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随机事件及其概率
1.1
随 机 事 件
1.3
概率的公理化定义
1.2
古典概型和几何概率
1.4
条件概率与事件的独立性
目录
1.5
全概率公式和贝叶斯公式
第1章 随机事件及其概率
自然界和日常生活中不断地发生着各种各样的现象，通常可以将其分为两类.一类称为确定性现象或必然现象，即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象.例如，在没有外力的作用下，做匀速直线运动的物体必然保持其匀速直线运动状态；在一个标准大气压下，水加热到100 ℃必然会沸腾；上抛的石子一定会落下；等等.另一类称为随机现象或偶然现象，即在一定条件下可能发生也可能不发生的现象.例如，投掷一枚硬币，不能提前预知将出现正面还是反面；从一大批产品中任取一个，这个产品可能是正品也可能是次品；远距离射击，有可能击中也有可能击不中；等等.
第1章 随机事件及其概率
显然，随机现象在每次试验中是否出现带有不确定性、偶然性.但人们通过长期的观察和实践发现，这些随机现象在大量的重复试验中呈现一定的规律性.例如，在相同的条件下，多次重复抛掷一枚均匀硬币时出现正面和反面的次数几乎相同.这种在大量重复试验中，随机现象所呈现的内在规律性称为统计规律性.
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门基础学科，它从数量的角度给出随机现象的描述，为人们认识和利用随机现象的规律性提供了有利的理论工具.其理论和方法被广泛地应用于自然科学、社会科学、工程技术和经济管理等许多领域.
1.1.1 随机试验与随机事件
1.1 随 机 事 件
为了研究和揭示随机现象的统计规律性，我们要对随机现象进行大量的重复观察，我们把观察的过程称为试验.若一个试验满足以下要求：
（1）可重复性：在相同的条件可以重复进行；
（2）多可能性：每次试验的结果具有多种可能性，并且试验前可以明确所有可能出现的结果；
（3）随机性：试验之前不能确定该次试验将出现哪一种结果.则称该试验为随机试验，简称为试验.通常用E表示.
1.1.1 随机试验与随机事件
在随机试验中，我们关心的是试验的结果，这些可能的结果，被称为随机事件，简称为事件.通常用大写字母A，B，C，…表示.
例如，抛掷一枚均匀的骰子，观察它出现的点数，显然这是一个随机试验，不妨记为E.记 {出现i点}（i=1，2，…，6），B={出现偶数点}，C={出现的点数不超过4}都为试验E所产生的随机事件.
显然上述事件 都只包含一个不可再分解的最简单的结果，这样的事件称为基本事件.而B、C则是由若干个基本事件组成的，这样的事件称为复合事件.概括地说，就是基本事件为不可分解的事件，复合事件可分解成多个基本事件.
1.1.1 随机试验与随机事件
另外，随机试验中的有些结果是必然发生的，我们称之为必然事件，记作；还有些结果是不可能发生的，称之为不可能事件，记作.例如，上例中，{出现的点数不超过6}是必然事件；{出现的点数超过6}是不可能事件.今后为了讨论方便，必然事件和不可能事件也看作随机事件.
1.1.2 样本空间
在一个随机试验中，我们首先关心的是其所产生的所有基本事件，从而引入了样本空间这一概念.
定义1.1 随机试验E的所有基本事件所组成的集合称为E的样本空间（sample space），记为 .其中的元素基本事件也称为样本点，记为 .
显然，样本空间 是全体样本点 的集合，即 .而任意的随机事件A则是部分样本点构成的集合，也是样本空间的子集，即 .所以，在具体问题中，给定样本空间是对随机现象进行数学描述的第一步.
1.1.2 样本空间
例1-1 在投掷一枚硬币观察其出现正面还是出现反面的试验中，有两个样本点.记 表示“正面”， 表示“反面”,则样本空间为 .
例1-2 记录某电话台在1 min内接到的呼叫次数，记 表示“接到i次呼叫” ，则样本空间 .
例1-3 从一批电视机中任意抽取一台，测试它的使用寿命，则样本空间为 .
例1-4 设袋中装有3个黑球(编号为1，2，3)，2个白球(编号为4，5)，现从中任取2球，观察两个球的号码.设事件A表示“取出两个白球”.
1.1.2 样本空间
（1）可以记样本点 表示 “取出编号为i，j的球”，则样本空间 ，事件.
（2）也可以记样本点 表示“取出的第一个球编号为i，第二个球的编号为j”,则样本空间 ，事件 .
在这个例子中，（1）中的样本点不强调球的顺序，（2）中的样本点区分球的顺序.这个例子也表明，同一个问题中可选不同的样本点，但在选定样本点后，随机事件中的样本点形式一定要与样本空间中的形式一致.
1.1.2 样本空间
在一个随机试验当中，可以有很多随机事件.为了通过对简单事件的研究来掌握比较复杂事件的规律，需要研究事件的关系及事件的运算。由于事件是集合，因此事件的关系及运算与集合的关系及运算类似.关键是要理解事件的关系与运算的概率意义. 在下面的讨论中，所涉及到的所有事件均属于同一个样本空间
1.1.2 样本空间
易知，对任意的事件A，有 .
若且，则称事件A与B相等.记作A=B.
1.事件的包含与相等
若事件A发生必然导致事件B发生，即若 ，则必有 ，则称事件B包含事件A.记作 或 .
1.1.2 样本空间
若事件A和事件B至少有一个发生，这一事件称为事件A与事件B的和（并），记作 .
显
.
这一定义可以推广到有限个及可列多个事件的场合.
一般地，事件“ 至少有一个发生”称为这n个事件的和，记为 ，简记为 .称事件“ 至少有一个发生”为这可列个事件的和，记为 .
2. 事件的和（并）
1.1.2 样本空间
3.事件的积（交）
若事件A和事件B同时发生，则这一事件称为事件A与事件B的积（交）,记作
或
.则
这一定义同样可以推广到有限个及可列多个事件的场合.
一般地，事件“ 同时发生”称为这n个事件的积，记为 ，简记为 .称事件“ 同时发生”为这可列个事件的积，记为 .
显然有以下结论：
1.1.2 样本空间
3.事件的积（交）
（1）对任意事件A、B有：
.
（2）如果
，则
.
1.1.2 样本空间
4.事件的差
若事件A发生而事件B不发生，则这一事件称为事件A与B的差，记作 .显然
= ，
并且 .
.
1.1.2 样本空间
5.互不相容（互斥）事件
若事件A与事件B在一次试验中不能同时发生，即 ，则称事件A与B是互不相容（或互斥）的.
如果一组事件 中任意两个事件都是互不相容的，即
则称 事件互不相容.
显然任一试验的所有基本事件之间是互不相容的.
我们约定，若事件A与B互不相容，则记它们的和事件为A+B，若 互不相容，则记它们的和事件为 或 ，即在本书中当用“+”或“ ”表示事件和时，隐含着参与求和的事件是互不相容的.
1.1.2 样本空间
6.互逆事件（对立事件）
如果在每次试验中事件A与事件B有且只有一个事件发生，则称事件A与B是互逆的（或对立的）.其中一个事件是另一个事件的逆事件（或对立事件），记作 .
显然，我们有以下结论：
01
事件A与B互逆
02
表示“A不发生”；
03
1.1.2 样本空间
6.互逆事件（对立事件）
任意事件A与事件B有，表示“事件A发生而事件B 不发生”.
以上事件之间的关系与运算可以用文氏（Venn）图来直观的描述.若用平面上的一个矩形表示样本空间 ，矩形内的点表示样本点，圆A与圆B分别表示事件A与事件B，则事件A与B之间的各种关系与运算如图1-1所示.
04
图1-1
1.1.2 样本空间
6.互逆事件（对立事件）
类似集合的运算，事件的运算满足以下运算法则：
01
02
03
04
交换律：
结合律:
分配律：
得摩根（De Morgan）对偶律：
分配律和对偶律也可以推广到有限或可列个事件的情形，即
1.1.2 样本空间
6.互逆事件（对立事件）
其中I是有限指标集或可列指标集.
例1-5 设A、B、C表示三个事件，用A、B、C表示下列事件：
（1）A发生而B与C都不发生；
（2）A、B至少有一个发生而C不发生；
（3）A、B、C中至少一个事件发生；
（4）A、B、C中恰有一个事件发生；
（5）A、B、C中至少两个事件发生；
（6）A、B、C中至多有一个事件发生；
（7）三个事件都不发生；
（8）三个事件不都发生.
1.1.2 样本空间
6.互逆事件（对立事件）
解：（1）B与C都不发生可表示为 ，故答案为 或 ；
（2）A、B至少有一个发生可表示为 ，故答案为 ；
（3）由和事件的定义可知，答案为 ；
（4）恰有一个事件发生有三种可能，即 且它们互不相容.所以，A、B、C中恰有一个事件发生应为这三个事件之和，故答案为 ；
（5）事件 都表示至少有两个事件发生，故A、B、C中恰有两个事件发生应为 ；
（6）A、B、C中至多有一个事件发生意味着没有两个或两个以上事件同时发生，从而答案为 ；
（7）三个事件都不发生即它们的逆事件都发生，故答案为 ；
（8）三个事件不都发生即表示A、B、C不能同时出现，故用逆事件表示为 ；也可理解为 至少有一个发生，从而也可表示成 .显然由对偶律可得 .
1.1.2 样本空间
6.互逆事件（对立事件）
例1-6 一名射击选手向同一目标射击三次，事件 表示第i次击中目标 .试用文字描述下列事件：
.
解 表示前两次中至少有一次击中目标；
表示前两次击中目标而第三次没有击中目标；
表示后两次中至少有一次没有击中目标；
表示三次设计中至多有一次命中目标.
1.1.2 样本空间
6.互逆事件（对立事件）
例1-7 设A、B、C表示三个事件，证明下列等式：
（1） ；（2） .
证 （1）由差事件的运算及对偶律可得：
，
，
从而.
1.1.2 样本空间
6.互逆事件（对立事件）
证 （2）利用对偶律及分配律可得：
在随机试验中，我们关心的是某个随机事件是否发生，以及发生可能性的大小.它是随机事件的客观属性，是可以度量的.随机事件的概率就是从数量上描述随机事件出现的可能性大小的一个数量指标.
1.2 古典概型和几何概率
1.2.1 概率的统计定义
人们在长期的实践中发现，虽然一次试验中某个随机事件可能出现也可能不出现，但在大量重复试验中它却呈现出明显的规律性.要描述这种规律性，我们首先要引入频率的概念.
1.2.1 概率的统计定义
定义1.2 设随机事件A在n次重复试验中出现k次，则称比值 为事件A在n次试验中出现的频率，记作 .
01
02
03
显然，频率具有如下性质：
对任意事件A，有
对必然事件 ，有
若事件 互不相容 ，则 .
1.2.1 概率的统计定义
以最简单的掷硬币试验为例.投掷一枚均匀的硬币，可能出现正面也可能出现反面.就一次试验而言，我们看不出两个结果发生的规律性，但如果做大量的重复试验，就可以发现其中的规律性.历史上曾有不少人做过这类试验，结果见表1-1.
试 验 者 试验次数n 出现正面次数k 频 率
得摩根 2 048 1 061 0.518
蒲丰 4 040 2 048 0.506 9
K 皮尔逊 12 000 6 019 0.501 6
K 皮尔逊 24 000 12 012 0.500 5
维尼 30 000 14 994 0.499 8
1.2.1 概率的统计定义
可见，随着试验次数n的增加，出现正面的频率呈现出稳定性，即总在0.5附近摆动并且逐渐稳定在0.5.
类似的试验还有：人们发现英语中各个字母被使用的频率，质量检验中某种产品出现次品的频率，以及寿命在60~70岁的人占总人口的比例，等等，当观察次数增多时，都呈现出某种稳定性.
上述种种情况均表明：当重复试验的次数n逐渐增大时，事件A出现的频率呈现出稳定性，逐渐的稳定于某个常数.这个常数是事件A所固有的特性，它刻画了事件A发生的可能性大小，我们把这个常数称为事件A的概率.
1.2.1 概率的统计定义
定义1.3 在相同的条件下重复进行n次试验，如果当n增大时，事件A出现的频率 稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，记作P(A).
这一定义称为概率的统计定义.
由上述定义，可以推出概率的以下性质：
01
02
03
非负性：对任意事件A，有 ；
有限可加性：若事件 互不相容，则 .
规范性：对必然事件 ，有 ；
1.2.1 概率的统计定义
我们注意到，虽然概率的统计定义适用于任何类型的随机试验，但由于用该定义确定事件的概率时，需要做大量的重复试验.而在实际中不可能对每一个事件都做大量试验，所以概率统计定义并没有具体给出一个有效的计算概率的方法.
要计算随机事件A发生的概率P(A)是比较复杂的，而且不同类型的随机试验常有不同的计算方法.下面我们讨论两种简单的概型——古典概型和几何概型.
1.2.2 古典概型
定义1.4 若随机试验E满足下列条件：
有限性：试验样本空间 中只有有限个样本点，即 ；
等可能性：每个样本点发生的可能性是相同的，即 ，
则称此试验为古典概型，或称为等可能概型.
若古典概型E的样本空间 ，则每个样本点 的概率为
设该试验所产生随机事件A中含有m个样本点，则 .
例如，投掷一颗均匀的骰子，显然为古典概型，其样本空间中含有6个样本点.设事件A出现的点数为偶数，则A中含有3个样本点，所以 .
总结上述过程，可以给出古典概型中事件概率的计算公式.
01
02
1.2.2 古典概型
定义1.5 设古典概型中共有n个样本点，事件A中包含m个样本点，则A的概率 . （1-1）
此式称为概率的古典定义.
由上述定义可以看出，利用概率的古典定义计算事件概率时，需要计算出样本空间中样本点的个数及事件中所含样本点个数.对较简单的情况，可以把样本空间中的样本点一一列出，但当试验较复杂时，就需要一定的技巧了.其中，排列、组合的知识是不可缺少的.另涉及两条重要的计数规则：
1.2.2 古典概型
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，若第i类方法中包含 种方法 ，那么完成这件任务共有 种不同的方法.
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，若第i个步骤可以通过 种方法完成 ，那么完成这件任务共有 种不同的方法.
这两条计数规则的区别在于：加法原理表现出并行的特征，即每一种方法都可完成任务；而乘法原理表现出分步的特征，即每一步只能完成任务的一部分.在实际应用中不可混淆.
1.2.1 概率的统计定义
例1-8 将一枚均匀硬币抛掷三次，设事件A为“恰好有一次正面”，事件B为“至少有一次正面”.求P(A)与P(B).
解 记正面为H，反面为T，则相应的样本空间为
={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}.
而事件A={HTT，THT，TTH}，B={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH}. 所以P(A)= ，P(B)= .
上述使用的是列举法，即将样本空间及事件中的样本点一一列举，计算所得.也可以利用排列、组合结合加法原理、乘法原理计算样本点个数，从而计算其概率.事实上，每抛掷一次硬币会有两种可能，所以由乘法原理抛掷三次 一共有种可能，即样本空间中有8个样本点.
事件A表示只有一次正面，所以只需从三次中任选一次就可以，有 种可能，即事件A含有3个样本点.所以P(A)= .
事件B为“至少有一次正面”，包含了三种情况：恰好有一次正面、恰好有两次正面和恰好有三次正面.所以，由加法原理可知事件B中所含样本点个数为 .所以 P(B)= .
1.2.2 古典概型
例1-9 箱中有50件外形一样的同种产品，其中正品45件，次品5件.现按下列两种方法抽取产品：
（1）每次任取一件，观察后放回箱中，再任取下一件，这种抽取方式叫做有放回抽样；
（2）每次任取一件，观察后不放回，在剩下的产品中再任取一件，这种抽取方式叫做无放回抽样.
分别采用这两种方法从中任取三件，求其中有两件次品的概率.
1.2.2 古典概型
解 显然为古典概型问题.记A为事件“三件中有两件次品”.
（1）有放回抽样.由于每次抽取后都放回，所以所取的每件产品都有50种可能并且考虑产品的顺序，故此时样本空间中样本点总数 .再考虑事件A中样本点个数，首先考虑哪两次取出的是次品，即从三次中任取两次，则 有种可能；再考虑具体产品，在上述的 种可能中都是2件次品1件正品，故在每种可能下都有 种取法.由乘法原理可知，事件A中所含样本点个数 .所以
P(A)= .
1.2.2 古典概型
（2）无放回抽样。此时如果样本点不考虑产品的顺序，则样本空间中样本点个数 ，事件A中样本点个数 ，故
P(A)= .
或采用排列即样本点考虑产品顺序时，样本空间中样本点个数 ，事件A中样本点个数 ，故
P(A)= .
1.2.2 古典概型
在这个例子中，我们要注意以下几点：
①在有放回抽样中，样本点一定要考虑顺序，否则样本点个数难以计算.
②在无放回抽样中，样本点中是否要考虑顺序则要根据题意判断，如果结果中强调顺序，则一定要用排列；如果结果中没有强调顺序，则可用组合也可用排列.
在计算概率时，我们常会碰到有放回抽样和无放回抽样的问题，不同的抽样方式，得出的概率往往是不同的.特别，当被抽取对象的数目较少时，差异会较大；但当被抽取的总数目较大，而抽取的数目较少时，这两种抽取方式下的概率相差不大.
概率论中，许多表面上属性不同的实际问题，在数学模型上可以归结为同一个问题，而解决了一个数学模型后，可用来解决一类实际问题.例如，上例中的问题，我们可以推广到一般情况.设一批产品共有N件，其中有M件为次品，从中任取n件产品，用事件A表示“取出的n件中恰有m件次品”，则：
1.2.2 古典概型
（1）有放回抽样时，事件A的概率为
P(A)= .
（2）无放回抽样时，事件A的概率为
P(A)= .
1.2.2 古典概型
例1-10 设箱子中有a个白球，b个黑球，现采用无放回抽取，每次取一个球.求：
任取个 ，恰有m个白球，n个黑球的概率 ；
第k次才取得白球的概率 ；
第k次取到白球的概率.
解 （1）在这个问题中利用上面所总结的无放回抽样的形式可知所求事件的概率为 .
1.2.2 古典概型
01
02
03
（2）在这个问题中抽取与顺序有关.所做试验不妨看作从 个球中有顺序地取出k个球，所以样本空间中样本点个数 .所求事件要求第k次才取得白球，隐含着前面次取出的都是黑球，由乘法原理可知该事件中所含样本点个数 ，于是所求概率为
.
（3）样本空间中样本点个数仍然是 .而所求事件只要求第k次取到白球，对前面 的 次没有要求，所以可从a个白球中任取一个作为第k次取出的白球，而前面取出的个可看成从剩下的 个中任取个，由乘法原理可知该事件中所含样本点个数 ，故所求事件概率为
.
1.2.2 古典概型
上例（3）中值得注意的是最后的结果与k无关！也就是说，每一次取到白球的概率都跟第一次取到白球的概率相同，而跟取球的先后次序无关.这也就是抽签问题的模型，即抽签时各人机会均等，与抽签的先后顺序无关，也称为抽签与顺序无关.
1.2.2 古典概型
例1-11 将3个球随机地放入5个盒子中，设每个球放入每个盒子是等可能的.求下列事件的概率：
事件A表示指定的3个盒子中各有1个球；
事件B表示恰有3个盒子中各有1个球；
事件C表示有1个盒子中恰有2个球.
解 由题意可知每个球都有5种不同的选择，所以3个球放入5个盒子中共有种放法.
（1）事件A中因为盒子是指定的，所以只要将3个球做全排列即可，故A中样本点个数 ，于是 .
1.2.2 古典概型
01
02
03
（2）事件B中首先要从5个盒子中选3个盒子，有 种选法，其次在每种情况下将3个球做全排列，由乘法原理可知事件B中 含有个样本点，所以 .
（3）事件C需要分三个步骤来完成：首先要从5个盒子中选出2个盒子，有 种选法；其次要将3个球分成两组，有 种分法；最后将两组球放入选出的2个盒子中，有种放法.由乘法原理可知，事件C中 含有个样本点，所以 .
1.2.2 古典概型
例1-12 将10本书随意放在书架上，求指定的5本书放在一起的概率.
解 样本空间中含有 个样本点，设指定5本书放在一起这一事件为A，则A的实现可看成两个步骤：首先将指定的5本书排列，有5!种情况；然后将指定的5本书看成一个整体与剩下的5本书排列，有种可能，所以事件A中样本点个数为5!6!.于是 .
1.2.2 古典概型
古典概型要求样本空间中样本点个数是有限的.但在实际问题中，经常遇到样本空间样本点个数是无穷的情形.若等可能的条件仍然成立，仿照概率的古典定义，则可给出几何概率的定义.
1.2.3 几何概率
定义1.6 设试验E的结果可以用某一区域 内的点的随机位置来确定，若区域的度量（当 是一维时，其度量为长度；当 是二维时，其度量为面积；当 是三维时，其度量为体积）是有限的，并且试验结果落在 的任意子区域内的概率，只与该子区域的度量成正比，而与其位置和形状无关.则用 分别表示事件A所对应的子区域及区域 的度量.则称
（1-2）
为事件A的几何概率.
1.2.3 几何概率
例1-13 在区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的和小于 的概率.
解 设在(0,1)内任取的两个数为x，y,则样本空间
.
令A表示“两个数的和小于 ”，则
.
事件A所在区域见图1-2中的阴影部分，其度量
；
于是由几何概率得：
.
1.2.3 几何概率
例1-14（会面问题） 两人相约在10：00~11：00在某地见面，约定先到者等后到者20 min，过时离开.如果每人在指定的1 h内任一时刻到达是等可能的，求两人能见面的概率.
解 设两人到达的时间为x，y,则样本空间
.
令A表示“两人能够见面”（见图1-3中的阴影部分），则
.
于是由几何概率得：
.
1.2.3 几何概率
几何概率的计算与几何图形密切相关，因此，做这一类题目的关键是要将样本空间和事件对应的几何图形画清楚，再计算出它们的度量，利用定义得到事件的几何概率.
在这一节中我们介绍了概率的三种定义，虽然具体形式不同，也都有自身的局限性，但也表现出了概率的一些共性：
非负性：对任意事件A，有 ；
规范性：对必然事件 ，有 ；
有限可加性：若事件 互不相容，则 .
所以，概率论要作为一门严密的数学分支，就需要打破它们各自的局限性，建立概率严密的、统一的定义.在总结前人的大量研究成果的基础上，1933年，苏联数学家科尔莫哥洛夫(Kolmogorov)在他的《概率论的基本概念》一书中建立的概率论的公理化体系.
1.2.2 古典概型
01
02
03
定义1.7 设 为样本空间，对于每一个事件A赋予一个实数，记作，如果它满足下列条件：
非负性：对任意事件A，有 ；
规范性：对必然事件 ，有 ；
可列可加性：若事件 互不相容，则 .
则称实数为事件A的概率(probability).
这就是概率的公理化定义，它克服了概率的统计定义、古典定义与几何概率的局限性，是对各种随机现象所具有的共同特征的抽象和概括.这一公理化体系的出现，为现代概率论的发展奠定了坚实的基础.
1.3.1 概率的公理化定义
01
02
03
1.3 概率的公理化定义
由概率的公理化定义，可以推出概率的一些性质.
性质1 对于不可能事件 ，有 .
证明 令 ，显然它们互不相容，并且它们的和为必然事件 ，由定义中的规范性和可列可加性得：
,
再利用概率的非负性，可得 .
这个性质说明，不可能事件的概率为零，但逆命题不一定成立，即概率为零的事件不一定是不可能事件.例如，当几何概率中事件A只含有一个点时，其概率为零，但不是不可能事件.
1.3.2 概率的性质
性质2（有限可加性） 若事件 互不相容，则 .
证明 令 ，则 事件互不相容，由概率的可列可加性得
.
性质3 （逆事件的概率） .
证明 由于 ，所以 ，即 .
1.3.2 概率的性质
性质4（减法公式） 对任意的事件A、B，有 .
证明 由事件的运算可知，对任意事件A、B有 .由概率的有限可加性得 ，整理即得
.
推论（单调性） 若事件 ，则 且 .
证明 若事件 ，则 ，所以 .利用概率的非负性可知 ，所以 .
性质5（有界性） 对任意的事件A，有.
证明 因为，由单调性得.
1.3.2 概率的性质
性质5（有界性） 对任意的事件A，有 .
证明 因为 ，由单调性得 .
性质6（加法公式） 对任意的两个事件A，B，有
.
证明 因为 且A与 互不相容，所以
.
性质6还可以推广到3个事件的情形：
.
一般地，设 为任意n个事件，可由归纳法证得
1.3.2 概率的性质
例1-15 已知 ，在下列条件下，求 .
若A与B互不相容；
若；
若.
解 .
（1）若A与B互不相容，则 ，所以 ，于是 .
（2）若 ，则 ，所以 .
（3）若 ，代入公式可得 .
1.3.2 概率的性质
01
02
03
例1-16 设，求：
事件A，B，C全不发生的概率；
事件C发生而A和B不发生的概率.
解 因为 ，利用概率的单调性有 ，而 ，所以 .
（1）由事件运算的对偶律及逆事件的概率可得
应用三个事件的加法公式，有
所以
.
（2）利用事件及概率的运算性质，可得
将数据代入可得
.
1.3.2 概率的性质
01
02
例1-17 某设备由甲、乙两个部件组成，当超载负荷时，各自出现故障的概率分别为0.9和0.85，同时出现故障的概率为0.80.求超载负荷时至少有一个部件发生故障的概率.
解 设事件A为甲部件出现故障，事件B为乙部件出现故障，则
.
于是
.
即至少有一个部件出现故障的概率为0.95.
1.3.2 概率的性质
例1-18 从1~100中任取一整数，求取到的数能被3或5整除的概率.
解 设事件A表示“能被3整除”，事件B表示“能被5整除”，显然要求 ,利用加法公式 ，所以需求出 .
考查事件A：因为 ，所以事件A中含有33个样本点.同理，事件B中含有20个样本点.而事件表示“既能被3整除又能被5整除，即能被15整除”，故含有6个样本点，所以
，
从而
.
1.3.2 概率的性质
例1-19 一批产品共50件，其中5件次品，其余为正品.从中任取3件，求其中有次品的概率.
解 设事件A表示“取出的有次品”，下面用三种方法来解决这个问题.
方法一：利用逆事件，其中 表示“三件都是次品”，故
所以
.
方法二：讨论取出的三件产品中的次品数.设事件表示“取出的产品中恰好有i件次品” ，，显然 互不相容，所以 ，故
1.3.2 概率的性质
方法三：讨论每件产品的情况.设事件表示“第i件产品为次品”， ，则 ，由加法公式得：
.
由例1-10中抽签与顺序无关的结论可知：
.
事件表示“前两件是次品”，这说明对第三件产品的情况没有要求，所以从剩下的48件产品中任取一件就可以，所以
，
同理可得
.
事件表示“三件都是次品”，故
.
于是
.
1.3.2 概率的性质
在自然界和人类社会中，许多事件是相互影响、相互联系的,所以在讨论事件发生的概率时，经常会遇到这样的情况：已经知道事件A发生，求事件B发生的概率，称之为条件概率，记为
1.4.1 条件概率
1.4 条件概率与事件的独立性
例1-20 抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现点数.
（1）求出现2点的概率；
（2）已知出现的是偶数点，求出现2点的概率.
解 设A表示出现偶数点，B表示出现两点，则
（1）.
（2）由于A已经发生，故可把讨论范围（样本空间）缩减为 ，在该讨论范围内讨论B发生的概率.应用古典定义得
.
也可将上式右端同时除样本空间中的样本点个数n得
.
虽然这是一个具体的例子，但是我们能够验证对一般的古典概型和几何概型 也是成立的.因此，我们可建立条件概率的一般定义.
1.4.1 条件概率
定义1.8 设A、B为随机试验E的任意两个事件，且 .称
为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，简称B关于A的条件概率.
同理，当 时，也可类似定义A关于B的条件概率.
.
不难验证，条件概率 满足概率公理化定义中的三个条件，即
（1）非负性：对任意事件B，有 ；
（2）规范性：对必然事件 ，有 ；
（3）可列可加性：若事件 互不相容，则 .
所以，概率的性质1~6对于条件概率仍然适用.望读者在学习中注意应用.
1.4.1 条件概率
由定义1.9和例1-20可知，计算条件概率一般有两种方法：
在原来的样本空间中计算出,再由定义求得；
在缩减的样本空间中计算B的概率.
1.4.1 条件概率
01
02
例1-21 共有20件产品，其中5件是次品，其余都为正品.不放回抽样，一次取一件产品，从中任取两次.已知第一次取得的是次品，求第二次也是次品的概率.
解 设A为第一次取出的是次品，B为第二次取出的是次品，需求 .
方法一：在原样本空间中，可求得
， ，
故
.
方法二：在缩减的样本空间中，事件A中的样本点个数=，事件AB中的样本点个数 ，故
.
1.4.1 条件概率
方法三：也可由条件概率的含义直接计算条件概率.在已知第一件为次品的条件下，第二次再取时，相当于从剩下的19件（其中4件次品）中取一件，则此时第二件为次品的概率显然为 ，所以所求条件概率为
.
所以，计算条件概率还有第三种方法，即利用条件概率的含义直接计算.在上述三个方法中，显然第三种方法最简单，但是这种方法并不是对所有的条件概率都适用，所以在以后的题目中要选取适当的方法来计算条件概率.
1.4.1 条件概率
由条件概率的定义，我们可以得到概率中非常有用的一个公式，这就是乘法公式.
设 ，则有
.
当 ，同理可得
.
显然乘法公式给出了求积事件概率的一种方法，并且可以将其推广为
；.
1.4.2 乘法公式
例1-22 袋中装有同种型号的小球，其中红球a个，黑球b个，每次从袋中任取一球，观察其颜色后放回，并放入同种颜色的小球c个，若A表示第一次和第三次取到红球、第二次取到黑球，求 .
解 设为第i次取到红球（i=1,2,3），则，于是根据乘法公式
其中
，
利用条件概率的含义直接可得
， ，
所以
.
1.4.1 条件概率
例1-23 某商场促销，设置一抽奖方式：甲箱中装有M个白球，乙箱中装有M个黑球，规定从乙箱中取一个球放入甲箱，再从甲箱中取一个球放入乙箱为一次交换，若经过M次交换后，甲箱中有M个黑球，则此人获奖.求此人能获奖的概率是多少？
解 设A为经过M次交换后，甲箱中有M个黑球； 为在第k次交换中，从乙箱中取一个黑球放入甲箱中，然后又从甲箱中取一个白球放入乙箱中， .则 由乘法公式得
当 时， ；当 时， ；当 时， .可见，当 时，此人很难获奖；当 时，其概率以零为极限.
1.4.1 条件概率
一般来说， ，即事件B的发生影响了事件A发生的概率.但在特殊情况下，B发生与否对于事件A的发生并无影响，即有 ，这时我们说，事件A与事件B具有某种“独立性”.如将一颗骰子投掷两次，事件A表示“第一次是6点”，事件B表示“第二次是6点”，显然, 并且从实际意义上也会发现A、B之间是独立的.
1.4.3 事件的独立性
若事件A与事件B具有上述独立性，则当时 ，由乘法公式及 可推出 .由此，引入下列定义：
定义1.9 对于事件A、B，若
，
则称事件A与B是相互独立的.
在这个定义中，对于事件A、B没有了概率非零的限制，并且由此定义可知，概率为零的事件与任意事件都是相互独立的.
当 时，下列四个结论是等价的：
（1）事件A、B相互独立；
（2） ；
（3） ；
（4） .
1.4.3 事件的独立性
定理1.4 下述四对事件 ， ， ， 中，若有一对事件相互独立，则其余三对事件亦相互独立.
证明 不妨设事件A与B相互独立，下面我们来证明 相互独立.由于
所以，相互独立.其余结论读者可自行证明.
关于三个事件的独立性，有下面的定义：
定义1.10 若事件A、B、C满足
则称事件A、B、C相互独立.
如果事件A、B、C只满足前三个条件，我们称它们是两两相互独立的.可见，若三个事件相互独立，则它们一定两两相互独立，但两两相互独立不一定三个事件相互独立.
1.4.3 事件的独立性
例1-24 有四张卡片，其中一张涂上红色，一张涂上黑色，一张涂上黄色，还有一张涂有红、黑、黄三种颜色.从中任取一张,设事件A为取出的卡片上有红色，事件B为取出的卡片上有黑色，事件C为取出的卡片上有黄色.则
，
且
.
所以，A、B、C三个事件两两相互独立.但
故A、B、C不是相互独立的.
一般地，n个事件相互独立的定义如下：
1.4.3 事件的独立性
定义1.11 对n个事件 ，如果对任意的k 个事件 ，满足
则称事件 相互独立.
如果n个事件 相互独立，则有如下结论：
其中任意k 个事件也相互独立；
将其中任意多个事件换成它们的逆事件，所得的n个事件也是相互独立的.
从事件的独立性定义可以发现，若一些事件是相互独立的，则其积事件的概率就可以简化为这些事件概率的乘积，因此也就可以简化许多概率的计算.
1.4.3 事件的独立性
01
02
例1-25 设事件 相互独立，其概率分别为 ，求至少一个事件发生的概率.
解 由题意可知求的是和事件 的概率，由逆事件概率运算公式及独立性可得
1.4.3 事件的独立性
例1-26 设一个电路如图1-4所示，其中1，2，3，4为继电器接点.设每个继电器接点闭合与否相互独立，且每个继电器接点闭合的概率为p，求该电路为通路的概率.
图1-4
解 设事件A表示“该电路为通路”，事件表示“第i个继电器接点闭合” ，则
，
故
.
由题意 相互独立，所以
1.4.3 事件的独立性
在概率论的计算中，很多情况下我们希望将复杂的事件分解为一组简单事件之和，从而化简计算.全概率公式就为我们提供了这样一种方法，在介绍该公式之前，我们先来看一个具体的例子.
1.5.1 全概率公式
1.5 全概率公式和贝叶斯公式
例1-27 某工厂有四条生产同一种产品的生产线，其产量分别占总产量的15%，20%，35%，30%，这四条流水线上的次品率分别为5%，4%，2%，3%，现从一批成品中任取一件，求其为次品的概率.
解 令A={取出的产品为次品}， {取到的是第i条生产线生产的产品}(i=1,2,3,4)，显然 两两互不相容，则
，
所以
由乘法公式得
.
其中 ， ， , , , , , ，代入上式得
.
1.5.1 全概率公式
在解这个题时，关键是引入了 这个事件组，将A分解成四个互不相容的事件之和，再利用概率的可加性及乘法公式求得.实际上，这个事件组是将样本空间分成了四个互不相容事件之和，对于这样的事件组，我们引入样本空间划分的定义.
1.5.1 全概率公式
定义1.11 设是随机试验E的样本空间， 是试验E的n个事件，如果满足：
两两互不相容；
，
则称 是样本空间 的一个划分.
设 是样本空间 的一个划分，则对任意事件 ，有
.
从而有：
定理1.5（全概率公式） 设 是样本空间 的一个划分，且 .则对任意事件 ,有
.
上述公式称为全概率公式，其中 可称为部分概率， 称为全概率.全概率等于部分概率之和.
1.5.1 全概率公式
01
02
与全概率公式相对应，我们再讨论另一方面的问题.
例1-28 在例1-27中，如果从一批成品中任取一件，结果为次品，问它是哪条生产线生产的可能性最大.
解 显然要求的是条件概率 .由条件概率的定义得
，
同理可得 .
比较以上四个数据可知，该产品是由第二条生产线生产的可能性最大.
1.5.2 贝叶斯公式
显然，在全概率公式中是通过已知划分中每个事件 的概率 及在 条件下A发生的条件概率 ，求得事件A发生的概率 的.我们可以把事件 看作导致事件A发生的原因， 称为先验概率，它一般可以从以往的经验中得到，通常是已知的.而条件概率 称为后验概率，是在已知事件A发生之后再来重新评估事件 发生的概率，它使我们在试验之后对各种原因发生的可能性有了进一步的了解.所谓的贝叶斯公式就是用来计算后验概率的公式.
1.5.2 贝叶斯公式
定理1.6（贝叶斯公式） 设 是样本空间 的一个划分，且 .则对任意事件 ,若 ，则
，.
利用后验概率可对先验概率进行修正，这一思想方法所产生的统计判断原理在工程技术、经济分析、投资决策、药理的临床检验诸方面有极大的实用价值.
1.5.2 贝叶斯公式
例1-29 设某种疾病的发病率为0.001，现有一种试剂可以检验患者是否得病.在患者确实得病的情况下，该试剂呈阳性的概率为0.99；在患者没有得病的情况下，它呈阳性的概率为0.05.现有一个患者的检验结果为阳性，请问他确实得病的概率为多大？
解 设A={患者得病}，B={试剂呈阳性}，则由题意需要求出 ，由贝叶斯公式
，
其中 ， ，代入可得
.
初看起来，这种试剂的“精确度”相当高.但经过计算后验概率知道，即使检验呈阳性，病人得病的概率也不足，所以并不能只通过这一种试剂来确诊该疾病.通过这个例子也告诉我们，在许多问题中，后验概率的计算相当重要.
1.5.2 贝叶斯公式
习 题 1
1.写出下列随机试验的样本空间及事件：（1）掷两枚骰子，分别观察其出现的点数，事件A表示“点数之和为偶数”；（2）口袋中6个白球，编号为1~6，4个黑球，编号为7~10，从中任取一个球，观察其编号，事件A表示“取出的是黑球”；（3）抛掷一枚硬币两次，观察正反面出现情况.事件A表示“第一次出现正面”，事件B表示“至少有一次出现正面”；（4）将长为l的尺子折成三段，观察各段长度.事件A表示“三段可构成一个三角形”.
习 题 1
2.对同一目标射击三次，记
，
试用表示下列事件：
，
，
.
习 题 1
3.从图书馆中随意抽取一本书，事件A表示“数学书”，B表示“中文书”，C表示“平装书”.
（1）说明事件 的实际意义；
（2）说明 的含义；
（3） 是否意味着图书馆中所有数学书都不是中文版的？
4.下列等式是否成立？若不成立，写出正确结果.
（1） ；
（2） ；
（3） .
习 题 1
5. 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成三组，求下列事件的概率：
（1）事件A：每组有一名运动员；
（2）事件B：3名运动员在同一组.
6.三人分别独立向某车的三个部位射击，命中概率分别为0.25，0.3，0.5，任一人射中，车辆报废.求：
（1）该车报废的概率；
（2）恰有一个人命中目标的概率.
7.已知 ，求 .
习 题 1
8.设A、B两个事件，且 ，试说明分别在什么条件下 取得最大值和最小值？
9.某班有24名学生是1998年出生的，求：
（1）这24名学生中至少有两人是在同一天出生的概率。
（2）这24名学生中至少有一人是在10月1日出生的概率。
10. 从编号为1~10的产品中任取3件，求：
（1）最小号码为6的概率；
（2）最大号码为6的概率.
习 题 1
11.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：
（1）两粒都发芽的概率；
（2）恰好有一粒发芽的概率；
（3）至少有一粒发芽的概率.
12.从 中随机取两个数，求：
（1）两个数之和小于 的概率；
（2） 两个数之积小于 的概率.
13.将长为l的尺子折成三段，求这三段可构成一个三角形的概率.
14.为了减少比赛场次，把20个球队平均分成两组，求最强的两个队被分在不同组的概率.
习 题 1
15.从52张扑克牌中任取13张，求其中有4张黑桃、2张梅花、4张方块和3张红心的概率.
16.假设有两箱同种零件，第一箱内装有50件，其中20件为一等品；第二箱中有30件，其中18件为一等品.现从两箱中任取一箱，再从该箱中任取两件产品.求：
（1）第一件产品是一等品的概率；
（2）第二件是一等品的概率；
（3）第二件是一等品的条件下，第一件也是一等品的概率.
17.设 ，其中 .证明 .
18.设 ，证明 .
习 题 1
19.已知一个家庭中有两个孩子.
（1）已知其中有一个是女孩，求另一个也是女孩的概率；
（2）已知第一个孩子是女孩，求第二个孩子也是女孩的概率.
20.12个乒乓球中有9个新球，3个旧球.第一次比赛，取出3个球，用完以后放回去；第二次比赛又从中取出3个球.
（1）求第二次取出的3个球中有2个新球的概率；
（2）若第二次取出的3个球中有2个新球，则求第一次取到的3个球中恰有1个新球的概率.
21.一射手射击命中率为0.6，现独立射击10次，求至少命中2次目标的概率.
习 题 1
22.袋中有3个球，其中1个黑球、2个白球.一次次从袋中摸球，每次摸球后不把此球放回，而是放入1个白球.求第次摸球时摸到白球的概率.
23.箱子中共有100件产品，其中90件合格，另外10件是次品.从箱中随机地抽取产品.求3次内能取得合格品的概率.
习 题 1
24.发报台分别以0.6和0.4的概率发出两种信号“ ”和“－”，由于受到干扰，因此在接受站，信号“ ”被误收为“－”的概率为0.2，而“－”被误收为“ ”的概率为0.1.
（1）求接收站收到信号“－”的概率；
（2）若接收站受到信号“ ”，求发报台确实是发出“ ”的概率.
25.设有8个可靠性相同的电子元件平均分成两组，每组的4个元件分别串联后再把两组并联.若要求该电路的可靠性不低于84% ，则问每个元件的可靠性至少是多少？
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