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概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来。
所以，要从随机现象中去寻求统计规律,就应该对随机现象进行大量的观测。
大数定律是随机现象统计规律性的一般理论，而中心极限定理则证明了大量相互独立且同分布的随机变量之和近似服从正态分布。两类极限定理都涉及大量观察，因而本章研究的现象只有在大量观察和试验之下才能成立。
第五章 中心极限定理
5.1 切比雪夫不等式
定理5.1.1 设随机变量X有期望μ和方差σ2，则对任给的ε> 0, 有
或
证明：只对X 是连续型情况加以证明。
设X 的概率密度函数为 f(x)，则有
放大被积函数
放大积分域
切比雪夫不等式表明：随机变量 X 的方差越小，事件发生的概率越大，即X的取值基本上集中在它的期望附近。由此可见，方差刻画了随机变量取值的离散程度。
例5.1.1 已知正常成人男性的血液中，单位白细胞平均数是7300/mL，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计单位白细胞数在5200～9400之间的概率。
解:由切比雪夫不等式得
对随机现象进行大量重复观测，各种结果的出现频率具有稳定性。
5.2 大数定律
大量地掷硬币
正面出现频率
字母使用频率
生产过程
中废品率
引例：抛硬币是概率论中最经典的试验之一，下图是用 Python 程序模拟重复抛掷一枚硬币1次～1000 次出现“背面朝上”的频率趋势图。
引例
5.2 大数定律
首先引入随机变量序列相互独立的概念。
定义 设 X1, X2, …是一随机变量序列。如果对任意的 n>1， X1, X2, …, Xn相互独立,则称X1, X2, …相互独立。
几个常见的大数定律
定理5.2.1 （辛钦大数定律）设随机变量序列 X1, X2, … 相互独立，且有相同的期望和方差: E(Xi)=μ, D(Xi) =σ2，i=1, 2, … , 记
则对任意的ε>0，有
证明：
令 n→∞，并注意到概率小于等于1，
定理证毕。
该大数定律表明：无论正数ε 怎样小, 只要 n充分大，事件 发生 的概率均可任意地接近于 1。
即当 n充分大时， 差不多不再是随机变量， 取值接近于其数学期望μ 的概率接近于 1。
在概率论中，将式 表示的收敛性称为随机变量序列 依概率收敛于μ ，记为 。
下面再给出定理5.2.1的一种特例
设nA 是 n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是每次试验中A发生的概率。
于是, 有下面定理。
设 nA是 n 重贝努里试验中事件A发生的频数， p是 A 发生的概率，对任给的ε> 0，有
推论 (贝努里大数定律):
或
贝努里大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA / n与事件A发生的概率 p 有一定偏差的概率很小。
若事件 A 发生的概率很小，则由伯努利定理可知，事件 A 发生的频率也是很小的，或者说事件 A 很少发生，即概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生。这一原理称为小概率原理，它的实际应用很广泛。
例5.2.1 假设某保险公司在某地区销售一项汽车保险，每年保费 200 元，若投保车辆发生索赔，则赔付金额为 5 万元。根据历史数据估计该地区一年内该险种发生索赔的概率为0.05%，请根据大数定律评估该保险公司的收益或风险。
解:由为了方便解释，可以将投保的车辆排序，同时设Xi为保险公司在第i辆(i=1,2,...)投保车辆上的收益。依题意，容易知道 Xi 的分布律如下:
经计算E(Xi)=175。同时可以假设各投保车辆是否发生索赔相互独立，即X1,X2,...,Xn相互独立，由辛钦大数定律可知
也就是说，只要投保车辆足够多，每辆车的收益就会稳定在 175 元左右。
中心极限定理是棣莫弗 (De Moivre) 在18世纪首先提出的，到现在内容已十分丰富。在这里，我们只介绍其中两个最基本的结论。
5.3 中心极限定理
当 n 无限增大时，独立同分布随机变量之
和的极限分布是正态分布；
2. 当 n 很大时，二项分布可用正态分布近似。
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究 n 个随机变量之和本身，而只考虑其标准化的随机变量
的极限分布。
可以证明：当{ Xn } 满足一定条件时, Zn的极限分布是标准正态分布。
概率论中，常把随机变量之和标准化后的分布收敛于正态分布的定理称为中心极限定理。
下面给出独立同分布随机变量序列和的中心极限定理，称作 列维——林德伯格(Levy —— Lindberg) 定理。
定理5.3.1 (列维——林德伯格定理)：
设 X1, X2, … 是独立同分布随机变量序列，且 E(X1) =μ, D(X1)=σ2，对任给 x ∈(-∞, ∞), 均有
其中 Φ(x) 是标准正态分布 N(0, 1) 的分布函数。
还有另一记法:
定理5.3.2 (棣莫佛——拉普拉斯定理):
定理5.3.2 表明: 正态分布是二项分布的极限分布，因此当 n 充分大时可利用该定理来计算二项分布的概率。
设随机变量 Yn 服从参数为 (n, p) 的二项分布(0例5.3.1 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们在(-0.5,0.5)上服从均匀分布:
(1)若取1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率。
(2)求多少个数加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为 0.90。
解: 设每个数的取整误差为Xk(k=1,2,...,1500)，由此有
（1）记 , 依题意和定理 5.3.1有
例5.3.1 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们在(-0.5,0.5)上服从均匀分布:
(1)若取1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率。
(2)求多少个数加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为 0.90。
解: （2）设加数的个数为n，由题意，要求n使
由定理 5.3.1 可得
例5.3.2 计人寿保险公司有3000个同一年龄段的人参加人寿保险，在一年里这些人的死亡率为0.1%，参加保险的人在一年的第一天付保险费100元，死亡时家属可从保险公司取10000元，求：
（1）保险公司一年获利不小于 200000 元的概率；
（2）保险公司亏本的概率。
解: 记一年里这3000人中的死亡人数为X，则X~B(3000,0.001).
亏本几乎是不可能发生的事件。
小结
本讲首先介绍了三个大数定律：切比雪夫大数定律，贝努里大数定律和辛钦大数定律。
切比雪夫大数定律如下: 设随机变量序列 X1, X2, …相互独立，且有相同的期望和方差: E(Xi)=μ, D(Xi) =σ2，i=1, 2, … 。则对任意的ε>0，有
贝努里大数定律是切比雪夫大数定律的特例:
设 nA是 n 重贝努里试验中事件A发生的频数,
p 是 A 发生的概率，对任给的ε> 0，有
辛钦大数定律条件较宽： 设随机变量序列 X1, X2, …独立同分布，有有限的数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…，则对任给 ε > 0 ，有
其后介绍了两个中心极限定理: 列维—林德伯格定理和棣莫佛 — 拉普拉斯定理。
棣莫佛 — 拉普拉斯定理的内容是：当 n 很大时，二项分布可用正态分布近似。
列维—林德伯格定理的内容是：独立同分布随机变量之和标准化之后的极限分布是标准正态分布；

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