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第三章 随机向量
有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。
3. 导弹在空中位置——坐标 (X, Y, Z)。
1. 某人体检数据——血压X和心律Y；
例如：
2. 钢的基本指标——含碳量 X，含硫量 Y和
硬度 Z ；
一般地, 将随机试验涉及到的 n 个随机量 X1, X2 , …, Xn 放在一起，记成 (X1, X2 , …, Xn )，称 n 维随机向量 (或变量)。
由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。
一维随机变量X——R1上的随机点坐标
二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标
n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标
多维随机变量的研究方法也与一维类似，
用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 随机向量的分布
3.2 条件分布与随机变量的独立性
3.3 二维随机变量函数的分布
案例 3.1.1 为了研究同学们平时成绩与期末成绩之间的联系，我们收集了某商学院工商管理专业 76 位同学某学期的“概率论与数理统计”课程的平时成绩与期末成绩，试分别求两个成绩都不合格的概率、两个成绩都不超过 80 分的概率、两个成绩都高于 90 分的概率、平时成绩不合格的概率、这两个成绩有无关系等。
分析：平时成绩与期末成绩的分布散点图如图所示。
案例
案例 3.1.1 为了研究同学们平时成绩与期末成绩之间的联系，我们收集了某商学院工商管理专业 76 位同学某学期的“概率论与数理统计”课程的平时成绩与期末成绩，试分别求两个成绩都不合格的概率、两个成绩都不超过 80 分的概率、两个成绩都高于 90 分的概率、平时成绩不合格的概率、这两个成绩有无关系等。
分析：平时成绩与期末成绩的分布散点图如图所示。
可以把每位同学的这两个成绩看作样本点，其对应的样本空间为Ω={(x,y)|平时成绩为x,期末成绩为y}.任取一位同学的平时成绩记为X，期末成绩记为Y，这时样本空间中的任意一样本点对应一对X与Y，其中X与Y是两个随机变量。因此要解决本案例问题，首先要引入多维随机变量及其分布的概念。
案例
定义 3.1.1 设X=（X1,X2, … ,Xn） ，若每个Xi都是一个随机变量，i=1,2,…,n，则称X为n维随机变量或者随机向量。
为 n 维随机变量的联合分布函数，简称分布函数。
3.1.1 多维随机变量及其分布函数
定义 3.1.2 设X=（X1,X2, … ,Xn）为n维随机变量，对于任意实数x1,x2, … ,xn, 称n元函数
本章主要研究二维随机变量，它的很多结论都可以推广到 n>2 的情形。
定义 3.1.3 设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x和y，称二元函数
为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称分布函数。
引入二维随机变量后，两个成绩都不及格的概率可以表示为P(X ≤59,Y≤59)即随机点落在点(59,59)的左下方矩形区域内的概率（见图3.1.2）。
如果能确定分布函数，那么该概率就是分布函数在点(59,59)处的函数值，即类似地，两个成绩都不超过 80 分的概率为
案例3.1.1 解
若将二维随机变量(X,Y)视作二维平面坐标系随机点的坐标，则分布函数 F(x,y)的函数值就是随机点(X,Y)落在如图 3.1.3 所示的以点(x,y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形内的概率。
3.1.1 多维随机变量及其分布函数
图 3.1.4 中随机点(X,Y)落在区域 D 内的概率为
3.1.1 多维随机变量及其分布函数
由分布函数的定义及概率的性质，可以证明联合分布函数具有以下性质：
3.1.1 多维随机变量及其分布函数
符合以上4 条性质的二元函数均可以作为某个二维随机变量的分布函数。
例 3.1.1 设二元函数
容易验证 F(x,y)满足性质（1）～（3），但不满足性质（4）。事实上，
上述例子表明性质（4）不能由性质（1）～（3）导出，这正是二维随机变量分布函数的特有性质，一个二元函数倘若不具备性质（4），当然不能作为某个二维随机变量的分布函数。
例题
定义 3.1.4 若二维随机变量(X,Y)只取有限个或可列可数无限个值，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。
3.1.2 二维离散型随机变量及其分布律
定义 3.1.5 设(X,Y)为二维离散型随机变量，其所有可能取值为(xi,yj)(i=1,2,…;j=1,2,…)，则称
为(X,Y)的联合分布律，简称为(X,Y)的分布律。
有时将联合分布律用表格形式表示，称为联合概率分布表
3.1.2 二维离散型随机变量及其分布律
易知，联合分布律具有以下的基本性质：
注：对于离散型随机变量而言，联合分布律不仅比联合分布函数更加直观，而且便于确定(X,Y)在任何区域 D 上的概率，即
特别地，由联合分布律可以确定联合分布函数为
例 3.1.2 将一枚均匀硬币抛掷两次，设X为两次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值，求(X,Y)的联合分布律。
例题
解：(X,Y)的可能取值为(0,2)，(1,0)，(2,2)。
(X,Y)的联合概率分布表如下:
例 3.1.3 一箱中有10个乒乓球，其中6个为红色，4个为白色，现随机抽取2次，每次任取一球，定义两个随机变量X和Y为
例题
解：1)第一次抽取后放回的情形，由条件概率的乘法公式可得
求第一次抽取后放回和第一次抽取后不放回这两种情形下，(X,Y)的联合分布律。
其联合概率分布表如下：
例 3.1.3 一箱中有10个乒乓球，其中6个为红色，4个为白色，现随机抽取2次，每次任取一球，定义两个随机变量X和Y为
例题
解：2)第一次抽取无放回的情形，由条件概率的乘法公式可得
求第一次抽取后放回和第一次抽取后不放回这两种情形下，(X,Y)的联合分布律。
其联合概率分布表如下：
3.1.3 二维连续型随机变量及其概率密度
类似于一维连续型随机变量的定义，二维连续型随机变量的定义如下。
定义 3.1.6 设二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)，若存在一个非负可积函数f(x,y)，使得对于任意一对实数(x, y)有
二维连续型随机变量的联合概率密度函数具有以下性质：
则称(X,Y)是二维连续型随机变量，称 f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度函数，简称联合密度。
3.1.3 二维连续型随机变量及其概率密度
二维连续型随机变量的联合概率密度函数具有以下性质：
例题
例3.1.4 设二维随机变量(X,Y)具有如下概率密度函数：
（1）求分布函数F(x,y)；
（2）求概率P(X≤Y)。
解：（1）
例题
解：（2）将(X,Y)看作坐标平面上随机点的坐标，则有
其中，G 为坐标平面上直线 y=x 及其上方的阴影部分（见图）
例题
例3.1.5 设二维随机变量(X,Y)具有如下概率密度函数：
求：（1）c 的值；（2）P{X+Y≥1}。
解：（1）由 确定c，积分区域示意图如图，
非零积分区域为阴影部分G。
例题
解：（2）积分区域如图 所示，非零积分区域为阴影部分 G。
其中，G 为坐标平面上直线 y=x 及其上方的阴影部分（见图）
两个二维常见分布
定义 3.1.7 设 G 是坐标平面上的有界区域，其面积是 A，若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
则称(X,Y)在 G 上服从二维均匀分布。
与一维均匀分布类似，若(X,Y)在有界区域 G 上服从二维均匀分布，区域 D 包含于区域 G 的面积为 S，则
两个二维常见分布
定义 3.1.8 若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
则称(X,Y)服从二维正态分布，记为
更特别地，当 =0 时，有
3.1.4 二维随机变量的边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为一个整体，其分布函数为F(x,y)，但 X和Y是一维随机变量，因 此它们各自也有分布函数，可由(X,Y)的联合分布导出，即
称为F(x,y)关于X和Y的边缘分布函数，简称X和Y的边缘分布函数。
FX(x)表示(X,Y)落阴影区域的概率
FY(y)表示(X,Y)落阴影区域的概率
例题
例3.1.6 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为：
求 X 和 Y 的边缘分布函数。
解：（X,Y)的联合分布函数为
所以
定义 3.1.9 若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
称为(X,Y)关于 X 和 Y 的边缘分布律。
3.1.4 二维随机变量的边缘分布
例题
例3.1.7 设 (X,Y)的联合概率分布表为：
求：（1）关于X,Y的边缘分布律；
（2）求P(X=0|Y>1.5)。
解：（1）直接将联合概率分布表中的概率按各行、各列相加即得 X 与 Y 的边缘分布律：
例题
解：（2）由条件概率公式，可得：
定义 3.1.10 若二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)则
分别称为二维连续型随机变量(X,Y)关于 X 和 Y 的边缘分布函数，其中
3.1.4 二维随机变量的边缘分布
分别称为二维连续型随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数。
例题
例3.1.8 设例 3.1.8 设(X,Y)服从单位圆上的二维均匀分布（见图），求X和Y的边缘概率密度函数。
解：依题意，概率密度函数为：
于是，得到X的边缘概率密度函数为
由于X和Y是对称的，因此可得
例题
例3.1.9 设
求关于X,Y的边缘概率密度函数。
解：
显然说明X~, 同理Y~
例题
例3.1.10 设(X,Y)的概率密度函数为
解：
试求关于 X,Y 的边缘概率密度函数。
显然，X～N(0,1)，Y～N(0,1)，此例说明，边缘分布均为正态分布的二维随机变量，其联合分布不一定是二维正态分布。
随机变量的条件分布是在给定的条件下随机变量的概率分布。条件分布的相关问题包括在给定条件下求其中一个随机变量的概率分布，研究条件分布和联合分布之间的关系，以及研究随机变量的独立性等。
3.2 条件分布与随机变量的独立性
定义 3.2.1 设随机变量X的分布函数为F(x)，若某事件A的发生可能对事件{X≤x}发生的概率产生影响，则对任意给定的实数 x，有
3.2.1 条件分布
并称FX(x|A)为事件A发生的条件下X的条件分布函数。
显然，若 P(A 0) ，依据第1章条件概率的相关公式，则
下面讨论几类典型的条件分布：
3.2.1 条件分布
1．事件A为随机变量Y 的事件{Y≤y}
A为随机变量Y生成的事件A={Y≤y}，P{Y≤y}>0则
2．事件A为离散型随机变量Y的事件{Y=yj}
设二维离散型随机变量(X,Y)，若对于任意固定的 j 有 P{Y=yj}>0，则
特别地
3.2.1 条件分布
3．事件A为连续型随机变量Y的事件{Y=y}
设(X,Y)是二维连续型随机变量且概率密度函数为f(x,y)，显然对于某个给定的y，P{Y=y}=0，因此不能直接利用条件概率公式进行计算，需要进行非零转换。
显然，当 很小时，有
3.2.1 条件分布
3．事件A为连续型随机变量Y的事件{Y=y}
对FX(x|Y=y)求导数，可得
称为在Y=y 条件下X的条件密度函数。
同理
称为在X=x 条件下Y的条件密度函数。
例题
解：由条件分布函数的定义，可得：
例 3.2.1 设 X 服从[0,1]的均匀分布，求X=1/2 的条件下 X 的条件分布函数。
由于 X 服从[0,1]上的均匀分布，
例题
其中，F(x)为 X 的分布函数，已知
所以
例题
解：显然，P(Y=0)=0.2+0.05+0=0.25，当Y=0时，X的条件分布为
例 3.2.2 设(X,Y)的联合概率
分布表如下:
（1）求当 Y = 0 时，X 的条件分布；
（2）求当 X = 1 时，Y 的条件分布。
表格形式如下：
例题
解: (2)因为P(X=1)=0.45 ，当X=1时，Y的条件分布为
例 3.2.2 设(X,Y)的联合概率
分布表如下:
（1）求当 Y = 0 时，X 的条件分布；
（2）求当 X = 1 时，Y 的条件分布。
表格形式如下：
例题
例3.2.3 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度函数为：
求：fY|X(y|x) 。
解：依题意得：
所以当-1≤x≤1时，根据式(3.2.7)，可得
例题
例3.2.4 设 X 服从区间[0,1]上的均匀分布，当X=x(0解：依题意得：
对于任意x(03.2.2 随机变量的独立性
解：（2）由条件概率公式，可得：
事件A与 B独立的定义是：
若 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立 。
定义3.2.2 设 X, Y是两个随即变量, 对任意的 x, y, 若
则称X和Y相互独立。用联合分布函数与边缘分布函数表示上式, 就是
3.2.2 随机变量的独立性
若 (X,Y)是离散型随机向量，则上述独立性定义等价于：对(X,Y) 所有可能取值 (xi , yj), 有
则称 X与Y 相互独立。
3.2.2 随机变量的独立性
若 (X,Y) 是连续型随机向量 ，上述独立性定义等价于：对任意 x, y∈ R, 有
则称X与Y相互独立 。
解:
例 3.2.5 设(X,Y)的联合概率分布表如下:
因为
判断 X 与 Y 是否相互独立。
所以，X 与 Y 并非相互独立。
例题
解:
例 3.2.6 设(X,Y)的联合分布函数为:
因为
判断 X 与 Y 是否相互独立。
例题
证明：因
例3.2.7 设(X,Y) N( 1, 2, 1, 2, ), 求证:X与Y 独立的充要条件为 = 0。
例题
充分性。 将 =0代入联合概率密度函数，得
所以，X与Y相互独立。
例题
必要性。 若X和Y相互独立，则 (x, y) R2，有
f (x, y)=f X(x) f Y(y).
从而， = 0。
特别地，将 x =μ1, y =μ 2 代入上式，有
f (μ1,μ2) = fX(μ1)fY(μ2)，
即
例题
3.3 二维随机变量函数的分布
第 2 章讨论了一维随机变量函数的分布问题，而在实际应用中也存在含有两个或两个以上随机变量的函数。考虑全国年龄在 40 岁以上的人群，用X和Y分别表示年龄和体重，Z表示血压，并且已知Z与X、Y 的函数关系式为
现希望通过(X,Y)的分布来确定 Z 的分布，这就是将要讨论的二维随机变量函数的分布问题。
3.3.1 散型随机变量函数的分布
设(X,Y)是二维离散型随机变量，g(x,y)是一个二元函数，则 g(X,Y)作为(X,Y)的函数是一个离散型随机变量，若(X,Y)的联合分布律为
zk (k 1,2, )为Z=g(X,Y)的所有可能取值，则 Z 的分布律为
例3.3.1 设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布表如下：
例题
试求 Z=X+Y，Z=X-Y，Z=XY的分布律。
解：根据(X,Y)的分布律，可以列出下表：
例题
例3.3.2 设 X,Y 是两个相互独立的随机变量，分别服从参数λ1,λ2的泊松分布，求Z=X+Y的分布（泊松分布的可加性）。
例题
解：由于：
显然，Z = X + Y 服从参数为 1 2 的泊松分布。
设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x,y)，令 g(x,y)为一个二元函数，则g(X,Y)是(X,Y)的函数。那么如何求随机变量 Z=g(X,Y)的分布呢？
3.3.2 连续型随机变量函数的分布
类似于求一元随机变量函数分布的方法：
（1）求分布函数FZ(z) ：
（2）求概率密度函数fZ(z) ，对于几乎所有的 z，有
例3.3.3 设设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从区域[1,2]上的均匀分布，试求Z=|X-Y|的分布函数及概率密度函数。
例题
解：依题意，如图，先求 Z 的分布函数，可得：
Z=X-Y的概率密度函数为
1．Z=X+Y 的分布
三种特殊随机变量函数的分布
设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率函数为 f(x,y)，求Z=X+Y 的概率密度函数。
若设Z的分布函数为FZ(z)则
如图积分区域D为阴影部分，即
转化成累次积分，可得
固定z和y，对方括号内的积分进行变量代换，令x=u-y，可得
1．Z=X+Y 的分布
三种特殊随机变量函数的分布
由概率密度与分布函数的关系，可得 Z=X+Y 的概率密度函数为
依据X和Y的对称性，fZ(z)又可写成
这是两个随机变量和概率密度函数的一般公式。
1．Z=X+Y 的分布
三种特殊随机变量函数的分布
由概率密度与分布函数的关系，可得 Z=X+Y 的概率密度函数为
依据X和Y的对称性，fZ(z)又可写成
这是两个随机变量和概率密度函数的一般公式。
定义 3.3.1 当 X 与 Y 相互独立时，设(X,Y)关于 X,Y 的边缘概率密度函数分别为fX(x)和fY(y)，则可将式(3.3.4)、式(3.3.5)化简为
称这两个公式为卷积公式。
例3.3.4 设 且X与Y相互独立。证明:
例题
证明：因为
于是证得
例3.3.5 设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度函数为
例题
解：分别用 X 和 Y 表示第一周、第二周的需求量，则
如果各周的需求量相互独立，则求两周需求量的概率密度函数。
两周需求量 Z=X+Y，由卷积公式，可得
所以
2．Z=max(X,Y)及 Z=min(X,Y)的分布
例题
设随机变量 X 和 Y 相互独立，其分布函数分别FX(x)和FY(y)，求 M = max(X,Y)的分布函数FM(z)。
在实际应用中，很多问题往往都可以归结为求最大值或最小值的分布。例如，假设某地区降水量集中在 7、8 月，该地区的某条河流在这两个月的最高洪峰分别为 X 和 Y。为了制定
防洪设施的安全标准，需要知道 M = max(X,Y)的分布。
根据分布函数的定义，由于 max (X,Y)≤z等价于X≤z且Y≤z，故
类似地，可得到 N = min(X,Y)的分布函数：
例3.3.6 设系统L由两个相互独立的子系统L1与L2联结而成，联结方式有串联和并联两种，设L1、L2的寿命分别为 X～E(α)、Y～E(β)，其中α>0,β>0，且α≠β，分别求上述两种联结方式下系统L的寿命Z的概率密度函数。
例题
解：X 和 Y 的分布函数分别为
串联时，Z = min(X,Y)，由计算公式可知 Z 的分布函数为
并联时，Z = max(X,Y)，由计算公式可知 Z 的分布函数为
小结

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