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5.1.1变化率问题+5.1.2导数的概念及其几何意义 第三练 能力提升拔高
5.1.1变化率问题 5.1.2导数的概念及其几何意义
第三练 能力提升拔高
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
能够灵活应用导数的概念、导数的几何意义求解相关问题，培养直观想象，数学运算，如第1，5，10，11题.
一、单选题
1．若曲线在点处的切线方程为，那么(　)
A． B．
C． D．不确定
2．若函数由至的平均变化率的取值范围是，则的取值范围为
A． B．
C． D．
3．物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
4．函数的图象如下图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是
A． B． C． D．
5．已知函数在上有导函数， 图象如图所示，则下列不等式正确的是（　 ）
A． B．
C． D．
6．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
（2023下·高二课时练习）
7．（多选题）已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是（ ）
A．的图象在处的切线斜率大于
B．的图象在处的切线斜率小于
C．的图象在处位于轴上方
D．的图象在处位于轴下方
（2023·全国·模拟预测）
8．若的图象在处的切线分别为，且，则（ ）
A．
B．的最小值为2
C．在轴上的截距之差为2
D．在轴上的截距之积可能为
（2024上·湖北·高三统考期末）
9．设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
三、填空题
10．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a的值是 ．
11．若点是抛物线上任意一点，则点到直线的最小距离为 .
四、解答题
12．设函数，若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求的值．
（2023上·高二课前预习）
13．用割线逼近切线的方法求函数在处的切线的斜率，并画出曲线在点处的切线．
【易错题目】第5，12题
【复盘要点】导数几何意义的应用
【典例】曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、x＝2所围成的三角形的面积为　 　.
【答案】
【解析】y′＝＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3×1＝3，
所以在点(1,1)处的切线方程为y＝3x－2，
它与x轴的交点为，与x＝2的交点为(2,4)，
所以S＝××4＝.
【易错警示】导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.用导数的几何意义求解相关问题应注意“在某点处”与“过某点”的区别.
【复盘训练】
（2023上·北京朝阳·高二统考期末）
14．为了响应国家节能减排的号召，甲 乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多
B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快
C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快
D．该月内存在某一时刻，甲 乙两厂污水排放量减少的速度相同
15．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为（ ）
A． B． C． D．
16．已知f(x)＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
17．已知函数在点处的切线斜率为，则 .
18．已知直线是函数的图象在点处的切线，则 ， .
19．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【详解】∵曲线在点处的切线斜率为，切线方程为
∴
∴
故选B
2．B
【分析】计算出函数由至的平均变化率关于的表达式，再由可解出的取值范围.
【详解】由至时，，
函数由至的平均变化率为，
，，故选B.
【点睛】本题考查自变量变化量的取值范围，关键是要求出函数的变化率，考查计算能力，属于基础题.
3．C
【分析】利用平均速度的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故AB错误；
在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
因为，，所以，
则在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误．
故选：C.
4．C
【分析】由题意结合平均变化率的概念即可得解.
【详解】函数在区间上的平均变化率为，
由函数图象可得，在区间上，即函数在区间上的平均变化率小于0；
在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大.
所以函数在区间上的平均变化率最大.
故选：C.
【点睛】本题考查了平均变化率的概念，关键是对知识点的准确掌握，属于基础题.
5．A
【分析】由题意设函数，则，则函数为增函数，再利用一次函数的增减性即可得解.
【详解】解：设函数，
则，
则函数为增函数，
又，
则，
故选：A.
【点睛】本题考查了导数的运算，重点考查了函数的单调性的应用，属基础题.
6．D
【分析】先根据导数的概念求出函数的导数，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围是，列不等式可求出结果.
【详解】
又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，
所以其斜率，
所以，解得，
所以点P横坐标的取值范围为，
故选：D.
7．BC
【分析】结合，，利用导数的相关知识即可判断.
【详解】因为，则的图象在处的切线斜率小于；
因为，所以的图象在处位于轴上方．
故选：BC.
8．AC
【分析】根据及导数的几何意义得，再借助基本不等式即可判断A，B；写出的方程，得到在轴上的截距分别为，由此判断C，D．
【详解】对于A，B：由题意可得，当时，，当时，，
所以的斜率分别为，
因为，所以，得，
因为，所以，
故A正确，B错误．
对于C，D：的方程为，即，
令，得，所以在轴上的截距为，
的方程为，可得在轴上的截距为，
所以在轴上的截距之差为，
在轴上的截距之积为，故C正确，D错误．
故选：AC
9．BC
【分析】设为直线上任意一点，切点为求出切线方程，将代入切线方程，转化为根的个数求解即可.
【详解】设为直线上任意一点，
过点作的切线，切点为，
则函数图象在点B处的切线方程为，
即，
整理得，，
解得1或
当时，，方程仅有一个实根，切线仅可以作1条；
当时，，方程有两个不同实根，切线可以作2条.
故选：.
10．1
【分析】切线的斜率就是函数在处的导数，据此可求．
【详解】，当，
又切线的斜率为，故，填．
【点睛】曲线在点处的切线方程是：，另外注意曲线在某点处的切线与过某点处的切线的区别．
11．
【分析】易知最小值点为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线，利用导数的几何意义可求得点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.
【详解】当到直线距离最小时，为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线，
，，，
所求最小距离.
故答案为：.
12．.
【分析】求得函数的导数及导函数的最小值，结合题意，即可求解.
【详解】由题意，函数，
则，
因为曲线的斜率最小的切线与直线平行，
所以，解得，
因为，所以.
故答案为：.
13．，作图见解析
【分析】利用导数定义求出割线斜率表达式利用极限求出切线斜率.
【详解】在区间上割线的斜率为＝
当趋近于时，函数在区间上割线的斜率趋近于，
所以函数在处的切线斜率．
曲线在点处的切线为直线l，如图．
14．D
【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲 乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲 乙两厂污水排放量减少的速度相同.
【详解】选项A，设，
设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为，
结合图像可知：，
所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误；
选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知，
直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度，
而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快，
从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；

选项C，设为接近的时刻且，
从时刻到时刻，污水排放量平均变化率，
由导数的定义与几何意义可知，
在接近时，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替.
设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为，
结合图象可知，
所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；

选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等，
即甲 乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同，
所以该月内存在某一时刻，甲 乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确.
故选：D.

15．D
【分析】由导数的几何意义可求曲线在点处的切线斜率，然后根据直线垂直的条件可求的值．
【详解】解：因为，
所以，
∵点为曲线上一点，
∴曲线在点处的切线斜率，
由条件知，，∴.
故选：D
16．D
【分析】设切点，写出切线方程，与函数联立，判别式为0，结合，解得a的值.
【详解】设切点，则切线方程为
联立，化简得
，又，
化简得，
故
故选：D
17．
【分析】根据已知点以及导数的定义求得，进而求得.
【详解】由题意知，
又，
∴，故.
故答案为：
18．
【分析】根据切点在切线和曲线上，可得的关系；利用导数的几何意义可知，由此可解得结果.
【详解】由题意知：，，
，
在处的切线斜率，解得：，，，.
故答案为：；.
19．
【解析】根据倾斜角的范围可以得出曲线C在点P处斜率的范围，从而得到点P横坐标的取值范围.
【详解】由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.
∵曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为
∴0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤.
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解决本题的关键是函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处的切线的斜率．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页5.1.1变化率问题+5.1.2导数的概念及其几何意义 第三课 知识扩展延伸
5.1.1变化率问题+5.1.2导数的概念及其几何意义
第三课 知识扩展延伸
扩展1：与导数的几何意义有关的图象问题
例1.如图所示，点，，，过点E作OB的垂线l．记在直线l左侧部分的面积为S，则函数的图象为下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数的定义域为．
当时，在单位长度变化量内面积变化量 越来越大，即图象切线的斜率在内越来越大，因此，函数的图象是上升的，且图象是下凹的；
当时，在单位长度变化量内面积变化量越来越小，即图象切线的斜率在内越来越小，因此，函数的图象是上升的，且图象是上凸的；
当时，在单位长度变化量内面积变化量为0，即图象切线的斜率在内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D．
【答案】D
【方法总结】函数图象在任一点处的切线斜率的变化情况可以反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数图象升降的快慢．因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其图象的切线来了解函数的性质．
【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
【举一反三1-1】[北京第十五中学2022高二期中]
1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【举一反三1-2】[湖南常德临澧县一中2022高二开学考试]
2．各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有（ ）
A． B． C． D．
扩展2：导数几何意义的应用
例1．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________.
【答案】2
【解析】由题意知a＋b＝3，
又y′|x＝1＝＝ (2a＋aΔx)＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2，故＝2.
【方法总结】求切点坐标可以按以下步骤进行：
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
【举一反三2-1】
3．若曲线在某点处的切线方程为，则切点的坐标为 ．
扩展3：最值与范围问题
例3.[湖北武汉华中科技大学附属中学2023高二月考]设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴
．
∴，∴，∴，
∴，∴或．故选B．
【方法总结】函数切线倾斜角范围可转化为切线斜率问题来求解，（1）根据题意求出函数的导函数，（2）根据函数的性质来求导函数的值域，（3）根据导函数的值域从而求切线的倾斜角的范围.
【举一反三3-1】
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义结合图象即可判断.
【详解】由图象可知，函数在上的增长越来越快，
故函数图象在点（）的切线的斜率越来越大，
因为，所以.
故选：B.
2．ACD
【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处的导数的几何意义可得结果.
【详解】当单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，
故曲线是上升的，且越来越陡峭，
所以函数的图象应一直是下凹的，则选项B满足条件，
所以在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有ACD选项．
故选：ACD．
3．
【分析】依题意，求出导数，设出切点，则在处的导函数值即为切线的斜率，再结合切点在曲线上，列出方程组即可求解.
【详解】，
设曲线与直线相切的切点为，
结合已知条件，得，解得，
∴切点的坐标为.
故答案为：.
4．2
【分析】先利用导数的定义得到，再利用已知条件得到，进而得到，代入求解，最后利用基本不等式即可得出结果.
【详解】由导数的定义，
得＝＝，
因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
则，
所以，
所以c＞0，
所以．
当且仅当时取等号；
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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