资源简介

方差分析
9.1
单因素试验的方差分析
9.2
双因素试验的方差分析
目录
方差分析是数理统计中具有广泛应用的统计分析方法之一，是工农业生产和科学研究中分析数据的一种重要工具.在科学实验和生产实践中，影响一事物的因素往往很多.例如，在某种化工产品的生产中，结果往往会受到配方、设备、温度、压力、催化剂及操作人员的水平等的影响.在这些因素中，有的对结果的影响较大，有的对结果的影响较小. 方差分析就是在有关因素中找出有显著影响的那些因素的一种有效方法.
在试验中，我们把考查的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素. 因素一般可分为两类：一类是人们可控制的(可控因素)，如配方、机器设备、催化剂等；一类是人们不能控制的(不可控因素)，如气象条件、测量误差等.本章所涉及的因素都是可控因素,因素所处的状态称为该因素的水平.如果在一项试验中，影响试验指标的因素只有一个，这样的试验称为单因素试验；如果多于一个因素，则称该试验为多因素试验.
本章将介绍单因素试验和双因素试验的方差分析.
9.1 单因素试验的方差分析
用X表示试验指标，用A，B，…表示试验中的因素，用 表示因素A的k个不同水平.
9.1.1 数学模型
.例9-1 比较研究某农作物的4个不同品种的产量，选取16块大小相同、肥沃程度相近的土地，每个品种选4块，采用相同的耕种方式，测得产量结果如下：
由此判断农作物的品种对产量是否有显著影响.
这里试验的指标是农作物的产量，农作物的品种是因素A，4种不同的品种是因素A的四个水平 , , , ，这项试验称为4水平单因素试验.
例9-2 考查一种人造纤维在不同温度的水中浸泡后的缩水率(%)，在40 ℃，50 ℃，…，90 ℃的水中分别进行4次试验，得到该纤维在每次试验中的缩水率如下：
试问水的温度对缩水率有无显著影响.
这例试验指标是人造纤维的缩水率，温度是因素A，这项试验是6水平单因素试验.
通过上面两个例子，我们可以给出单因素试验的一般数学模型：
假设因素A有k个不同水平 ，在水平 下，进行次 独立试验，得到结果如下：
9.1.1 数学模型
9.1.1 数学模型

我们假定，各个水平 对应的总体 且相互独立，其中 均未知.即假定在每个水平下，总体的分布独立，都为正态分布且方差相等.k个总体的方差相同，称为方差的齐次. 方差齐次的假定是进行方差分析的前提.
于是，各水平下的样本 ， 且相互独立.记 则 表示随机误差，它们是试验中无法控制的各种因素引起的，且

9.1.1 数学模型
其中， 均为未知参数.上式称为单因素试验方差分析的数学模型.
对于单因素试验方差分析的数学模型，方差分析的任务是检验k个总体 的均值是否相等，即检验假设
为了便于讨论，采用记号
，
其中 ，显然 表示的是 的加权平均，称为总平均.记

，
9.1.1 数学模型
则 表示水平 的总体均值与总平均的差异，称它为水平 的效应. 并且
.
利用上述记号，单因素试验方差分析的数学模型可改写成
而假设“ ”等价于假设
9.1.1 数学模型
9.1.2 平方和的分解
对于假设
寻找检验统计量.为此，对试验数据的差异做进一步的分析.
记在水平 下的样本均值为
，
全体试验数据的总平均值为
，
数据之间的总波动可用各数据关于总平均值的偏差平方和
来衡量，并称 为总变差.
对于总变差 可做如下分解：
而
于是， 可分解为
，
其中
.
9.1.2 平方和的分解
称 为误差平方和， 为因素A的效应平方和. 称为平方和分解式.
利用 可以更清楚地理解 和 的含义，记
分别为水平 下的随机误差平均和随机误差的总平均，于是
，
.
9.1.2 平方和的分解
平方和的分解式说明，总平方和可分解成误差平方和与因素A的效应的平方和. 说明 完全由随机波动引起.而 说明除随机误差外还含有各水平下的效应 ，当 不全为零时， 主要反映了这些效应的差异. 若 成立，则各水平的效应为零， 中也只含随机误差，因而 与 相比较不应太大.方差分析的目的是研究 相对于 有多大，若 比 大很多，则表明各水平对指标的影响有显著差异，故需研究与 有关的统计量.
9.1.2 平方和的分解
9. 1.3 假设检验问题
当 成立时，设 ，并且相互独立，利用抽样分布的有关定理，可得
，
且相互独立，故由 分布的可加性知
即
.
这里， ，由 分布的性质知
.
此外还可以证明，当统计量 与 相互独立且 成立时
，
在此不做证明.
故当原假设 成立时，
，
，
记
，
9. 1.3 假设检验问题
分别称为 与 的均方，故
.
于是，对于给定的显著性水平 ，由于
，
因此，假设
的拒绝域为
.
9. 1.3 假设检验问题
上述的分析结果常被列成表（见表9-1），称为单因素方差分析表.
9. 1.3 假设检验问题
方差分布表中有关平方和的计算可用下列公式：
例9-3 如上所述，在例9-2中检验假设
试取 ， .
解 由题意知 .
，
，
.
9. 1.3 假设检验问题
得方差分析表（见表9-2）.
9. 1.3 假设检验问题
由于 ， 显然，当 时，F值落在拒绝域内，故拒绝原假设，认为水的温度对于缩水率有显著影响；当 时，F值没有落在拒绝域内，故接受原假设，即当显著性水平为0.01时，认为水的温度对于缩水率没有显著影响.
9.2 双因素试验的方差分析
在一项试验中，当影响试验指标的因素有两个，则称该试验为双因素试验.在一些双因素试验中，有时不仅各个因素对试验结果有影响，而且因素之间还会联合起来对试验的结果产生影响.这种影响称为各因素的交互作用.因此，在双因素试验中，除了要考察两个因素的各个水平对试验结果的影响外，有时还应考虑两个因素的各个水平之间如何搭配才能使结果更理想.
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
设有两个因素A，B作用于试验的指标，因素A有r个水平 ，因素B有s个水平 .为了更好地了解两个因素A，B之间是否有交互作用，现对因素A，B的水平的每对组合 都做 次试验(称为等重复试验)，得到如下结果：
假设 ，且相互独立.这里 均为未知参数，记 .上述条件也可写为

9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
记
，
，
，
，
，
于是
.
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
称 为总平均， 为水平 的效应， 为水平 的效应， 为水平 和水平 的交互效应，这是由 ,的联合作用而引起的.显然
，
，
.
故
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
可写成
上式称为双因素试验方差分析的数学模型.其中 都为未知参数.
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
对于上述模型，我们要检验因素A，B及交互作用是否显著.故方差分析的任务是检验以下三个假设：
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
类似于单因素的情况，对上述假设的检验方法仍是建立在平方和的分解上的.记
，
，
，
,
再引入总平方和
.
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
类似单因素情况，得平方和分解式为
其中
， ，
， .
称为误差平方和， 分别称为因素A、因素B的效应平方和， 称为A，B的交互效应平方和.
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
可以证明 ， , , ,的自由度依次为 , , .若记
，
，
可以证明，当 成立时，统计量
，
对于给定的显著性水平α，其拒绝域为
；
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
当假设 成立时，统计量
，
其拒绝域为
；
类似地，当假设 成立时，统计量
，
对于给定的显著性水平α，其拒绝域为
.
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
综合上面的结果，得到双因素试验的方差分析表（见表9-3）。
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
表9-3中有关的平方和常按下列公式计算：
，
，
，
，
.
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
例9-4 在某金属的生产过程中，对热处理的时间(因素A)和温度(因素B)各取两个水平，产品强度的结果见表9-4.在同一个条件下每个试验独立重复两次，设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同，且样本独立.问热处理时间、温度和这两者的交互作用对产品的强度是否有显著影响( ).
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
解 由题意检验假设 ，经过公式计算可得：
， .
双因素试验的方差分析见表9-5.
9.2.1 双因素等重复试验的方差分析
由于 ，所以时间对强度的影响不显著，而温度及两者之间的交互作用对于强度有着显著的影响.
在实际问题中，如果已经知道因素间的交互作用不存在，或者交互作用对试验的指标影响很小，则可以不考虑交互作用.此时只需对两因素的每一组合 做一次试验，就能对因素A，B的效应进行分析.
设因素A有r个水平 ，因素B有s个水平 ，现对因素A，B的水平的每对组合 都做一次试验，得到的结果见表9-6.
9.2.2 双因素无重复试验的方差分析
假设 ， 且相互独立.这里 均为未知参数，记 .上述条件也可写为
沿用9.2.1节中的记号，由于因素A，B间不存在交互作用，此时 ， ,故 ，于是上式可等价为
9.2.2 双因素无重复试验的方差分析
该式就是双因素不重复试验的数学模型.对于这个数学模型，方差分析的任务是检验以下两个假设：
记
，
得平方和分解式为
9.2.2 双因素无重复试验的方差分析
其中
， ，
， .
称为误差平方和， 分别称为因素A和因素B的效应平方和.
可以证明，当 成立时，统计量
对于给定的显著性水平α，其拒绝域为
；
当假设 成立时，统计量
的拒绝域为
.
9.2.2 双因素无重复试验的方差分析
双因素试验的方差分析见表9-7.
9.2.2 双因素无重复试验的方差分析
表9-7中有关的平方和常按下列公式计算：
，
，
，
.
9.2.2 双因素无重复试验的方差分析
例9-5 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值(单位： )，表9-8列出了试验的数据(冲击值)，问试验温度、含铜量对钢的冲击值是否有显著影响（ ）.
9.2.2 双因素无重复试验的方差分析
解 由题意知 ，需检验假设 ，经计算得方差分析（见表9-9）.
表9-9
由于 ，显然 在拒绝域内，故拒绝 ，即认为试验温度对钢的冲击值有显著影响；而 ，显然 也在拒绝域内，故拒绝 ，即认为含铜量对钢的冲击值有显著影响.
9.2.2 双因素无重复试验的方差分析
习 题 9
1.用四种不同的工艺加工灯泡，从各种工艺生产的灯泡中分别抽取样品，并测得样品的寿命(h)见表9-10.
试检验这四种工艺生产的灯泡的使用寿命是否有显著差异( ).
习 题 9
2.某实验室对钢锭模进行选材试验，其方法是将试件加热到700 ℃后，投入20 ℃的水中急冷，这样反复进行到试件断裂为止，试验次数越多，试件质量越好.今对四种生铁试件做试验，得到的数据见表9-11.问在显著性水平 下，四种试件的抗热疲劳性是否有显著差异.
习 题 9
3.记录3位操作工分别在不同的机器上操作3天的日产量（见表9-12）.取显著性水平 ， 试分析操作工之间、机器之间及两者交互作用有无显著差异.
习 题 9
4.为了解三种不同饲料对仔猪生长的影响差异，在三种不同品种的猪中各选三头进行试验，分别测得三个月间的体重增加量（见表9-13）. 取显著性水平 ，试分析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著性影响.假定其体重增长量服从正态分布且各种配比的方差相同.
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