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第十七章勾股定理
第十七章
勾股定理
17.1勾股定理
勾三、股
1勾股定理①②
四、弦五
B
文字语言
符号语言
变式
应用
图示
a(勾
c(弦)
直角三角形
如果直角三角形的
3
4
c=Va2+b2,
A
两直角边的两条直角边长分别
a2=c2-b2,
Cb(股)A
a=Vc2-b2
b
平方和等于
为a,b,斜边长为
b2=c2-a2
a
B
①勾股定理.
斜边的平方c,那么a2+b2=c2
b=Vc2-a2
利用勾股定理解题时应注意：
要确定直角三角形；二要分清直角边和斜边】
2勾股定理的应用
a
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的
“形”的特点转化为三边“数”的关系.勾股定理的使用范围是在直
c a
角三角形中，因此要应用勾股定理，必须先构造直角三角形，作高是
e
b
常用的构造直角三角形的方法.其主要应用如下：
割补、拼接
1.已知直角三角形的任意两边求第三边；
b
2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
3.证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
4.构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实
际问题
e
6
②勾股定理的证明方法
3利用勾股定理作长为√n(n为大于1的整数)的线段
是面积法，即几何图形经
1.画出Vn的线段
2.在数轴上表示Vn
过割补拼接后，只要没有
重叠，没有空隙，面积就
不会改变，再利用面积公
式进行计算论证
0
1V32
3
利用勾股定理，可以作出长
在数轴上可以画出表示VT,
为V2,V3,V5,…的线段
V2,V√了，…的点
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八年级下
17.2勾股定理的逆定理
命题题设、结论
逆命题
互换
正确
正确
1互逆命题与互为逆定理
定理
逆定理
1.如果两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命
题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题
①定理和逆定理首先要
每个命题都有逆命题，说逆命题时只需将原命题的题设和结论调换
保证自身都是真命题，
即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用，
2.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一
如何判断三角形是
个定理，称这两个定理互为逆定理.①
否为直角三角形呢？
2勾股定理的逆定理
用量角
1.勾股定理的逆定理②
器量角，
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这
个三角形是直角三角形.如图，△ABC中，a2+b2
计算三边长满
=c2,∴.△ABC为直角三角形，且∠C=90°
e
n
足a2+b2=c2就好！
2.运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法
2有一个角等于90°或
。先确定最长边，算出最长边的平方并计算另两边的平方和；
三边关系满足a2+b2=c2的
。比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三
三角形是直角三角形，
角形为直角三角形
典例（长沙中考）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里
规律方法
记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十
首先根据勾股定理的逆
二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙
定理判断一个三角形是
田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中
不是直角三角形；若是，
的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为(
则利用直角三角形面积
A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米
公式求解
解析：由题意可得52+122=169=132，.该三角形是直角三角形
5里=2500米=2.5千米，12里=6000米=6千米，
32+42=52
该沙田的面积为x2.5x6=7.5(平方千米)，故选A
62+82=102
2
答案：A
3
52+122=132
72+242=252
3勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.③若α，
③常见的勾股数.
b,c是一组勾股数，则ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数
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