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第一章勾股定理
第一章
勾股定理
1探索勾股定理
1勾股定理
勾三、股
1.勾股定理
四、弦五，
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
A
方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两
B
6
5
a(勾)3
c(弦)》
直角边和斜边，那么a2+b2=c2
2.勾、股、弦：古代把直角三角形中较短的直角
a
ch
A
b(股)
a2+b2=c2.
边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦
2勾股定理的验证
A
bP a D
a
cc
6
1.方法一：如图1，正方形ABCD的面积=4个直角三角形的面积+正方
Q
形PQRS的面积，
b
e
所以(a+6)rab4+e,所以+2ab+h=2atc.,故+=d
B a R b C
图1
2.方法二：如图2，甲的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积.
a
a
b
b
丙b
C
如图3，乙和丙的面积和=大正方形的面积-4个直角三角形的面积
甲
6
因为图2和图3的面积相等，
6
6
a
所以甲的面积=乙的面积+丙的面积.
图2
图3
3勾股定理的简单应用
已知直角三角形任意两边的长度，利用勾股定理可以求出第三边
的长度
对于不能直接用勾股定理解决的问题，可以通过添加辅助线的方
法构造出直角三角形，再利用勾股定理解答
典例（济南中考）如右图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端
刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8处，发现此时绳子
末端距离地面2m.则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为(
29
A.12m
B.13m
C.16m
D.17m
解析：如图所示，作BC⊥AE于点C,则BC=DE=8,设AE=x,
则AB=x,AC=x-2,在Rt△ABC中，AC+BC=AB2,即(x-2)2+
82=x2,解得x=17.
答案：D
E
D
67
八年级上
2一定是直角三角形吗
1直角三角形的判别条件及步骤
这是个直角三角形，
1.直角三角形的判别条件（勾股定理的逆定理）
我治水时就用这个
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三
A
角形是直角三角形.如图，在△ABC中，如果AC+BC
(1)(13)
(12)
=AB,那么△ABC就是以∠C为直角的直角三角形
(2)
a
(11)
2.判断直角三角形的步骤
(3)
(10)
(9)
(4)00
。确定最大边并算出最大边的平方与另两边的平方和；
-00
(5)(6)(7)(8
。比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明
★相传，我国古代大禹治
是直角三角形，否则，不是直角三角形
水测量工程时，也用类
典例（滨州中考）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(
似的方法确定直角」
A.4,5,6
B.1.5,2,2.5
C.2,3,4
D.1,V2,3
解析：只有选项B中，两较短线段的平方和等于最长线段的平方，即
1.52+2=2.52,所以选项B中的三条线段可以构成直角三角形.
答案：B
★由定义可知，一组数是
勾股数必须满足两个
2勾股数
条件：一是满足a2+b2=
1.定义：满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数
c2;二是都是正整数，
2.常见的勾股数有：3,4,5；6,8,10：5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,12,15
二者缺一不可.
3勾股定理的应用
置立体图形上两点间的最短距离
1.求立体图形中最短路线的问题，通常是将立体图形展开，转
B自
B
化为平面图形，或者将曲面转化为平面，然后运用“两点之
侧面
间，线段最短”，并结合勾股定理求解
A
展开图
2.圆柱的侧面展开图是一个长方形，过圆柱上底面圆周上任
★蚂蚁要吃到蜂蜜的最
一点沿着侧面作一条垂直于下底面的线段，沿着这条线段剪开圆
短路线长是圆柱的侧
柱，然后展开侧面，即得到一个长方形，然后依据“两点之间，线段最
面展开图中线段AB的
短”，以最短路线为边构造直角三角形，利用勾股定理求解
长度
3.棱柱的侧面展开图是一个长方形，沿着棱柱的任意一条侧棱剪开，
它的侧面展开图是长方形，然后构造直角三角形，利用勾股定理解
决问题
68

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