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(共59张PPT)
概率论与数量统计
参数估计
第七章
01
参数点估计
参数点估计
01
矩估计法
如果总体X的矩存在，那么当总体的分布已知时，可以求出X的矩。通常总体的矩和它的分布中的未知参数有关，甚至有时未知参数就是总体的矩。
一般来说，总体的各阶矩都是总体分布未知参数的函数。另外，当总体矩存在时，样本矩是总体矩较好的近似。因此，估计未知参数，一种自然的做法是用样本原点矩代替总体原点矩,将未知参数与总体原点矩之间的函数关系转化为样本原点矩与未知参数之间的方程，未知参数是方程中的未知量。解这个方程，将未知量表示为样本的一个函数，以之作为未知参数的点估计量。这种方法称为求点估计量的矩法(method ofmoment)，相应得到的估计量称为矩估计量(moment estimator)。
参数点估计
01
矩估计法
【例1】设总体X的分布密度函数是
求参数的矩估计量。
解：计算X的数学期望，有
令
解得
则可得参数的矩估计量为
参数点估计
01
矩估计法
【例2】设总体X的分布列为
参数满足0<<试求参数的矩估计量。
参数点估计
01
矩估计法
【例3】设总体X的分布密度函数为
其中均为未知参数，求和的矩估计量。
参数点估计
01
矩估计法
参数点估计
01
矩估计法
参数点估计
01
矩估计法
【例4】设总体X的分布任意，其数学期望和方差存在，记=E(X)，D(X) ，为未知参数，求的矩估计量。
参数点估计
01
最大似估计法
最大似然估计法(method of maximum likelihood estimation)是由R.A.Fisher于1912年提出的求未知参数点估计值的一种方法，它的基本思想是选取作为未知参数的估计值，使得当=时，样本取到试验出现的样本值的概率最大。
定义7.1 满足条件
的数=()称为参数的最大似然估计值(maximum likelihood estimate)，将分别换为，得到得统计量
称为得最大似然估计量(maximum likelihood estimator)。
参数点估计
01
最大似估计法
【例5】某工厂生产了一批产品，在该批产品中随机地抽取100件，检验发现有92件是正品，8件是次品，试估计这批产品的次品率。
参数点估计
01
最大似估计法
【例6】设总体X~ E(λ)，求参数λ的最大似然估计量。
参数点估计
01
最大似估计法
【例7】设总体X服从0-1分布，p =P{X =1}为未知参数，试求参数p的最大似然估计量。
参数点估计
01
最大似估计法
参数点估计
01
最大似估计法
【例7】设总体X服从参数为λ的泊松分布，求参数λ的最大似然估计量。
参数点估计
01
最大似估计法
参数点估计
01
最大似估计法
【例8】设总体X ~N()，其中参数和未知，求和的最大似然估计量。
参数点估计
01
最大似估计法
【例9】设总体服从区间[0,]上的均分布，是未知参数，()是取自X的样本，()是样本值，求参数的最大似然估计量。
解：X的分布密度函数为
故的似然函数为
L()为参数的单调递减函数，故在取值区间的左端点上达到最大值，于是的最大似然估计值为
而的最大似然估计量为
记，通常称为最大顺序统计量。
参数点估计
01
最大似估计法
【例10】设总体X服从例7.1.2中的分布列，是未知参数。现从总体中随机抽出一个样本，样本值为( -1,0,-1,0,0,2,-1)，求参数的最大似然估计值。
参数点估计
01
最大似估计法
【例10】为估计湖中鱼的数量，自湖中同时捕出r条鱼，做上记号后放回湖中，然后由湖中捕出s条鱼，结果发现有x条有记号，试根据此信息估计湖中鱼的数量。
参数点估计
01
最大似估计法
【例10】为估计湖中鱼的数量，自湖中同时捕出r条鱼，做上记号后放回湖中，然后由湖中捕出s条鱼，结果发现有x条有记号，试根据此信息估计湖中鱼的数量。
参数点估计
01
估计量优良性的评选准则
1.无偏性
定义7.2 若参数的估计量=()满足
则称为的无偏估计量(unbiased estimator)，的这种性质称为无偏性(unbiasedness)。
参数点估计
01
【例11】设总体X的二阶原点矩存在，记=E(X)，= D(X)。证明和=分别是和的无偏估计量。
估计量优良性的评选准则
参数点估计
01
估计量优良性的评选准则
2.有效性
定义7.3 设和是未知参数的两个无偏估计量，如果其方差都存在，且
那么称比有效。估计量这种可以比较的性质称为有效性。
参数点估计
01
【例12】设()是取自总体X的样本，=E(X)，D(X)，证明在的形如
的估计量中，最有效。
估计量优良性的评选准则
参数点估计
01
估计量优良性的评选准则
3.一致性
定义7.4 设是参数的估计量，若依概率收敛于，即对任意的，有
则称是的一致估计量(consistent estimator )，也称为的相合估计量。
估计量的这种性质称为一致性或相合性(consistency)。
参数点估计
01
【例13】设总体X的方差存在，证明样本均值 是总体均值E(X)的一致估计量。
估计量优良性的评选准则
02
区间估计
区间估计
02
区间估计的概念合术语
定义7.5 设()是取自总体X的样本，为总体分布的一个未知参数。=()
与=()是两个统计量，若对于给定的数，有
则称随机区间(,)为未知参数0的一个置信度为的置信区间(confidence interval)，简称的
置信区间。称为置信下限，称为置信上限，称为置信度或置信水平(confidence level)。
区间估计
02
正态总体均值的区间估计
（1）已知的情形
由于样本均值为的无偏估计，又知道
从而对于给定的置信度，由标准正态分布表查得，并利用标准正态分布的性质得到
即
故总体均值的置信度为的置信区间为
区间估计
02
【例1】设总体X~ N()，从X中随机抽取一容量为16的样本，并计算出=65，求的置信区间（1α 0.95 ) 。
正态总体均值的区间估计
区间估计
02
正态总体均值的区间估计
（2）未知的情形
当未知时，随机变量中有未知参数，所以不能使用上述方法，注意到样本方差为的无偏估计量，故以样本标准差S来代替。由于
对于给定的置信度，利用分布的性质可得到
即
故总计均值的置信度为的置信区间为
区间估计
02
【例2】在稳定生产的条件下，某工厂生产的灯泡的使用寿命X一般服从正态分布，其中随机抽取10个灯泡并测量其寿命，求得样本均值=1832h，样本方差= 。试求灯泡平均寿命的置信度为95%的置信区间。
正态总体均值的区间估计
区间估计
02
正态总体方差的区间估计
设总体，其中未知，给定置信度。下面讨论参数的置信区间。
设()是取自总体X的一个样本。我们知道，样本方差 是的无偏估计量。由已知定理知，随机变量
于是对于给定的置信度，可得
其中 分别为 分布关于得下侧和上侧分位数。由此解得
区间估计
02
正态总体方差的区间估计
即得置信区间为
将得置信下限和置信上限分别开平方，则得的置信下限和置信下限。
区间估计
02
【例3】某工厂生产的一批螺栓，其长度X ~N()，随机抽取5个样品，测得其长度（单位: cm）为
求总体方差的置信度为95%的置信区间。
正态总体方差的区间估计
区间估计
02
两正态总体值差的区间估计
（1）和都已知的情形
区间估计
02
两正态总体值差的区间估计
（1）和都已知的情形
区间估计
02
两正态总体值差的区间估计
（2）和未知的情形
由于 且服从正态发布，且
故随机变量
区间估计
02
两正态总体值差的区间估计
（2）和未知的情形
于是，对给定的置信度，有
即
故的置信度的置信区间为
区间估计
02
两正态总体值差的区间估计
【例4】比较A和B两型灯泡的使用寿命（单位:h)，随机抽取A型灯泡5只，测得其平均寿命=1832，样本方差 =﹔随机抽取B型灯泡7只，测得其平均寿命=1261，样本方差 =。由生产过程知道，两种型号灯泡寿命的方差相同，且二者均为正态总体。求二者总体均值差山的置信度为99%的置信区间。
区间估计
02
两正态总体值差的区间估计
区间估计
02
两正态总体值差的区间估计
【例5】（基于配对数据均值差的区间估计）为观察某种药物对高胆固醇症的疗效，测定了5名患者服药前和服药一个疗程后的血清胆固醇含量，得到的数据如表7.1所示。
试求服药前、后血清胆固醇含量均值差的置信度为0.95的置信区间。
区间估计
02
两正态总体值差的区间估计
区间估计
02
两正态总体方差比的区间估计
判断两总体方差和的大小，通常可化为两总体方差比的区间问题。设两正态总体，，参数和未知，现在求方差比的置信度为的置信区间。
从总体X中抽取样本()，从总体Y中抽取样本()，样本方差分别记为，则随机变量
于是，对于给定的置信度，有
区间估计
02
两正态总体方差比的区间估计
进而有
故方差比的置信度为的置信区间为
区间估计
02
两正态总体方差比的区间估计
【例6】设总体X~N( ),y ~ N()，参数均未知。从X和Y中分别抽取容量为=25和 =15的独立随机样本，计算得样本方差分别为=6.38，=5.15，求方差比的置信度为90%的置信区间。
区间估计
02
两正态总体方差比的区间估计
03
非正态总体参数的
区间估计
非正态总体参数的区间估计
03
单个总体均值的区间估计
设总体X的分布任意，其均值和方差均存在，记，。设()取自X的一个样本，表示样本均值，表示样本方差。下面求参数的置信度为的置信区间。
由中心极限定理知，当n很大时，随机变量
近似服从标准正态分布N(0,1)，对给定的，有
非正态总体参数的区间估计
03
单个总体均值的区间估计
即
从而。均值的置信度为的置信区间近似为
若方差未知，以的无偏估计量代替，则可以证明，当时，U仍渐近服从标准正态分布N(0,1)，故均值的置信度为的置信区间近似为
非正态总体参数的区间估计
03
单个总体均值的区间估计
【例1】设从一大批产品中随机抽取100 件产品，经检验有60件品的一级品率p的置信度为95%的置信区间。
非正态总体参数的区间估计
03
两总体均值差的区间估计
设总体X,Y的分布任意，其均值和方差均存在但未知，记，，，。现在求两总体均值差的置信度为的置信区间。
设()与()分别是取自X与Y的样本，样本均值为与，样本方差分别为与。因为与相互独立，根据中心极限定理，当和都很大时，与分别近似服从正态分布和。故近似服从正态分布。从而随机变量
近似服从标准正态分布，于是的置信度为的置信区间近似为
非正态总体参数的区间估计
03
两总体均值差的区间估计
当,未知时，以样本方差与代替,，可以证明
近似服从标准正态分布，于是的置信度为的置信区间近似为
非正态总体参数的区间估计
03
两总体均值差的区间估计
【例2】对两种用不同热处理方法加工的金属材料做抗拉强度试验，各做100次试验，由观察数据可以得到，甲种方法=31.75，=12.25，乙种方法=28.67，=6.06，在置信度95%下，求甲、乙两种方法加工金属材料的平均抗拉强度差的置信区间。
04
单侧置信区间
单侧置信区间
04
【例1】设从一批灯泡中随机抽取5只做寿命试验，测得其寿命（单位: h）如下
1050,1100,1130,1250,1270.
设灯泡寿命服从正态分布N()，求平均寿命的置信度为95%的单侧置信下限。
单侧置信区间
04
定义7.6 设()是取自总体X的样本，为总体分布的一个未知参数，[或]是由样本构造的一个统计量，如果对于给定的数()，有
则称随机区间(,+∞)[或(-∞,)]为未知参数的只具有置信下限(置信上限)的单侧置信区间，简称的单侧置信区间。
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概率论与数量统计

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