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3.3.2 抛物线的简单几何性质【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.抛物线的几何性质及其应用，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养，如第1题、第6题、第8题；
2.由抛物线的几何性质求标准方程，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第2题、第5题、第12题、第13题；
3.直线与抛物线的位置关系，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第3题、第4题、第7题、第9题、第10题、第11题、第14题；
一、填空题
1．抛物线的顶点坐标为 ．
（2023·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考七中）
2．抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是 .
3．直线和抛物线的一个交点是（1，2），则抛物线的焦点到此直线的距离等于 ．
（2024·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学期末）
4．过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为 .
5．若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为 .
（2023上·陕西汉中·高二校联考期中）
6．抛物线的焦点为，第一象限的点在上，且，则的坐标是 ．
（2023下·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）
7．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则 .
8．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个三角形的边长是 ．
（2023·河南安阳·高二期中）
9．已知抛物线与圆交于A，B两点，则 ．
（2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末）
10．已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 .
二、解答题
11．①为抛物线上的点，且；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．
已知抛物线的焦点为，______，若直线与抛物线相交于A、两点，求弦长．
（2024上·湖南长沙·高二期末）
12．如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点且斜率为2，直线交抛物线和圆依次于四点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求的值．
（2023上·江苏连云港·高二校联考期中）
13．平面内动点到点的距离与到直线距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设过点的直线交动点的轨迹于两点，求值.
（2024上·陕西榆林·高二统考期末）
14．已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，求的面积.
【易错题目】第6题、第8题
【复盘要点】忽视抛物线几何性质中的隐含条件致误
（2024上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）
【典例】已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 .
【答案】6
【分析】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案.
【解析】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则另两个顶点关于x轴对称，不妨设如图示：
设等边三角形边长为a，则A点横坐标为，
则，代入得，
解得（舍），
故等边三角形的边长为6，
故答案为：6
易错警示：抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．在抛物线的几何性质中，应用最广泛的是范围、对称性等，在解题时，需挖掘相关隐含条件．
【复盘训练】
（2024上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校期末）
15．如图所示，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上，则抛物线的方程为 ．
（2023·四川·高二成都七中校考期中）
16．是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则 ．
17．已知正（O为坐标原点）的顶点在抛物线上，则的边长等于 ．
（2023·浙江温州·高二校联考期中）
18．抛物线的准线方程为 ，若F为抛物线的焦点，M为抛物线上的点，三角形MFO的面积为2（O为坐标原点），则= .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】将抛物线化成标准式，即可得到其顶点坐标.
【详解】解：抛物线，即，顶点坐标为；
故答案为：
2．
【分析】由题意求得抛物线C的方程，即可得出抛物线C的准线方程.
【详解】因为抛物线C与抛物线关于轴对称，
所以抛物线C的方程为，
则抛物线C的准线方程是.
故答案为：.
3．
【分析】根据交点可求出，再根据点到直线的距离公式即可解出．
【详解】由题意可知，，解得，，解得，所以抛物线的焦点到此直线的距离等于．
故答案为：．
4．2
【分析】求出过抛物线的焦点且与x轴垂直的直线，再求出它与抛物线交点坐标即可得解.
【详解】抛物线的焦点，对称轴是x轴，
经过点F垂直于x轴的直线l：，
由得或，于是得直线l：与抛物线二交点，，
所以所求弦长为2.
故答案为：2
5．
【分析】根据抛物线的对称性即可知在上，代入求p，写出抛物线方程即可.
【详解】由抛物线的对称性知：在上，
∴，可得，即抛物线的方程为.
故答案为：.
6．
【分析】根据点在抛物线上且到的距离为，可列出方程，求得的值便可求得坐标.
【详解】解：由题意得：设点的坐标为，故
点的坐标为
，解得
又在第一象限
，，即点的坐标为
故答案为：
7．10
【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦长公式为，代入即可.
【详解】根据抛物线的定义可得，所以.
故答案为：10.
8．
【分析】根据正三角形和抛物线的对称性求得正三角形的边长.
【详解】设正三角形的顶点，边长为，
由于正三角形的两个顶点在抛物线上，
根据正三角形和抛物线的对称性可设，
将点坐标代入抛物线得.
所以正三角形的边长为.
故答案为：
9．4
【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.
【详解】由抛物线与圆的性质易得A，B横坐标相等且大于0，
联立，得，解得或（舍去），
则，将代入可得，则.
故答案为：.
10．或
【分析】分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合根的判别式得到方程，求出答案.
【详解】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求，
当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得，
，
令，解得，
故，即.
故答案为：或
11．．
【分析】若选①：根据焦半径公式即可求出p，从而求出抛物线方程，联立抛物线方程和直线方程，根据韦达定理和弦长公式即可求；若选②：根据抛物线定义可知抛物线焦点到准线的距离为p，由此可求抛物线方程，从而采用和选①时相同的方法可求．
【详解】若选①：
在抛物线上，且，
，则p＝1；
若选②：
∵焦点到准线的距离是1，∴p＝1；
故抛物线的方程为．
联立，可得，
设，，则，，
．
12．(1)抛物线方程为．
(2)．
【分析】（1）根据抛物线的性质求抛物线的标准方程.
（2）利用，分别求出、的长度即可.
【详解】（1）解：（1）由圆的方程，即可知，圆心为，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为，抛物线方程为．
（2）
∵ 为已知圆的直径
∴ ，则
设、，
∵ ，而、在抛物线上，
由已知可知，直线方程为，
由消去，得
∴
∴
因此，．
13．(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线的定义可得答案；
（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理可得答案.
【详解】（1）因为点到点的距离与到直线距离相等，
所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线，其方程为.
（2）设直线的方程为，
联立，得，
，.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再结合已知列式求解即得.
（2）求出直线的方程，与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出三角形面积得解.
【详解】（1）抛物线：的焦点关于其准线的对称点为，
于是，解得：，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，直线的方程为，设，，
由消去x得：，则，
所以的面积.
15．
【分析】由已知可知，，，代入点即可得解.
【详解】因为等边三角形的边长为，且其三个顶点都在抛物线上
所以，，，
所以，解得
所以抛物线的方程为：
故答案为：
16．
【分析】由题可设，，利用的面积算出，再结合图形求出.
【详解】如图所示，

∵，知两点关于轴对称，
设，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
17．
【分析】设△AOB的边长为a，先设出A点坐标，再代入抛物线方程，解得a，即得结果.
【详解】由抛物线及等边三角形的对称性可知，如图所示，
设△AOB的边长为a，则A，
因为点A在抛物线上，
所以，解得：a＝.
故答案为：.
18． 5
【分析】对于第一空，由抛物线标准方程可得准线方程；
对于第二空，由题可得，又由三角形MFO的面积为2可得坐标，继而可得.
【详解】对于第一空，的准线方程为，即；
对于第二空，由可知 ，又三角形MFO的面积为2，
则，又，
得.取，代入，得，则.
根据抛物线定义有.
故答案为：；5
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页3.3.2 抛物线的简单几何性质【第一课】
[课标要求]
1.掌握抛物线的图形和简单几何性质.
2.能运用性质解决与抛物线有关的问题.
[明确任务]
1.应用抛物线的几何性质解决相关弦问题. （数学建模）
2.直线与抛物线的位置关系问题. （数学建模、数学运算）
1.椭圆及双曲线的标准方程及其几何性质
2.一元二次函数、方程及不等式
核心知识点1 抛物线的简单几何性质
类型 y2＝2px（p＞0） y2＝－2px（p＞0） x2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0）
图形
性 质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O（0，0）
离心率 e＝1
开口 方向 向右 向左 向上 向下
提示　（1）抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平.
（2）抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直.
例1.已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M（1，－2）.求抛物线的标准方程和准线方程、焦点坐标、对称轴及离心率.
【解析】当抛物线的焦点在x轴上时，
设其标准方程为y2＝mx（m≠0）.
将点M（1，－2）代入，得m＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝4x；
当抛物线的焦点在y轴上时，
设其标准方程为x2＝ny（n≠0）.
将点M（1，－2）代入，得n＝－.
∴抛物线的标准方程为x2＝－y，
故所求的抛物线的标准方程为
y2＝4x或x2＝－y.
准线方程分别为x＝－1或y＝；
焦点坐标分别为（1，0）或；
对称轴分别为x轴或y轴；
离心率e都为1.
归纳总结 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
（1）开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
（2）关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
（3）定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为2p；离心率恒等于1.
【举一反三】
1．边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若抛物线上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则其标准方程为 ．
3．已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
核心知识点2 抛物线中焦点弦问题
1.抛物线的焦点弦公式
标准方程 y2＝2px（p>0） y2＝－2px（p>0） x2＝2py（p>0） x2＝－2py（p>0）
图形
焦点弦 x1＋x2＋p p－x1－x2 y1＋y2＋p p－y1－y2
2.当焦点弦垂直于对称轴时，其长度为2p，为最短焦点弦长，称为通径.
例2. 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
【解析】 （1）法一　因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝，
又F.
所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝5＋3＝8.
法二　由抛物线方程y2＝6x，得p＝3
又直线l过焦点且倾斜角为60°，
则|AB|＝＝＝8.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，
于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以中点M到准线的距离等于3＋＝.
归纳总结 利用抛物线的性质可以解决的问题
（1）对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
（2）焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
（3）范围：解决与抛物线有关的最值问题.
（4）焦点弦：解决焦点弦问题.
【举一反三】
4．已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
5．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ．
6．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个正三角形的边长.
核心知识点3 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线位置关系的判断方法
设l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px（p＞0），将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2＋（2kb－2p）x＋b2＝0.
①若k2＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
②若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点.
提示　（1）直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
（2）研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.
例3. 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
【解析】联立消去y，
得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.（*）
当k＝0时，（*）式只有一个解x＝，
∴直线l：y＝1与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，（*）式是一个一元二次方程，
Δ＝（2k－4）2－4k2＝16（1－k）.
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点.
归纳总结： 判断直线与抛物线位置关系的方法：联立方程消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定，当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
【举一反三】
7．已知直线及抛物线，则（ ）
A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点
8．已知抛物线方程为，若过点的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .
核心知识点4 直线与抛物线的综合
例4 设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy内的一个动点（其中O点为坐标原点），点P到定点M（0，）的距离比点P到x轴的距离大.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值.
【解析】（1）过点P作x轴的垂线且垂足为点N，
则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，∴＝y＋，
化简得x2＝2y.
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
（2）由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），联立
消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·＝·＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，
∴k2＝1，∴k＝±1.
归纳总结：1.凡涉及抛物线与直线的综合，应注意利用根与系数的关系，设而不求，能避免繁杂的计算.
2.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
3.求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
【举一反三】
9．斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则 ；
10．已知过点的动直线l与抛物线相交于两点.当直线l的斜率是时，.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围.
11．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
12．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
13．设圆C与圆外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
14．以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　）
A． B．
C． D．
15．已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 .
16．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积 ．
17．直线与抛物线有且只有一个公共点，则 .
18．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P= .
19．已知A，B是抛物线为定值上两点，O为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.
20．已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用题意得到抛物线上点的坐标，待定系数法求解参数即可.
【详解】设抛物线方程为.设，
由题意得，，解得，，
取点A在x轴上方，故，代入抛物线中，则有，
解得，所以抛物线方程为.
故选：C
2．或
【分析】点M到对称轴的距离为6，可设点M的坐标为．结合点M到准线的距离为10列方程可解得或，进而可得结果．
【详解】点M到对称轴的距离为6，
∴不妨设点M的坐标为．
又∵点M到准线的距离为10，
∴
解得或
故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为；
当点M的横坐标为1时，抛物线方程为．
故答案为：或
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．
3．（1）见解析； （2）2 ＋4 .
【分析】（1）由抛物线的简单几何性质易得结果；(2) 由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝ |OM|=2. 设A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周长．
【详解】(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，
x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝ |OM|.
因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3.
所以M(3,0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24.
所以m＝2或m＝－2.
所以A(3,2)，B(3，－2)．
所以|OA|＝|OB|＝ .
所以△OAB的周长为2＋4.
【点睛】本题考查了抛物线简单性质的应用，解题关键利用好三角形重心的性质，属于中档题.
4．B
【分析】将抛物线方程代入，利用二次函数的性质配方即可求最值.
【详解】因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，
因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，
所以当x=0时，z最小，最小值为3.
故选：B.
5．
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
6．
【分析】设另外两个顶点的坐标分别为、，由图形的对称性可以得到，解此方程得到的值，从而可得结果.
【详解】设正三角形的顶点、在抛物线上，且设点、，

则，，
又，∴，即，
∴，又∵，，，
∴，由此可得，即线段关于轴对称，
∵轴垂直于，且，
∴，
∵，
∴，
∴.
7．C
【分析】求出直线系经过的定点，对分类讨论，判断点与抛物线的位置关系，即可推出结果.
【详解】直线，直线过定点．
当时，直线与抛物线有一个公共点，即顶点；
当时，点在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点，
综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点.
故选：.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
8．
【分析】设出的方程，并与抛物线方程联立，结合判别式求得正确答案.
【详解】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得①，
当时，①可化为，此时，即直线与抛物线相交于.
当时，由于①有解，
所以，
即，解得且.
综上所述，直线l的斜率的取值范围是.
故答案为：
9．10
【分析】联立直线方程与抛物线方程，然后利用抛物线的焦点弦公式求解弦长即可.
【详解】设，，则对于抛物线，焦点弦长．
因为抛物线的焦点坐标为，，
所以直线AB的方程为，即，
将代入抛物线方程，得，
从而，所以．
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦公式，函数与方程的数学思想，数形结合的数学思想，抛物线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．(1).
(2).
【分析】（1）分析题意，利用平面向量的坐标表示求解方程即可.
（2）将b表示为一元函数，求解值域即可.
【详解】（1）设，，
由题意知直线l的方程为
由得，
∴，
又∵，，
∴，
结合已求内容及，
解得，
则抛物线G的方程为.
（2）
由题意设，的中点坐标为，
由得，
，.
∴线段的中垂线方程为，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为.
对于方程，
由得或.
此时易知.
11．B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
12．D
【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案.
【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，
所以D选项正确.
故选：D
13．A
【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．
【详解】设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，
圆的圆心为A，
∵圆C与圆外切，
与直线y=0相切，∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r
∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离
由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．
故选：A.
点评：本题考查了圆的切线，两圆的位置关系及抛物线的定义，动点的轨迹的求法，是个基础题．
14．AB
【分析】由题意设、，根据已知可得，即可得抛物线方程.
【详解】由题意，若，则焦点为，故，所以，即；
若，则焦点为，故，所以，即；
综上，，则.
故选：AB
15．
【分析】利用抛物线的对称性得到，从而得解.
【详解】因为抛物线关于轴对称，直线与轴垂直，
故，即.
故答案为：.
16．
【分析】先由抛物线方程得到焦点坐标，设，根据，求出点坐标，再由的面积为，即可求出结果.
【详解】抛物线的方程为， ，可得，得焦点
设,根据抛物线的定义，得，
即，解得，
点在抛物线上，得n2=4×3=24
,
，
的面积为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查抛物线中三角形的面积问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.
17．0或1
【分析】当时，直线为，与抛物线对称轴平行，故只有一个交点，当时，将代入抛物线，用判别式法求解.
【详解】当时，直线为，与抛物线只有一个交点，
当时，将代入抛物线，
得：，
因为直线与抛物线有且只有一个公共点，
所以，
解得，
综上：或
故答案为：0或1
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.
18．2
【详解】设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，把y＝x－代入y2＝2px，得x2－3px＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2．
19．
【分析】设点，则点，由解出即可.
【详解】如图，设点，由，可知点，

∵是的垂心，∴，则，
即·＝－1．
∴，又∵，
∴．
∴直线AB的方程为．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，将证明转化为证即可；
（2）根据题意，由利用面积建立关于k的方程，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由方程与联立，消去后，整理得．
由题意易知，且，
设，由韦达定理，，
在抛物线上，，
则，.
∴．
（2）
设直线与轴交于N，又显然，令，则，即，
又，
，且，
则，解得.
答案第1页，共2页
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