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5.1.1变化率问题+5.1.2导数的概念及其几何意义 第一练 练好课本试题
5.1.1变化率问题+5.1.2导数的概念及其几何意义
第一练 练好课本试题
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.理解平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的含义，培养数学抽象，如第2，3题.
2.会求平均变化率、瞬时变化率以及函数在某点的导数，锻炼数学运算能力，如第8，11题.
3.能够灵活应用导数的概念求函数在某点处的切线方程，培养直观想象，数学运算，如第4题.
一、选择题
1．已知函数，且，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．若函数，，在上的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
3．已知函数在处的导数为，则 等于（ ）
A． B． C． D．
（人教A版（2019）选择性必修第二册）
4．函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2021·高二课时练习）
5．求圆的面积在半径为2时的瞬时变化率，并指出这一瞬时变化率的实际意义.
6．根据导数的定义求函数在处的导数；
7．设，求．
8．已知函数的图象，试画出其导函数图象的大致形状．
9．在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作，称为总成本函数.为了方便起见，经济学家们总是假设Q能在某一区间内连续地取值，并将总成本函数在处的导数称为在处的边际成本，用表示，即.已知某产品的总成本函数为，求边际成本，并说明其实际意义.
10．求曲线在点（处的切线的倾斜角．
11．已知二次函数.
(1)判断与的大小；
(2)判断在区间与的平均变化率的大小.
12．分别求函数在区间的平均变化率，并指出它们的大小关系.
【易错题目】第8题
【复盘要点】理解导数的定义，　f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
【复盘训练】
13．已知，则的值为（ ）
A．－2a B．2a
C．a D．
14．已知函数，则在处的导数＝（ ）
A． B．
C． D．
（2023·高二课时练习）
15．已知函数，其中a，b，c为常数，则函数在处的导数为 .
（2023·高二课时练习）
16．已知函数，则曲线在处切线的斜率与方程分为 .
（2023·江苏·高二专题练习）
17．某正方形铁板在时，边长为.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为时正方形的边长为，其中a为常数，设此时正方形的面积为，且，求并解释其实际意义.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】根据函数在某一点处的导数的定义，可得结果.
【详解】由，即
因为，所以
则，所以
故选：C
【点睛】本题考查函数在某点处的导数求参数，属基础题.
2．A
【详解】函数在的平均变化率为：；
函数在的平均变化率为：；
函数在的平均变化率为：；
∴
故选A.
3．B
【分析】根据导数的定义可得，将所求的式子整理为即可求解.
【详解】因为函数在处的导数为，
所以，
所以，
故选：B.
4．A
【分析】利用导数的几何意义以及切线斜率的变化可得出结论.
【详解】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时，，
即，，，
又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜率随着的增大而减小，
故.
故选：A.
5．，这一瞬时变化率的实际意义为圆的周长.
【分析】利用瞬时变化率的定义计算即可.
【详解】圆的面积公式为，当半径r从2变到时的平均变化率为
，
当趋于0时，趋于，
所以时S的瞬时变化率为，这一瞬时变化率的实际意义为圆的周长.
6．详见解析
【分析】由导数的定义利用极限的运算可得．
【详解】∵，
∴ ．故．
【点睛】本题考查定义法求导数的值，涉及极限的运算，属基础题．
7．
【分析】根据导数的定义，即可求解.
【详解】.
8．（1）（2）（3）图象见解析.
【分析】分析（1）（2）（3）中函数的单调性，利用函数单调性与导数之间的关系可得出图象的大致形状.
【详解】（1）函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，
因此，其导函数的图象如下图所示：
；
（2）函数为增函数，则其导函数的函数值恒大于或等于零，并且随着的增大，导数值也在逐渐增大，
因此，其导函数的图象如下图所示：
；
（3）当时，单调递减，则；
当时，单调递增，则.
因此，其导函数的图象如下图所示：
.
9．600，意义见解析.
【分析】设时产量的改变量为，利用导数的定义即可求出答案.
【详解】解：设时产量的改变量为，则
.
令，可得，
即600.
因此，产量为300时的边际成本为600.其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加600.
10．
【分析】根据导数的定义求出曲线在处的导数，即为曲线在点处切线的斜率，即可求出其倾斜角.
【详解】
，
所以曲线在点处的切线斜率为，
则倾斜角为.
11．(1)<
(2)在区间的平均变化率小于在的平均变化率
【分析】（1）将自变量代入函数式直接运算再比较大小；（2）直接根据平均变化率的定义求解并比较大小即可.
【详解】（1）因为，所以，，所以<.
（2）在区间的平均变化率为（1），
在区间的平均变化率，
所以在区间的平均变化率小于在的平均变化率.
12．平均变化率分别为，，；.
【分析】根据平均变化率公式计算平均变化率，并比较大小得到答案.
【详解】函数在区间的平均变化率为；
函数在区间的平均变化率为；
函数在区间的平均变化率为.
.
13．B
【分析】由导数的定义变形即可求解.
【详解】.
故选：B．
14．C
【分析】利用导数的定义计算即可.
【详解】当自变量在处的改变量为时，平均变化率
.
可以看出，当无限接近于0时，无限接近于，
因此.
故选：C.
15．
【分析】利用导数的定义求出导函数，从而可求的答案.
【详解】，
，
当时，瞬时变化率为，即函数在处的的导数为.
故答案为：.
16．2，
【分析】利用导数的定义及其几何意义计算即可.
【详解】因为2，
因此所求切线的斜率为2.
又因为，
所以切线的方程为，即.
故答案为：2,.
17．，意义见解析.
【分析】利用瞬时变化率的定义及其几何意义即可得到答案.
【详解】依题意可知
.
设时温度的改变量为，则
.
所以.
这表示在时，铁板面积对温度的瞬时变化率为.实际意义是，在时，温度的改变量很小时，铁板面积的改变量的近似值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页5.1.1变化率问题+5.1.2导数的概念及其几何意义 第一课 解透课本内容
5.1.1变化率问题+5.1.2导数的概念及其几何意义
第一课 解透课本内容
[课标要求]
1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．
2．了解导数概念的实际背景．
3．知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．
4．通过函数图象直观理解导数的几何意义．
[明确任务]
1．会求平均变化率、瞬时变化率．【数学运算】
2．理解导数概念．【数学抽象】
3．理解导数的几何意义，会求曲线的切线．【直观想象，数学运算】
直线的斜率
（1）定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα．
（2）计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝．
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝．
核心知识点1：平均变化率
1．平均速度与瞬时速度
把位移s看成关于时间t的函数，则物体在时间段内的平均速度．
如果不断缩短区间的长度，则物体在时间段内的平均速度越来越接近时刻的瞬时速度．用表示（可看作相对于的“增量”），即当无限趋近于0时，物体在时刻的瞬时速度．
2．割线斜率与切线斜率
设，是曲线上任意的两点，记，则割线的斜率，如图所示．
我们发现，当点P无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线，则切线的斜率．
3．对于函数，设自变量x从变化到，相应地，函数值y就从变化到．这时，x的变化量为，y的变化量为．我们把比值，即叫做从到的平均变化率．
解读：
1．瞬时速度与平均速度的联系与区别
联系：从物理角度看，当时间间隔无限趋近于0时，在时间段或内，平均速度无限趋近于时刻的瞬时速度．
区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，平均速度刻画物体在一段时间内的运动状态．
2．平均变化率的实质是函数值的变化量与自变量的变化量之比．它的意义是刻画函数的函数值在区间上变化速度的快慢．
3．，式子中与是相对应的“增量”，即在时，．
4．，式子中，的值可正可负，但的值不能为零，的值可以为零，即可正可负，也可以为零．若函数为常数函数，则，从而．
5．在式子中，当取定值，取不同数值时，函数的平均变化率一般不同；当取定值，取不同数值时，函数的平均变化率一般也不同．
函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，增量取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
例1．（1）函数在区间上的平均变化率为______，当，时，平均变化率的值为______．
（2）球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．
【思路分析】（1）直接利用概念求平均变化率；先求出表达式，再直接代入数据就可以求得相应的平均变化率的值．（2）直接利用概念求平均膨胀率．
【解析】（1）函数在区间上的平均变化率为
．
当，时，函数在区间上的平均变化率为．
（2）∵球的体积改变量，球的半径改变量为，
∴球的体积平均膨胀率为．
【答案】（1） 12.3 （2）
【方法总结】求平均变化率的步骤
（1）计算函数值的改变量；
（2）计算自变量的改变量；
（3）求得平均变化率．
【举一反三】
1．已知函数，则在上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】2-2[四川南充2023高二月考]
2．已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【举一反三】2-3
3．若函数在区间上的平均变化率为5，则 ．
【举一反三】2-4
4．求函数在到之间的平均变化率,并计算当,时平均变化率的值.
知识点2：瞬时变化率
如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即．
解读：对导数的定义要抓住三个层次：
（1）函数的变化量（增量）：对于函数，自变量的增量是，相应的函数值的增量是．
（2）平均变化率（增量之比）：．
（3）瞬时变化率（增量之比的极限）：．
函数在处的导数就是当自变量的改变量无限趋近于0时，平均变化率无限趋近的值．它刻画函数在某一点处变化的快慢．
例2．一个质点沿直线运动，运动方程，其中时间t的单位为s，位移s的单位为m．
（1）计算内的平均速度v；
（2）求质点在时的瞬时速度．
【思路分析】（1）利用平均速度的定义求解；
（2）计算，当时即得到瞬时速度．
【解析】（1）在t到的时间内，质点的平均速度
．
（2）取一时间段，，
所以，所以质点在时的瞬时速度为．
归纳总结 求物体时速度的步骤
（1）设非匀速直线运动的规律；
（2）求时间改变量和位移改变量；
（3）求平均速度；
（4）计算瞬时速度v：当时，（常数）．
【举一反三】
5．航天飞机升空后一段时间内，第时的高度为，其中h的单位为m，t的单位为s.
（1）分别表示什么？
（2）求第内的平均速度；
（3）求第末的瞬时速度.
核心知识点3：导函数的概念
从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，就是x的函数，我们称它为的导函数（简称导数）．的导函数有时也记作，即．
解读：“函数在点处的导数”“导函数”“导数”间的区别与联系”
（1）“函数在点处的导数”，就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．
（2）“导函数”：如果对于函数在开区间内每一个确定的值，都对应着一个导数，这样就在开区间内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做在开区间内的导函数，记作或．
（3）导函数也简称导数，所以
．
（4）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，即．
（5）并不是所有的函数都有导数．
例3．（1）已知函数求与的值．
（2）利用导数的定义，求在处的导数．
【思路分析】本题求函数在处的导数，可以按照“求导数的三步曲”来求解．
【解析】（1）∵当时，，
∴．
∴，∴．
当 时，，
由导数的定义，得．
（2）∵，
∴．
【方法总结】（1）求函数在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称为一差、二比、三极限．
（2）利用定义求函数在处的导数，在求平均变化率时，要注意对的变形，变形不彻底可能导致不存在．
【举一反三】
6．如果一个质点由定点A开始运动，其位移y关于时间t的函数为．
(1)当，时，求和；
(2)求函数在处的导数．
核心知识点4：导数的几何意义
1．导数的几何意义
如图，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线．
割线的斜率，记，当点P沿着曲线无限趋近于点时，即当时，k无限趋近于函数在处的导数．因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即．
这就是导数的几何意义．
2．函数图象的变化与导数的关系
（1）曲线在点处的切线的斜率，即函数在处的导数，反映了曲线在点处的瞬时变化率．一般地，切线的斜率的绝对值越大，曲线的变化速度就越快，即曲线比较陡峭；切线的斜率的绝对值越小，曲线的变化速度就越慢，即曲线比较平缓．由曲线在点处附近的变化程度，可以判断曲线在点处切线的斜率的绝对值的大小．
（2）在处的导数、曲线在附近的升降情况、点处切线的斜率k与点处切线的倾斜角的关系如表所示．
在处的导数 曲线在附近的升降情况 点处切线的斜率k 点处的倾斜角
上升 锐角
下降 钝角
平缓 零角
3．曲线的切线方程
函数在处的导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率，曲线在点处的切线方程为．
（1）求曲线的切线方程时，要先检验所给点是否在曲线上，注意对“在”和“过”的理解．若是“在某点处”的切线，则该点为切点；若是“过某点”的切线，则该点不一定是切点；若是“过曲线外一点”的切线，则该点一定不是切点．
（2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：
①求出切点；
②求出函数在处的导数，得到曲线在点处的切线的斜率；
③利用点斜式直线方程求切线方程．
（3）若在处可导，则曲线在点处一定有切线．若函数在处不可导，则曲线在点处也可能有切线，如函数在处不可导，但有切线．即若曲线在点处有切线，则函数在处不一定可导．
解读：
知识点1中的平均速度和割线斜率可从平均变化率的角度来理解，瞬时速度和切线斜率可从瞬时变化率的角度来理解．还有很多物理量都是借助变化率定义的，如加速度是速度（作为时间的函数）对时间的平均变化率；角速度是角度（作为时间的函数）对时间的平均变化率；电流是电荷量（作为时间的函数）对时间的平均变化率，等等．
（1）一般曲线的切线是用割线的最终位置来定义的．
（2）用割线的最终位置定义的切线；①与点（为切点）的位置有关；②要依据割线是否存在最终位置来判断是否存在切线；③若曲线在某点处有切线，则切线是唯一的．
（3）曲线中割线的斜率与切线的斜率的区别与联系
区别：割线的斜率是曲线上两点连线的斜率；切线的斜率是以曲线上一点为切点且与曲线相切的直线的斜率．
联系：切线的斜率是割线的斜率的极限值．
口诀：正则升，负则降；大则快，小则慢．即
①导数值为正时，函数图象呈上升趋势；导数值为负时，函数图象呈下降趋势．
②导数值的绝对值越大，函数图象越陡峭；导数值的绝对值越小，函数图象越平缓．
（4）曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，直线与曲线只有一个交点，但直线不是曲线的切线；直线是曲线的切线，但与曲线有两个交点．
例4．已知曲线，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】∵在曲线上（提示：在某点处，此点在曲线上），∴，曲线在点处切线的斜率．
∴曲线在点处的切线方程为，即．
归纳总结 首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
【举一反三】
7．若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线的方程为 ．
8．某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为（ ）
A．2 B．3
C．－2 D．－3
9．已知，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则曲线在处切线的方程为 ．
11．若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝ .
12．已知曲线上一点，求：
(1)点处的切线的斜率；
(2)点处的切线方程．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】利用平均变化率的定义可求得结果.
【详解】根据平均变化率的定义可得.
故选：A.
2．C
【分析】根据平均变化率的计算公式即可得出结果．
【详解】记，，
由图易知，所以．
故选：C．
3．3
【分析】利用函数平均变化率的计算公式计算.
【详解】解：函数在区间上的平均变化率为，
解得.
故答案为：3.
4．
【分析】当自变量从变化到时，求出平均变化率，化简，然后将和的值代入求值即可
【详解】当自变量从变化到时,函数的平均变化率为
，
当,时,平均变化率=.
5．（1）答案见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）由函数的实际意义说明；
（2）根据平均变化率计算；
（3）根据瞬时变化率计算．
【详解】（1）表示航天飞机发射前的高度；
表示航天飞机升空后第时的高度；
表示航天飞机升空后第时的高度.
（2）航天飞机升空后第内的平均速度为.
（3）第末的瞬时速度为
.
因此，第末的瞬时速度为.
6．(1)，
(2)48
【分析】（1）由平均变化率公式计算即可;
（2）由导数的定义计算即可.
【详解】（1），
故当，时，，．
（2）由（1）得，
故函数在处的导数是48．
7．2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0
【分析】先求出函数图象与轴的交点坐标，再利用导数的几何意义求函数的切线方程即可
【详解】由f(x)＝x－＝0，得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1，0)或(－1，0)．
因为
所以切线的斜率k＝1＋＝2，
所以切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．
即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.
故答案为：2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0
8．D
【分析】根据平均速度的公式，代入计算，即可得答案.
【详解】由题意得＝－3.
故答案为：D
9．D
【分析】求导，由建立方程求解即可
【详解】，，解得.
故选：D
10．
【分析】利用导数的定义及其几何意义计算即可．
【详解】因为
，
又因为，所以所求切线方程为，
即．
故答案为：.
11．1
【分析】由题意，先求出函数在处的导数，进而根据导数的几何意义得到答案.
【详解】k＝
.
故答案为：1.
12．(1);(2) .
【详解】试题分析：（1）要求曲线在点处的切线方程，先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率；（2）利用点斜式即可得到切线方程.
试题解析：(1)由，得 ，.
∴点处的切线的斜率等于.
(2)点处的切线方程为，即.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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