资源简介

概率论与数量统计
随机变量的数字特征
第四章
01
数学期望
数学期望
01
离散型随机变量的数学期望
数学期望（mathematical expectation）又称为平均值。首先来看例子。
【例1】某班学生成绩的分布列为
试求学生成绩的平均值。
这里所说的平均值是加权平均值。设该班共有N名学生，则所得总分为
从面得平均成绩为总成绩/总人数=3.9N/N=3.9。
数学期望
01
离散型随机变量的数学期望
【例2】设有甲、乙两个射手，他们击中环数的分布情况如下所示。
试根据上述分布情况判断哪个射手的射击技术较好。
数学期望
01
离散型随机变量的数学期望
这个问题的答案由给出的数据不能直接得出。可以假设两个射手各射击100次，由上述分布情况可以求出他们各自的总成绩如下。
平均来看，甲每次射中9.3环，乙每次射中9.1环。因此，有理由认为甲的射击技术要好一些。
数学期望
01
离散型随机变量的数学期望
定义4.1 设X是离散型随机变量，其概率分布列为
若级数 绝对收敛，则称级数
为随机变量X的数学期望，记为????(????)；若级数 发散，则称X得数学期望不存在。
随机变量得数学期望由它得概率分布列唯一确定。
?
数学期望
01
离散型随机变量的数学期望
【例3】设X的概率分布列为
求随机变量X的数学期望。
解:因X只取有限个值，故其数学期望存在，由式（4.2）得
数学期望
01
离散型随机变量的数学期望
【例4】设袋中有编号为k的k个球，k=1,2,…,n。从中任意摸出一球，记摸出球的号码数为X，求X的数学期望。
数学期望
01
连续型随机变量的数学期望
定义4.2 设连续型随机变量X得分布密度为????(????)，若积分

绝对收敛，则称这个积分为X的数学期望，记为????(????)；若式（4.3）不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。
?
数学期望
01
离散型随机变量的数学期望
【例5】设随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布，即X的分布密度为
则X的数学期望为
即X的数学期望恰好等于区间[a,b]的中点，它直观地表示了E(X)的意义。
数学期望
01
离散型随机变的数学期望
【例6】设随机变量X服从参数为λ的指数分布，其分布密度为
其中λ>0，求E(X)。
数学期望
01
离散型随机变量得数学期望
【例7】设随机变量X服从柯西分布，其分布密度为
问其数学期望是否存在?
数学期望
01
随机变量函数的数学期望
定理4.1 设????=????(????)是随机变量X得连续函数。
（1）设X是离散型随机变量，概率分布列为????{????=????????}=????????,????=1,2,···。若级数 绝对收敛，则????(????)存在，且
（2）X是连续型随机变量，其分布密度为????(????)，若积分 绝对收敛，则????(????)存在，且
?
数学期望
01
【例8】设离散型随机变量X的分布列为
试求????=(?????2)2的数学期望。
?
随机变量函数的数学期望
数学期望
01
随机变量函数的数学期望
定理4.2 设(X,Y)是二维随机向量，????=????(????,????)是(X,Y)的连续函数，则有：
（1）设(X,Y)是二维离散型随机向量，其联合概率分布列为
若级数 绝对收敛，则
?
数学期望
01
随机变量函数的数学期望
（2）若(X,Y)是二维连续型随机向量，其联合概率分布列为????(????,????)，若广义积分
收敛，则
?
数学期望
01
【例9】设二维随机向量(X,Y)的分布密度为
试求Z=XY的数学期望。
随机变量函数的数学期望
数学期望
01
【例10】航海雷达的环视扫描显示器是半径为R的一个圆，由灯塔反射回来的信号按均匀分布以光点的形式呈现在这个圆内的任意位置，求光点中心到圆心距离的平均值。
随机变量函数的数学期望
数学期望
01
【例11】【例4.1.18】游客乘电梯从电视塔的底层到贝云观北意时间v到达底层的候梯处，X分钟和第55分钟从底层起行。假设游客在某一小时内的任意时间X到达底层的候梯处，X服从[0,60]上的均匀分布，求游客等候时间的平均值。
解：设游客等候时间为Y，则
随机变量函数的数学期望
数学期望
01
【例11】【例4.1.18】游客乘电梯从电视塔的底层到贝云观北意时间v到达底层的候梯处，X分钟和第55分钟从底层起行。假设游客在某一小时内的任意时间X到达底层的候梯处，X服从[0,60]上的均匀分布，求游客等候时间的平均值。
随机变量函数的数学期望
数学期望
01
数学期望的性质
性质1.设c是常数，则有????(????)=????。
性质2.设X是随机变量，c是常数，则有
性质3.设X,Y是任意两个随机变量，则有
性质4.设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有
?
数学期望
01
性质3和性质的证明过程如下：
数学期望的性质
数学期望
01
【例12】设有两个电子装置????1与????2，其寿命X与Y是分别服从参数为????1和????1的指数分布的随机变量，将????1,????2连接在一个控制箱内，使????2处于备用状态，一旦????1损坏，????2就马上开始工作。试求控制箱寿命的平均值。
?
数学期望的性质
数学期望
01
【例13】设某电路中的电流Ⅰ(单位为A)与电阻R(单位为Ω)是相互独立的随机变量，其分布密度为
试求电路电压V=IR的均值。
数学期望的性质
数学期望
01
【例14】一工厂班车载有20名职工从工厂开出，中途有10个车站可以下车。在每个车站，若没有人下车则不停车。设每名职工等可能地在各个车站下车，并设每个人是否下车相互独立，以X表示停车次数，求E(X)。
数学期望的性质
数学期望
01
【例14】一工厂班车载有20名职工从工厂开出，中途有10个车站可以下车。在每个车站，若没有人下车则不停车。设每名职工等可能地在各个车站下车，并设每个人是否下车相互独立，以X表示停车次数，求E(X)。
数学期望的性质
02
方差
方差
02
定义4.4 设X是随机变量，若????{[?????????(????)2]}存在，则称其为X的方差(variance)，记为????(????)或Var(X)，即
在应用上还引入了与随机变量X具有相同量纲的量 ????(????)，记为σ(X)，称为标准差或均方差。
随机变量的方差具有下列性质。这里假设所涉及的随机变量的方差均存在。
性质1.设c是常数，则有????(????)=0。
性质2.设X是随机变量，c是常数，则有????(????????)=????2????(????)。
性质3.设X,Y为任意两个随机变量，则
特别地，当X与Y相互独立时，有
?
方差
02
【例1】设随机变量X服从0-1分布，求D(X)。
【例2】设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求方差D(X)。
方差
02
【例3】设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，求D(X)。
方差
02
【例4】设随机变量X服从参数为λ的指数分布，求D(X)。
方差
02
【例5】设随机变量X服从二项分布B(n, p)，求E(X)和D(X)。
方差
02
【例6】设随机变量X服从正态分布N(????,????2)，求D(X)。
?
方差
02
定理4.3 设随机变量X的方差????(????)存在，则对任意的????>0，有
式(4.20)称为切比雪夫(Chebyshev)不等式。
证明：仅对X是连续型随机变量的情形加以证明。设X的分布密度是f(x)，则有
?
方差
02
定理4.4 若方差D(X)=0，则随机变量X取常数值E(X)的概率等于1，即
证明：因为
03
协方差和相关系数
协方差和相关系数
03
定义4.5 设X,Y是两个随机变量，如果????{[?????????(????)][?????????(????)}存在，那么称????{[?????????(????)][?????????(????)}为随机变量X与Y的协方差(covariance)，记为Cov( X,Y)，即
定义4.6 设X和Y是两个随机变量，称
为X与Y的相关系数，记为????(????,????)。
?
协方差和相关系数
03
引理4.1 设X，Y为两个随机变量， ，则
证明：考虑实变量t的二次函数
式(4.26)称为柯西一施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式。
协方差和相关系数
03
定理4.5 设????(????,????)是随机变量X，Y的相关系数，则有
（1）|????(????,????)|≤1；
（2）|????(????,????)|=1的充要条件是存在常数a,b，使得
当X与Y满足式（4.27）时，称它们以概率1线性相关。
定义4.7 当相关系数????(????,????)=0时，称随机变量X与Y不相关。
?
协方差和相关系数
03
【例1】设(X,Y)服从二维正态分布N(????1,????2,????12,????22,????)，计算X与Y的相关系数。
?
协方差和相关系数
03
【例1】设(X,Y)服从二维正态分布N(????1,????2,????12,????22,????)，计算X与Y的相关系数。
?
04
矩和协方差矩阵
矩和协方差矩阵
04
矩
定义4.8 设X是一维随机变量，k为正整数。若????(????????)存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩，记为????????，即
若????{[?????????(????)]????}存在，则称它为X的k阶中心矩，记为????????，即
?
定义4.9 设(X,Y)是二维随机向量，????,????为任意正整数，若????(????????,????????)存在，则称它为X和Y的????+????阶混合原点矩，记为????????+????，即
?
矩和协方差矩阵
04
【例1】设随机变量X~ N(u,????2)，试计算X的各阶中心矩。
?
矩
矩和协方差矩阵
04
【例1】设随机变量X~ N(u,????2)，试计算X的各阶中心矩。
?
矩
矩和协方差矩阵
04
协方差矩阵
定义4.10 设二维随机向量(X,Y)的4个二阶中心矩都存在，分别记为
将它们排成矩阵的形式，记为
这个矩阵称为随机向量(X,Y)的协方差矩阵。
矩和协方差矩阵
04
协方差矩阵
定义4.11 设(????1,????2,···,????????)是一个????维随机向量，且
都存在，称矩阵
为????维随机向量的协方差矩阵。
由于????????????(????????,????????)=????????????(????????,????????)，因此协方差矩阵是一个对称矩阵。
?
感谢观看，再见！
概率论与数量统计

展开更多......

收起↑