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数理统计的基本概念
6.1
随 机 样 本
6.2
抽 样 分 布
目录
前5章我们讲述了概率论的基本内容，在后面的4章中将讲述数理统计的内容.我们注意到，概率论着重从理论上研究随机变量的一般规律性，总是假定随机变量的概率分布或某些数字特征为已知，而在实际问题中，这些随机变量的概率分布或数字特征往往是不知道或知之甚少的.这时如何来分析和处理这些问题呢？通常的做法就是对研究的随机现象进行观察和试验，从中收集与我们所研究问题有关的数据，并进行有效的整理分析，以此对随机现象的客观规律做出估计或推断，这也就是数理统计要解决的事情.在科学研究中，数理统计占据着十分重要的位置，是多种试验数据处理的理论基础.
数理统计的内容很丰富，本书只介绍参数估计、假设检验、方差分析及回归分析的部分内容.
本章中首先讨论总体、随机样本及统计量等基本概念，然后着重介绍几个常用的统计量及抽样分布.
6.1 随 机 样 本
6.1.1 总体
在数理统计中，通常把被研究对象的全体称为总体.总体中的每个元素称为个体.例如，为了了解某城市职工的年收入情况，应将该城市全体职工构成一个总体，每个职工是一个个体.当研究某厂生产的一批灯泡的使用寿命时，这批灯泡的全体就是总体，而每个灯泡就是个体.
但在数理统计中，我们关心的并不是总体中的每个研究对象本身，而是它某一个或某几个数量指标.如上面两个例子中，我们关心的分别是职工的年收入和灯泡的使用寿命这一数量指标.对于选定的数量指标X而言，X的分布就完全描述了总体中我们所关心的这一数量指标的分布情况.由于我们关心的只是此数量指标，因此以后就把总体与数量指标X等同起来（如把所有职工的年收入看作一总体，把每个职工的年收入看作一个体），并把数量指标X的分布和数字特征称为总体的分布和数字特征.今后将不区分总体和相应的随机变量，统称为总体X.
6.1.2 样本
在实际中，总体的分布一般是未知的.为了了解总体的分布和性质，就必须对总体进行抽样观察（从总体中抽取部分个体，逐个观察其数量指标），从而获得数据。借助抽样所得数据，采用科学的方法对总体进行合理的推断.为了使抽样更好地体现总体的性质，抽样过程应符合以下两个条件：
独立性：各次抽取的结果互不影响.
随机性：对每次抽样，每个个体都有相同机会被抽到.
凡满足以上两条性质的抽样都称为简单随机抽样.本书中提到的抽样，都是简单随机抽样.
01
02
如果对总体X在一次抽样中抽取了n个个体进行观察，就可得到一组观测值 .显然，由于抽样具有随机性，如果再抽取n个个体，则会得到另一组观测值；如果不断地重复这一过程，就会得到多组不同的观测值.由此可见，在抽样的过程中每个个体的数量指标都是一个随机变量，不妨记为（i=1，2，…，n)，从而形成了一个n维随机向量 .由抽样的两个条件，可知这n个随机变量是相互独立的且每个都与总体X的分布相同.
综上所述，我们有如下定义：
6.1.2 样本
定义6.1 设总体X是一个有确定分布的随机变量，若随机变量 相互独立且与X具有相同的分布函数，则称 为总体X的容量为n的简单随机样本，简称样本.当 取定一组数值 时，称这组常数为一组样本观测值.
由样本的定义可知样本的分布完全取决于总体的分布.
设总体X的分布函数为F(x)，则样本 的联合分布函数为
.
6.1.2 样本
若总体X为离散型随机变量，其分布列为 ，则样本 的联合分布列为
.
若总体X为连续型随机变量，其密度函数为f(x)，则样本 的联合密度函数为
.
6.1.2 样本
例6-1 设 是总体 的样本，求 的密度函数.
解 由样本的定义可知， 独立且都服从 .由独立正态分布的线性组合仍然是正态分布可知， ，其中
， .
所以 ，其密度函数为
6.1.2 样本
6.1.3 样本分布函数
上述利用总体的分布可以得到样本的联合分布，但在统计中，总体的分布往往是未知的，需要根据样本提供的数据来推断总体的分布.为此，我们引入样本分布函数.
定义6.2 设总体X的分布函数为F(x)， 为总体X容量为n的样本，得到一组观测值 ，将相同项合并并将其从小到大依次排列为
，
并假设各个 出现的次数为 ，则各个 出现的频率为
，
显然有
.
定义函数
称 为X的样本分布函数（或经验分布函数）.其图形如图6-1所示.
6.1.3 样本分布函数
图6-1
易知，样本分布函数 具有以下性质：
；
是非降函数；
；
在每个 处是右连续的，点 是 的跳跃间断点， 在该点的跳跃度就是频率 .
6.1.3 样本分布函数
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02
03
04
例6-2 从纺织车间抽取10匹布，检查每匹的瑕点数得到样本值为1,0,3,1,2,0,0,1,2,1.写出样本分布函数.
解 将样本观测值由小到大排列，见表6-1.
故样本分布函数为
6.1.3 样本分布函数
样本分布函数 就是累积频率，它是非降的阶梯函数.对任意固定x， 是事件 在前n次试验中出现的频率.显然，样本分布函数值依赖于样本观测值，由于样本观测值具有随机性，因而 具有随机性.由概率与频率的关系知道，当n充分大时， 可以作为未知分布函数F(x)的近似.格里汶科于1933年从理论上严格地证明以下结论：
6.1.3 样本分布函数
定理6.1（格里汶科定理） 设总体X的分布函数为 ，样本分布函数为 ，则当 时， 以概率1关于x均匀地收敛于 ，即
.
这一结论是我们在数理统计中依据样本来推断总体特征的理论基础.
6.1.3 样本分布函数
6.1.4 统计量
样本是总体的反映，但样本所含的信息不能直接用于解决我们所要研究的问题，所以在获得样本之后要对其进行加工、整理.在实际工作中，往往是针对具体问题构造样本的某种函数，通过它提取样本中与问题有关的信息，以推断总体的某些特征.
定义6.3 设 是总体X的样本， 是n元连续函数，其中不含有任意未知参数，则称 为统计量.
由上述定义可知，统计量 是仅与样本 有关的随机变量，如果 是样本的一组观测值，则称 是统计量 的观测值.
例6-3 设总体 ，其中 已知，而 ， 是总体X的一个简单随机样本.试指出 ， ， ，中哪些是统计量？哪些不是统计量？
解 ， ， 都是统计量，因为它们均不包含任何未知参数；而 中包含未知参数 ，所以它不是一个统计量.
下面介绍几种常用的统计量（见表6-2）.设 是总体X的样本， 是样本的一组观测值.
6.1.4 统计量
6.1.4 统计量
显然，样本均值 即为一阶原点矩，但样本方差 不是样本的二阶中心矩 ，两者之间的关系为 .
由第5章的大数定律可以证明如下结论：
设 是总体X的样本，X的 k阶原点矩 存在，则当样本容量 时， .这个结论也是第7章中做矩估计的理论依据.
6.1.4 统计量
6.2 抽 样 分 布
统计量是样本的函数，也是随机变量，我们称统计量的分布为抽样分布.
下面将要介绍几种重要的抽样分布—— 分布、t分布和F分布.在此之前，我们先介绍一下上侧分位数的概念.
定义6.4 随机变量X的分布函数为F(x)，对于给定的正数 ，称满足条件
的数 为分布F(x)的上侧分位数或分位点.
对于上侧 分位数，要注意以下几点：
（1）若常数为随机变量X分布F(x)的上侧 分位数，则F( )= .
例如，随机变量U服从N(0,1)，记其上侧 分位数为 ，则 .事实上，由标准正态分布表可查得 ，即 ，所以 .
6.2.1 上侧分位数
（2）若随机变量X的密度函数为偶函数，则其分布的上侧 ɑ 分位数 有如下性质：
.
事实上，由密度函数的对称性可知， ，如图6-2所示，则 ，即 .
图6-2
所以，对于标准正态分布的上侧分位数 ，满足 .
6.2.1 上侧分位数
定义6.5 设随机变量 相互独立，且都服从N(0,1)，则称随机变量
的分布是自由度为n的 分布，记作 ，其中自由度n 是指上式右端包含的独立变量的个数.
分布的密度函数为
其中， 是函数 在 的值.密度函数f(x)的图形如图6-3所示.
图6-3
分布具有如下性质：
6.2.2 分布
性质1 若随机变量X，Y独立，且X~ ，Y~ ，则
.
推论 若相互独立，且分别服从自由度为 的分布，则
.
由定义6.5很容易得到这一性质，该性质表明相互独立的 分布具有可加性.
性质2 如果X~ ，则EX=n，DX=2n.
事实上，由 可知 ，根据定义6.5及期望的运算性质可得EX=n，经过计算可得 ，所以 .由定义6.5及方差的运算性质可以得到DX=2n.
6.2.2 分布
关于 分布的计算，要利用其上侧分位数 ，如图6-4所示.它既与ɑ 有关，也与自由度n有关.对于不同的 ， 分布的上侧 α分位数的值已制成表格（见附表3），可以查用.例如，=0.25，n=16， 查附表3可得 ，即
.
图6-4
6.2.2 分布
定义6.6 设 ， ，且X，Y相互独立，则随机变量
的分布称为服从自由度为n的t分布，记作t(n).t分布也称为学生分布.
t(n)分布的概率密度函数为
其图形如图6-5所示.
图6-5
6.2.2 分布
t分布的性质：
t分布的密度函数为偶函数，即对任意 ，有 .
记t(n)分布的上侧 α分位数为 ，则 ，如图6-6所示.其中 可以通过附表4查得.例如，查附表4可得 ，则 .
图6-6
.证明过程从略.
由性质（3）可以看出，当n充分大时，t分布近似于 分布 .当 时，上侧 α分位数可由附表4查得；当 时， ，其中 为标准正态分布 的上侧 α分位数.
6.2.3 t分布
01
02
03
定义6.7 设 ， 且X，Y相互独立，则称随机变量
服从自由度为m，n的F分布，记作 .
分布的概率密度函数为
其图形如图6-7所示.
图6-7
6.2.4 F分布
由上述定义可知 分布的性质：
若 ，则 ；
若 ，则 .
事实上，因为 ，则可设 ，其中 ， ，且X，Y相互独立，而 且与Y相互独立，所以由定义6.7可知 .
记 分布的上侧 α分位数为 ，则 .其中 可由附表5查到.例如， .
01
02
03
6.2.4 F分布
例6-4 设随机变量X，Y 相互独立，且均服从 ， 与 分别为X，Y的样本，试说明统计量 服从的分布.
解 由于 相互独立并且都服从 ，所以它们的线性组合为
.
记 ，则 .
由题意知 并且相互独立，所以
.
并且U，W相互独立，所以
.
6.2.4 F分布
例6-5 设 是来自总体 的样本，求 .
解 由题意 ， 并且相互独立，所以
.
对于例6-5，解题的关键就在于构造服从 分布的统计量.所以，需要熟练掌握服从 分布、t分布和F分布的随机变量的构成形式.
6.2.4 F分布
6.2.5 正态总体统计量的分布
1.单个正态总体的样本均值、样本方差的分布
定理6.2 设总体 ， 是总体X的样本， 为样本均值和样本方差，则
（1） ， ；
（2） ；
（3） 相互独立；
（4） .
证 （1）由于 相互独立，并且都服从 ，而 是正态随机变量的线性函数，因而服从正态分布， 且
，
，
所以 ，显然 .
（2）与（3）的证明超出本课程的要求.
（4）由（3）可知 与相互独立，由t分布的定义可知：
6.2.5 正态总体统计量的分布
2.两个正态总体统计量的分布
定理6.3 设 和 分别是来自两个相互独立的正态总体 及 的样本， 分别表示两样本均值和方差，则：
（1） 相互独立；
（2） ， ；
（3） ；
（4）当 时，
，
其中 称为混合样本标准差.
6.2.5 正态总体统计量的分布
证 （1）由两个总体的独立性及定理6.2的（3）可知， 相互独立.
（2）由定理6.2的（1）可知， ， ，且两者相互独立，所以 也服从正态分布且 ， ，所以 ， .
（3）由定理6.2的（2）可知 ， ，且相互独立，由F分布的定义可知，
.
6.2.5 正态总体统计量的分布
（4）当 时，由（2）可知 ，而 ， 且相互独立，由分布的可加性可知，
.
由（1）可知U，V相互独立，由t分布的定义可知，
.
6.2.5 正态总体统计量的分布
例6-6 设 与 分别是取自正态总体 的容量为n的两个独立的样本的样本均值，试确定最小样本容量n，使得 .
解 由定理6.2知， ， .显然 与 独立，所以 ，则 .于是
依题意可知 .查附表2得 .从而符合条件的最小样本容量n=14.
6.2.5 正态总体统计量的分布
例6-7 设 是来自总体 的样本， 为其样本均值.在下列条件下分别求出 .
（1）已知 ；
（2）σ未知，但已知样本方差 .
解 （1）若 ，则 ，
（2）若σ未知，由定理6.1知 ，所以 .
.
由例6-7可以发现，对于同一个问题，当已知条件不同时需要构造不同的统计量来解决问题.
6.2.6 样本最大值与样本最小值的分布
6.2.6 样本最大值与样本最小值的分布
设 是来自总体 Χ的样本，总体Χ的分布函数为 ，密度函数为 ，则样本最大值 的分布函数为
所以其密度函数为
.
同理可得，样本最小值 的分布函数为
其密度函数为 .
习 题 6
1.设 是总体 的样本，其中 已知， 未知.
（1）写出 的概率密度；
（2）指出 ， ， ， 中哪些是统计量？哪些不是统计量？
2.设 是来自均值为 、方差为 的总体的样本，求：
（1） ；
（2） .
习 题 6
3.已知样本的观测值为15.8，24.2，14.5，17.4，13.2，20.8，19.9，19.1，21.0，18.5，16.4，22.6，计算样本均值 及样本方差 .
4.设总体 .
（1）抽取容量为36的样本，求样本均值 落在38~43的概率.
（2）抽取样本容量为多大时，才能使 达到0.99.
习 题 6
5.设 为总体 的样本.
（1）记 ，试确定常数C使得CY为 分布，并给出其自由度.
（2）记 ，试说明统计量V所服从的分布.
6.求总体 的容量分别为10，15的两个独立样本的样本均值之差的绝对值大于0.3的概率.
7.设 是总体 的样本，是样本方差，试确定常数c，使得 .
习 题 6
8.设总体X的分布为 ，现从中抽取容量为36的样本，求 .
9.设某厂生产的灯泡的使用寿命 ，今抽取一个容量为9的样本，得到 ，试求 .
10.分别从方差为20和35的两个独立正态总体中抽取容量为8和16的样本，求第一个样本方差小于第二个样本方差两倍的概率.
习 题 6
11.设 为总体 的样本，求：
（1） ；
（2） .
12.设总体 ，抽取容量为20的样本 ，
（1）已知 ，求概率 ；
（2）未知 ，求概率 .
习 题 6
13.设总体 ，总体 ，从总体X，Y中分别抽取容量为10和8的样本， 分别表示两样本均值和方差.求下列概率：
（1） ；
（2） .
14.设 是 总体的样本，证明 服从自由度为n-1的t分布.
习 题 6
15.设 是取自均匀分布总体 的样本，
（1）求总体的分布函数F(x)；
（2）求样本最大值 和样本最小值 的密度函数；
（3）求样本最大值 和样本最小值 的数学期望.
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