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第七章 参数估计
7.1 点估计
7.2 估计量的评价标准
7.3 区间估计
什么是参数估计？
案例7.1.2 如果健康研究机构根据多年的经验，认为某地区25～30岁成年男性群体的BMI值 (kg/)和甘油三酯指标 (单位：mmol/L）服从二维正态分布，即,，利用从该群体中随机抽查的120份样本数据能对参数做出估计吗？
案例7.1.1 回顾案例 6.1.1，假设研究人员已经发现某个特定职业的满意度得分X符合下面的一般分布律, 未知，如何估计？
点估计 — 估计未知参数的值
区间估计 — 估计未知参数的取值范围，
使得这个范围包含未知参数
真值的概率为给定的值。
参数估计的类型
点估计法
设总体X 的分布函数的形式已知，但它含有一个或多个未知参数： , 设 为总体的一个样本
构造 k 个统计量：
做为未知参数 的估计，称为估计量。
当测得一组样本值()时，代入上述统计量，
数值
称数 为未知参数 的估计值。
这种用构造统计量以估计未知参数的方法称为点估计法。
Ch7-6
频率代替法
矩估计法 （常用）
估计方法
最大似然估计法（常用）
常用的点估计方法
7.1.1 频率替换法
利用事件 在 次试验中发生频率
作为事件A 发生的概率 p 的估计量
频率替换法举例
案例7.1.1（续） 职业满意度调查问题，( 未知) ，用频率法估计。
解 下表是某大企业人力资源部随机抽查的100个该职业从业人员的答案
得3分的从业人员42人
记 .42, 称为 的估计值。
那么 ， 所以.42，
7.1.2 矩估计法
Ch7-9
矩估计法，顾名思义，是用样本矩估计总体矩，从而得到总体分布中的参数的一种估计方法。矩估计法的优点是简单易行，不需要事先知道总体分布，但其缺点是当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息。
基本原理：
用样本的 阶矩作为总体的 阶矩的估计量，建立含有待估计参数的方程，从而可解出待估计参数.
设总体待估计的参数为 , 的 阶原点矩存在，
设 为一样本，样本的 r 阶原点矩：
则可得含未知参数 的方程组。
令
矩估计法的一般步骤
则称该解为未知参数 的矩估计量（统计量）
称为未知参数的矩估计值
代入一组样本值得个数:
若方程组有解
例7.1.1 设 X 是一个总体，且存在二阶矩，记,但是和未知。是来自总体X的一个样本，求的矩估计量与矩估计值。
解 由 ，
例子
由矩估计法原理，可得
解得的矩估计量为
若是样本的一组样本值，则代入上式得到 的矩估计值为
例7.1.2 设灯泡制造公司的质量监控部门研究发现，该公司生产的某品牌灯泡的寿命服从参数为的指数分布，其概率密度为
对该品牌灯泡随机抽样测试得到54个观测值
(单位:千小时)如下：
求的矩估计值。
例子
解 ：易知，，由矩估计原理，令，由此可得到的矩估计量，代入样本数据得=3.61，从而得到的矩估计值
例7.1.3 设总体X在[a,b]上服从均匀分布，a和b未知。是总体X的一个样本，试求a和b的矩估计量。
例子
解 由矩法原理，
解得
一般地，不论总体服从什么分布，总体期望与方差 存在，则它们的矩估计量分别为：
如果 是样本的一组样本值，代入上式得与的矩估计值为，
小结
事实上，按矩法原理，令
因
7.1.3 最大似然估计法
最大似然估计法是未知参数点估计的另一种重要方法，其基本想法是：
随机事件的若干个可能结果A,B,C,...，若在一次试验中，某结果出现了，如A，则有理由认为试验条件有利于结果A的产生，换句话说，概率P(A)最大，生活中也常用“概率最大的随机事件在一次试验中最可能发生”作为实际推断的依据，这也是最大似然估计法的理论依据。
案例7.1.1（续）职业满意度调查问题，假设研究人员已经发现某特定职业的满意度得分X概率分布符合下面的一般分布律
下表是某大企业人力资源部随机抽查的100个该职业从业人员的答案
所以
最大似然估计法认为，既然这些数据已经发生了，就应该尊重数据，为此有理由要求可使 L()达到最大，这是因为概率最大的随机事件在一次试验中最有可能发生。使得最大值，问题化为求最大值点,即求驻点
得.45
案例 7.1.1 解（最大似然估计法）
根据本案例中随机抽取的容量为 100 的样本数据，在满足总体分布的条件下，这些数据出现的概率为
一般地，设 为离散型随机变量，其分布律为
为总体X 的样本, 为总体 X 的样本值,
选择 , 使 ( ) 取最大值，
则称这样得到的
为参数 的 最大似然估计值
记
似然函数
似然函数
最大似然估计法的步骤
对应于
的统计量，
的 最大似然估计量.
若 为连续型随机变量, 密度函数（或概率密度）为
为总体X 的样本, 为总体 X 的样本值,
选择 , 使 ( ) 取最大值，
则称这样得到的
为参数 的 最大似然估计值
记
似然函数
似然函数
若 是的可微函数, 可解似然方程
或
求得未知参数的 最大似然估计值
对应的统计量为 最大似然估计量
例7.1.4 设 X 服从指数分布，概率密度为
为X的一组样本观测值，
求参数的最大似然估计。
例子
解 似然函数为
两边求对数得
令
解得的最大似然估计值为
对应的最大似然估计量为
例7.1.5 设是正态总体的一个样本，求和的最大似然估计量。
例子
解
求驻点得：
— 的最大似然估计量
— 的最大似然估计值，代入具体样本观测值可得
，
例7.1.6 设总体 X 服从 0-1 分布 (0例子
解
求 p 的最大似然估计量。
由于P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，即
对于样本的一组观测值有
故似然函数为
取对数则有
令
得
7.2.1 无偏性
若存在, 且，则称是的无偏估计量
7.2 估计量的评价标准
一些无偏估计常用的结论
设总体X 的 k 阶矩存在， 记 存在， 特别是总体 的样本,
是 的无偏估计量.
是总体方差 的无偏估计量
注： 不是总体方差 的无偏估计量,
是总体方差 的无偏估计量;
简单证明: 不论 X 服从什么分布,
是
的无偏估计量.
证:
因而
由于
前已证
因而
故
7.2.2 有效性
若
都是总体参数 的无偏估计量, 且
7.2 估计量的评价标准
例7.2.2 设是正态总体的一个样本，其中未知,记
例子
易见，这些都是的无偏估计，因为
下面来比较它们的方差，由于
因此 k 越大，方差越小，从而在这 n 个无偏估计中，所以最有效。
7.2.3 一致性
设
是总体参数 的估计量.
称
是总体参数 的一致性估计量
若
即
注1： 一致估计不要求无偏性，而有效性比较是建立在无偏性基础上。
注2： 如果是无偏估计，方差趋于零，也就满足一致性。
注3：样本的k阶矩
Mk 是E(X k )的一致性估计量.
7.2 估计量的评价标准
例7.2.4 设有一批产品，为估计其废品率p，随机抽取一样本, 其中
例子
令 为 p的估计，问是否为废品率 p 的一致无偏估计量。
解
因为 ，所以是废品率 p 的无偏估计量，又因为 相互独立，且服从相同的分布，因此
所以由大数定律可知，依概率收敛于 p ，所以 是废品率 p 的一致无偏估计量。
7.3.1 区间估计的概念
案例7.3.1
某大型连锁超市为合理地确定区域分店的商品进货量，需要了解商品销售量的分布，根据以往经验可知某商品每周的销售量服从正态分布，假设，能否根据最近最近 54 周该商品的销售量，给出参数的估计区间，并且这个区间能达到要求的可信度？
7.3 区间估计
分析：根据上节的内容，可用样本数据给出的估计值，=28.96，但这种估计值既没有误差范围，也没有置信度的信息。
置信区间的定义
ch7-36
定义7.3.1 设 是一个待估计的参数, 是一个样本
对于一给定的数 （0 < < 1）, 若能构造两个统计量
则称随机区间为参数 的置信度为1 的置信区间,
分别称为置信下限,与置信上限, 1 称为置信度或置信水平.
使得 .
7.3 区间估计
案例中，可计算,若令置信度，则 （查表）
易知
得
数据代入，得置信区间（27.63,30.29）
案例7.3.1解 构造
置信区间的求解步骤置信区间的步骤:
寻找一个样本的函数
含有待估参数, 不含其它未知参数, 其分布已知, 且分布不依赖于待估参数.
— 称为枢轴量
给定置信度 1 , 定出两个常数 使得
由
解出
, , 得置信区间
---可靠程度, 越小, 越可靠.
置信区间的长度 ------精度
确定后, 置信区间的选取方法常不唯一 , 常选最小的一个
几点说明:
求参数的置信区间时, 先保证可靠性。在此基础上, 再提高精度.
ch7-40
单个正态总体 的情形
为样本，分别为样本均值、样本方差
设置信度为
求置信区间举例 (重点：单正态总体)
（1）正态总体 的方差已知 , 的置信区间
ch7-41
确定
选取枢轴量
由
对不等式变形，得 的置信区间为
（2）总体 方差未知, 的置信区间
选取枢轴量
确定
故 的置信区间为
（3)总体 当 未知时, 方差的置信区间
ch7-43
选取
故 的置信区间为
则
(4)当已知时, 方差 的置信区间
ch7-44
选取
枢轴量取
故 的置信区间为
ch7-45
案例 7.3.2 为了对某文字扫描识别软件的文字识别性能进行测试，我们从图书市场中随机抽取 20 本不同类别的图书，用该软件扫描进行文字识别的准确率数据如下：
假设识别准确率服从 ，请按以下条件估计参数（置信度) .
(1) 若方差为, 求 的置信区间;
(2) 若方差未知,求的置信区间;
(3) 求的置信区间.
案例
ch7-46
的置信区间为
解 (1)选取枢轴量
由给定数据算得 的置信区间为(93.68,94.90)
的置信区间为
(2)选取枢轴量
由给定数据算得 的置信区间为(93.43,95.15)
ch7-47
的置信区间为
(3)选取枢轴量
由给定数据算得的置信区间为(1.95,7.21)
ch7-48
案例6.1.2(续) 假设学院I和学院II的高等数学成绩和都服从正态分布，并记为,，通过一定的方法可知，请按照样本数据估计两个学院的高等数学平均成绩，并给出两个学院高等数学成绩均值差的95%的置信区间.
双正态总体的置信区间举例
解 关键是寻找枢轴量，由第六章正态总体抽样分布
得 的置信区间为
等相关数据代入得置信区间
ch7-51
设 , 为取自总体 样本;
设 , 为取自总体 样本;
设置信度为.
设 ; ;
两个正态总体的置信区间举例
且 相互独立,
（1）, 已知,的置信区间
相互独立,
的置信区间为
(2)未知，但 ，求的置信区间
ch7-53
枢轴量选：
的置信区间为
(3)均未知且不一定相等，但
ch7-54
其中
的置信区间为
方差比 的置信区间 (未知)
ch7-55
取枢轴量
因此, 方差比的 置信区间为
ch7-56
案例 7.3.5 某智能手机制造商对某款手机使用了自主研发的芯片，使用自主研发芯片的手机为型号Ⅰ，使用进口芯片的手机为型号Ⅱ，为了考察使用不同芯片手机的效果，对两种型号手机的综合性能指标（跑分）进行了随机检测，测得的跑分（单位：万分）如下：
根据对各方面综合因素的评估，认为两种型号手机的跑分都服从正态分布，并且假设型号I的跑分 ，型号II的跑分 ，请根据下列要求为该企业估计其中的参数.
若，求均值差的置信度为0.95 的置信区间;
方差未知，求的置信度为0.95 的置信区间.
ch7-57
的置信区间为
解 （1）取枢轴量
ch7-58
（2）枢轴量为
方差比 的置信区间为
单侧置信区间
*7.3.4单侧置信区间
ch7-60
定义7.3.2 对于给定的, 是待估参数
是总体 的样本, 若能确定一个统计量
, 使得
则称为置信度为 的单侧置信区间,单侧置信下限为
若能确定一个统计量
称 为置信度为 的单侧置信区间,单侧置信上限为
, 使得
ch7-61
案例7.3.6 药物的半衰期是药物代谢动力学中一个十分重要且基本的参数，它表示药物在体内的时间与血药浓度之间的关系，它是决定给药剂量和次数的主要依据. 现在假定某种药物在65岁以上的人群中的半衰期 ，下面是10名65岁以上的患者的测试结果（单位：h）：
12.3 12.7 11.1 12.4 11.4 13.0 11.8 13.5 12.2 11.0
（1）请根据该抽样结果估计的置信度为95%的单侧置信下限；，
（2）请估计 的置信度为95%的单侧置信上限.
(1) 选取枢轴量
，单侧置信区间是(11.67,+)
(2) 选取枢轴量
单侧置信区间是(,1.82)
7.3.4非正态总体的情形
ch7-64
若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大, 由中心极限定理, 可近似地认为
则 的置信度为1 的置信区间可取为
非正态总体的情形
案例7.3.7 酒店管理常常需要关注订单的取消数目，假设某五星级酒店每周订单取消的数目记为 ，据经验 ，酒店客房部需要给出其中参数的估计，为此，他们翻阅了最近100周的订单取消记录，为的估计提供参照样本，下面是具体的样本数据：
请给出的置信度为95%的置信区间.
对， ,利用上述一般结果，得 的置信区间为
代入样本数据的置信区间是(3.51,4.37)

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