资源简介

考点14 相交线 平行线
利川铜锣坝中学 王明利
知识概要
1. 直线、射线、线段
(1)区别与联系
线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点.线段和射线是直线的一部分.
(2)性质:
①经过两点有且只有一条直线.
②两点之间的所有连线中,线段最短.
③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
(3)两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离.
(4)线段的中点;点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点.这时AM=BM=AB.
2. 角
(1)概念:角是由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶点.
(2)角的平分线:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.:
(3)角平分线上的点到角两边的距离相等.
3. 余角、补角、对顶角
(1)概念:
余角:如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角.
补角:如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角.
对顶角:有公共顶点,它们的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角.
(2)性质:
①同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
②对顶角相等.
4. 垂直
(1)概念:如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直.互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.
(2)性质:平面内,有且只有一条直线和已知直线垂直.
5. 平行线
(1)判定:
①同位角相等,两直线平行;
②内错角相等,两直线平行;
③同旁内角互补,两直线平行;
④如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
(2)性质:
①两直线平行,同位角相等;
②两直线平行,内错角相等;
③两直线平行,同旁内角互补;
④经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.
6． 基本作图：只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.
范例解释
例1 （2008湖北十堰）如图，C、D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于( )
A．3cm B．6cm
C．11cm D．14cm
解 CD=DB－CB=3㎝,由线段的中点定义可知AC=2CD=6㎝,故选B.
点评 结合图形,根据线段的中点定义即可求解.
例2 （2008湖北襄樊）如图，在锐角内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；……照此规律，画10条不同射线，可得锐角 个．
解 这是一道规律探索题,根据给出的条件寻找规律
画射线的条数
1
2
3
…
n
锐角个数
3
6
10
…
所以当n=10时, =66.故答案为66.
点评 表面上看,这是一道与锐角和射线有关的考题,实质是一道规律探索题.认真观察图形,发现几何图形的结构特征,找出画射线的条数与锐角个数之间的关系是解题的关键.
例3 (2008湖北十堰）如图，直线AB、CD相交于点O，，垂足为O，如果，则 ．
解 ∵ ,
∴∠DOB=90o－42o=48o
∴∠DOB=48o
点评 有关图形的角的计算问题，首先要从图形
中读出具有度量关系的角：如互余、互补、对顶角等
，然后合理利用相关的计算技巧求解.本题考查了垂
直、互余、对顶角的定义,做题时注意避免出现把∠AOC与∠EOD看作对顶角这样的错误.
例4 (2008湖北孝感）如图,，分别在上，为两平行线间一点，
那么（ ）
A． B． C． D．
解 过点P作PE∥a,则PE∥a∥b
∴∠1＋∠MPE=180o ∠EPN＋∠3=180o
∴∠1＋∠2＋∠3=360o
故选C
点评 作平行线是解几何题的一种重要辅助线,利用平行
线的性质可使很多问题迎刃而解.本题还有其它解题方法,比如连结MN,利用平行线的性质和三角形的内角和定理也可求解.我们在解题时要灵活运用所学知识,同时也要选择最佳解答策略.
例5（2008湖北十堰）如图，点E在AD的延长线上,下列条件中能判断BC∥AD的是
A．∠3=∠4 B．∠A+∠ADC=180°
C．∠1=∠2 D．∠A＝∠5
解 由∠3=∠4,根据内错角相等,两直线平
行,得AB∥CD;由∠A+∠ADC=180°根据同旁内角
互补,两直线平行,得AB∥CD;由∠1=∠2,根据内
错角相等,两直线平行,得BC∥AD;由∠A＝∠5,根据
同位角相等,得AB∥CD.故应选C.
点评 判断两直线平行可利用同位角相等,内错角相等,同旁内角互补来论证.解答本题时要弄清同位角、内错角、同旁内角它们的位置关系,也就是它们是由哪两条直线被第三条直线所截.
巩固训练
一、选择题
1. (2006河南)下列说法正确的是( )
A. 不相交的两条直线是平行线
B. 同一平面内,不相交的两条射线叫做平行线
C. 同一平面内,两条直线不相交就重合
D. 同一平面内,没有公共点的两条直线是平行线
2. （2008浙江省义乌）已知、互余，比大.设、的度数分别为、，下列方程组中符合题意的是( )
A． B． C． D．
3. （2008浙江杭州）设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为，则( )
A. 0°<<90° B. 0°<≤90°
C. 0°<<90°或90°<<180° D. 0°<<180°
4. (2008湖北黄石）如图，，和相交于点，
，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5. （2008湖北天门）如图，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，
则∠3的度数是（ ）
A、75° B、65° C、55° D、50°
6. （2008湖北荆州）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，
下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；
（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°，
其中正确的个数是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
7.（2008山东烟台）如图，小明从A 处出发沿北
偏东60°向行走至B处，又沿北偏西20°方
向行走至 C 处，此时需把方向调整到与出发
时一致，则方向的调整应是（ ）
A、右转80° B、左传80°
C、右转100° D、左传100°
二、填空题
8. （2008陕西省）若∠α＝43°，则∠α的余角的大小是 .
9. (2008安徽)如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3= __________。
10. (2008河南省)如图,直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=34°，那么∠2的度数是 ．
11. (2008江苏苏州)某校初一年级在下午3：00开展“阳光体育”活动．下午3：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于 度.
12.（2008浙江省义乌）如图，若，与
分别相交于点,与的平
分线相交于点，且，
度．
13. （2008浙江温州）如图，点在射线上，点在射线上，且，．
若，的面积分别为1，4，
则图中三个阴影三角形面积之和为 ．
三、解答题
14. 计算:
(1)25o20′＋44o56′ (2)90o－27o18′25″
(3)20o20′×4 (4)44o37′÷3
15.（2008浙江杭州）如图，已知∠α，∠β，用直尺和圆规
求作一个∠γ，使得
（只须作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）
16.（2008浙江绍兴）学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点 分别在正三角形的边上，且，交于点．求证：．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点分别移动到的延长线上，是否仍能得到？
③若将题中的条件“点分别在正三角形的边上”改为“点 分别在正方形的边上”，是否仍能得到？
……
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
单元测试
一、选择题(第小题3分,共36分)
1. （2008浙江湖州）已知，则的余角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2. (2008贵州贵阳)如图，在平行四边形中，是
延长线上的一点，若，则的度数为（ ）
A．120o B．60o C．45o D．30o
3. （2008浙江省）如图，量角器外缘边上有三点，
它们所表示的读数分别是，，，
则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4. (2008河南省）如图，是中国共产主义青年团团旗上的图案，
点A、B、C、D、E五等分圆，则
等于（ ）
A. B. C. D.
5. (2008湖北襄樊）如图1，已知与相交于点，
，如果，，则
的大小为（ ）
A． B． C． D．
6. （2008湖北宜昌）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，
∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1
的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角
度等于（ ）．
A．120° B．90° C．60° D．30°
7. （2008四川资阳）如图2，CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，下列说法正确的是
A．α的余角只有∠B
B．α的邻补角是∠DAC
C．∠ACF是α的余角
D．α与∠ACF互补
8. （2008湖北十堰）如图，在ΔABC中，
AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于
A．50° B．40° C．25° D．20°
9. (2008山东聊城）如图，，
那么（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
10.（2008青海西宁）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11.（2008四川乐山）如图，直线与相交于点，
，若，则（ ）
A．56° B．46° C．45° D．44
12.（2008浙江绍兴）将一张纸第一次翻折，折痕为（如图1），第二次翻折，折痕为 （如图2），第三次翻折使与重合，折痕为（如图3），第四次翻折使与 重合，折痕为（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共30分)
13.（2008河南省）如图，直线a,b被直线c所截，若a∥b，，则
14.（2008湖北荆门）如图，l∥l,∠α=__________度．
15.（2008湖北恩施）如图,在Rｔ△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足.在不添加辅助线的情况下,请写出图中一对相等的锐角: .
(只需写出一对即可)
16.（2008湖北咸宁）如图，AB∥CD，∠C＝65o，CE⊥BE ，
垂足为E，则∠B的度数为 ．
17.（2008四川资阳）如图，在地面上有一个钟，钟面
的12个粗线段刻度是整点时时针(短针)所指的位置．
根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所
显示的时刻是______时_______分．
18.（2008浙江丽水）如图，以点为为旋转中心，将
按顺时针方向旋转，得到．若，
则= 度．
19.（2008青海西宁）如图，将一副三角板折叠放在一起，使直
角的顶点重合于点，则 ．
20.（2008湖南邵阳）如图，与相交于点，
，，则 ．
21. （2008湖北孝感）如图，，，
的垂直平分线交于点，那么 ．
22. （2008湖南邵阳）如图，已知中，
，平分，点为的中点，
请你写出一个正确的结论： ．
三、解答题(共54分)
23. (10分)（2008浙江衢州）如图，AB∥CD
(1)用直尺和圆规作的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF。要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。
24. (10分) (2006河北省)如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．
（1）请你在图10中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；
（2）已知：MN=20?m，MD=8?m，PN=24?m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．
25. (10分) (2007贵阳市)如图12，平面内有公共端点的六条射线，，，，，，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线 上．
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．
（3）“2007”在哪条射线上？
26. (12分)(2007安徽省)探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：
当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；
当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，2五种，比n=2时增加了3种，即S=2+3=5。
观察图形，填写下表：
钉子数(n×n)
S值
2×2
2
3×3
2+3
4×4
2＋3＋( )
5×5
( )
写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)
(3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式。
27. (12分)(2005年乌兰察布市)如图（1），将射线OX按逆时针方向旋转角，得到射线OY，如果点P为射线OY上一点，且OP=a，那么我们规定用（，）表示点P在平面内的位置，并记为P（，）。例如图（2）中，如果OM=8，XOM=100°，那么点M在平面内的位置记为M（8，100°），据此回答下列问题:
(1)在图(3)中,如果点N在平面内的位置内的位置记为N(6,30°)那么
那么ON= ∠XON= 。（此问得分按一空算）
（2）图4中若点A 、B在平面内的位置分别计为A（4，45°）、B（4，75°）则线段AB长为 。
附：参考答案
巩固训练
1～7 BCBCBDA 8. 47o 9. 70o 10. 56o 11. 90o 12. 60o 13. 10.5
14.(1)70o16′(2)62o41′35″(3)81o20′(4)14o52′20″
15. 作图如下, 即为所求作的.
16. 解：（1）证明：，，，
，
，
．
（2）①是；②是；③否．
②的证明：如图，
，，，
，
，
，
．
③的证明：如图，
，，
，
．又，
，
，即．
单元测试
1～12 ABBBBADDABBB 13. 50o 14.35o 15. ∠1=∠B或∠2=∠C 16. 25o 17. 9,12
18. 40o 19. 180o 20. 36o 21. 60o 22.答案不唯一
23. 解：(1)作图略；
(2)取点F和画AF正确(如图)；
添加的条件可以是：F是CE的中点；
AF⊥CE；∠CAF=∠EAF等。(选一个即可)
24. 解：（1）如图1所示，CP为视线，点C为所求位置．
（2）∵AB∥PQ，MN⊥AB于M，
??∴∠CMD=∠PND=90°．
又∵??∠CDM=∠PDN，
∴ △CDM∽△PDN，
∴ ．
∵MN=20m，MD=8m，∴ND=12m．
∴， ∴CM=16（m）．
∴点C到胜利街口的距离CM为16m．
25. （1）“17”在射线上．
（2）射线上数字的排列规律：射线上数字的排列规律：射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
（3）在六条射线上的数字规律中，只有有整数解．解为
“2007”在射线上．
26. 解：（1）4，2＋3＋4＋5（或14）
（2）类似以下答案均给满分：（i）n×n的钉子板比(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种；（ii）分别用a，b表示n×n与(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数，则a=b＋n.
（3）S=2＋3＋4＋…＋n
27. 略

展开更多......

收起↑