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河北省2024年中考模拟考试卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023上·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（ ）
A．岁 B．岁 C．岁 D．岁
2．（2023上·河北保定·七年级统考期末）如图，点在点的北偏东方向上，，则点在点的（ ）
A．西偏北方向上 B．北偏西方向上
C．西偏北方向上 D．北偏西方向上
3．（2023下·七年级单元测试）可以表示为( )
A． B． C． D．
4．（2023上·全国·九年级专题练习）一个布袋里装有3个红球，2个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．摸出的是红球 B．摸出的是黑球
C．摸出的是绿球 D．摸出的是白球
5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，将长为8的线段分成三条线段，，，且，若这三条线段首尾相连能够围成一个三角形，则的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2024下·全国·七年级假期作业）计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）下面是小明的作业，他判断正确的个数是（　　）
…………（√）
…………（√）
…………（×）
…………（√）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D
9．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；（2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
10．（2021·山东日照·统考中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
11．（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，已知，，，其中点，，分别为斜边，，的中点，连接，，．则线段，，的数量关系是（ ）

A． B．
C． D．
12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）用一些完全相同的小正方体摆成一个几何体，如图是该几何体的左视图和俯视图，针对该几何体所需小正方体的个数m，三人的说法如下，
甲：若，则该几何体有两种摆法；
乙：若，则该几何体有三种摆法；
丙：若，则该几何体只有一种摆法．下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．乙和丙都错 C．甲错，乙对 D．乙对，丙错
13．（2023上·河北邯郸·八年级校考期中）如图，在图纸上画有，平分，定点P在上．将夹角为的角尺任意放在图纸上，使角尺的顶点与点P重合，两边分别交射线，于点M，N（均不与点O重合）．关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　）
甲：始终等于；
乙：四边形的面积为定值

A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲对乙错 D．甲错乙对
14．（2023·广东东莞·校联考二模）如图，的半径为2，弦垂直直径于点E，且E是的中点，点P从点E出发（点P与点E不重合），沿的路线运动，设，，那么y与x之间的关系图象大致是（　　）
A．B．C．D．
15．（2023上·全国·九年级期末）如图，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一直线上，P是线段的中点，连接．若，则＝（　　）

A． B． C． D．
16．（2023·浙江温州·统考三模）已知二次函数上的两点满足，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．（2024上·陕西西安·九年级统考期末）劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对三类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，用，，三点分别表示三类种子的发芽率与该类种子用于实验的数量的情况，其中点在反比例函数图象上，则三类种子中，发芽数量最多的是 类种子．（填“A”“B”或“C”）
18．（2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习）定义运算“”： ；若，则的值为 ．
19．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末）小明要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其能在正方形内自由旋转．
（1）如图1．若这个正多边形为边长最大的正六边形， ；
（2）如图2，若这个正多边形为正，则的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2024上·安徽亳州·七年级统考期末）若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”例如：方程是方程的“后移方程”
(1)判断方程是否为方程的“后移方程”；
(2)若关于的方程是关于的方程的“后移方程”，求的值．
21．（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）团团圆圆家买了一套住房，建筑平面图如图：（单位：米）
(1)用含有a、b的代数式表示主卧的面积为______平方米，次卧的面积为______平方米，客厅的面积为______平方米．（直接填写答案）
(2)团团圆圆的爸爸想把主卧、次卧铺上木地板，其余部分铺瓷砖，已知每平方米木地板费用为200元，每平方米瓷砖的费用为100元，求，时，求整个房屋铺完地面所需的费用？
22．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）陕西某校为加强对防溺水安全知识的宜传，组织全校学生进行“防溺水安全知识”测试，测试结束后，随机抽取50名学生的成绩，整理如下：
a．成绩的频数分布表：
成绩x/分
频数 3 4 16 7 20
b．在这一组的成绩（单位：分）分别为82，83，84，85，86，87，88．
根据以上信息回答下列问题：
(1)求在这次测试中的平均成绩．（每一组的分值取组中值，例如：分数段为取55，分数段为取65）
(2)若本校800名学生同时参加本次测试，请估计成绩不低于80分的人数．
(3)陶军同学在这次测试中的成绩是83分，结合上面的数据信息，他认为自己的成绩应该属于中等偏上水平，你认为他的判断是否正确？并说明理由．
23．（2024上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）某课外科技小组研制了一种航模飞机通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表：
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
【探究发现】
通过表格可发现与满足一次函数关系，即.而与之间的数量关系也可以用我们已经学习过的函数来描述．
【解决问题】
(1)直接写出关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
(2)如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下面的问题．
①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
②在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．
24．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，已知是的边上一点，，点是射线上一点，连接经过点且与相切于点，与边相交于另一点．
(1)的最小值是 ，当圆心在射线上时，的半径为
(2)分别求出与时，圆心到直线的距离；
(3)直接写出当与线段只有一个公共点时，的取值范围．
25．（2024上·安徽六安·八年级统考期末）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”．
(1)若函数为函数的“组合函数”，求的值；
(2)设函数与的图像相交于点．
①若，函数的“组合函数”图像经过点，求的值；
②若，点在函数的“组合函数”图像的上方，求的取值范围．
26．（2024上·山西长治·九年级校联考期末）综合与实践
问题情境：如图1，在矩形中，，．将矩形绕边的中点E逆时针旋转角度得到矩形（点A，B，C，D的对应点分别是点，，，）．
操作发现：
（1）连接，，，，则四边形的形状是______；
问题探究：
（2）如图2，连接，，试判断与的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，与BC交于点F，连接BD，当点落在线段BD上时．
①求的长度；
②直接写出的长度．河北省2024年中考模拟考试卷01
(
条 码 粘 贴 处
（正面朝上贴在此虚线框内）
)
姓名：______________班级：______________
准考证号
(
注意事项
1
、
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2
、
请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3
、
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4
、
请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
) (
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记
！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
)
选择题（请用2B铅笔填涂）
１、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ２、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ３、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ４、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ５、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ６、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ７、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ８、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ９、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 13、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 14、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
16、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、
26题、中小学教育资源及组卷应用平台
河北省2024年中考模拟考试卷01
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023上·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（ ）
A．岁 B．岁 C．岁 D．岁
【答案】D
【分析】本题考查了用字母表示数，先表示出小明岁，再表示出小华岁，问题得解．
【详解】解：小强y岁，小明比小强大2岁，则小明岁；小明比小华小4岁，则小华岁．故选：D
2．（2023上·河北保定·七年级统考期末）如图，点在点的北偏东方向上，，则点在点的（ ）
A．西偏北方向上 B．北偏西方向上
C．西偏北方向上 D．北偏西方向上
【答案】B
【分析】本题考查了方向角的表示以及方向角的计算，用的度数减去，再结合图形即可解答．
【详解】解：
∴点在点的北偏西方向上．
故选：B．
3．（2023下·七年级单元测试）可以表示为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法分别计算可得．
【详解】解：A、不能表示为，此选项不符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项符合题意；
D、，此选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则．
4．（2023上·全国·九年级专题练习）一个布袋里装有3个红球，2个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．摸出的是红球 B．摸出的是黑球
C．摸出的是绿球 D．摸出的是白球
【答案】D
【分析】本题主要考查可能性大小，根据个数最多的就是可能性最大的进行判断即可．
【详解】解：因为白球最多，所以被摸到的可能性最大．
故选：D．
5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，将长为8的线段分成三条线段，，，且，若这三条线段首尾相连能够围成一个三角形，则的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是学会利用参数构建不等式解决问题．利用三角形的三边关系构建不等式求解．
【详解】利用三角形的三边关系构建不等式求解．
【解答】解：由题意，，
．
符合题意．
故选：B．
6．（2024下·全国·七年级假期作业）计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
7．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）下面是小明的作业，他判断正确的个数是（　　）
…………（√）
…………（√）
…………（×）
…………（√）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，立方根的意义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质判断即可．
【详解】解：，原判断错误；
，原判断错误；
，原判断正确；
，原判断正确；
判断正确的个数为个，
故选B．
8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D
【答案】C
【详解】A．∵∠D＝∠5，∴AD∥BC．
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B．∵∠3＝∠4，∴AD∥BC．
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D．∵AB∥CD，∴∠B＝∠5．
∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠5，
∴AD∥BC．
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意．
9．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；（2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题．
【详解】解：如图，
A、连接，，因此，故A不符合题意；
B、连接，由，，，得到，因此，得到，由，得到，则，得到，故B不符合题意；
C、由，得到，而，因此，故C不符合题意；
D、由圆周角定理得到所以，故D符合题意．
故选：D．
10．（2021·山东日照·统考中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出的所有可能的取值．
【详解】解：如果实施5次运算结果为1，
则变换中的第6项一定是1，
则变换中的第5项一定是2，
则变换中的第4项一定是4，
则变换中的第3项可能是1，也可能是8．
则变换中的第3项可能是1，计算结束，1不符合条件，第三项只能是8.
则变换中第2项是16．
则的所有可能取值为32或5，一共2个，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键．
11．（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，已知，，，其中点，，分别为斜边，，的中点，连接，，．则线段，，的数量关系是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可以得到，然后根据勾股定理可以得到，从而可以得到的数量关系．
【详解】解：∵点F，G，H分别为的斜边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
化简，得：，
故选：C．
12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）用一些完全相同的小正方体摆成一个几何体，如图是该几何体的左视图和俯视图，针对该几何体所需小正方体的个数m，三人的说法如下，
甲：若，则该几何体有两种摆法；
乙：若，则该几何体有三种摆法；
丙：若，则该几何体只有一种摆法．下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．乙和丙都错 C．甲错，乙对 D．乙对，丙错
【答案】C
【分析】根据甲、乙、丙所说m的值，分别画出相应几何体的三视图，再进行判断即可．
【详解】解：如图，
甲：若，则第一层已经摆放5个，第二层只放1个，由左视图的俯视图可得主视图如图①②③所示三种，故甲错；
乙：若，则第二层可放2个，可得主视图如④⑤⑥所示三种，故乙对；
丙：若，则第一层放5个，第二层放3个小正方体，这样只能摆放在后面三个小正方体上，主视图如图⑦所示，只有一种摆法，故丙对，
故选：C
【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的相关知识是解答本题的关键．
13．（2023上·河北邯郸·八年级校考期中）如图，在图纸上画有，平分，定点P在上．将夹角为的角尺任意放在图纸上，使角尺的顶点与点P重合，两边分别交射线，于点M，N（均不与点O重合）．关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　）
甲：始终等于；
乙：四边形的面积为定值

A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲对乙错 D．甲错乙对
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识．如图过点作于，于．只要证明，，即可一一判断．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：如图作于，于．

，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，，
，
，
，
定值，
在和中，，
，
，，故甲正确，
，
定值，故乙正确．
故选：A．
14．（2023·广东东莞·校联考二模）如图，的半径为2，弦垂直直径于点E，且E是的中点，点P从点E出发（点P与点E不重合），沿的路线运动，设，，那么y与x之间的关系图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，当点P在线段时，，推出当时，函数图形是反比例函数，当点P在上时，是定值，y是定值，由此即可判断．
【详解】解：连接，如图，
∵弦垂直直径于点E，且E是的中点，，
∴,
又，
∴当点P在线段时，，
∴当时，函数图形是反比例函数，
当点P在上时，是定值，y是定值，
故选：C．
15．（2023上·全国·九年级期末）如图，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一直线上，P是线段的中点，连接．若，则＝（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．延长交于点H，证明，继而证明，根据三线合一可知，进一步可得，继而 可得答案．
【详解】解：如图，延长交于点H，

∵P是线段的中点，
∴，
由题意可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
16．（2023·浙江温州·统考三模）已知二次函数上的两点满足，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】已知二次函数，由确定抛物线开口向上，且对称轴为直线，根据的取值范围与对称轴的关系，判断的取值范围．
【详解】解：A、 若，则，二次函数开口向上，对称轴为直线，此时，在对称轴左侧，随的增大而减小，所以，选项错误，不符合题意；
B、若，则，，当时，解为或，二次函数开口向上，对称轴为直线，此时，在对称轴左侧，随的增大而减小，所以，选项正确，符合题意；
C、 若，则，二次函数开口向上，对称轴为直线，此时，在对称轴左侧，随的增大而减小，所以，选项错误，不符合题意；
D、若，则，，当时，解为或，二次函数开口向上，对称轴为直线，此时，在对称轴左侧，随的增大而减小，所以，选项错误，不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解决此类问题要明确抛物线的开口方向、对称轴和增减性，根据的取值范围确定的取值范围．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．（2024上·陕西西安·九年级统考期末）劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对三类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，用，，三点分别表示三类种子的发芽率与该类种子用于实验的数量的情况，其中点在反比例函数图象上，则三类种子中，发芽数量最多的是 类种子．（填“A”“B”或“C”）
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据发芽率y=发芽数量÷实验的数量x即可得到结论．
【详解】解：∵发芽率=发芽数量÷实验的数量，
∴y随x的增大而变小，
∴发芽数量最多的是C类种子．
故答案为：C．
18．（2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习）定义运算“”： ；若，则的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了新定义和解分式方程，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义得到，据此计算即可；
（2）当时，则，当时，则，两种情况分别解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）当时，
∵，
∴，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∵，
∴符合题意；
当时，
∵，
∴，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∵，
∴符合题意；
综上所述，或，
故答案为：或．
19．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末）小明要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其能在正方形内自由旋转．
（1）如图1．若这个正多边形为边长最大的正六边形， ；
（2）如图2，若这个正多边形为正，则的取值范围为 ．
【答案】 5
【分析】（1）如图1，连接，，，作正方形的内切圆，根据正六边形的性质得出，再根据的直径等于正方形的边长可得；
（2）如图2，作正方形的内切圆，作的内接正三角形，此时最大，连接，，过点F作于点M，解直角三角形即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，连接，，，作正方形的内切圆，
由正六边形可得是等边三角形，
，
由正方形的边长为10，可知的直径为10，即，
，
故答案为：5；
（2）如图2，作正方形的内切圆，作的内接正三角形，
的直径为10，，
此时最大，连接，，
，，
过点F作于点M，
则，
，，，
的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，正六边形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是正确作出辅助线．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2024上·安徽亳州·七年级统考期末）若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”例如：方程是方程的“后移方程”
(1)判断方程是否为方程的“后移方程”；
(2)若关于的方程是关于的方程的“后移方程”，求的值．
【答案】(1)方程是方程的后移方程(2)
【分析】本题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解题的关键．
（1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判定即可．
（2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】（1）解：方程的解是，
方程的解是，
两个方程的解相差1，
方程是方程的后移方程；
（2）解：，
，
，，
关于的方程是关于的方程的“后移方程”，
的解为，
把代入得：，
．
21．（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）团团圆圆家买了一套住房，建筑平面图如图：（单位：米）
(1)用含有a、b的代数式表示主卧的面积为______平方米，次卧的面积为______平方米，客厅的面积为______平方米．（直接填写答案）
(2)团团圆圆的爸爸想把主卧、次卧铺上木地板，其余部分铺瓷砖，已知每平方米木地板费用为200元，每平方米瓷砖的费用为100元，求，时，求整个房屋铺完地面所需的费用？
【答案】(1)，，(2)整个房屋铺完地面所需的费用为18900元
【分析】本题考查列代数式，整式的加减，代数式求值．
（1）运用长方形的面积公式逐个计算求和即可；
（2）先求出主卧、次卧的面积和，厨房、客厅、卫生间的面积和，然后利用总价单价面积，将，代入进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意主卧的长为5米，宽为米，则面积为（平方米）；
次卧的长为米，宽为米，则面积为（平方米）；
客厅的长为米，宽为米，则面积为（平方米）；
故答案为：，，；
（2）解：主卧、次卧的面积和为（平方米）；
厨房的长为米，宽为米，则面积为（平方米）；
卫生间的长为米，宽为米，则面积为（平方米）；
则厨房、客厅、卫生间的面积和（平方米）；
整个房屋铺完地面所需的费用为：
，
当，时，
原式（元），
答：整个房屋铺完地面所需的费用为18900元．
22．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）陕西某校为加强对防溺水安全知识的宜传，组织全校学生进行“防溺水安全知识”测试，测试结束后，随机抽取50名学生的成绩，整理如下：
a．成绩的频数分布表：
成绩x/分
频数 3 4 16 7 20
b．在这一组的成绩（单位：分）分别为82，83，84，85，86，87，88．
根据以上信息回答下列问题：
(1)求在这次测试中的平均成绩．（每一组的分值取组中值，例如：分数段为取55，分数段为取65）
(2)若本校800名学生同时参加本次测试，请估计成绩不低于80分的人数．
(3)陶军同学在这次测试中的成绩是83分，结合上面的数据信息，他认为自己的成绩应该属于中等偏上水平，你认为他的判断是否正确？并说明理由．
【答案】(1)82.4分(2)432人(3)不正确，理由见解析
【分析】本题考查了加权平均数，中位数，频数分布表等知识：
（1）根据加权平均数的求法求解即可；
（2）利用样本估计总体的思想求解即可；
（3）根据中位数的意义求解即可．
【详解】（1）解：这次测试中的平均成绩为（分），
故在这次测试中的平均成绩为82.4分．
（2）解：（人）．
答：估计成绩不低于80分的有432人．
（3）不正确．
理由：成绩的中位数为，中位数反映成绩的中等水平，而，所以陶军同学在这次测试中应该处于中等偏下的水平．
23．（2024上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）某课外科技小组研制了一种航模飞机通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表：
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
【探究发现】
通过表格可发现与满足一次函数关系，即.而与之间的数量关系也可以用我们已经学习过的函数来描述．
【解决问题】
(1)直接写出关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
(2)如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下面的问题．
①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
②在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．
【答案】(1)
(2)①飞机落到安全线时飞行的水平距离；②发射平台相对于安全线的最低高度为
【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①令二次函数，求出时间代入函数式即可求解；
②设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解．
【详解】（1）与是二次函数关系，
设，
由题意得：，解得： ，
；
（2）①依题意, 得，
解得：(舍)， ，
当时，，
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为；
②设发射平台相对于安全线的高度为，
∴飞机相对于安全线的飞行高度，
，
，
在中，
当时， ，
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于．
24．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，已知是的边上一点，，点是射线上一点，连接经过点且与相切于点，与边相交于另一点．
(1)的最小值是 ，当圆心在射线上时，的半径为
(2)分别求出与时，圆心到直线的距离；
(3)直接写出当与线段只有一个公共点时，的取值范围．
【答案】(1)8，3
(2)当时，圆心O到直线的距离为；当时，圆心O到距离为
(3)
【分析】（1）当时，最小，由，设，，利用勾股定理求出，可得，，再根据圆心在射线上时，是的直径可得答案；
（2）当时，连接，作于T，作于R，可证得，从而有，即可求出；当时，作于R，连接，可证得，从而有，即可求出；
（3）当时，证明是的切线，可得此时是与线段有一个公共点的临界情况，然后可得答案．
【详解】（1）解：如图1，
当时，最小，
∴，
设，，
∴，
∴（舍去负值），
∴，，即的最小值是8，
∵当圆心在射线上时，是的直径，如图1，
∴的半径为，
故答案为：8，3；
（2）当时，连接，作于T，作于R，如图2，
∴，，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴圆心O到直线的距离为；
当时，作于R，连接，如图3，
∵，
∴经过圆心O，
∵是的切线，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴圆心O到距离为；
（3）当时，连接，如图4，
由（2）知：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴是的切线，此时与线段恰有一个公共点，
∴当与线段只有一个公共点时，．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练运用相似三角形解决问题．
25．（2024上·安徽六安·八年级统考期末）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”．
(1)若函数为函数的“组合函数”，求的值；
(2)设函数与的图像相交于点．
①若，函数的“组合函数”图像经过点，求的值；
②若，点在函数的“组合函数”图像的上方，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)①；②
【分析】（1）根据定义，构造“组合函数”，利用恒等式性质，构造方程组求解即可．
（2）①先利用解析式联立构成方程组，求得交点坐标，确定组合函数，把坐标代入组合函数，解答即可．
②根据交点的坐标为，确定组合函数为，当时，函数值为，结合点在函数的“组合函数”图像的上方，得到，解答即可．
【详解】（1）由题意可知：，
整理得：，
，
解得：，
故：．
（2）解方程组：，
解得：，
函数与的图像相交于点，
点坐标为
函数的“组合函数”为：，
化简得：，
①点在函数的“组合函数”图像上，
将点坐标代入“组合函数”得：
整理得：，
，
．
②∵组合函数为，
∴当时，函数值为，
∵点在函数的“组合函数”图像的上方，
∴，
整理得：．
即
的取值范围是．
【点睛】本题考查了一次函数的新定义，恒等式性质，方程组，根据纵坐标的大小判断位置的上下，解不等式．正确理解定义，准确构造方程组，并解方程组是解题的关键．
26．（2024上·山西长治·九年级校联考期末）综合与实践
问题情境：如图1，在矩形中，，．将矩形绕边的中点E逆时针旋转角度得到矩形（点A，B，C，D的对应点分别是点，，，）．
操作发现：
（1）连接，，，，则四边形的形状是______；
问题探究：
（2）如图2，连接，，试判断与的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，与BC交于点F，连接BD，当点落在线段BD上时．
①求的长度；
②直接写出的长度．
【答案】（1）矩形；（2），理由详见解析；（3）①；②．
【分析】（1）根据旋转的性质得出，根据中点的定义即可得出点E平分和，即可得出结论四边形是矩形；
（2）连接，易得，勾股定理可得，根据旋转的性质得出，推出，即可求解；
（3）①连接，根据勾股定理可得，通过证明，得出，即可求解；②过点作的平行线，交于点M和点N，先证明，求出，易得四边形为矩形，则，，，根据勾股定理可得，最后证明即可求解．
【详解】（1）解：∵矩形绕边的中点E逆时针旋转得到矩形，
∴，点E平分和，
∴四边形是矩形，
故答案为：矩形；
（2）解：，理由如下：
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点E是中点，，
∴，
在中，勾股定理可得：，
∵矩形绕边的中点E逆时针旋转得到矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
由（1）可得，四边形是矩形，
∴，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
②解：过点作的平行线，交于点M和点N，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵点E为中点，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，构造全等三角形，以及熟练掌握相关性质定理，是解题的关键．

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