资源简介

假设检验
8.1
假设检验的基本概念
8.3
正态总体参数的假设检验
8.2
正态总体参数的假设检验
目录
总体分布的假设检验
8.4
统计推断的另一类重要问题是假设检验.在总体的分布未知或只知其形式而不知道它的参数的情况下，为了推断总体的某些性质，提出关于总体的分布和或总体分布中的参数的某种假设，然后根据抽样所得的样本数据对所提出的假设运用统计分析的方法去检验假设是否合理，从而决定接受还是拒绝所提出的假设.
8.1 假设检验的基本概念
8.1.1 假设检验的基本思想及做法
下面结合例子来说明假设检验的思想和方法.
例8-1 已知在机器正常情况下生产某零件的重量 ，在某日生产的零件中抽取10件，测得重量为507，509，498，510，499，504，511，508，506，512，如果标准差不变，能否认为该日生产的零件的平均重量为500.
解 在该问题中，已知 不变，需要确定 是否成立.为此，可以提出
， .
其中 是总体的两个必选其一的假设，这时通常将其中明确的假设称为原假设(或零假设)，记为 ；而把另一个称为备择假设(或对立假设)，记为 .
为了推断原假设 是否合理，我们先假设 成立，利用样本观测值对实际问题进行分析.如果小概率事件在这一次抽样中就出现了，则与第5章所讲的实际推断原理相矛盾，于是我们有理由怀疑原假设 的合理性，这时就拒绝原假设 ；反之，就没有理由拒绝 ，这时就接受 .一般地，在假设检验中将小概率值记为 ，称为显著性水平.这个数值，题目中一般会给定.,那么下面的问题就是在承认 成立的前提下，来构造概率为α的事件.
8.1.1 假设检验的基本思想及做法
在例8-1中，由于要检验的是总体均值 ，而样本均值 是 的无偏估计，故如果 成立，则 的观测值 与 应该很接近，即两者的偏差 应比较小.因此，当两者的偏差 较大时，我们有理由怀疑 的真实性，从而拒绝 .于是，我们可以给出合理的检验标准：对于给定的显著性水平α，当 时，即给出小概率事件 ，若样本均值 使得小概率事件 发生，则拒绝原假设 ，否则接受原假设 .其中，a是由显著性水平α所确定的某个固定常数.但此时常数a并不好确定，注意到若 成立，则
，
8.1.1 假设检验的基本思想及做法
即检验标准中的小概率事件 可等价成 .
对于给定的显著性水平α，如图8-1所示，显然
,
故 ,其中 为标准正态分布的上侧 分位点.即当U的观测值u落在区域
内时，说明小概率事件发生，故拒绝原假设 ；否则，就接受原假设.
图8-1
8.1.1 假设检验的基本思想及做法
在例8-1中，若取 ，查附表2可得 ,故拒绝域 .
由题意得 ，代入得U的观测值为
,
因为 ，即在一次抽样中小概率事件发生了，故拒绝 ，即认为该日生产的零件平均重量不为500.
8.1.1 假设检验的基本思想及做法
在上述的做法中，要注意以下几点内容：
（1）假设检验中使用的是概率反证法，即先承认原假设 ，然后根据样本提供的信息，看看会有什么样的结果.
（2）假设检验的理论依据为实际推断原理——小概率事件在个别试验中是几乎不会出现的.
（3）用于构造小概率事件的统计量?，称为检验统计量.如例8-1中的 即为检验统计量.
（4）如果当检验统计量的观测值落在区域中就拒绝原假设 ，则称这个区域?为原假设的拒绝域.拒绝域的边界点称为临界点.如例8-1中的 即为拒绝域， 为临界点.
根据上述例子，我们可以总结出假设检验的一般步骤.
8.1.1 假设检验的基本思想及做法
假设检验的一般步骤如下：
（1）由实际问题，提出原假设 和对立假设 ；
（2）在承认原假设 的前提下构造检验统计量 ?并确定其所服从的分布；
（3）在显著性水平ɑ下，给出拒绝域?，其形式通常为 ，其中 分别为统计量J的上侧 和 分位点；
（4）由样本观测值求出检验统计量的观测值，看其是否落入拒绝域?中，从而决定是否接受原假设 .
8.1.2 假设检验的一般步骤
8.1.3 单边假设检验
例8-1中所给的备择假设 ，表示 可以大于 ，也可能小于 ，称为双边备择假设，相应的假设检验称为双边假设检验.但有时我们只关心总体均值是否增大.例如，采用了一种新工艺加工某种元件以提高其使用寿命，这时，只需考虑平均使用寿命是否增加就可以，故此时，提出的假设为
.
这种形式的假设，称为右假设.其中的原假设也可写为 ，其检验结果相同.
类似地，在有的情况下，也需提出假设：
，
这种形式的假设，称为左假设.其中的原假设也可写为 ，其检验结果相同.
这两种形式的假设为单边假设，相应的检验问题为单边假设检验.
单边假设检验的一般步骤与双边假设检验的步骤相同，在同种条件下，单边假设检验和双边假设检验构造的检验统计量是相同的，其主要不同之处在于拒绝域的形式.在8.2节中，我们会具体介绍.
8.1.3 单边假设检验
由于在检验中，我们依据的是小概率事件在一次试验中几乎是不会发生的，但几乎不会发生并不表示一定不会发生，所以检验的结果可能有误.另外，检验的结果还依赖于样本的观测值及显著性水平.显然，观测值具有随机性，当观测值不同时，检验的结果有可能不同；而对同一组观测值，当显著性水平不同时，检验的结果也有可能不同.如例8-1中，如果 ，则查附表2 ，故拒绝域 ，此时 ，故接受 ，即认为该日生产的零件平均重量为500.所以，在检验中难免会出现错误，其错误类型有如下两种：
8. 1.4 假设检验可能犯的两类错误
（1）原假设 本来是正确的，但却被拒绝了，这种错误称为“弃真”，也称为第一类错误.实际上，这类错误出现的概率为显著性水平α，即小概率事件的概率α.所以，当显著性水平α越小，犯第一类错误的概率就越小.
（2）原价设 本来不成立，但却被接受了，这种错误称为“存伪”，也称为第二类错误.
8. 1.4 假设检验可能犯的两类错误
在实际推断中，我们总是希望这两类错误出现的概率越小越好，然而，当样本容量固定时，两类错误不可能同时减少，因为当其中一类错误的概率减少时，另一类错误的概率往往会增加.若要使两类错误出现的概率都减少，除非增加样本容量.当样本容量固定时，一般，我们总是控制第一类错误出现的概率α，这种假设检验问题称为显著性检验问题.
8. 1.4 假设检验可能犯的两类错误
8.2 正态总体参数的假设检验
由于在实际问题中遇到最多的是服从正态分布的随机变量，所以在这一节中，我们将着重讨论一个正态总体和两个正态总体参数的假设检验.
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
假设总体 ， 为总体X的样本， 为样本均值， 为样本方差，给定显著性水平α.
1.关于均值的假设检验
1）双边假设 .
（1）当 已知时，通过例8-1可知，承认 时，构造检验统计量
，
此时拒绝域的形式为
，
即
.
（2）当 未知时，考虑用样本标准差 代替总体标准差σ，构造统计量
.
类似地由图8-2可得此时的拒绝域为
，
即
.
图8-2
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
2）单边假设
（1）当 已知时，承认 ，构造检验统计量
，
当 为真时，U的观测值应在零附近；而 为真时，U的观测值应偏大，而 ，因此， 的拒绝域形式为 .
（2）当 未知时，构造统计量
，
同理可得，此时拒绝域的形式为 .
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
3）单边假设
利用2）中的方法可得：
（1）当 已知时，承认 ，构造检验统计量
，
的拒绝域形式为 .
（2）当 未知时，构造统计量
,
此时 的拒绝域形式为 .
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
在上述的三种假设情况中，当 已知时，构造的检验统计量都是 ，故此时也称为正态检验（或u检验）；当 未知时，构造的检验统计量都是 ，故此时也称为t检验.
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
例8-2 某工厂用自动包装机包装产品，规定标准重量为每袋500 g，现随机抽取10袋，得 .设每袋净重服从正态分布，问当置信水平 时，是否可以认为包装机是正常的.
解 由题意设 .
由于 未知，故检验统计量 ，拒绝域 .由于 ，查附表4可得 ，故拒绝域为 .
将数据代入可得 ，显然 ，故接受 ，认为机器工作正常.
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
例8-3 某厂生产钢筋，钢筋的强度 ，改进工艺后，抽取9炉样本测量其强度 ，得样本均值 样本标准差 .问当置信水平 时，可否认为钢筋的强度有显著性提高.
解 由题意设 .
由于 未知，故检验统计量 ，拒绝域 .由于 ，查附表4可得 ，故拒绝域为 .
将数据代入可得 ，显然 ，故拒绝 ，认为钢筋的强度有显著性提高.
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
2.设期望 未知，关于方差 的假设检验
双边检验，设 .
由于样本方差 是总体方差 的无偏估计，又
.
当 为真时，构造检验统计量
.
由图8-3可知，
，
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
故 的拒绝域为
.
图8-3
同理可得单边检验的情况为
单侧假设 ，拒绝域为 ；
单侧假设 ，拒绝域为 .
这种用服从 分布的统计量对正态总体方差进行假设检验的方法，称为 检验法.
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
例8-4 对某住宅区住户的消费情况进行调查，抽取9户为样本，其每年的费用依次为(单位：万元）
5.3，4.9，5.2，7.4，6.5，5.4，5.4，6.8，6.3.
假定每户的消费都服从 ，给定 ，试问所有住户消费的总体方差 是否可信.
解 由题意提出假设
已知 ，检验统计量为
，
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
由于 ，查附表3得 ，故 的拒绝域为
.
由样本数据可得 ，故
.
显然，统计量的观测值落在拒绝域内，所以拒绝原假设 ，即认为所有住户的消费总体方差 不可信.
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
例8-5 进行某项工艺革新，从革新后的产品中抽取25个零件，测量其直径，计算得样本方差为 ，已知革新前零件直径的方差 ，设零件直径服从正态分布，问革新后生产的零件直径的方差是否显著减少 ( ).
解 由题意提出假设 .
已知 ，检验统计量为
，
由于 ，查附表3得 ，故 的拒绝域为
.
将 代入得 ，显然在拒绝域里，所以拒绝原假设 ，即可以认为革新后的零件直径的方差比革新前有显著减少.
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
关于单个正态总体的假设检验可通过表8-1给出.
8.2.1 单个正态总体参数的假设检验
假设 是来自总体 的样本， 是来自总体 的样本，且X与Y相互独立，样本均值依次记为 ，样本方差依次记为 ，给定的显著性水平为ɑ.
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
1.均值差 的假设检验
对于假设
（双边检验）
其中 为已知常数，较常见的是 ，即检验两个正态总体的均值是否相同.在下面的讨论中，我们都将常数 取为零.
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
（1）当 已知时（u检验法）.
由于 是 的无偏估计，且 ，当 成立时， ，故引入检验统计量
，
其拒绝域的形式为
，
即
.
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
（2）当 未知但 时（t检验法）.
由定理6.3，引入检验统计量
，
其中 ，其拒绝域形式为
，
即
.
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
（3）当 未知但 时（t检验法）.
此时的特点是X，Y的样本容量相同,故设 ，则 ,显然 为Z的样本.不妨记 ，则两总体的假设问题
，
可以等价为单个正态总体 ，当 未知时，检验假设
.
故利用前面所讲可知，检验统计量为
.
其中 为样本均值.可得此时的拒绝域为
，
即
.
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
例8-6 甲、乙两台机床生产同一种型号的元件，设甲车床加工的直径 ，乙车床加工的直径 .现从两车间分别抽取8个元件和9个元件，测得样本均值 .试说明两台机床加工的元件直径是否有显著差异（ ）.
解 由题意提出假设
，
当 为真时，检验统计量为
，
由于 ，查附表2得 ，故其拒绝域为 ，将 及 带入得U的观测值 ，显然落在拒绝域内，故拒绝 ，即认为两台机床加工的元件直径有显著差异.
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
例8-7 某烟厂从生产的两种香烟中独立地抽取容量相同的烟草标本测其尼古丁含量，分别得到如下结果：
甲： 25，28，23，26，29，22；
乙： 28，23，30，25，21，27.
假定两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，当显著性水平 时检验两种香烟尼古丁含量有无显著差异.
解 设甲、乙两种香烟的尼古丁含量分别为X，Y，且由题意不妨设 ， .由题意，提出假设
，
由于 未知但样本容量相同，故设 ，则 ，其中 ， ，且样本观测值为
-3，5，-7，-1，8，-5.
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
故问题可等价为单个正态总体 ，当 未知时，检验假设
,
当 为真时，检验统计量为
，
拒绝域W为
，
其中 ， ，查附表4得 ，故拒绝域 .将 ， 代入得统计量的观测值为 ，显然不在拒绝域内，故认为两种尼古丁含量无显著差异.
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
2.两个正态总体方差比较的假设检验（F检验）
假设 （双边检验）.由于样本方差 分别为 的无偏估计，若 成立，则两样本方差的比应该在1附近，考虑统计量 ，当 成立时，
.
于是，对于显著性水平ɑ，原假设 的拒绝域为
.
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
例8-8 某物品在处理前和处理后分别抽样分析其含脂率为
前：0.19，0.18，0.30，0.21，0.12，0.41，0.27；
后：0.15，0.13，0.07，0.19，0.24，0.06，0.08，0.12.
假设处理前、后的含脂率分别为X，Y，且均服从正态分布.试问处理前与处理后含脂率的方差有无显著差异（ ）.
解 不妨设 ， .由题意提出假设
，
当 成立时，检验统计量
.
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
原假设 的拒绝域为
.
对于显著性水平 ，查附表5得 ， ，故拒绝域 .
由样本计算得 ，故检验统计量的观测值为 ，显然观测值不在拒绝域内，故接受原假设 ，即认为处理前、后含脂率的方差无显著差异.
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
两个正态总体均值差和方差比的单边检验我们就不详细介绍了，结果可参看表8-2.
8.2.2 两个正态总体参数的假设检验
8.3 非正态总体参数的假设检验
在8.2节中我们主要研究了一个和两个正态总体参数的假设检验，在这一节中我们将介绍非正态总体参数的假设检验.对于非正态总体，抽样分布不容易给出，并且分位点不容易查到，因此，我们一般采用大样本方式，利用中心极限定理对其参数进行假设检验.
8.3.1 非正态总体均值的大样本假设检验
1.单个总体均值的假设检验
设总体X不服从正态分布或分布未知，其均值为 ，方差为 . 是总体X的样本，其中容量 .检验假设
.
（1）当总体方差 已知，原假设 成立时，由中心极限定理知 近似服从标准正态分布 ，给定显著性水平α，则拒绝域 .
（2）当总体方差 未知，原假设 成立时，由中心极限定理知统计量 也近似服从 ，给定显著性水平α，则拒绝域 .
当X为正态总体时，统计量为 .
如果是单边检验，则备择假设为 或 .当样本方差已知时，拒绝域分别为 和 ；当样本方差未知时，其拒绝域分别为 和 .
8.3.1 非正态总体均值的大样本假设检验
2.两个总体均值的假设检验
设总体X，Y相互独立，且 . 是来自总体Χ的样本， 是来自总体Υ的样本， 样本均值依次记为 ，样本方差依次记为 .检验假设
.
当总体方差 已知时，由中心极限定理知，当n，m足够大时，统计量 近似服从标准正态分布.故 当成立时，引入检验统计量
8.3.1 非正态总体均值的大样本假设检验
对于给定显著性水平α，其拒绝域 .

当总体方差 未知时，统计量 仍近似服从标准正态分布，其拒绝域.
8.3.1 非正态总体均值的大样本假设检验
例8-9 设生产的某种滚珠的直径一直保持在2.64，改变加工工艺后，抽取100颗滚珠，计算得样本平均直径为2.62，样本标准差为0.06.问新工艺对滚珠的直径有无显著影响（ ）.
解 由题意知总体分布未知且为大样本，故可用大样本近似检验，提出假设
因总体方差未知，故检验统计量为 ，拒绝域 .
查附表2得 ，将数据代入得检验统计量的观测值为 ，显然统计量的观测值落入拒绝域内，故应拒绝原假设，即认为新工艺对滚珠的直径有显著的影响.
8.3.1 非正态总体均值的大样本假设检验
例8-10 某地随机抽取成年男子和成年女子各150名，测定其红细胞计数.男性样本均值 ，样本方差 ；女性样本均值 ，样本方差 .问男、女红细胞计数有无显著差别( ).
解 设成年男、女的红细胞计数分别为X，Y，且 由题意提出假设
显然总体方差未知，故检验统计量为
，
其拒绝域 .由于 ，查附表2可得 .
将数据代入得检验统计量的观测值为8.074，显然落在拒绝域内，故认为男、女红细胞计数有显著性差异.
8.3.1 非正态总体均值的大样本假设检验
8.3.2 几种常见分布中参数的大样本假设检验
1.(0-1)分布
设总体X服从参数为p的(0-1)分布，即X的分布列为 ， ，则 . 是总体X的样本.
提出假设
当样本容量n足够大时，利用大样本检验.当 成立时，检验统计量为
，
对于给定的显著性水平α，其拒绝域 .
例8-11 某种产品在正常情况下的不合格率为0.05，今从一批产品中抽取100件产品，经检验有7件不合格品，能否认为这批产品的不合格率为0.05( ).
解 设这批产品的不合格率为p，在这批产品中任取一件，定义随机变量X为
显然随机变量X的分布列为 ， .
提出假设
，
利用大样本检验，当 成立时，检验统计量

由于 ，查附表2可得 ，故拒绝域 .
由题意知样本均值 ，将样本容量 代入检验统计量得观测值为0.918，显然不在拒绝域内，故接受 ，认为这批产品的不合格率为0.05.
8.3.2 几种常见分布中参数的大样本假设检验
2.泊松分布
设总体 ，则 ， 是总体X的样本.
提出假设
当样本容量n足够大时，利用大样本检验，当 成 立时，检验统计量为
,
对于给定的显著性水平α，其拒绝域 .
8.3.2 几种常见分布中参数的大样本假设检验
8.3.3 指数分布中参数的假设检验
指数分布常常用于描述电子元件等的寿命分布，因此在可靠性分析中是一个基础性的分布，有很多应用.下面看一下对于它分布中参数的假设检验( 检验).
设总体 ，其密度函数为
是总体X的样本.提出假设
.
因为 分布的密度函数为
所以 . 是总体X的样本,由 分布自由度的可加性可以得到：
，
当 成立时，检验统计量
，
对于给定的显著性水平α，其拒绝域为 .
这一节中各种情况下的单边检验，与8.2节中的类似，这里就不一一叙述了，读者可以自己整理.
8.3.3 指数分布中参数的假设检验
8.4 总体分布的假设检验
前面我们所讨论的参数假设检验问题，都是事先假设总体的分布已知.然而在实际问题中，有时不能确定总体服从什么类型的分布，此时就要根据样本来检验关于总体分布的假设检验.其做法是：首先根据以往的经验及样本提供的信息资料对总体分布类型做出粗略的推断，并对分布提出假设，然后将理论分布与已给统计分布进行比较，最后根据两者的吻合情况，判断假设是否成立.下面只介绍数理统计中最常用的皮尔逊(Pearson) 检验(或分布拟合检验).
8.4 总体分布的假设检验
所谓的 检验是在总体分布未知时，根据样本观测值 来检验关于总体分布的假设
；
.
其中 为分布函数.另外，这里的备择假设 可以不写.
注意，若总体X为离散型随机变量，则上述假设相当于
如果总体X为连续型随机变量，则上述假设相当于检验假设，即
，
其中 为已知的概率密度函数.
皮尔逊(Pearson) 检验法的一般步骤为：
（1）将实数轴分成k个互不重合的区间 ，其中 分别可以取为 .计算出样本观测值 落在每个区间 内的实际频数 及经验频率 .
（2）如果原假设 成立，则可计算出每次试验中X的取值落在 内的概率：
从而可算得X取值落在 内的理论频数 .
8.4 总体分布的假设检验
（3）寻求检验统计量及给出其相应的分布.
在n次试验中，事件出现的频率 与概率 往往有差异，但由伯努利大数定律知，当样本容量n较大（一般要求 ，最好是 ）时，在 成立的条件下， 的值应该比较小.基于这种想法，皮尔逊使用统计量
作为检验 的统计量，并给出了如下定理：
8.4 总体分布的假设检验
定理8.1 若样本容量n充分大( ),则当 为真时，不论 服从什么分布，统计量
总是近似地服从自由度为k-1的 分布.
（4）对于给定的显著性水平α，构造小概率事件
，
从而得到 的拒绝域 .
8.4 总体分布的假设检验
（5）由样本观测值计算检验统计量 的值，若 ，则拒绝原假设 ，即不能认为总体X的分布函数为 ；否则，接受 .
在用 检验法检验假设 时，要求 必须是完全已知的，才能使用上述的检验统计量.如果 中含未知参数θ，则需先求出这些未知参数的极大似然估计 ，这时记
相应的统计量为
，
然后再按上述步骤做检验.
8.4 总体分布的假设检验
定理8.2 若样本容量n充分大 ( ),则当 为真时，不论 服从什么分布，统计量
总是近似地服从自由度为 的 分布，其中г为待估参数的个数.
由于皮尔逊 检验是根据统计量 的近似分布得到的，因此要求样本的容量n足够大( )及理论频数 不能太小，一般要求 .如果某些区间内 的太小，则应适当地把相邻的两个或几个区间合并起来，使合并后的 此时应注意相应减少统计量 的自由度.
8.4 总体分布的假设检验
例8-12 在同样长的时间间隔内观察某交叉路口通过的车辆数，共观察了100次，得当的结果为
当显著性水平 时，可否认为通过交通路口的车辆数服从泊松分布.
解 由题意知，要检验假设
，
其中 为未知常数，由极大似然估计法得
，
由此得到
.
8.4 总体分布的假设检验
将数据进行分组，按要求各组理论频数 不可小于5，适当进行合并后分成8个组，分组情况及计算见表8-3.
8.4 总体分布的假设检验
由此可得
由于估计了1个参数，所以 .对于显著性水平 ，查附表3得 ，故此可得 的拒绝域 .显然检验统计量不在拒绝域内，所以接受原假设 ，即认为通过交通路口的车辆数服从参数为4的泊松分布 .
8.4 总体分布的假设检验
例8-13 研究混凝土抗压强度的分布.200件混凝土制品的抗压强度以分组的形式在表8-4中列出，要求在给定的显著性水平 下检验假设 .
8.4 总体分布的假设检验
解 原假设中正态分布的两个参数未知，利用7.1节中的例7.6得到 的极大似然估计值为
对于每组取其中值 ，则有
，
， .
因此，原假设可改写为
.
则每个区间的理论概率值
.
8.4 总体分布的假设检验
计算过程见表8-5.
8.4 总体分布的假设检验
由此可得
由于估计了2个参数，所以 .对于显著性水平 ，查附表3得 ，故此可得 的拒绝域 .显然检验统计量不在拒绝域内，所以接受原假设 ，即认为混凝土制件的抗压强度的分布是正态分布 .
8.4 总体分布的假设检验
习 题 8
1.设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机抽取30位学生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分. 问在显著性水平 下是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.
2.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 ，现测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484.如果估计方差没有改变，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55 ( ).
习 题 8
3.某批矿砂的含镍量服从正态分布，从中抽取5个样本，经测定其镍含量为(%)3.25，3.27，3.24，3.26，3.24.问在 下能否接受这批矿砂的镍含量均值为3.25的假设.
4.假设香烟中尼古丁的含量服从正态分布 ，现从某牌香烟中抽取20支，其尼古丁含量平均值 ，样本标准差 ，在 下能否接受该牌香烟尼古丁含量不超过17.5 mg的断言.
（1） ；
（2）σ未知.
习 题 8
5.已知某地小麦亩产量服从方差为56.25的正态分布.今年随机抽取了10块地，测得小麦的亩产量分别为(单位：斤)969，695，743，836，748，558，675，631，654，685.根据上述数据，能否认为小麦亩产量的方差没有发生变化( ).
6.测量某种溶液的含水量，从它的10个测定值中得到样本均值 .设测定值总量服从 ，试在下检验：
（1） ；
（2） .
习 题 8
7.在相同条件下对甲、乙两种品牌的洗涤剂分别进行去污试验，测得去污率（%）分别为
甲：79.4，80.5，76.2，82.7，77.8，75.6；
乙：73.4，77.5，79.3，75.1，74.7.
假设两种洗涤剂的去污率均服从正态分布且方差相同，试问两种洗涤剂的去污率有无显著差异（ ）.
习 题 8
8.一工厂的两个化验室每天同时从工厂的冷却水中取样，测量水中含氯量(ppm)，得到7天的数据为
化验室A：1.15，1.86，0.75，1.82，1.14，1.65，1.90；
化验室B：1.00，1.90，0.90，1.80，1.20，1.70，1.95.
设冷却水中氯含量服从正态分布，问在 下，两化验室测定的结果之间有无显著性差异.
习 题 8
9.从两座砖窑中分别抽样，测得抗折强度为(单位：kg)
甲：20.51，25.56，20.78，37.27，36.26，25.97，24.62；
乙：32.56，26.66，25.64，33.00，34.87，31.04.
设抗折强度服从正态分布，若给定 ，试问两窑砖抗折强度的方差有无显著差异.
10.某灯泡厂在使用一项新技术的前后，分别取10支灯泡进行寿命试验，计算得到采用新工艺之前的样本平均寿命为2 460 h，标准差为56 h；采用新工艺后的样本均值为2 550 h，标准差为48 h.已知灯泡寿命服从正态分布，问采用新工艺后灯泡的使用寿命是否显著提高 ( ).
习 题 8
11.某种产品在出厂检验时，按规定次品率不超过5%才能通过检验. 从这批产品中随机抽取50件，发现其中有4件次品，问这批产品能否通过出厂检验 ( ).
12.检查了一本书的100页，记录各页中的印刷错误个数，其结果如下：
能否认为每页上的印刷错误个数服从泊松分布( ).
习 题 8
13.随机抽取200只某电子元件进行寿命试验，测得原件的寿命(单位：h) 数据分布如下：
根据计算，平均寿命为325 h，试检验寿命是否服从指数分布( ).
习 题 8
14.从某汽车零件制造厂生产的一批零件中随机抽取100只，测得零件直径(单位：mm)的均值为11，方差为 ，并将100个数据分组统计如下：
试检验零件直径是否服从正态分布( ).
谢谢观看

展开更多......

收起↑