资源简介

随机变量及其分布
2.1
随机变量及其分布函数
2.3
连续型随机变量
2.2
离散型随机变量及其分布
2.4
随机变量函数的分布
目录
在第1章研究随机试验时，只是孤立的考虑每个随机事件的概率，研究方法缺乏一般性且无法用高等数学的工具加以研究.从本章开始，我们引入了随机变量及其分布的概念.随机变量概念的建立是概率论发展史上的重大突破，我们就能够用微积分的工具对其进行研究，强有力的高等数学的工具大大加强了我们研究随机现象的手段，从而使概率论的发展进入了一个新的阶段.
在第1章中，随机事件通过样本点所构成的集合来表示，并运用初等数学的方法求出一些事件的概率，但这种表示方式大大限制了计算概率的方法.我们希望将所有随机事件的集合统一成数集，这就需要将随机试验所产生的样本点与实数对应.有些试验的样本点本身就与数值有关.例如，取出的产品中的废品数；掷一颗骰子，观察其出现的点数；观察一个元件的使用寿命；等等.但也有一些试验的结果与数值无关，但我们可以将其量化.例如，抛掷一枚硬币，可以将“出现正面”记为1，“出现反面”记为零；取一件产品，当取到次品时记为1，取到正品时记为零.这样一来，对任意的随机试验，即一种对应关系，可以给出如下定义：
2.1 随机变量及其分布函数
2.1.1 随机变量
定义2.1 设随机试验的样本空间为 ，若对每一个样本点 有唯一的实数 与之对应，则称这个定义在 上的单值实函数 为随机变量，简记为X.
随机变量一般用大写的字母X、Y、Z或希腊字母 来表示.
引入随机变量以后，随机试验所产生的任意事件都可以通过随机变量的取值表达出来.例如，设X表示电话总机在单位时间内接到呼唤的次数，则样本空间 ，事件“接到至少一次呼唤”可用 来表示，事件“恰好接到3次呼唤”可用{X=3}来表示.反之，若X表示一个随机变量，则X的任意取值所形成的集合也都表示一个随机事件，如 ， ， （其中a，b为任意实数），等等.
这样，对于随机事件概率的研究就可以转化为对随机变量取值的概率的研究，这使我们有可能用微积分的方法对各种有关的问题进行深入的研究，使我们的研究更为方便.
2.1.1 随机变量
2.1.2 分布函数
对于随机变量X，一方面要明确其各种可能的取值及取值范围，另一方面要掌握其取值的概率分布.那如何来描写其取值的概率分布呢？在后面的讨论中经常需要考虑随机变量的取值落在某个区间上的概率.而常数 有
，
且 ，由概率的差事件的运算性质可得
.
因此，对于随机变量X，对任意实数x只要知道 ，就可以求出X的取值落在任意区间[a，b)内的概率.为此，我们给出随机变量分布函数的概念.
定义2.2 设X是一个随机变量，对任意的 ，称函数
为随机变量X的分布函数.
由定义可知， 是一个定义在 上、值域为[0,1]的函数,且对任意 ，有
， ， .
分布函数 是事件 的概率，也是x的一个普通函数，因而通过分布函数我们就可以用高等数学的方法来研究随机变量.如果将X看成数轴上的随机点的坐标，那么分布函数 在x处的函数值就表示X落在区间 上的概率.
分 布 函数具有如下性质：
2.1.2 分布函数
定理2.1 设 是随机变量X的分布函数，则
有界性： ；
单调非降性：若 ；
右连续性：对任意实数 , 在 点右连续，即 ；
规范性： ， .
2.1.2 分布函数
01
02
03
04
证明 由概率的有界性可知.
若 ，则 ，由概率的单调性可知 ，即 .
该项证明已超出本书范围，从略
该项的严格证明已超出本书的范围，但可以做一个直观的说明．当 时，事件 趋于必然事件，从而其概率趋于必然事件的概率１．同理，当 时，事件 趋于不可能事件，从而 趋于零．
反之，任意一个满足以上这四条性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数．.
2.1.2 分布函数
01
02
03
04
例2-1 设随机变量X的分布函数 ， ，求：
（1）常数A，B；
（2） .
解 （1）由分布函数的规范性可得
；
，
解得
.
（2） .
2.1.2 分布函数
按照随机变量的取值情况，可以将随机变量分为离散型随机变量和非离散型随机变量.非离散型随机变量包括的范围比较广，情况比较复杂，其中最重要也是最常用到的是连续型随机变量．因此，我们要讨论的只是离散型随机变量和连续型随机变量以及它们的分布．这一节中，我们先来研究离散型随机变量及其分布．
2.2 离散型随机变量及其分布
2.2.1 离散型随机变量及其分布列
定义２.3 若随机变量X只能取到有限个可能值或至多可列个可能值，则称X为离散型随机变量.设X所有可能的取值为 ，则称
为随机变量X的概率分布列，简称为分布列.
离散型随机变量分布列也可用如下图表的形式表示：


其中第一行是X所有可能的取值，第二行是X取相应值时的概率.
离散型随机变量分布列中的数列 应满足以下两条基本性质：
非负性： ；

规范性：
01
02
反之，如果一个数列满足以上两条性质，就可以作为某个离散型随机变量的分布列.
如果已知离散型随机变量X的分布列为 ，则事件 两两互不相容，所以X的取值落入任意一个集合A的概率，根据可加性可得：
.
特别地，可给出由分布列求分布函数的计算公式：
.
显然，分布列不仅给出了离散型随机变量的所有取值，同时也给出了取每一个值时的概率.
2.2.1 离散型随机变量及其分布列
例2-2 设离散型随机变量X的分布列为 ，试求：
（1）常数c；
（2） .
解 （1）由分布列的规范性，有
所以常数 .
2.2.1 离散型随机变量及其分布列
2.2.1 离散型随机变量及其分布列
例2-3 袋中有2个白球和3个黑球，每次从中任取一球，直到取出白球为止.设随机变量X表示取球次数，试求：
（1）X的分布列；
（2）X的分布函数.
解 （1）由题意，X可取的值为1，2，3，4.



（2）由X的分布函数 得：
当 时，事件 中不含X的任何可能取值，所以 ；
当 时，事件 中只含有 这个事件，所以 .
同理可得
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
2.2.1 离散型随机变量及其分布列
综上，得X的分布函数为
其图形如图2-1所示，从图形中可以看出，离散型随机变量的分布函数为阶梯型分段函数，并且在每个分段点处都是右连续的.

图2-1
2.2.1 离散型随机变量及其分布列
2.2.2 常见的离散型分布
1.（0-1）分布
定义2.4 若随机变量X的分布列为
即

则称X服从（0-1）分布或两点分布.
显然，若一个随机试验只有两种可能的结果 ，且 ，则一定可以定义一个服从（0-1）分布的随机变量来描述这个随机试验的结果.
在概率论中，像这样只考虑两个可能结果的随机试验，称为伯努利试验；将同一个伯努利试验独立的重复n次的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验是一种很重要的概率模型，它有着广泛的应用.下面就来介绍一个在n重伯努利试验中产生的离散型分布.
2.二项分布
假设一个n重伯努利试验，每次试验中事件A出现的概率 ，以X表示n重伯努利试验中事件A出现的次数.下面来求它的分布列.
显然，X所有可能取值为 .事件 表示n次试验中都是 发生，由于n次试验相互独立，故
事件 表示n次试验中事件A出现1次，出现n-1次，故
2.2.2 常见的离散型分布
同理， 表示n次试验中事件A出现k次，出现n-k次.例如，前k次事件A发生，而后n-k次发生，此时
，
显然，事件 中包含 种这种形式，故
,
所以，随机变量X的分布列为
.
一般地，有如下定义：
2.2.2 常见的离散型分布
定义2.5 若随机变量X的分布列为
，
其中 为常数，则称X服从参数为 n，p的二项分布，记为 .
特别，当 时，二项分布化为
，
即为（0-1）分布.
2.2.2 常见的离散型分布
例2-4 已知100件产品中有5件次品，现从中有放回地取3次，每次取1件，以X记所取3件产品中的次品数.
（1）写出X的分布列；
（2）求在3件产品中恰好有1件次品的概率.
解 将抽取一次产品看成是一次试验，这是一个三重伯努利试验.由题意，每次试验中取出次品的概率 ，所以 ，于是
（1）X的分布列为
.
（2） .
若将本例中的“有放回抽样”改为“无放回抽样”，这就不是n重伯努利试验了，X也就不服从二项分布，这时X服从后面将要讲的超几何分布.
2.2.2 常见的离散型分布
但在实际问题中，真正能在完全相同条件下进行的试验并不多见.对于产品抽样问题，当产品的数量很大，而抽查的产品数量相对于产品总数来说很小时，“无放回”可以当作“有放回”来处理.
2.2.2 常见的离散型分布
例2-5 已知一大批产品的次品率为0.1，从中任取20件产品，求20件产品中次品不超过2件的概率.
解 设X表示20件产品中次品的个数，则 ，所以
在有些问题中，当努利试验的次数n很大，而每次试验中事件A出现的概率p很小时，计算是相当麻烦的.为了简化其计算，人们得到如下定理：
2.2.2 常见的离散型分布
定理2.2 （泊松定理） n重伯努利试验中，设事件A出现的概率为 （与试验总数n有关），若 ，则有
.
证 记 ，则 ，且 ，所以
2.2.2 常见的离散型分布
对于固定的k，当 时
，
， ，
所以
.
利用级数 ，易知 .从而引入一种新的离散型分布，即泊松分布..
2.2.2 常见的离散型分布
3.泊松分布
定义2.6 若随机变量X的分布列为
，
其中常数 ，则称X服从参数为 的泊松分布，记为 .
由定理2.2可知，泊松分布可以看作大量试验中小概率事件发生次数的概率分布的一个近似数学模型.故如果 ，当n很大而p很小时，二项分布可用泊松分布近似，即
.
泊松分布是一种重要的离散型分布，有着广泛的应用.泊松分布常见于社会生活与具有物理性质的问题中,如一段时间内电话局收到用户的呼叫次数、放射性物质放射的粒子数、车站内到达的乘客数等，都服从泊松分布.
为方便泊松分布的计算，有现成的分布表（见附表1）可供查阅.
2.2.2 常见的离散型分布
例2-6 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量X服从参数为5的泊松分布，为了以98%以上的概率保证不脱销，问商店在月初应进货多少（假设上月无剩余）？
解 由题意销售量 ，设月初的进货为N件，故
,
即
,
查附表1可得
,
所以 时，才能以98%以上的概率保证不脱销.
2.2.2 常见的离散型分布
例2-7 设共有2 000个条件相同的人参加了人寿保险，每个参加保险的人一年交付保费12元，如果一年内死亡，则保险公司支付赔偿金2 000元，设每个参保人一年内死亡的概率为0.002，求保险公司亏本的概率.
解 设一年内死亡的人数为X，则 ，故X近似地服从泊松分布，其参数 .保险公司亏本的概率为
.
查附表1可得 .
2.2.2 常见的离散型分布
例2-8 设有40台同类型设备，各台工作是相互独立的，每台发生故障的概率为0.01，且一台发生故障只需一人维修，考虑两种维修方法：方法一是由2人共同维护40台设备，方法二是2人分别负责20台.问哪种维修方式使得在设备发生故障时不能及时维修的概率较小.
解 按第一种方法，以X表示发生故障的设备数，显然 ，故近似地服从 .当发生故障的台数超过维修工人数时，就不能及时维修，故
=0.007 9.
按第二种方法，以 分别表示两组发生故障的设备数，显然 ， ，都近似地服从.记事件表示“第i组发生故障不能及时维修”， ，则
=0.017 5，
同理， .
2.2.2 常见的离散型分布
4.几何分布
设X是一个无穷次伯努利试验序列中事件A首次发生所在的试验次数，显然X为离散型随机变量，如果每次试验中事件A出现的概率为p( ),则X的分布列为
.
定义2.7 设随机变量X的分布列为
，
其中 ，则称X服从参数为p的几何分布，记为 .
2.2.2 常见的离散型分布
例2-9 设某人在求职过程中，每次求职成功的概率为0.4，问该人至少要求职多少次，才能以0.9以上的把握获得一个就业机会.
解 设X表示首次求职成功所需的求职次数，显然 .设该人共求职N次，则由题意得
，
即
得 ，故至少求职5次才能以0.9以上的把握获得一个就业机会.
2.2.2 常见的离散型分布
5.超几何分布
设共有N件产品，其中次品有M个，正品有N-M个.从中不放回的抽取n 个产品，其中的次品数X是一个离散型随机变量，其分布列为

具有此分布列的随机变量，称为服从参数为n，M，N的超几何分布，记为 .
2.2.2 常见的离散型分布
在2.2节中研究的离散型随机变量取值只限于有限个或可列无穷多个.但在很多随机试验中，如身高、候车时间、产品的使用寿命、测量误差等，它们可以取某一区间或整个实数轴上所有的值，这类随机变量称之为连续型随机变量.
2.3 连续型随机变量
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数
对于连续型随机变量的描述不能采用离散型随机变量的方法.我们引入概率密度的概念.
考虑连续型随机变量X，设分布函数为 ，则其落在区间 内的概率 ，其中x为任意实数， 为区间长度，若极限
存在，则这极限叫做X在x处的概率密度，记作 .由上述极限可知概率密度 与分布函数 之间的关系为
，即连续型随机变量的概率密度是分布函数的导函数；

由此我们给出连续型随机变量的定义.
01
02
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数
定义2.9 若对于随机变量X的分布函数 ，存在可积的非负函数 ，对于任意实数x有
，
则称X为连续型随机变量，称函数为X的概率密度函数，简称概率密度.
由上述定义可知，每个连续型随机变量都与一个概率密度函数相对应.由定义可知，概率密度函数 具有下列性质：
（1）非负性： ，
（2）规范性： .
若一个函数满足上述两个性质，一定可以作为某个连续型随机变量的概率密度.
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数
由定义及以上性质可知，概率密度函数曲线总是位于x轴上方，并且与x轴所围成图形的面积恒为1(见图2-2)；对任意 ，分布函数 的值等于密度函数曲线与x轴及直线所围左侧无限曲边梯形的面积（图2-3中阴影部分的面积）.


图2-2 图2-3
根据连续型随机变量的定义还可以给出以下性质：
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数
（1）对任意的实数 ( )，有
.
该性质由定义2.9及积分区间的可加性很容易得到，并且根据定积分的几何意义，该事件的概率等于区间(a,b]上概率密度函数曲线之下的曲面梯形的面积(见图2-4).
图2-4
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数
（2）连续型随机变量取任意固定值 ɑ 的概率都为零，即 .
实际上，对任意 ， ，有
，
而
，
所以
.
这个性质说明在计算连续型随机变量落在某区间上的概率时，区间是否包含端点对事件的概率是没有影响的,即
由这个性质也可以看出，在概率论中，概率为零的事件不一定是不可能事件，因为连续型随机变量取任何一点都是有可能发生的.同样，概率为1的事件也就不一定是必然事件.
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数
（3）设 是连续型随机变量X的分布函数，则 是连续函数.
实际上，对任意的实数x，有
所以， 是连续型随机变量.
这是连续型随机变量的一个重要性质.
（4）设 和 分别是连续型随机变量X的分布函数和密度函数，则由定义2.9可知， 是 的积分上限函数.所以，在 的连续点x处，有
.
这个性质表明，连续型随机变量的分布函数和密度函数是相互确定的，当已知分布函数时，求导可得其密度函数；当已知密度函数时，积分可得分布函数.
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数
例2-10 设连续型随机变量X的密度函数为
求：
（1）常数a；
（2）X的分布函数；
（3）概率 .
解 （1）根据密度函数的规范性 ，可得
，
解得
.
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数
（2）由定义2.9的 ，可得
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
即
（3）可以利用密度函数来求，即
.
也可以利用分布函数来求，即
.
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数
例2-11 设连续型随机变量X的分布函数为
其中 ，求：
常数A，B；
；
X的密度函数.
01
02
03
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数
解 利用分布函数的规范性 ，得
；
利用连续型随机变量分布函数的连续性，可知
,
所以 .
.
随机变量X的密度函数为
01
02
03
2.3.2 常见的连续型分布
1.均匀分布
定义2.10 若连续型随机变量X的密度函数为
则称X服从区间 上的均匀分布，记为 .
显然 ，并且 .
容易求得均匀分布的分布函数为.
直观地讲，均匀分布反映了随机变量X在 中各点取值的等可能性.严格地说，X落在中任意子区间上的概率只与区间长度有关，而与区间位置无关，即与该子区间的长度成正比.事实上，对于任意的 ，都有
，
这个值与c无关.
在实际问题中，服从均匀分布的例子很多.例如，测量一个圆的直径所产生的误差服从 上的均匀分布；乘客在1 h内任意时刻到达车站是等可能的，则其到达的时刻服从(0，60)上的均匀分布；等等.
2.3.2 常见的连续型分布
2.指数分布
定义2.11 若随机变量X的密度函数为
其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布，记作 .
容易求得指数分布的分布函数为
指数分布常用来作为各种“寿命”的分布，如某种电器的使用寿命、随机服务时间等.
2.3.2 常见的连续型分布
例2-12 某电子元件的使用寿命 .
求该电子元件使用寿命至少是5年的概率；
已知该元件已经使用了3年，求其再用5年以上的概率.
解 由题意X的分布函数为

.
通过这个例子可以看出，使用寿命服从指数分布的电子元件在使用了3年后再用5年以上的概率与直接使用5年以上的概率相同，即与已使用的3年无关.这是指数分布的一个重要性质，称为无记忆性.即对任意的 ，有
.
指数分布是唯一具有这个性质的连续型随机变量.
2.3.2 常见的连续型分布
01
02
01
02
3.正态分布
定义2.12 若随机变量X的密度函数为
，
其中 为常数，则称X服从参数为 的正态分布，记作 .
若 ，则其分布函数
.
正态分布的密度函数的图形如图2-5所示，它具有如下性质：
（1）图像关于 对称，故 ；并在 处取得最大值 , 在 处有拐点，以x轴为水平渐近线.
2.3.2 常见的连续型分布
图2-5
（2）参数决定了图形的中心位置，决定了图形的最高位置.当固定、改变时，曲线沿x轴平行移动，形状不变（见图2-6）；当固定、改变时，曲线的对称轴不变，形状发生改变.越大，曲线越平坦；越小，曲线越陡峭（见图2-7）.


图2-6 图2-7
正态分布在概率论中占有非常重要的地位.实际问题中大量的随机变量都服从或近似服从正态分布.例如，人的身高体重、农作物的收获量、零件的长度、材料的强度等，都服从或近似服从正态分布.一般说来，若影响某个数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个指标服从正态分布.在概率论和数理统计的理论研究与实际应用中，服从正态分布的随机变量起着非常重要的作用.
2.3.2 常见的连续型分布
特别的，在正态分布中，当 时，则称随机变量X服从标准正态分布，记作 .此时概率密度为
，
分布函数为
.
显然，标准正态分布的密度函数 的图形关于y轴对称， 为的最大值，在 处有拐点（见图2-8）.
2.3.2 常见的连续型分布
根据 的对称性,由图2-9易知
.


图2-8 图2-9
因此，对于标准正态分布的概率计算，只要解决 的计算就可以了.在附表2中给出了的 的数值表.而对于一般的正态分布，显然不能直接通过密度函数的积分得到事件的概率，我们需要来研究一下它与标准正态分布之间的关系.
2.3.2 常见的连续型分布
定理2.3 若 ，其分布函数为 ，则对任意 都有
.
证 由分布函数的定义知
，
令 ，可得
.
由上述定理可知，若 ，则对任意的实数 ，有
2.3.2 常见的连续型分布
定理2.3 若 ，其分布函数为 ，则对任意 都有
.
证 由分布函数的定义知
，
令 ，可得
.
由上述定理可知，若 ，则对任意的实数 ，有
.
2.3.2 常见的连续型分布
定理2.3 若 ，记 ，则 .
证 要证明 ，只要证明Y的分布函数为 即可.
.
由上述两个定理知，一般正态分布的概率计算需转化为标准正态分布的概率计算.
例2-13 若 ，计算 .
2.3.2 常见的连续型分布
解
查附表2得， ，将其分别代入
，
，
.
由例2-13可以看到，尽管正态分布的随机变量取值范围是 ，但它的值落在 内几乎是肯定的，这就是通常所说的原则（见图2-10）.
2.3.2 常见的连续型分布
例2-14 设 ，求：
（1） ；
（2）确定常数c，使得 ；
（3）设常数d满足 ，试给出d的取值范围.
解 （1）
（2）由题意知
，
根据正态分布密度函数的对称性，可知 .
（3）由于 ，所以 .故
，
查附表2得 ，根据分布函数的单调不减性，故
，
解得 .
2.3.2 常见的连续型分布
例2-15 设测量中产生的误差 ，现进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数小于3的概率.
解 设随机变量Y为100次测量中事件 出现的次数，则 ，其中p是每次测量中事件出现的概率，即
，
查附表2得 ，代入上式得
，
所以 ，这里n较大，p较小，可用泊松逼近，即
2.3.2 常见的连续型分布
在很多实际问题中，我们所关心的随机变量的分布往往难以直接得到，但是与它们有关的另一些随机变量的分布却是容易知道的.例如，我们要研究某圆形的面积，面积不好直接测量，但是我们可以很容易地测量它的直径.因此，我们需要讨论，如何根据直径的分布求出面积的分布.这一节我们将讨论如何由随机变量X的概率分布求得它的函数的概率分布.
2.3.2 常见的连续型分布
当X为离散型随机变量时，的分布可用列举法直接由X的分布求得.
例2-16 设随机变量X的概率分布为
求 及 的分布列.
解 显然函数的取值由X的取值及函数关系所确定，故可列表
其中
.
2.4.1 离散型随机变量函数的分布
所以，可得Y、Z的分布列分别为


一般地，设离散型随机变量X的分布列为
，
则对X的函数 ，记 ， 则
（1）如果 的值互不相等，由 知Y的分布列为
；
（2）如果 中有相等的值，则将这些相等值分别合并，并把相应的概率相加，便可得到Y的分布列.
2.4.1 离散型随机变量函数的分布
例2-17 已知离散型随机变量X的分布列为
，
试求函数 的分布列.
解 由于
则 的所有可能取值为-1，0，1，且取每个值的概率为
2.4.1 离散型随机变量函数的分布
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
设X为连续型随机变量，其密度函数已知，求其函数的密度函数一般有两种方法：分布函数法（一般方法）和公式法.
1.分布函数法（一般方法）
为了求Y的密度函数 ，先求Y的分布函数 ，即
，利用 X的分布将上述事件的概率求出或表示出，然后再关于y求导，即得Y的密度函数.
例2-18 设随机变量 ，求 的密度函数.
解 由题意
由分布函数的定义
，
当 时，显然上述事件为不可能事件，所以 ；
当 时， ；
当 时， .
再求导得Y的密度函数

在这个例子中，我们完整地求出了Y的分布函数，但在有些题目中，当Y的分布函数不容易求出时，也可通过X的分布函数来表示.
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
例2-19 设随机变量 ，求 的密度函数.
解 ，
由分布函数的定义
，
当 时，显然上述事件为不可能事件，所以 ；
当 时， ；
当 时,
.
所以， 的密度函数为
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
2.公式法
利用分布函数法，可以得到如下公式：
定理2.4 已知连续型随机变量X的密度函数为 ,若函数 满足：
（1） ；
（2）函数 是 上严格单调的连续函数；
（3）反函数 有连续导数，
则 的密度函数为
其中 .
证 对于 严格增加的情形，其反函数 也是严格增加的，此时 的可能取值落在区间内 ，所以
当 时， ；
当 时， ；
当 时 ，
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
于是， 的概率密度为
对于 严格单调减少的情形，其反函数 也是严格减少的，所以 ，此时 的可能取值落在区间 内，所以
当 时， ；
当 时， ；
当 时，
于是， 的概率密度为
综上，得到 的概率密度为
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
例2-20 设随机变量X的密度函数为
试求随机变量 的概率密度.
解 显然函数 是严格单调增加的，它的反函数为( ),反函数的导数 ，利用定理2.4的结论可得 的概率密度为
.
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
例2-21 设随机变量 ，求 的概率密度.
解 由题意知X的密度函数为
，
因 严格单调，故它的反函数
，
且其导数 ，利用定理2.4的结论可得 的概率密度为
.
由此可知，当 且 时，有
，
即服从正态分布的随机变量的线性函数仍然服从正态分布.特别地，令 ，则 即定理2.3的结论.
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
习 题 2
1.一口袋中装有6个形状相同的球，分别标号为1，2，3，4，5，6，现从袋中任取3个，设X是取出球的最小号码，写出随机变量X的分布列，并求 .
2.设随机变量X的分布列为求 ：
（1）常数c；
（2）2 ；
（3） .
3.两名射手轮流射击某一目标.第一位射手命中目标的概率为1/2，第二位射手命中目标的概率为1/3.为击中目标共射击了X次，求X的分布列.
习 题 2
4.试确定a的值，使下列形式为某个离散型随机变量的分布列：
（1） ；
（2） .
5.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p，在生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求在两次调整之间生产合格品X的分布列.
6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6、0.7，今各投3次，求：
（1）两人投中次数相同的概率；
（2）甲比乙投中次数多的概率.
习 题 2
7.某公安局在长度为t(单位为h)的事件间隔内收到的报警次数X服从参数为 的泊松分布，而与时间间隔起点无关.求：
（1）某天 没有受到报警的概率；
（2）某天 至少受到一次报警的概率.
8.已知 ，并且 ，求 .
9.已知随机变量X的概率密度为 ，求：
（1）A的值；
（2） ；
（3）分布函数 .
10.设随机变量 ，现对X进行3次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率.
习 题 2
11.设随机变量 ,则方程 有事跟的概率是多少？
12.某电子元件的使用寿命X的概率密度为
若一台电视上装有三个这种元件，求使用最初的150 h内三个元件都没有发生故障的概率.
13.设连续型随机变量X的分布函数为
其中 .求：
（1）常数 ；
（2） ；
（3）概率密度 .
习 题 2
14.设成年男子的身高 ，某种公共汽车车门的高度是按成年男子碰头的概率在以下来设计的，问车门的高度最少应为多少？
15.设 且 ，求 .
16.设车床加工金属圆杆，已知圆杆的直径（以cm计） ，规定直径在12.0~12.8 cm的概率至少为0.95，试确定最多为多少？
17.设随机变量X的分布列为
求：
（1） ；
（2） 的分布列.
习 题 2
18.一食品厂一天的产量X的概率密度为
一天的产值是 (以千元计)，求Y的概率密度.
19.设随机变量X服从(0,9)上的均匀分布，随机变量Y是X的函数：
，
求Y的分布列.
20.一台电话总机共有225部分机，每部分机呼叫外线的概率为0.02.
（1）若设置12条外线，则每部分机呼叫外线失败的概率是多少？
（2）这台总机需要设置多少外线，才能保证每部分机呼叫外线失败的概率低于0.01.
习 题 2
21.设随机变量 .求下列函数的概率密度：
（1） ;
（2） ；
（3） .
22.设随机变量 ，其分布函数为 .求随机变量 的概率密度函数.
23.设随机变量X的概率密度为
求 的概率密度.
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