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概率论与数量统计
二维随机向量及其概率分布
第三章
01
二维随机向量及其
分布函数
二维随机向量及其分布函数
01
定义3.1 若????1(????),????2(????),···,????????(????)是定义在同一个样本空间Ω上的随机变量，则称X=(????1(????),????2(????),···,????????(????))是一个????维随机向量。
定义3.2 设x,y是任意实数，称{????≤????}与{????≤????}同时发生的概率
为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数。
?
二维随机向量及其分布函数
01
二维随机向量的分布函数????(????,????)具有下列性质。
（1）单调性：????(????,????) 关于每个变量是单调不减的函数，即若????1（2）有界性：0≤????(????,????)≤1，且对任意????,????，有
（3）右连续性：????(????,????)对每个变量都是右连续的，即
（4）非负性：对任意?????
二维随机向量及其分布函数
01
令????????(????),????????(????)分别为X,Y的分布函数，F(x,y)为随机向量(X,Y)的联合分布函数，若已知F(x,y)，则
定义3.3 由式（3.7）与式（3.8）定义的二维随机向量(X,Y)的分量X与Y的分布函数????????(????),????????(????)，分别称为二维随机向量(X,Y)关于X与Y的边际分布函数。
?
02
二维离散型随机向量
二维离散型随机向量
02
定义3.4 设(X,Y)为二维随机向量，若其分量X,Y分别为离散型随机变量，则称(X,Y)为二维离散型随机向量。
定义3.5 设(X,Y)为二维离散型随机向量，X,Y的取值分别为????????,????????,i,j=1,2,···。称
为离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布列，简称分布列。
分布列的性质如下
?
二维离散型随机向量
02
定义3.6 二维离散型随机向量(X,Y)的分量X与Y的概率分布列{????????}和{????·????}，分别称为(X,Y)关于X与Y的边际概率分布列。
离散型随机向量的分布列用边际概率分布列表示时，如表3.1所示。
?
二维离散型随机向量
02
【例1】（二维两点分布）设随机向量(X,Y)的概率分布如表3.2所示，其中0?
二维离散型随机向量
02
【例2】设袋内有2个白球，3个红球，分别按（1）有放回，(2）无放回方式抽取两次，以X记第一次抽到的白球数，以Y记第二次抽到的白球数，分别求(X,Y)的联合分布列与边际分布列。
解:可以确定随机变量X,￥的取值均为0,1两个值，则其联合分布列及关于各分量的边际分布列如表3.3所示。
03
二维连续型随机向量
二维连续型随机向量
03
定义3.7 设(X,Y)为二维随机向量，若存在非负可积函数????(????,????)，使得对任意实数????,????，(X,Y)的分布函数可以表示为
则称(X,Y)为二维连续型随机向量，称????(????,????)为二维连续型随机向量(X,Y)的联合分布密度函数。
联合分布密度函数????(????,????)具有如下性质：
?
二维连续型随机向量
03
【例1】设二维随机向量(X,y)的分布密度为
试求:（1）常数C;（2）分布函数F(x,y)；（3）边际分布与边际密度；（4）P{0二维连续型随机向量
03
【例1】设二维随机向量(X,y)的分布密度为
试求:（1）常数C;（2）分布函数F(x,y)；（3）边际分布与边际密度；（4）P{0二维连续型随机向量
03
【例2】设随机向量(X,Y)在圆域D：????2+????2= ????2内服从均匀分布，则(X,Y)的分布密度为
求(X,Y)关于X与Y的边际分布密度。
?
二维连续型随机向量
03
【例3】设(X,Y)的分布密度为
求(X,Y)的边际分布密度。构造另一个与此随机向量具有相同边际分布密度的随机向量。
二维连续型随机向量
03
【例3】设(X,Y)的分布密度为
求(X,Y)的边际分布密度。构造另一个与此随机向量具有相同边际分布密度的随机向量。
二维连续型随机向量
03
【例3】设(X,Y)的分布密度为
求(X,Y)的边际分布密度。构造另一个与此随机向量具有相同边际分布密度的随机向量。
二维连续型随机向量
03
二维正态分布密度具有以下性质:
（1） f(x,y)>0，-∞（2）二维正态分布的边际分布密度为
（3）
04
条件分布与随机变量的独立性
条件分布与随机变量的独立性
04
条件分布
1.离散型随机向量
定义3.8 设(X,Y)是离散型随机向量，它的分布列是????{????=????????,????=????????}=????????????,????,????=1,2,···，对给定的j，若????{????=????????}=????????>0，则称
为随机变量关于????=????????,????=1,2,···的条件分布列。
?
条件分布与随机变量的独立性
04
条件分布
1.离散型随机向量
类似地，随机变量????关于????=????????,????=1,2,···的条件分布列定义为
称
为????=????????下X的条件分布函数。
?
条件分布与随机变量的独立性
04
条件分布
1.离散型随机向量
同样称
为X=????????下的条件分布函数。
条件分布列满足分布列的以下两个基本性质:
?
条件分布与随机变量的独立性
04
条件分布
【例1】设(X,Y)的概率分布列如表3.5所示，求X,Y的两个条件分布列。
解:由表3.5及式(3.28)、式(3.29）直接可得表3.6和表3.7.
条件分布与随机变量的独立性
04
条件分布
2.连续型随机向量
定义3.9 设(X,Y)是连续型随机向量，其联合分布密度为????(????,????)，边际分布密度为????????(????),????????(????)．对固定的y，当????????(????)>0时，称
为随机变量X关于条件Y=y的分布函数，记为????????|????(????|????)。
?
条件分布与随机变量的独立性
04
条件分布
2.连续型随机向量
对固定的????，当????????(????)>0时，称
为随机变量Y关于条件X=x的分布函数。称
?
条件分布与随机变量的独立性
04
条件分布
2.连续型随机向量
为随机变量Y关于X=x的条件分布密度。称
为随机变量X关于Y=y的条件分布密度。
条件分布与随机变量的独立性
04
条件分布
【例2】设随机向量(X,Y)在圆域????:????2+????2≤1内服从均匀分布，试求条件分布密度????????|????=(????|????)和????????|????=(????|????)。
?
条件分布与随机变量的独立性
04
随机变量的独立性
定义3.10 设(X,Y)是二维随机向量，若对于任意实数????,????，事件{????≤????}和事件{????≤????}相互独立，即
则称????与????相互独立。
定理3.1 设(X,Y)是离散型随机向量，分布列是{????????????}，则X与Y的边际分布列是{????????}和{????????}，独立的充要条件是
?
条件分布与随机变量的独立性
04
随机变量的独立性
定理3.2 设(X,Y)是二维连续型随机向量，分布密度????(????,????),????????(????),????????(????)为边际分布密度，则????与????独立的充要条件是
定义3.11 若
则称????1,????2,…,????????相互独立。
?
条件分布与随机变量的独立性
04
【例2】甲、乙两人对同一目标独立地进行射击2次，设二人的命中率分别为0.2和0.5，以X和Y分别表示甲、乙的命中次数，求(X,Y)的分布列。
随机变量的独立性
条件分布与随机变量的独立性
04
随机变量的独立性
【例3】设(X,Y)服从二维正态分布， ，证明当参数p=0时，X 与Y独立。
证明：当参数p=0时，
故X与Y独立。
条件分布与随机变量的独立性
04
随机变量的独立性
【例4】(约会问题）设二人约定在0到时间T内于某地会面，先到者等t(t≤T)时间后离去。设二人到达的时刻X与Y相互独立，且均服从[0,T]上的均匀分布，求二人见面的概率。
解:依题意，X与Y的分布密度即二维随机向量(X,Y)关于X与Y的边际分布密度为
05
随机向量函数的分布
随机向量函数的分布
05
【例1】往半径为R的圆域????:????2+????2≤????2内任投一点，设该点的横坐标为X，纵坐标为Y，(X,Y)服从D内的均匀分布，求落点到圆心之距离的分布函数与分布密度。
?
随机向量函数的分布
05
1.Z=X+Y（随机变量和二点分布）
设(X,Y)是连续型随机向量,分布密度为f(x,y)，对任意实数z，记????(????)={(????,????)|????+????≤????}（见图3.6），则Z的分布函数为
得Z得分布密度为
?
随机向量函数的分布
05
【例2】设随机变量X与Y相互独立，且分别服从正态分布N(0,1)，试证明Z=X＋Y~N(0,2)。
随机向量函数的分布
05
【例2】设随机变量X与Y相互独立，且分别服从正态分布N(0,1)，试证明Z=X＋Y~N(0,2)。
随机向量函数的分布
05
【例3】设(X,Y)为离散型随机向量，其分布列如表3.10所示，求Z=X+Y的分布列。
随机向量函数的分布
05
由????,????得对称性，Z的分布密度也可写为
特别地，当X与Y相互独立时，有????(????,????)=????????(????)????????(????)，从而式（3.42）和式（3.43）一步写为
上式所示的运算称为函数????????和????????的卷积（ convolution)，记为????????*????????，即
?
随机向量函数的分布
05
2.Z=X/Y（随机变量商的分布）
设(X,Y)是连续型随机向量，其分布密度是????(????,????)，记D(z)={(x,y|x/y≤z}（见图3.8），则Z的分布函数为
?
随机向量函数的分布
05
做变换????=????????,????=????，得
由定义，得
?
随机向量函数的分布
05
【例4】设X,Y相互独立，且均服从[0,a]上的均匀分布，求Z=X/Y的分布密度。
解:因X与y相互独立，由式（3.46）得Z的分布密度为
条件分布与随机变量的独立性
04
【例4】设X,Y相互独立，且均服从[0,a]上的均匀分布，求Z=X/Y的分布密度。
感谢观看，再见！
概率论与数量统计

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