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概率论与数量统计
概率论的基本概念
第一章
01
随机事件
随机事件
01
随机试验和样本空间
为了研究随机现象的内在规律性，必须反复对随机现象进行观察、测量，一次观察、测量称为次试验。满足以下三个特点的试验称为随机试验(random trial)：
（1）试验可以在相同的条件下重复进行；
（2）在试验之前能明确知道所有的可能结果；
（3）每次试验必出现全部可能结果中的一个且仅出现一个，但某次试验究竟出现哪个结果，在试验之前不能预知。
随机试验记为E，本书以后所提到的试验均指随机试验。
试验E的每个可能出现的结果称为一个样本点(sample point)，记为ω。试验E的所有可能结果的集合，即全体样本点组成的集合称为E的样本空间(sample space)，记为Ω。
随机事件
01
随机事件的定义
一般地，称试验E的样本空间的子集为E的随机事件(random event)，简称事件，用英文大写字母A，B，…表示。
在一次试验中，若试验结果ω∈A，则称在此次试验中，事件A发生；否则，若试验结果ω?A，则称在此次试验中，事件A没有发生。
有三个特殊的事件：
（1）基本事件：仅含有一个样本点的事件；
（2）不可能事件?：空集??Ω，故?是随机事件。任意一次试验结果ω??，故在每次试验中，事件都不发生;
（3）必然事件Ω：样本空间Ω?Ω，故Ω是随机事件。任意一次试验结果ω∈Ω，故在每次试验中，事件都发生。
必然事件和不可能事件是随机事件的两种极端情形，代表了随机现象和确定性现象之间的过渡。
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随机事件
01
事件的关系与运算
1.事件的关系
（1）事件的包含关系
若A?B，则称事件B包含事件A，其含义是：在一次试验中，若事件A发生，则事件B一定发生，因为A发生，试验中出现的样本点ω∈A，而A?B，故ω∈B，从而B必定发生（见图1.1）。
事件的包含关系具有传递性：若A?B且B?C，则A?C。
为方便起见，规定??A?Ω。
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随机事件
01
事件的关系与运算
1.事件的关系
（2）事件的相等
若A?B且B?A，则称事件A与事件B相等，记为A=B，它表示事件A与事件B是司一事件。
（3）事件的互不相容(事件的互斥)
若在一次试验中，事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B互不相容（或互斥）（见图1.2）。
随机事件
01
事件的关系与运算
1.事件的关系
（4）事件的对立
“事件A不发生”称为事件A的对立事件，记为?????（见图1.3）。
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随机事件
01
事件的关系与运算
2.事件的运算
（1）两个事件的交
“事件A与事件B同时发生”作为一个事件，称为事件A与事件B的交，记为A∩B（或AB）（见图1.4）。
显然，若事件A与事件B互不相容（或互斥），则AB=?。
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随机事件
01
事件的关系与运算
2.事件的运算
（2）事件的并
“事件A或事件B发生”（“事件A和事件B中至少有一个发生”）作为一个事件，称为事件A与事件B的并，记为AUB（见图1.5）。
特别地，当事件A与事件B互不相容，即AB=?时，AUB也记为A+B，称为A与B的和。显然，A+?????=Ω。
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随机事件
01
事件的关系与运算
2.事件的运算
（3）事件的差
“事件A发生而事件B不发生”作为一个事件，称为事件A与B的差，记为A-B（见图1.6)。显然有
A=Ω?????， （1.1）
A?B=A?AB=AB=（AUB）?B. （1.2）
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随机事件
01
事件的关系与运算
2.事件的运算
（4）事件的交与并的推广
“事件A发生而事件B不发生”作为一个事件，称为事件A与B的差，记为A-B（见图1.6)。显然有
且 表示“????1,????2,...????????同时发展”这一事件， “????1,????2,...,????????,...同时发生”这一事件。
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随机事件
01
事件的关系与运算
3.事件运算的法则
事件的运算满足以下运算律：
（1）交换律：A∩B= B∩A，AUB= BUA； （1.3）
（2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(AUB)UC=AU(BUC)； （1.4）
（3）分配律：( A∩B)uC=(AUC)∩(BUC)，(AUB)C=(AC)U(BC)； （1.5）
（2）对偶律（德·莫根律)：?AUB=?????????，?????????=?????U?????。 （1.6）
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随机事件
01
事件的关系与运算
下面是几个常用的关系式:
3.事件运算的法则
02
概率的定义和性质
概率的定义和性质
02
随机事件的频率
定义1.1 A是随机试验E的随机事件，将E重复n次，在这n次试验中A发生的次数是????????(????)，则称????????(????)????为在这n次试验中A发生的频率（frequency），记为????????(????)，即
事件的频率有如下性质。
定理1.1 对任何事件4，有
（1）0≤????????(????)≤1； （1.7）
（2）????????(????)=1； （1.8）
（3）????1,????2,...,????????是k个两两互不相容的事件，则
这三条性质分别称为频率的非负性、规范性和有限可加性。
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概率的定义和性质
02
概率的定义
定义1.2 Ω是随机试验E的样本空间，????是Ω的某些子集构成的集合，若????满足以下三个条件：
（1）Ω∈????;
（2）若A ∈????，则A∈????；
（3）若????1,????2,...????????,...????，则 ，
则称????为随机试验E的一个事件域。
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概率的定义和性质
02
概率的定义
定义1.3 ????是随机试验E的一个事件域，定义在????上的实值函数P(A)，A∈????，若满足以下三个条件：
（1）(非负性公理）0≤P(A)≤1； （1.10）
（2）(规范性公理）P(Ω) =1； （1.11）
（2）(可列可加性公理）若是一个两两互不相容的事件列，则
则称P(A)为事件A的一个概率测度( probability measure)，简称为事件A的概率，三组元（Ω，????，P(A)）称为随机试验E的一个概率空间(probability space)。
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概率的定义和性质
02
概率的性质
定理1.2 不可能事件的概率是0，即
????(?)=0 （1.13）
证明：?,?,?,…是一个两两互不相容的事件列，有?=?+?+…，由可列可加性公理得P(?)=P(?)+ P(?)+…，又由P(?)≥0，得P(?)=0。
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概率的定义和性质
02
概率的性质
定理1.3（有限可加性）????1,????2,...,????????是n个两两互不相容的事件，则
根据有限可加性，可推知下面的加法定理、单调性和对立事件的概率。
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概率的定义和性质
02
概率的性质
定理1.4（加法定理）A,B是任意两个事件，则
P(AUB)=P(A)+P(B)?P(AB). （1.15）
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概率的定义和性质
02
概率的性质
定理1.5（单调性）若B?A，则P(B)≤P(A)，且P(A?B)=P(A)?P(B). （1.18）
概率的定义和性质
02
概率的性质
定理1.6（对立事件的概率）?????是A的对立事件，则
P(?????)=1?P(A). （1.20）
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概率的定义和性质
02
概率的性质
*定理1.7（概率的连续性）设{????????}是一个事件列，
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概率的定义和性质
02
概率的性质
03
古典概型
古典概型
03
若随机试验E具有以下两个特征：
（1）E的样本空间Ω中只有有限个样本点；
（2）每个样本点发生的可能性相同，即每个基本事件发生是等可能的，则这种随机试验E称为古典概型。
古典概型曾是概率论发展初期的主要研究对象，且至今仍在该学科中占有重要的地位.一方面，它比较简单，用以解释许多概念，直观而容易理解;另方面，它概括了许多实际问题，有着广泛的应用。
古典概型
03
通常，式（1.25）称为超几何分布公式。
当从某个有限集合中按照等可能原则任意抽取若干元素时，称此为“抽样”。设一个袋内有若千外形相同的球，从中随机抽取一个或若干球，这样的抽样模型称为抽球模型。在抽球模型中，如果我们抽取一个后，不放回便抽取下一个，那么这样的抽取方式称为不放回抽取方式；如果抽取一个后，记下颜色（或号码)，放回后再抽取下一个，那么这样的抽取方式称为有放回抽取方式。
古典概型
03
【例题1某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知这12次接待都在周二和周四进行，问是否可以推断接待时间是有规定的?
解:假设接待站的接待时间是没有规定的，而来访者在一周的任意一天去接待站是等可能的，那么12次接待来访者都在周二、周四的概率为
这是一个非常小的概率，现在在一次试验中竟然发生了概率非常小的事件，因此我们有理由怀疑假设的正确性，认为接待站不是每天接待来访者，即接待时间是有规定的。上面的推断应用了实际推断原理，即认为“概率很小的事件在一次试验中几乎是不发生的”。
古典概型
03
【例2】某饭店一楼有三部电梯，今有5位客人要乘电梯，假设每位客人选择哪部电梯是随机的，求至少有一部电梯空着的概率。
解：设????????：没有一位客人进入第i部电梯，i=1,2,3，则
没有一位客人进入第i部和第j部电梯的概率为
显然，三部电梯全空着的概率为0，即P(????1,????2,????3)=0，于是至少有一部电梯空着的概率为
即至少有一部电梯空着的概率约为0.383。
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04
条件概率
条件概率
04
条件概率的概念
定义1.4 A,B是两个事件，且P(A)>0，称????(????????)????(????)是在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记为P(B|A)，即有
显然，????(????|????)=????(????????)????(????)=????(????)，即一般概率可以视为必然事件发生条件下的条件概率。在一般情况下，P(B|A)与P(B)是不同的。
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条件概率
04
条件概率的概念
条件概率与无条件概率一样，也满足下列三条基本性质。
（1）非负性：0≤????(????|????)≤1；
（2）规范性：P(Ω|A)=1;
（3）可列可加性：????1,????2...,????????,...是一个两两互不相容的事件列，则
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条件概率
04
条件概率的概念
条件概率与无条件概率一样，也满足下列三条基本性质。
（1）非负性：0≤????(????|????)≤1；
（2）规范性：P(Ω|A)=1;
（3）可列可加性：????1,????2...,????????,...是一个两两互不相容的事件列，则
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条件概率
04
条件概率的概念
利用这三条基本性质，可以推出条件概率的其他性质。
（4）P(?|A)=0；
（5）P(?????|A) =1?P(B|A)；
（6）PK(????1U????2)|A]=P(????1|A)+P(????2|A)?P(????1????2)|A]；
（7）当B?C时，P[(C?B)|A]= P(C|A)?P(B|A)。
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条件概率
04
概率乘法公式
定理1.8（概率乘法公式）若P(A) >0，则
若P(A) >0，P(AB)>0 ，则
并且一般地，对任意n个事件????1,????2,...,????????，当式（1.34）中出现的每个因子都有定义时，此式成立
利用乘法公式可方便地计算事件交的概率。
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条件概率
04
全概率公式和贝叶斯公式
定义1.5 ????1,????2,...,????????是n个事件，若满足如下两个条件：
则称????1,????2,...,????????是样本空间Ω的一个划分。
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条件概率
04
全概率公式和贝叶斯公式
定理1.9（全概率公式） ????1,????2,...,????????是样本空间Ω的一个划分，B是任意一个事件，则
定理1.10（贝叶斯公式）设????1,????2,...,????????是Ω的一个划分，B是任意一个事件，则
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05
随机事件的独立性
随机事件的独立性
05
两个随机事件的独立性
定理1.11（1）若P(A)>0，则P(B)= P(B|A)的充要条件是
（2）若P(B) >0，则P(A)= P(A|B)的充要条件是
随机事件的独立性
05
两个随机事件的独立性
定义1.6 A,B是随机试验E的两个事件，若
则称A与B相互独立(mutually independent)。
定理1.12 若事件A与B相互独立，则A与?????、?????与B、?????与?????也分别相互独立。
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随机事件的独立性
05
多个随机事件的独立性
定义 1.7 ????1,????2,...,????????是????个事件，如果它们之中任意????(2≤????≤????)个事件交的概率等于这????个事件概率的乘积，即对任意满足1≤????1那么称事件????1,????2,···,????????相互独立。
定义1.8 ????1,????2,···,????????···是可列无限多个事件，若其中任意有限多个事件都相互独立，则称????1,????2,···,????????···相互独立。
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随机事件的独立性
05
????重伯努利试验
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设E是一个随机试验，将E重复进行????次，构成一个复合试验，记为????????。若在每次试验中,任意事件出现的概率与其他各次试验的结果无关，则称????????是一个????重独立重复试验。
若试验E只有两个结果A和?????，则称E为伯努利试验(Bernoulli trials)，其中A称为“成功”，?????称为“失败”。
将伯努利试验E在相同条件下独立地重复进行????次，构成一个复合试验????????，则这个复合试验????????，称为????重伯努利试验。
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随机事件的独立性
05
????重伯努利试验
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定理1.13 在伯努利试验E中,成功的概率是p ，即P(A)=p，则在????重伯努利试验????????。中，成功????次的概率是
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随机事件的独立性
05
【例1】金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10kW，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12min，并且是否开动是相互独立的。现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50kW的电力给这10台机床，问这10台机床能正常工作的概率为多大?
解：每台机床只有“开动”和“不开动”两种情况，且开动的概率为12/60=1/5，这是10重伯努利试验，其中成功的概率为p =1/5．50kW的电力可同时供给5台机床开动，因而当10台机床中开动的机床台数不超过5台时都可以正常动作，故所求的概率为
这个结果表明，在电力供应为50kW的条件下，不能正常工作的概率仅为0.0064，可以说，这10台机床的工作基本不受电力供应紧张的影响。
????重伯努利试验
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随机事件的独立性
05
【例2】一个完全不懂阿拉伯语的人，去瞎蒙阿拉伯语考试，假设考试有5道选择题，每题给出n个结果供选择，其中只有一个结果是正确的，试问他能至少答对3题而及格的概率。
????重伯努利试验
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感谢观看，再见！
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