4.通过引导学生自主探究，培养学生的数学探究能力及合作交流的意识。
5.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美
学习重难点
重点：二次根式的加减法运算。
难点：被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算。
学法指导
通过观察、动手操作领悟二次根式的性质，同伴合作能利用二次根式的性质解答有关二次根式的加减运算问题。
学习过程
一、课前预习﹒导学
（1）二次根式的定义：
（2）二次根式的性质 1、2、3、4：
（3）最简二次根式的两个条件：
① ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
② ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
（4）最简二次根式的两个要求：
① 被开方数不含＿＿＿＿；
② 被开方数中每一个因式的指数都小于＿＿＿＿＿＿。
（5）化简：
① ② ③
④ ⑤ ( x＞0，y＞0 )
【答案】（1）一般地，式子叫做二次根式.
（2）性质1：（）2= （≥0）；
性质2：
性质3： ＝·﹙a≥0，b≥0﹚
性质4： 如果 a≥0 ，b＞0 ，那么有＝。
被开方数的因数是整数，因式是整式；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
（4）分母；2
（5）3；；2x; x；
二、课内学习、合作探究：
探究：通过探究你发现二次根式的加减与整式的加减有联系吗？
（1）合并同类项：
3x＋4x－5x＝﹙＿＿＿＿＿﹚x ＝＿＿＿x
（2）计算：
＝＿＿＿＋＿＿＿－＿＿＿
＝﹙＿＿＿＿＿＿﹚＝＿＿＿
【答案】(1)（3+4-5）x;2
(2)3,4,5;(3+4-5);2
【归纳】：同类二次根式：
1、定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果＿＿＿＿＿相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
2、判断几个二次根式是否是同类二次根式时：
（1）将它们化成_____________________________________________；
（2）看它们的___________________________________________是否相同.
【答案】1.被开放数
2.（1）最简二次根式 （2）被开方数
【做一做】
计算：
（1） （2）
【答案】(1)-4 (2)
【归纳】二次根式加减运算的步骤
（1）先把各个二次根式化成＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）合并＿＿＿＿＿＿＿。
【答案】（1）最简二次根式
（2）同类二次根式
典例精析：
例1.计算：（1）（+1）（-1）
（2）（-2）2-6（3-）
解：（1）（+1）（-1）=（）2-12=3-1=2
（2）（-2）2-6（3-）
=（）2-2xx2+(2)2-6x3+6
=6-12+12-18+6
=6-12
例2.计算：（+）-÷
解：原式=（2+5）-÷3
=x7-x÷3
=7-
=
练一练：
1.计算 ；
【答案】；
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
【详解】原式，
，
；
（2）原式，
，
．
2.计算：
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根等知识．熟练掌握平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根是解题的关键．
利用平方差公式计算二次根式的乘法，根据二次根式的除法计算，求算术平方根，最后合并同类项即可．
【详解】解：
．
做一做
计算 ：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，灵活运用二次根式的性质化简是解题的关键
（1）先根据二次根式的性质化简、然后去括号、最后合并同类二次根式即可解答；
（2）先根据二次根式除法法则、完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可解答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
达标练习
1.下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式，被开方数中不含分母，且被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，熟练掌握简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A. 是最简二次根式，符合题意；
B. 不是最简二次根式根式，不符合题意；
C. 不是最简二次根式根式，不符合题意；
D. 不是最简二次根式根式，不符合题意．
故选A．
2.下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式：“被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．”进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式；
B、，是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式．
故选B．
3.下列判断正确的是（ ）
A． B．与最接近的整数是5
C． D．与的积是有理数
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质化简以及无理数的估算：先把A和C选项的二次根式化简，再判断正确；根据无理数的估算方法对B和D选项进行判断，即可作答．
【详解】解：A、因为，所以，则，故该选项是错误的；
B、因为，则与最接近的整数是6，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，则与的积是有理数，故该选项是正确的；
故选：D
4.化简： ．
【答案】
【分析】根据题意知，然后根据平方根的 性质化简．
本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式性质，是解答此题的关键．
【详解】由知，，
∴，
∴．
故答案为：．
5.计算：．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的运算、二次根式的乘法、绝对值的性质和零指数整数幂，正确化简各数是解题关键．直接利用二次根式的乘法、绝对值的性质和零指数整数幂分别化简，进而得出答案．
【详解】原式
6.先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的运算；
利用完全平方公式和整式乘法的法则展开，然后合并同类项可得最简结果，再代入求值即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
7.先化简，再求值：，其中，，．
【答案】，
【分析】本题考查二次根式的化简求值．
根据二次根式的化简方法先化成最简二次根式，再代入求值即可．
【详解】解：
当，，时，
原式
8.当，，求代数式的值．
【答案】31
【分析】本题考查了求代数式的值，由已知条件可得，，将代数式化为，然后代入运算即可求解；掌握整体代换法求代数式的值是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
原式
．
三.拓展练习
小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的：
，
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出 ；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．
（1）根据例题可得：对式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解；
（3）根据小明的分析过程，得得，，再整体代入，即可求出代数式的值．
【详解】（1）解：
；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，即，
，，
．
四.学习反思
学习本节之后，你有何收获？你还有哪些困惑？
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16.2.2《二次根式的加减》导学案
学习目标﹒导思
1.知道二次根式加减运算的步骤;
2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算;
3.经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法
4.通过引导学生自主探究，培养学生的数学探究能力及合作交流的意识。
5.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美
学习重难点
重点：二次根式的加减法运算。
难点：被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算。
学法指导
通过观察、动手操作领悟二次根式的性质，同伴合作能利用二次根式的性质解答有关二次根式的加减运算问题。
学习过程
一、课前预习﹒导学
（1）二次根式的定义：
（2）二次根式的性质 1、2、3、4：
（3）最简二次根式的两个条件：
① ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
② ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
（4）最简二次根式的两个要求：
① 被开方数不含＿＿＿＿；
② 被开方数中每一个因式的指数都小于＿＿＿＿＿＿。
（5）化简：
① ② ③
④ ⑤ ( x＞0，y＞0 )
二、课内学习、合作探究：
探究：通过探究你发现二次根式的加减与整式的加减有联系吗？
（1）合并同类项：
3x＋4x－5x＝﹙＿＿＿＿＿﹚x ＝＿＿＿x
（2）计算：
＝＿＿＿＋＿＿＿－＿＿＿
＝﹙＿＿＿＿＿＿﹚＝＿＿＿
【归纳】：同类二次根式：
1、定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果＿＿＿＿＿相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
2、判断几个二次根式是否是同类二次根式时：
（1）将它们化成_____________________________________________；
（2）看它们的___________________________________________是否相同.
【做一做】
计算：
（1） （2）
【归纳】二次根式加减运算的步骤
（1）先把各个二次根式化成＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）合并＿＿＿＿＿＿＿。
典例精析：
例1.计算：（1）（+1）（-1）
（2）（-2）2-6（3-）
例2.计算：（+）-÷
练一练：
1.计算 ；
2.计算：
做一做
计算 ：
(1)； (2)．
达标练习
1.下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列判断正确的是（ ）
A． B．与最接近的整数是5
C． D．与的积是有理数
4.化简： ．
5.计算：．
6.先化简，再求值：，其中．
7.先化简，再求值：，其中，，．
8.当，，求代数式的值．
三.拓展练习
小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的：
，
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出 ；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出 的值．
四.学习反思
学习本节之后，你有何收获？你还有哪些困惑？
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