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第十六章二次根式
第十六章」
二次根式
16.1二次根式
我是二
1二次根式的概念
我也是二
次根式
次根式
1.二次根式的概念
一般地，我们把形如Va(a>0)的式子叫做二次根式，“√厂”称为二
次根号.①“V√一”的根指数是2，一般省略不写.形如bv√a(a≥0)的
式子也是二次根式.如V2,3√2，√9都是二次根式.二次根式中的
①判断一个式子是不是
被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子
二次根式，只看它的初始
的外在形态，不看它计算
2.二次根式有意义的条件
被开方数大于或等于0，即a≥0是Va有意义的前提条件.在具体问
或化简的结果.如√5，
题中，如果已知二次根式√a,就意味着给出α>0这一隐含条件
V4,9都是二次根式.
典例（弹坊中考）若代数式V+工有意义，则实数x的取值范固
(x-3)2
是(
A.x≥-1
B.x>-1且x≠3
C.x>-1
D.x>-1且x≠3
[x+1≥0，
有了2在头上保护，
解析：根据题意得
解得x≥-1且x≠3.故选B.
x-3≠0，
正数、负数、0随我选
答案：B
2二次根式的性质
1.Va0(a≥0).即一个非负数的算术平方根是非负数
出了根号还有绝
2.(Va)2=a(a≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身
对值保护，真好！
a(a>0),
3.Va=a=0(a=0),
2在外面就保护不了我
-a(a<0)
了，我只能取非负数。
即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
4.式子a与(Va)的异同点
意义
字母a的取值范围
运算结果
联系
当a为非负
2(Va)2(a≥0)与Va2本
√a②
Va.a
a可为任意实数
a
数时，两者
身都是非负数，且当a>0
的结果是
时，(Va)2=va
(va)2②
Va.Va
a>0
a
一样的
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八年级下
3代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或
来我家
你家的户型跟
我家一样呢
表示数的字母连接起来的式子叫做代数式
玩吧
瓜*/瓜=a8
16.2
二次根式的乘除
①(1)a,b可以是数或含
有字母的代数式，运用时
1二次根式的乘法法则
注意它们的取值范围.
Va·V=Vab(a≥0，b≥0).即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，
(2)a·Vb·c·a
根指数不变.①
abca(a>0,b>≥0，c≥0，d≥
2二次根式乘法法则的逆用
0).
Vab=√aV石(a>0,b>0).即积的算术平方根等于积中各因数或因
式的算术平方根的积.利用它可以进行二次根式的化简，在进行二
次根式的化简计算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然
★整式部分相乘
后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外
avb.cVd=ac.Vb.d
典例（河北中考）计算：V√⑧×
根式部分相乘
1
解析：V⑧×
8×5=V4=2
答案：2
别人帮不了你，
只能靠自己！
3二次根式的除法法则
谁来帮我把
答一骨如0b0:期两个二次根式相除，把放开方数相除，根指
「“√厂”去掉响！
数不变.
我也有份，
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4二次根式除法法则的逆用
2
_Va(a20,>0).即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除
b b
还是要靠自己
以除式的算术平方根.利用它可以进行二次根式的化简，在化简被开
②常用的有理化因式：
方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为Va(a≥0，b>0)的形
Va与Va;
Va+b与Va+b;
式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘一个适当的因式，化去
a+Vi与Va-Vb;
分母中的根号即可.在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母
aVi+cvd与aVi-cva.
中不含二次根式.把分母中的根号化去的过程称为分母有理化.②
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