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专题9 分数的四则运算
（考点聚焦+重点速记+真题专练）
1、分数加法。
分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。
2、分数减法。
分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
3、分数乘法。
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
4、分数除法。
分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
5、同分母分数加减法计算方法。
同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
6、异分母分数加减法计算方法。
先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
7、带分数加减法的计算方法。
整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
8、分数乘法的计算法则。
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
9、分数除法的计算法则。
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
10、分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2023 灵山县）下列算式中，如果a代表一个非零自然数，得数最大的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2分）（2023 阳信县）下面的算式中，在计算过程中“7”和“3”可以直接相加或相减的是（　　）
A．17%+35% B．47.58﹣13 C．710﹣632 D．
3．（2分）（2023 荔城区）为了得到2的结果，同学们用了四种不同的方法，想法合理的有（　　）个
\
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2分）（2023 滑县）本学期，我们学习了《分数除法》，实际上计算分数除以分数的方法很多。琳琳想到了借助统一“分数单位”来计算分数除以分数。
琳琳：“如果能够运用分数的基本性质把两个分数单位进行统一，那么就可以用两个分数的分数单位的个数相除来计算结果了。”
下面是4名同学计算“”的过程，运用了上面琳琳想法的是（　　）
A．轩轩：
B．婷婷：”6÷5
C．乐乐：”9
D．雯雯：
5．（2分）（2023 禹城市）下面表示的意义正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2分）（2023 尧都区）在“”四个算式中，得数小于1的算式有（　　）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2分）（2023 吉首市）下列式子中能正确表示如图图意的是（　　）
A．20 B．20 C．20 D．20×（1）
8．（2分）（2023 麒麟区）算式中的□代表1～9中的任意一个数字，如图中M点可能表示算式（　　）的计算结果。
A． B．4.□×7 C．28÷0.□ D．5×6.口
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2023 信阳）24米的是　 　米，　 　米的是24米．
10．（2分）（2023 小店区）比80米多是 　 　米，12千克比15千克少 　 　%．
11．（2分）（2023 灵山县）　 　米比25米多，20吨比 　 　吨少。
12．（2分）（2023 望都县）甲数是乙数的，乙数比甲数多 　 　，如果甲、乙两数的和是28，则甲数是 　 　，乙数是 　 　。
13．（2分）（2023 滨湖区）甲数的与乙数的 相等，已知甲、乙两数的和是66，那么甲数是 　 　，乙数是 　 　。
14．（2分）（2022 天府新区）“20+30”，可想成2个十加3个十等于5个十；“0.2+0.3”可想成2个 　 　加3个 　 　等于5个 　 　；“”，可想成 　 　；整数、小数、分数加法，都是在计算 　 　的个数。
15．（2分）（2022 白银）3千克减少千克后是 　 　千克，3千克减少它的后是 　 　千克。
16．（2分）（2023 怀柔区）甲数的40%是乙数的，已知乙数是140，甲数是　 　．
三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）
17．（2分）（2023 汶上县）甲比乙多，乙就比甲少． 　 　
18．（2分）（2023 灵山县）一袋糖3千克，把这袋糖平均分成5份，其中的2份是千克． 　 　
19．（2分）（2023 舞阳县）60的相当于80的． 　 　
20．（2分）（2023 肇庆）10m增加它的后是12m。 　 　
四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）
21．（6分）（2023 禹城市）计算下面各题，能简算的要简算。
22．（6分）（2023 临西县）直接写出得数。
18×0.3＝
2.5×7.6×0.4＝ 12.5×8÷12.5×8＝
五．应用题（共8小题，满分48分，每小题6分）
23．（6分）（2021 源城区）红星小学开展了社团活动课，航模小组和美术小组一共有45人，美术小组的人数是航模小组的，航模小组和美术小组分别有多少人？
24．（6分）（2021 平山县）北京颐和园占地面积为290公顷，其中陆地面积大约是水面面积的。颐和园的陆地和水面面积大约各是多少公顷？
25．（6分）（2020 运城）千克大豆可以榨千克油，每千克大豆可以榨多少千克油？榨1千克油需要多少千克大豆？
26．（6分）（2023 万州区）同学们，我们已经知道了计算异分母分数加减法时，要先通分，再把分子相加减，分母不变。观察下面的算式，我们发现计算异分母分数除法时，也可以 　 　。这就是我国古代《九章算术》中的“经分术”。
15÷8
用这个规律计算（写出计算过程）：
　 　。
27．（6分）（2023 龙沙区）一根长米的铁丝，第一次剪去它的，第二次剪去它的，还剩全长的几分之几？
28．（6分）（2021 柯城区）衢州市举行“衢州有礼小学生书画比赛”，共收到170件参赛作品，其中高段学生作品数占总数的，中、低段学生参赛作品数的比是9：8。中段学生的参赛作品有多少件？
29．（6分）（2020 彭水县）看图解决问题。
30．（6分）（2023 新罗区）在计算这道算式时，聪聪和明明的计算方法如下：
聪聪：
明明：
你看懂了谁的计算方法？请说明他这样计算的道理。（提示：用画一画或写一写等方式）
参考答案
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．【分析】A、aaa，根据一个非零的自然数乘以大于1的数，积一定大于原数，得a＞a；
B、a一定小于a即a＜a；
C、a，根据一个非零的自然数乘以小于1的数，积一定小于原数，得aa；
D、a根据题意和被减数大于差，得：aa；通过比较即可选出答案．
【解答】解：A、aaa＞a；
B、a＜a；
C、aa；
D、aa；
故选：A．
【分析】比较数的大小有很多方法，注意灵活运用所学的知识解答．
2．【分析】相同计数单位的数字才能直接相加减，分析选项中各个算式的7和3是否相同的计数单位即可求解。
【解答】解：17%+35%＝0.17+0.35，0.17中的7在百分位上表示7个0.01，0.35的3在十分位上，表示3个0.1，不能直接相加减法；
47.58﹣13，47.58的7在个位上，表示7个一，13的3在个位上，表示3个一，能直接相加减；
710﹣632，710的7在百位上，表示7个百，632的3在十位上，表示3个十，不能直接相加减；
，的7表示7个，的3表示3个，不能直接相加减。
故选：B。
【分析】本题考查了加减法的算理：相同计数单位的个数相加减。
3．【分析】分数和除法的关系：分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，可知2÷3；根据除法的性质：a÷（b÷c）＝a÷b×c，可得2÷（2÷3）＝2÷2×3；商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，据此可知第二和第四个同学想法合理；根据包含除法的意义，2就是求2里面有几个，据此可知第三个同学想法合理。
【解答】解：因为2÷3
可得22÷（2÷3）
2÷（2÷3）＝2÷2×3
所以22÷2×3
第一个同学想法不合理；
根据商不变性质，可知将2的被除数和除数同时乘3，商不变；将2的被除数和除数同时乘，商不变；第二和第四个同学的想法合理；
2可用来求解2米里面有几个米，据此画图，可知第三个同学的想法合理。
同学们用了四种不同的方法，想法合理的有3个。
故选：C。
【分析】本题主要考查了整数除以分数的计算方法，注意要掌握分数和除法的关系、除法的性质、商不变性质以及除法的意义。
4．【分析】除以一个数相当于乘这个数的倒数；分数的基本性质：分子和分母同时乘同一个数（0除外），分数值不变；据此分析解答。
【解答】解：A．轩轩是根据除以一个数相当于乘这个数的倒数来解答；
B．婷婷是先运用分数的基本性质把两个分数单位进行统一，再用两个分子相除来解答；
C．乐乐是根据除以一个数相当于乘这个数的倒数，以及乘法结合律来解答；
D．雯雯是根据分数的基本性质，将分子统一，再用分母解答。
故选：B。
【分析】本题考查了分数与分数的除法的计算方法。
5．【分析】逐一分析每幅图所表示的算式，再选出能表示的意义的选项。
【解答】解：A选项，先表示这幅图的，再表示这幅图的，它们之间没有乘法的关系。
B选项，先表示这幅图的，再表示的，列式为。
C选项，先表示这幅图的，再表示这幅图的，它们之间没有乘法的关系。
D选项，先表示这条线段的，再表示这条线段的，它们之间没有乘法的关系。
所以表示的意义正确的是B选项。
故选：B。
【分析】本题解题关键是熟练掌握分数乘法的意义和计算方法。
6．【分析】根据分数和小数乘除法的计算方法，分别求出各个算式结果，再比较解答。
【解答】解：，1；
，1；
0.9＝0.675，，0.675＜1；
0.9，1；
所以，在“”四个算式中，得数小于1的算式有4个。
故选：D。
【分析】本题关键是求出各个算式的结果，再进一步解答。
7．【分析】题图表示，把体重看作单位“1”，水分有20千克，占体重的，求体重是多少千克？根据分数除法的意义，单位未知，求单位“1”，用对应的数量除以对应的分率。
【解答】解：能正确表示如图图意的是：20。
故选：A。
【分析】读懂题意，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答是解题的关键。
8．【分析】先根据小数乘除法的计算方法，得出算式结果的范围，找出算式的结果在28和29之间的即可。
【解答】解：28中，□＝1，则2828，如果2＜□＜10，则2828，不合题意；
4.□×7，当□是1时，4.1×7＝28.7，算式的结果有符合M取值范围的部分；
28÷0.□中，□＝9时，28÷0.9≈31.1，如果□＜9时，计算结果还会更大，所以28÷0.□，不符合题意；
5×6.□＞30，不符合题意。
所以直线上M点表示的数可能是算式4.□×7的得数。
故选：B。
【分析】本题考查了小数乘除法的估算方法，注意一些计算规律的运用。
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．【分析】求一个数的几分之几用乘法求解，把24看成单位“1”，用乘法求出它的即可；
单位“1”未知用除法计算，找准数对应的分率．
【解答】解：249（米）
2464（米）
答：24米的是9米，64米的是24米．
故答案为：9，24．
【分析】本题主要考查求一个数的几分之几是多少，用乘法求解和单位“1”未知用除法，找准数对应的分率．
10．【分析】（1）求比80米多是多少，根据求比一个数多几分之几的数是多少，用80乘以（1）进行解答．
（2）求12千克比15千克少百分之几，把15千克看作单位“1”（作除数），也就是求12千克比15千克少的重量占15千克的百分之几，由此列式解答．
【解答】解：（1）80×（1）
＝80
＝120（米）；
答：比80米多是120米．
（2）（15﹣12）÷15
＝3÷15
＝0.2
＝20%；
答：12千克比15千克少20%．
故答案为：120，20．
【分析】此题主要考查①求比一个数多几分之几的数是多少，直接用乘法进行解答，②求一个数比另一个数少百分之几，把被比的数量看作单位“1”，用除法解答．
11．【分析】把25米看成单位“1”，用乘法求出它的（1）即可；
把要求的数量看成单位“1”，它的（1）对应的数量是20吨，由此用除法求出要求的数量。
【解答】解：25×（1）
＝25
＝30（米）
20÷（1）
＝20
＝25（吨）
答：30米比25米多，20吨比25吨少。
故答案为：30；25。
【分析】解答此类问题，首先找清单位“1”，进一步理清解答思路，列式的顺序，从而较好地解答问题。
12．【分析】把乙数看作单位“1”，那么甲数是，求乙数比甲数多几分之几，先用乙数减去甲数，求出甲数比乙数多多少，然后再除以甲数即可；
甲数是乙数的，则甲乙两数的和是乙数的（1），它对应的数是28，用28除以（1）即可求出乙数，进而求出甲数。
【解答】解：（1）
28÷（1）
＝28
答：乙数比甲数多，如果甲、乙两数的和是28，则甲数是，乙数是。
故答案为：，，。
【分析】解答此类问题，首先找清单位“1”，进一步理清解答思路，列式的顺序，从而较好的解答问题。
13．【分析】甲数的与乙数的相等，那么甲数乙数，可得甲数：乙数：6：5，又甲、乙两数的和是66，那么甲数占了两个数和的，乙数占了两个数和的，然后再进一步解答即可。
【解答】解：根据题意可得：
甲数：乙数：6：5
甲数：6636
乙数：6630
答：甲数是36，乙数是30。
故答案为：36，30。
【分析】本题关键是根据两个数之间的关系，求出它们的比，然后再根据按比分配进行解答。
14．【分析】整数加减法的计算法则是相同数位对齐，小数加减法的计算法则是小数点对齐，也就是相同数位对齐，数位相同了，也就是计数单位相同，分数加减法的计算法则是先通分，是把不同的分数单位化成相同的分数单位，再计算的，所以这些计算法则都是相同计数单位个数相加减，由此求解。
【解答】解：“20+30”，可想成2个十加3个十等于5个十；“0.2+0.3”可想成2个 0.1加3个 0.1等于5个 0.1；“”，可想成 2个加上3个；整数、小数、分数加法，都是在计算 相同计数单位的个数。
故答案为：0.1；0.1；0.1；2个加上3个；相同计数单位。
【分析】无论是整数加减法、小数加减法，还是分数加减法，都是把相同计数单位相加减。
15．【分析】第一个千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
第二个是把3千克看作单位“1”，减少的是3千克的，由此列式解决问题。
【解答】解：32（千克）
3﹣3
＝3﹣1
＝2（千克）
答：3千克减少千克后是2千克，3千克减少它的后是2千克。
故答案为：2，2。
【分析】解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：第一个分数是一个具体的数量，第二个分数表示是某一个数量的几分之几，由此灵活选择合理算法解答即可。
16．【分析】已知乙数是140，先算出乙数的是多少，即140，再除以40%就可得出甲数是多少．
【解答】解：14040%
＝80÷40%
＝200．
答：甲数是200．
故答案为：200．
【分析】本题关键是根据分数乘法的意义，求出甲数的40%是多少，然后再根据分数除法的意义进行解答．
三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）
17．【分析】甲比乙多，是把乙看成单位“1”，甲就是（1），用两数的差除以甲，即可求出乙比甲少几分之几，再与比较即可判断．
【解答】解：（1）
乙就比甲少，而不是．
故答案为：×．
【分析】本题关键是分清楚两个单位“1”的不同，先找出一个单位“1”，表示出两个数，再根据求一个数是另一个数几分之几的方法求解．
18．【分析】由分数的意义可知：一袋糖3千克，把这袋糖平均分成5份，其中的2份占总份数的，再据分数乘法的意义即可得解．
【解答】解：3（千克）；
答：其中的2份是千克．
故答案为：×．
【分析】此题主要考查分数的意义和分数乘法的意义．
19．【分析】根据分数乘法的意义，分别求出60的与80的，再比较即可．
【解答】解：6024
8024
24＝24
所以原题说法正确；
故答案为：√．
【分析】解答依据是：求一个数的几分之几是多少用乘法计算．
20．【分析】根据分数乘法意义解答，的单位“1”是10米，求出增加的米数，再进行计算。
【解答】解：102（米）
10+2＝12（米）
故答案为：√。
【分析】理解分数乘法意义，找出分率对应的单位“1”是解题关键。
四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）
21．【分析】第一道题：先把转化成，再应用乘法分配律计算比较简便；
第二道题：应用乘法交换律和结合律计算比较简便；
第三道题：先把除法改成乘法，再按分数连乘的计算方法计算。
【解答】解：
＝2×5
＝10
【分析】熟练掌握分数连乘的计算方法和乘法交换律、结合律、分配律的应用，是解答本题的关键。
22．【分析】根据小数、分数加减乘除法以及四则混合运算的顺序，直接进行口算即可。
【解答】解：
18×0.3＝5.4
2.5×7.6×0.4＝7.6 12.5×8÷12.5×8＝64
【分析】本题考查了简单的计算，计算时要细心，注意平时积累经验，提高计算的水平。
五．应用题（共8小题，满分48分，每小题6分）
23．【分析】航模小组和美术小组一共有45人，美术小组的人数是航模小组的，根据分数加法的意义，全部人数是航模小组人数的（1），根据分数除法的意义，用总人数除以其占航模小组人数的分率，即得航模小组多少人，然后用减法求出美术小组人数。
【解答】解：45÷（1）
＝45
＝25（人）
45﹣25＝20（人）
答：航模小组有25人，美术小组有20人。
【分析】首先根据已知条件求出总人数是航模小组人数的几分之几，进而求出航模小组人数是完成本题的关键。
24．【分析】根据题意，陆地面积大约是水面面积的，说明如果把北京颐和园的占地面积平均分成4份，那么陆地面积占1份，水面面积占3份，把290公顷按1：3进行比例分配即可。
【解答】解：陆地面积大约是水面面积的，也就是陆地面积大约与水面面积的比是1：3。
29072.5（公顷）
290217.5（公顷）
答：陆地面积占72.5公顷，水面面积占217.5公顷。
【分析】本题考查了求一个数的几分之几是多少的问题。
25．【分析】（1）用榨出油的重量除以大豆的重量就是每千克这样的大豆可以榨油的重量；
（2）用大豆的重量除以榨出油的重量就是每千克油需要大豆的重量．
【解答】解：（1）（千克）
（2）（千克）
答：每千克大豆可以榨千克油，榨1千克油需要千克大豆．
【分析】注意这两问的区别：求每千克大豆能榨多少油，是把油的重量平均分；求榨1千克油需要多少千克大豆，是把大豆的重量平均分．
26．【分析】异分母分数除法时，也可以先通分，再把分子相除。
【解答】解：异分母分数除法时，也可以先通分，再把分子相除。（或把相同计数单位的个数相除）（答案合理即可）
故答案为：先通分，再把分子相除。（或把相同计数单位的个数相除）（答案合理即可）；。
【分析】本题考查的主要内容是分数除法计算问题。
27．【分析】把长米的铁丝全长看作单位“1”，第一次剪去它的，第二次剪去它的，求还剩全长的几分之几用“1”减去两次剪去的比例．
【解答】解：1；
答：还剩全长的．
【分析】此题考查了分数的加法和减法．
28．【分析】170件参赛作品，看作单位“1”，中、低段学生参赛作品数占总数的（1），中、低段学生参赛作品数的比是9：8，中段学生的参赛作品占，再用乘法求出有多少件，即可。
【解答】170×（1）
＝170
＝54（件）
答：中段学生的参赛作品有54件。
【分析】本题主要考查了分数的四则混合运算。
29．【分析】根据图中的信息可知，两车相遇后继续行驶，直到相距24km，这时货车行了全程的，客车行了全程的，两车所行的路程和占全程的（），超过了全程的几分之几就是图上标记的24km，用除法即可求出甲乙两城相距多少千米。
【解答】解：24
＝24
＝24
＝189（千米）
答：甲乙两城相距189千米。
【分析】本题是一道图文题，主要考查了相遇问题，找出24km所对应的分率是解答本题的关键。
30．【分析】聪聪是用4个除以2得到2个，即
明明：2表示把平均分成2份，求一份是多少，也就是求的是多少，所以用。
【解答】解：聪聪：4个除以2得到2个，即
明明：2就是求的是多少，所以用。
【分析】本题考查了分数除以整数的算理和算法。

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