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概率论与数量统计
随机变量及其概率分布
第二章
01
随机变量与分布函数
随机变量与分布函数
01
随机变量
【例2.1.1】抛一枚硬币3次，以ω表示“正面出现”，以?????表示“反面出现”，则试验的样本空间为
可以建立Ω中样本点与数值0,1,2,3之间的对应关系如下：
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随机变量与分布函数
01
可以看出，上面的对应关系不是一一对应关系，但它确定了Ω中样本点与数值之间的对应关系，因此可以说X为试验结果的“函数”。它的定义域为Ω，同时又有独特之处：在试验以前，并不知道这个“函数”的取值，一旦试验完成，X的取值就确定了。由上可以看到，X是定义在Ω上的单值变量(每个试验结果对应唯一的数值)，同时它取何值要根据试验结果来确定，试验结果有多个，X的取值也有多个，究竟X取何值要凭机遇，因此称X为随机变量(random variable)。一般地，在随机试验中随机变量具有一定的实际意义，如在例2.1.1中，X表示每个样本点中正面出现的次数。
有了随机变量，就可以用随机变量表示事件，如同利用函数表示集合一样。例如，在例2.1.1中，可以将X=0的样本点、X=1的样本点、X=2的样本点分别表示为
随机变量
随机变量与分布函数
01
也可简单地表示为
下面给出随机变量X的定义。
定义2.1 设(Ω, ???? ,P(A))是一个概率空间，X= X(ω)(ω∈Ω)是定义在Ω上的一个单值函数，如果对于任意实数????，Ω的子集
即{????≤????}是一个随机事件，则称X(ω)是定义在Ω上的一个随机变量。
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随机变量
随机变量与分布函数
01
分布函数
定义2.2 设X是一个随机变量，x是任意的实数，称函数
是随机变量X的分布函数( distribution function)。
分布函数????(????)具有如下的重要性质。
（1）0≤????(????)≤1； （2.8）
（2）单调性：若????1（3）lim????→?∞????(????)=0，lim????→+∞????(????)=1； （2.10）
（4）右连续性：????(????+0)=lim????→????+0????(????)=????(????)。 （2.11）
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随机变量与分布函数
01
分布函数
定义2.2证明过程
随机变量与分布函数
01
分布函数
定义2.2证明过程
随机变量与分布函数
01
分布函数
定义2.2证明过程
随机变量与分布函数
01
分布函数
【例1】设随机变量X的分布函数为
式中，λ>0为常数，求常数A与B的值。
02
离散型随机变量
离散型随机变量
02
定义与基本概念
定义 2.3 若随机变量X全部可能得到的不相同的值是有限个或可列无限个，则称X是一个离散型随机变量。
定义2.4 设离散型随机变量X的所有可能取值为????????(????=1,2,···)，且
则称{????????}为随机变量X的概率分布列，简称分布列。分布列也常用如下表格形式表示：
其中第一行为随机变量X的所有取值，第二行为取相应值的概率。
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离散型随机变量
02
定义与基本概念
【例1】已知一批零件共有10件,其中有3件不合格。今任取一件使用，若取到不合格品，则丢弃后重新取一个，试求取到合格品以前取出的不合格品件数X的分布列。
解:由于抽样采用的是不放回方式，因此X的可能取值为0,1,2,3。依乘法定理，可以计算得出
故X的分布列为
离散型随机变量
02
定义与基本概念
根据概率的性质，????????应满足如下两个条件：
反之，满足以下两个条件的任一实数列{????????}都可作为某个离散型随机变量的分布型。
离散型随机变量X的分布函数为
它是右连续的、单调不减的阶梯函数，在每个????????处有跳跃，并且跃度为????????。
同时，若已知随机变量的分布函数????(????)，则可以得到它的分布列
?
离散型随机变量
02
几种常见的离散型随机变量
1. 0-1分布
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布列为
则称X服从0-1分布或两点分布。
两点分布适用于：随机试验的样本空间只包含两个样本点或事件域????={Ω,A,?????,?}，这样就可以用一个服从0-1分布的随机变量来描述这个随机试验的结果。
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离散型随机变量
02
几种常见的离散型随机变量
2. 二项分布
设随机变量X的分布列为
由于????????是二项式定理展开式的一般项，因此称X服从二项分布（binomial distribution)，记为X~????(????,????)。
二项分布适用于：????重伯努利试验中“成功”出现的次数，????为每次试验“成功”的概率。
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离散型随机变量
02
定义与基本概念
【例2】设一大批产品中，一级品率为0.2．现从中随意抽取20件，求其中一级品件数X的概率分布。
解:依题意应为不放回抽样，但由于总的产品数量很大,20件相对于总数来说数量很小，因而可以近似作为有放回抽样处理。将抽取一件产品并判断是否为一级品视为一次伯努利试验，于是一级品数量X~B(20,0.2)，X的分布列是
实际计算得分布表如下:
离散型随机变量
02
定义与基本概念
【例2】设一大批产品中，一级品率为0.2．现从中随意抽取20件，求其中一级品件数X的概率分布。
由二项分布的特点，当k >12时，???????? > 0.0001。
为了直观地表示离散型随机变量X的概率分布，用横轴上的点表示随机变量X的取值,对应的纵坐标表示X取这些值的概率，再用折线依次将这些点连接起来，此图称为X的概率分布图。例2.2.3的概率分布图如图2.3所示。
根据以上分析（或由分布图）知k=4是最可能成功的次数。
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离散型随机变量
02
几种常见的离散型随机变量
3. 泊松分布
设随机变量X的取值为0,1,2,…，且其分布列为
则称X服从参数为λ的泊松分布(Poisson distribution)，记为X ~P(λ)。
离散型随机变量
02
【例3】放射性物质放射出的α粒子数是一个著名的例子。1910年，在卢瑟福(Rutherford）等人的试验中，观察在7.5s时间间隔内到达某指定区域的粒子数，共观察N=2608次，以????????记落到该区域内的粒子数，k为观察次数，试验结果与λ=100942608≈3.870（其中10094是在整个2608段时间内观察到的α粒子总数）的泊松分布对照如表⒉.1所示。
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几种常见的离散型随机变量
离散型随机变量
02
【例4】通常认为，在一段时间内进入商店的顾客人数服从泊松分布。某商店对一小时内进入该店的顾客人数按分钟记录，其与λ=2泊松分布的对照如表2.2所示。
几种常见的离散型随机变量
离散型随机变量
02
几种常见的离散型随机变量
3. 泊松分布
定理2.1 在????重伯努利试验中，以????????记????次试验中“成功”的概率，且????????????→λ(????…+∞) ，λ>0，则
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离散型随机变量
02
【例5】生产某种产品时，出现次品的概率p=0.001，求生产5000件这种产品至少出现两件次品的概率。
几种常见的离散型随机变量
离散型随机变量
02
【例6】设某种数字传输器每秒传送512×104个数码0或1，受随机干扰的影响，产生误码（将0传送为1或将1传送为0）的概率p=10?7，求在1秒内出现2个误码的概率。
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几种常见的离散型随机变量
离散型随机变量
02
【例7】设有相互独立运行的设备300台，在任一时刻，每台设备发生故障的概率是0.01。若发生故障，则每台设备需要1名维修工人进行修理。问至少需配备多少维修工人，方能使设备发生故障而不能及时修理的概率不超过0.01?
几种常见的离散型随机变量
离散型随机变量
02
【例8】设现在需要10个合格的元件,已知从市场买回这种元件的废品率是p=0.01。问应买回多少个元件，才能使其中至少含有100个合格品的概率不小于0.95?
几种常见的离散型随机变量
03
连续型随机变量
连续型随机变量
03
定义与基本概念
定义2.5 设随机变量X的分布函数为????(????)，若存在非负函数????(????)，使得对任何实数????，均有
则称????为连续型随机变量(continuous random variable)。????(????)称为????的概率分布密度，简称概率密度或分布密度。
概率密度具有以下性质：
（1）????(????)≥0；
（2）
反之，对于定义在(-∞,+∞)上的可积函数????(????)，若满足性质（1）、（2），则它必为某一随机变量的分布密度。
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连续型随机变量
03
定义与基本概念
（3）对于任意实数????1≤????2，
（4）若????(????)在点????处连续，则????(????)可导，且????’(????)=????(????)。
由连续型分布的定义知，连续型随机变量的分布函数必连续，由此可得性质（5）。
（5）对任意的实数????，????{????=????}=????(????)?????(?????0)=0。
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连续型随机变量
03
【例1】在半径为2的圆域D内任投一点，设点落在D的任何部分区域的概率与该区域的面积成正比，用X表示投入点与圆心的距离，试求X的分布函数及概率密度函数。
定义与基本概念
连续型随机变量
03
定义与基本概念
连续型随机变量
03
几种创建的连续型随机变量
1. 均匀分布
设随机变量X的分布密度函数为
则称X服从区间[a,b]上的均匀分布(uniform distribution)，记为????~????[????,????]。
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连续型随机变量
03
几种创建的连续型随机变量
2. 正态分布
设随机变量X的分布密度为
其中????, ????均为常数，????>0，则称X服从参数为????,????2的正态分布(normal distribution)或高斯分布，记为X~N(????,????2)，X的分布函数为
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连续型随机变量
03
几种创建的连续型随机变量
2. 正态分布
特别地，当????=0， ????2=1时，N(0,1)称为标准正态分布，相应的分布密度函数和分布函数分别记为????(x)和Φ(x) :
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连续型随机变量
03
几种创建的连续型随机变量
【例2】设随机变量X~N(2,0.52)，求????{2.11?
连续型随机变量
03
几种创建的连续型随机变量
3. 指数分布
设随机变量X的概率分布密度为
其中λ>0为常数，称X服从参数为λ的指数分布( exponential distribution)，记为X～E(λ)。
04
随机变量函数的分布
随机变量函数的分布
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（1）离散型随机变量的情形
设X为离散型随机变量，其分布列为
显然，Y的所有可能取值为????(????????)(????=1,2,····)，比较Y的所有取值，若????(????????)(????=1,2,····)中的任意两个值都不相等，则Y的分布列为
若????(????????)(????=1,2,····)中有相等的项，则根据概率的性质对那些相等的值所对应的概率求和。
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随机变量函数的分布
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几种创建的连续型随机变量
【例1】设X的分布列为
求????=(?????2)2的分布列。
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随机变量函数的分布
04
几种创建的连续型随机变量
【例2】设随机变量X的分布列为
求随机变量????=sin(????2????)的分布列。
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随机变量函数的分布
04
（2）连续型随机变量的情形
设????为连续型随机变量，其分布密度为????(????)，????=????(????)。下面只对????(????)为严格单调可微函数的情况给出结果。
定理2.2 设????是连续型随机变量，其分布密度为????(????)，又设????(????)为严格单调可微函数，其值域为[????,????]，且????’(????)≠0，则随机变量????=????(????)的分布密度为
其中，?(????)是????(????)的反函数。
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随机变量函数的分布
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几种创建的连续型随机变量
【例3】设随机变量X的分布密度为f(x)，求X的线性函数Y =kX + b(k≠0)的分布密度。
解：令g(x)=kx+b，则反函数为
感谢观看，再见！
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