资源简介

(共88张PPT)
多维随机变量
3.1
二维随机变量及其分布
3.3
条 件 分 布
3.2
边 缘 分 布
3.4
随机变量的独立性
目录
在第2章中，我们研究了一维随机变量的分布，但在很多随机试验中，试验的结果需要用两个或者两个以上的随机变量共同来描述，例如，研究某学校学生的身高与体重；炮弹落点的位置，需要同时研究它的横坐标和纵坐标；等等.因此，在考虑很多实际问题时，需要同时考虑多个随机变量及其相互关系.为此，我们引入多维随机变量的概念，并重点讨论二维随机变量.
3.1 二维随机变量及其分布
设随机试验E的样本空间是 ， 是定义在 上的两个随机变量，由它们构成的向量 为定义在 上的二维随机变量或二维随机向量，简记为 .
类似地，可定义n维随机变量(n>2)，记为 .
定义3.1 设(X,Y)是二维随机变量，对任意的 ，称二元函数
为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称随机变量X和Y的联合分布函数.
类似地，可定义n维随机变量 的分布函数：
，
其中 为任意实数.
3.1.1 二维随机变量及其分布函数
3.1.1 二维随机变量及其分布函数
我们容易给出分布函数的几何解释，将二维随机变量(X,Y)看作平面上随机点的坐标，那么分布函数 在点 处的函数值就是随机点落在以 为顶点且位于该点左下方的无界矩形内的概率，如图3-1所示.
根据以上的几何解释，并利用图3-2可以给出二维随机变量(X,Y)的取值落在矩形区域 内的概率为
图3-1 图3-2
容易证明，分布函数 具有如下性质：
定理3.1 设 是二维随机变量(X,Y)的分布函数，则
有界性： ；
单调非降性： 对每一个变量都是单调非降的，即对任意y，若 则有 ；对任意x，若 ；并且 ；
右连续型： 对每一个变量都是右连续的，即
；
规范性： 且对于任意固定的x，有 ；对任意固定y，有
01
02
03
04
3.1.1 二维随机变量及其分布函数
例3-1 设二维随机变量 的分布函数为
求其中的常数A、B、C.
解 利用分布函数的规范性得：
且对任意的x有
；
对任意的y有
.
解得 .
与一维随机变量一样,我们下面仅讨论离散型和连续型两种随机变量.
3.1.1 二维随机变量及其分布函数
定义3.2 若二维随机变量(X,Y)只能取到有限对可能值或至多可列对可能值，则称(X，Y)为二维离散型随机变量.
设(X，Y)所有可能的取值为 ，则称
为随机变量(X，Y)的概率分布列或概率分布，也称为X与Y的联合分布列或联合概率分布.
离散型随机变量分布列中的数列 应满足以下两条基本性质：
非负性： ；
规范性： .
3.1.2 二维离散型随机变量
01
02
如果已知离散型随机变量(X，Y)的分布列为 ，则任意事件A的概率，根据可加性可得：
.
二维离散型随机变量分布列也可用如下图表的形式表示：
3.1.2 二维离散型随机变量
例3-2 设离散型随机变量(X，Y)的分布列如下表，求及 .
3.1.2 二维离散型随机变量
解
例3-3 掷两个骰子，第一个骰子出现的点数记为X，两个骰子最大的点数记为Y，求 的分布列 .
解 X所有可取的值为 ，Y所有可取的值为 .
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
3.1.2 二维离散型随机变量
3.1.3 二维连续型随机变量
定义3.3 设随机变量 的分布函数为 ，如果存在一个非负可积函数 ，使得对任意实数 ，有
，
则称 为二维连续型随机变量，称二元函数 为 的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度.
由定义可知，概率密度函数 具有下列性质：
非负性： ；
规范性： ；
若 在点 处连续，则有 ；
设D为 平面上的任一区域，则 取值落在区域D内的概率为
01
02
03
04
在几何上， 表示空间的一曲面，表示介于 和 平面之间的空间区域的立体体积等于1.而 的值等于以 为底、以曲面 为顶的曲顶柱体的体积.特别地，当D为矩形区域 时，
.
3.1.3 二维连续型随机变量
例3-4 设二维随机变量 的密度函数为
求：
（1）常数C；
（2） ；
（3）联合分布函数 .
解 （1）由密度函数的规范性，有
，
从而得 .
（2） ，由于只有在区域 中 ，所以上述积分有效积分区域如图3-3所示，即
3.1.3 二维连续型随机变量
（3）由于 ，所以
当 时， ；
当 时，有效的积分区域如图3-4所示，所以
图3-3 图3-4
类似的，根据图3-5、图3-6和图3-7分别可以得到：
当 时，
；
当 时，
；
3.1.3 二维连续型随机变量
当 时， .
图3-5 图3-6 图3-7
综上所述，
3.1.3 二维连续型随机变量
两个常用二维连续型分布：
1.二维均匀分布
设 为 平面上的有界区域，其面积为S.若二维随机变量 的联合密度函数为
则称 服从区域D上的二维均匀分布.
显然，若 是区域D的子区域，其面积为，则
.
3.1.3 二维连续型随机变量
例3-5 设 服从由直线 及x轴所围区域D上的均匀分布.
（1）写出 的联合密度函数；
（2）求 .
解 （1）如图3-8所示，区域D的面积
,
所以 的联合密度函数为
图3-8
（2）事件 与区域D相交的部分即为图3-8中的阴影部分，所以
3.1.3 二维连续型随机变量
2.二维正态分布
若二维随机变量 的联合密度函数为
,
, ,
其中 均为常数，且 ，则称 服从参数为 的二维正态分布，记为 .
3.1.3 二维连续型随机变量
3.2 边 缘 分 布
有了二维随机变量 的联合分布，有时仍然需要了解 各自的分布. 的概率分布分别称为二维随机变量 关于X和关于Y的边缘概率分布，简称为边缘分布.在本节中我们将讨论如何由二维随机变量 的联合分布，确定它的两个边缘分布.
3.2.1 边缘分布函数
二维随机变量的 联合分布函数为 ，记 分别为 关于X和Y的边缘分布函数.事实上，边缘分布函数可由联合分布函数 来确定.
；
.
例3-6 求出例3-1中 关于X和Y的边缘分布函数.
解 由上述结论得
；
同理可得
.
3.2.2 离散型随机变量的边缘分布列
已知二维离散型随机变量 的分布列为
.
则X的分布列为
.
记 ，则有
,
称之为 关于X的边缘分布列.
同理可得 关于Y的边缘分布列为
.
关于X和Y的边缘分布列如下表所示：
3.2.2 离散型随机变量的边缘分布列
例3-7 设袋中有2个白球和3个红球，现从中随机的抽取两次，每次取一个，定义下列随机变量：
， ，
分别采用有放回取球和无放回取球两种方式，求 的联合分布列和边缘分布列.
解 （1）有放回取球时，
， ，
， .
此时 关于X和Y的边际分布列为
；
同理可得
； .
3.2.2 离散型随机变量的边缘分布列
（2）无放回摸球时，
， ，
， .
此时 关于X和Y的边际分布列分别为
； .
在例3-7中，两种情形下的联合分布列不同，但X和Y的边缘分布列相同，由此可知，联合分布列确定了边缘分布列，但在一般情况下仅由边缘分布列是不能确定联合分布列的.
3.2.2 离散型随机变量的边缘分布列
3.2.3 连续型随机变量的边缘概率密度
设 是二维连续型随机变量，其概率密度函数为 ，由于
，
所以X是一个连续型随机变量，其概率密度为
.
同理，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
.
分别称 为 关于X和关于Y的边缘概率密度函数，简称为边缘密度函数.
例3-8 设随机变量 服从区域 上的均匀分布，求 关 于X和关于Y的边缘密度函数.
解 区域D如图3-9所示，所以 的联合密度函数为
当 时， ，故 ；
当 时，只有当 时， 才等于1，因此
；
所以， 关于X的边缘密度函数为
图3-9
3.2.3 连续型随机变量的边缘概率密度
从上述例子中，我们可以发现当 的密度函数 为分段函数时，求边缘密度函数时[以求 关于X的边缘密度函数为例]，首先做出区域 的图形，将区域D投影到x轴上，得到投影区间 .于是，只有当 时， 才可能不等于零.因此有：
当 时， ；
当 时，只有当点 时（见图3-10）， 才不等于零，即 ，故
图3-10
3.2.3 连续型随机变量的边缘概率密度
例3-9 设 ，求其边缘密度函数.
解 ，
令 ，则 ，所以
3.2.3 连续型随机变量的边缘概率密度
利用密度函数的规范性及一维正态分布的密度函数的形式可知，其中
，
所以
，
即 .由对称性可得
,
即 .
3.2.3 连续型随机变量的边缘概率密度
我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，分别为 和 ，显然与参数 无关.故对于给定的 ，不同的 对应着不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一样的.这也说明，对于连续型随机变量来说，仅由边缘分布一般也不能确定联合分布.
3.2.3 连续型随机变量的边缘概率密度
3.3 条 件 分 布
由 的联合分布可确定两个边缘分布，有时还需考虑其中一个随机变量取定某个值时，另一个随机变量的概率分布.借助于随机事件的条件概率的概念，我们讨论二维随机变量的条件分布.
3.3.1 离散型随机变量的条件分布
设二维离散型随机变量 的分布列为
.
仿照条件概率的定义，可以很容易给出离散型随机变量的条件分布列.
定义3.4 设 是二维离散型随机变量，对于固定的 ,若 ，则称
是在 条件下随机变量X的条件分布列.称一元函数
， ，
是在 条件下随机变量X的条件分布函数，记作 .
显然，条件分布列满足：
， ；
.
即条件分布列满足分布列的两个性质.
同样，对于固定的 ，若 ，则称
是在 条件下随机变量Y的条件分布列.称一元函数
， ,
是在 条件下随机变量Y的条件分布函数，记作 .
3.3.1 离散型随机变量的条件分布
01
02
例3-10 以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男婴的个数，记X和Y的联合分布列为
，
. 求：
（1）边缘分布列；
（2）条件分布列.
3.3.1 离散型随机变量的条件分布
解 （1）边缘分布列。
即X和Y分别服从参数为14和7.14的泊松分布.
3.3.1 离散型随机变量的条件分布
（2）条件分布列。
， .
3.3.1 离散型随机变量的条件分布
对于二维连续型随机变量 ，由于对于任何实数x和y，有 ，故不能像离散型随机变量那样来考虑连续型随机变量的条件分布，但可采用极限的方法来处理这一问题.
对于给定的y及任意 ，若有 .则可讨论条件概率
，
如果对任意的实数x，上述条件概率当 时的极限存在，则可将此极限值定义为在 条件下X的条件分布.
3.3.2 连续型随机变量的条件分布
定义3.5 设对于给定的y及任意 ， ，若
存在，则称此极限是在 条件下随机变量X的条件分布函数，记作 或 .
下面我们来研究一下条件密度函数.
设 的联合分布函数为 ，密度函数为 ，边缘密度函数分别为 .如果 在点 处连续， 连续且 ，则有
3.3.2 连续型随机变量的条件分布
在计算中要注意以下三点：
只有当时 ，以 为条件的条件分布才是存在的；
在函数 和 中，x为变量，而y要看作常数；
条件密度函数满足普通密度函数所具有的性质.如非负性、规范性及对任意实数 有 .
类似地，当 时
； ，
分别为在 的条件下Y的条件密度函数和条件分布函数.
3.3.2 连续型随机变量的条件分布
01
02
03
例3-11 设X，Y的联合密度函数为
求：
；
.
解 （1）首先求边缘密度函数，由于联合密度函数在图3-11的三角型区域内非零，所以
图3-11
3.3.2 连续型随机变量的条件分布
01
02
当 时，条件密度 存在，且
当 时，条件密度 存在，且
.
（2） ，其中
所以
.
3.3.2 连续型随机变量的条件分布
例3-12 设 ，求条件密度函数 .
解 易知 ，
； ，
所以
= ；
.
由该结果可见，此时两个条件分布仍然为正态分布，事实上，这个结论具有一般性，即二维正态分布的条件分布仍为正态分布.
3.3.2 连续型随机变量的条件分布
例3-13 设随机变量 ，当 时， ，求X和Y的联合密度函数 .
解 由题意知
当 时，在 的条件下，Y的条件密度函数为
则X和Y的联合密度函数为
3.3.2 连续型随机变量的条件分布
通过条件分布可看出，二维随机变量的两个分量之间有时相互影响，但是，我们也常常遇到两个随机变量之间相互完全没有影响的情况.例如，将一颗骰子投掷两次，X，Y分别表示两次所出现的点数，显然X和Y之间没有任何影响.这就是所谓的随机变量的独立性.它是事件独立性的推广.
3.4 随机变量的独立性
3.4.1 二维随机变量的独立性
定义3.6 设 分别是随机变量 的联合分布函数和两个边缘分布.若对一切 有
，
则称随机变量X和Y相互独立.
上述定义的等价形式为
，
即对一切 ，X的事件 与Y的事件 相互独立，说明X，Y的取值相互独立.
但在具体讨论随机变量之间的独立性时，下面两个结论会更实用、更方便：
（1）当 为二维连续型随机变量， 分别为联合概率密度和两个边缘概率密度，则X和Y相互独立的充分必要条件是等式
几乎处处成立.
例3-14 设 的联合分布列为
则X与Y相互独立吗？
解 X与Y的边缘分布列分别为
显然
，
并且可以逐一验证 在本例中都成立，所以X与Y相互独立.
3.4.1 二维随机变量的独立性
例3-15 设 ，试证明X与Y相互独立的充要条件是参数 .
证明 充分性：若 ，则对任意的x，y有
故X，Y相互独立.
必要性：若X与Y相互独立，即对任意的x，y有 ，特别令 ，则 ，故
，
从而 ，即 .
同时，根据独立的这三种表达形式，可以看出在独立的条件下，联合分布和边缘分布是相互确定的.
3.4.1 二维随机变量的独立性
例3-16 设X和Y分别表示两个元件的寿命，又设X与Y相互独立，且它们的概率密度分别为
求：
（1）X和Y的联合密度函数 ；
（2） .
解 （1）由X和Y的独立性可知：
（2）由独立性可知 ，其中
，
类似可得 ，所以
.
3.4.1 二维随机变量的独立性
还可以将条件分布与独立性的概念结合起来考虑，进一步揭示随机变量独立性的本质，对此有如下结论：
连续型随机变量X和Y相互独立的充分必要条件是：当条件分布存在时，
或 .
事实上，因为
，
所以，当X和Y相互独立时，即 成立，代入上式可得 ；反之，如果 ，代入上式可得 ，即X和Y相互独立.
离散型随机变量X和Y相互独立的充分必要条件是：当条件分布存在时，
或 .
3.4.1 二维随机变量的独立性
01
02
3.4.2 多维随机变量的独立性
设n维随机变量 的联合分布函数为
，
与二维情形相同,可以定义出 关于 的边缘分布函数：
.
上面关于二维随机变量的一些定义和结论可以推广到n为随机变量的情况.
定义3.7 设n维随机变量 的联合分布函数和边缘分布函数分别为 和 ，若对任意一组 ，有
，
成立，则称 相互独立.
同样可以将上述形式具体到多维连续型随机变量和离散型随机变量的情形.
设n维连续型随机变量 的联合概率密度函数为 ，定义其关于 的边缘密度函数为
，
则 相互独立的充分必要条件为对任意的一组 ，有
.
设n维离散型随机变量 ，则 相互独立的充分必要条件为对任意的一组 ，有
3.4.2 多维随机变量的独立性
01
02
定义3.8 设 和 分别是n维和m维随机变量，如对于任意的 和 ，有
,
其中 分别为 ， 和 的分布函数，则称随机变量 和 相互独立.
下面给出有关多维随机变量独立性的常用结论：
设是相互独立的随机变量，则其中任意个随机变量也相互独立.
3.4.2 多维随机变量的独立性
3.4.2 多维随机变量的独立性
（2）设 是相互独立的随机变量，则它们的函数 也是相互独立的随机变量.
（3）若随机变量 和 相互独立，则他们的函数 和 也是相互独立的随机变量.
（4）若随机变量 和 相互独立,且 相互独立 ，也相互独立，则 , 也相互独立.
3.5 多维随机变量函数的分布
在2.4节中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，在这一节中我们将讨论多维随机变量函数的分布，主要是二维随机变量函数的分布.
3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布
设 为二维离散型随机变量，其分布列为
，
函数 仍然为离散型随机变量，则Z的分布列为
.
其中Z的取值 是由 的取值及函数 所决定的.
例3-17 设随机变量 的分布列如下所示，求 和 的分布列.
解 显然函数 的所有可能取值为-3，-2，-1，0，1.
，
，
类似可得
， ， .
同理可得 的分布列为
3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布
例3-18 设随机变量X、Y相互独立，且 ，求 所服从的分布.
解 由泊松分布的分布列知
，
所以， 的所有可能取值为 ，且
故 ，即相互独立的泊松分布之和仍然服从泊松分布，且参数具有可加性.
3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
设 为二维连续型随机变量，其密度函数 ，若其函数 仍然为连续型随机变量，则求其函数的密度函数 的一般方法与一维时相同，即分布函数法.
首先求出 的分布函数
.
再对分布函数求导，就可得到Z的密度函数 .
例3-19 设二维随机变量 服从区域G上的均匀分布， ，求 的密度函数.
解 区域G的面积为4，所以 的密度函数为
由题意， 的取值范围为 ，所以，
当 时，事件 为不可能事件，此时
；
当 时，事件 为必然事件，此时 ；
当 时，
，
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
其中，有效的积分区域如图3-12所示.由均匀分布的性质，得
图3-12
综上，Z的分布函数为
于是，Z的密度函数为
下面我们讨论两种常见函数的分布：
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
1.和函数 的分布
设 的密度函数为 ，则 的分布函数为
，
这里的积分域如图3-13所示，化成二次积分得：
，
固定 ，对积分 做变量代换，令 ，得.
图3-13
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
利用积分上限函数的导数，可以得到Z的密度函数为
.
由X，Y的对称性， 又可写成
.
上述两个式子给出了求和函数的概率密度的一般公式.
特别地，当X和Y相互独立时，其边缘密度函数分别为 ，则有
.
这两个公式也称为卷积公式.
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
例3-20 设X和Y相互独立，其概率密度分别为
求 的密度函数.
解 因为X，Y相互独立，所以由卷积公式
，
其中
其非零表达式所在区域如图3-14所示，得：
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
图3-14
综上， 的密度函数为
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
例3-21 设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为
设各周的需求量相互独立，试求两周的需求量的密度函数.
解 设第i周的需求量为 ，由题设可知它们相互独立且服从相同的分布，两周的需求量 的密度函数为
，
显然，只有当 ，被积函数才是非零的，其图形如图3-15所示.所以
图3-15
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
例 3.22 设随机变量X，Y相互独立，且都服从标准正态分布， 求的密度函数.
解 由卷积公式得
其中 ，所以 的密度函数为
,
可见， ，即相互独立的标准正态分布之和仍然服从正态分布.
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
上述结论具有以下一般性：
若随机变量X，Y相互独立，且 , ,则 仍然服从正态分布且
.
若随机变量X，Y相互独立，且 , ， 为不全为零的实数，则它们的线性组合 仍然服从正态分布且
这些结论对有限个相互独立的正态分布也是成立的.这些结论非常重要，在今后的学习中将会用到.
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
01
02
2.最大和最小值函数的分布
设随机变量X，Y相互独立，且它们的分布函数分别为 ,求X，Y最大值 和最小值 的分布函数.
由于事件 小于等于z等价于事件 ，所以
.
类似可得， 的分布函数为
，
其中事件 等价于 ,所以
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
以上结果容易推广到 个相互独立的随机变量的情况.设随机变量 相互独立，它们的分布函数分别为 ,则最大值函数 的分布函数为
.
最小值函数 的分布函数为
.
特别的，如果随机变量 相互独立且同分布，它们的分布函数均为 ，密度函数均为 ，则最大值函数 的分布函数和概率密度函数分别为
， .
最小值函数 的分布函数和概率密度函数分别为
， .
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
例3-23 某个线路由两个相互独立的电子元件 连接而成，连接方式如图3-16所示.设电子元件 的寿命分别为 ，它们的概率密度分别为
其中 为大于零的常数.求这两种连接方式中线路的使用寿命的密度函数.
（a）串联 （b）并联
图3-16
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
解 由题意知X、Y服从指数分布，所以它们的分布函数为
（1）串联时，当一个元件损坏时，线路就失效，所以此时线路的使用寿命 .先求其分布函数
于是 的密度函数为
即 .
（2）并联时，线路的使用寿命 ，其分布函数为
于是Z的密度函数为
3.5.2 连续型随机变量函数的分布
习 题 3
1.随机变量X表示在1，2，3，4这4个整数中等可能地取出的数，另一个随机变量Y表示在1~X中等可能地取出一整数值，试求：
(1) 的分布列；
(2) .
2.掷硬币3次，出现正面的次数记为X，出现正面次数与反面次数之差记为Y，求的 分布列.
3.已知二维随机变量 的密度函数为
求：
（1）常数 ；
（2） 的分布函数；
（3） .
习 题 3
4. 已知二维随机变量 的密度函数为
求：
（1）常数k；
（2） .
5.设某仪器由两个部件构成，X和Y分别是这两个部件的使用寿命（千小时）．已知 的联合分布函数为
求：
（1）边缘分布函数 ；
（2）联合密度函数及边缘密度函数；
（3）两部件寿命都超过100 h的概率.
习 题 3
6.设 在由曲线 与x轴所围区域D上服从均匀分布，求：
（1） 的联合密度函数；
（2）边缘密度函数；
（3） .
7.设二维离散型随机变量 的可能取值为 ,且取这些值的概率依次为 ，求关于X和Y的边缘分布列.
习 题 3
8.设X和Y是相互独立的随机变量，X的分布列为
Y的分布列为
试求：
（1）X和Y的联合分布列；
（2） .
习 题 3
9.已知随机变量X和Y的分布列分别为
且 .求：
（1）X和Y的联合分布列；
（2）X与Y是否独立？并说明原因；
（3） 的分布列.
10.设随机变量 具有下列密度函数，试求它们的边缘密度函数，并说明它们是否独立.
（1）
（2） .
习 题 3
11.设 的联合密度函数为
求：
（1）条件密度函数 ；
（2） .
习 题 1
12.已知 的联合分布列为
求：
（1）X和Y的边缘分布列；
（2）在X=3的条件下Y的条件分布列；
（3）在Y=4的条件下X的条件分布列；
（4）求 的分布列.
习 题 3
13.已知随机变量Y的密度函数为 ，又设以Y为条件X的条件密度函数为 求：
（1）X和Y的联合密度函数；
（2） .
14.设X和Y相互独立且服从相同的分布，已知X的分布列为
.
若记 ，试求 的联合分布列.
15.设随机变量X与Y相互独立，且都服从 ，试求 的密度函数.
习 题 3
16. 设随机变量 的联合密度函数为
试求：
（1）X与Y是否独立；
（2） 的密度函数.
习 题 3
17.某个线路由两个相互独立的电子元件 连接而成，设它们的使用寿命分别为 ，概率密度分别为
其中为大于零的常数.若采用图3-17所用的连接方式（发生故障时，启用线路），求这两种连接方式中线路的使用寿命的密度函数.
图3-17
习 题 3
18.设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，随机变量Y的密度函数为
且X与Y相互独立，求：
（1） 的分布函数和密度函数；
（2） 的密度函数.
19.设随机变量X，Y相互独立，分别服从参数为 的指数分布，求随机变量 的密度函数.
20.假设一电路由三个同种元件组成，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数 的指数分布.当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的分布函数和密度函数.
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