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5.3.2课时1函数的极值 第一练 练好课本试题
3.2课时1函数的极值
第一练 练好课本试题
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.会根据图象判断极值点，培养直观想象，如第3题.
2.会求函数的极值，培养运算求解能力，如第4题.
3.能利用函数的极值求参数的取值范围，锻炼逻辑推理能力，如第5题.
一．解答题
1．判断函数是否有极值，并说明理由．
2．函数的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点．
3．求下列函数的极值：
（1）
（2）
（3）；
（4）
4．已知函数在处有极大值，求c的值．
5．已知函数在取得极值，求a的值．
6．设函数有极值，求a的取值范围，并求出函数的极值点．
【易错题目】第5，6题
【复盘要点】利用函数的极值求参数值或参数的取值范围
【复盘训练】
（2024·全国·模拟预测）
7．已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则
A．或2 B．或3 C．或1 D．或1
9．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于
A．2 B．3 C．6 D．9
10．设函数，若的两个极值点为，且，则实数a的值为 .
11．已知有极大值和极小值，则a的取值范围为
（2024上·广东潮州·期末）
12．若函数在上有极值，则实数的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．没有极值.
【分析】由导函数判断函数是否有极值.
【详解】定义域为，恒成立，而要想有极值，必须在某点导函数为0，且在该点的左右两边导函数异号，所以函数没有极值.
2．是函数的极值点，是极大值点，是极小值点.
【分析】根据极值点的导数为0，点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号.
【详解】因为点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以是函数的极值点；又因为时，，时，，所以是极大值点；
因为时，，时，，所以是极小值点.
3．（1）极小值为，无极大值；（2）极小值为，极大值为；.
（3）极小值为，极大值为；（4）极小值为，极大值为.
【分析】求写出定义域，求出导函数，研究单调性，用列表法求出极值.
【详解】（1）的定义域为R，.
令，解得：，列表得：
x
- 0 +
↘ ↗
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）的定义域为R，.
令，解得：，列表得：
x -3 3
+ 0 - 0 +
↗ 54 ↘ -54 ↗
所以函数的极小值为，极大值为..
（3）的定义域为R，.
令，解得：，列表得：
x -2 2
- 0 + 0 -
↘ -10 ↗ 22 ↘
所以函数的极小值为，极大值为..
（4）的定义域为R，.
令，解得：，列表得：
x -1 1
- 0 + 0 -
↘ -2 ↗ 2 ↘
所以函数的极小值为，极大值为.
4．6
【分析】由已知函数在处有极大值，则必有(2)，且在的左侧附近，右侧附近，据此即可求出的值．
【详解】解：，且函数在处有极大值，
(2)，即，解得或2．
经检验时，函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去．
故．
故答案为：6．
5．0
【分析】求出函数的导函数，依题意，即可求出参数的值，再代入检验即可；
【详解】解：因为，所以，因为在取得极值，所以，此时，所以，所以当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，所以时，取得极小值，所以；
6．，极大值点为，极小值点为.
【分析】求出函数的导函数，再根据极值的定义分和两种情况讨论即可得出答案.
【详解】解：，
当时，，所以函数在上递增，没有极值；
当时，令，则，
当或时，；当时，，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以函数的极大值点为，极小值点为，所以.
7．A
【分析】利用导数与及极值点间的关系，结合条件即可求出结果.
【详解】由题意，得，关于x的一元二次方程的两根为b，2b，
又极小值点为，极大值点为，所以，即，
由韦达定理得到，所以，，得到．
故选：A．
8．A
【分析】利用导数判断函数的单调性求出极值点为，利用或可得结果.
【详解】因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以的极大值为，极小值为，因为函数的图象与轴恰有两个公共点,所以只须满足或，即或,故选A.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点或；两个零点或；三个零点且.
9．D
【详解】试题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．
解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b
又因为在x=1处有极值
∴a+b=6
∵a＞0，b＞0
∴
当且仅当a=b=3时取等号
所以ab的最大值等于9
故选D
点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．
10．9
【分析】由题意得，进一步结合韦达定理以及即可求解.
【详解】，由已知，从而，
所以，经验证此时，符合题意.
故答案为：9.
11．
【分析】求导得出，然后根据题意得出，最后通过计算即可得出结果.
【详解】∵，
∴，
因为函数既有极大值，又有极小值，
所以，
解得或，
故的取值范围为.
故答案为：.
12．
【分析】由题意可得在上有变号零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值可得答案.
【详解】的定义域为，，
要函数在上有极值，
则在上有变号零点，即在上有实数根，且不能为相等实根.
令，
则，当且仅当时等号成立，
所以.
当时，，函数单调递增，
则函数在上没有极值，
故.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页5.3.2课时1函数的极值 第一课 解透课本内容
5.3.2课时1函数的极值
第一课 解透课本内容
[课标要求]
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.
[明确任务]
1.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.【数学运算】
2.能利用极值点、极值求解相关问题.【数学运算，直观想象】
（1）在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数 函数的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
f′(x)＝0 常函数
（2）在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性 导数
单调递增 f′(x)≥0
单调递减 f′(x)≤0
核心知识点1：函数的极值与导数
1．极小值点与极小值
若函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
解读： ①特征：函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小，并且．
②符号：在点附近的左侧，右侧．
③结论：叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，则把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．
解读:
（1）①特征：函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大，并且．
②符号：在点附近的左侧，右侧．
③结论：叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
（2）导数值为0的点不一定是该函数的极值点．例如，对于函数，有，显然，但无论，还是，恒有，即函数是增函数，所以不是函数的极值点．
（3）理解极值概念需注意的问题
①函数的极值是一个局部性的概念，即某个点的函数值与它附近的函数值相比较是最大的或最小的，且该点处的导数值为0．极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷”，但并不意味着它在整个定义域内是最大的或最小的．
②极值点是函数定义域内的自变量的值，指的是横坐标；极值是函数值，指的是纵坐标．而函数定义域的端点一定不是函数的极值点．
③若在内有极值，则在内绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值点．
④极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，某个极小值可能大于某个极大值，即极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大．
⑤若函数在上有极值且函数图象连续，则它的极值点的分布是有规律的（如图所示），相邻两个极大值点之间必有一个极小值点．同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数在某区间上连续且存在有限个极值点时，函数在该区间上的极大值与极小值是交替出现的．
⑥可导函数在极值点处的导数值一定为0，但是反之不一定成立，即是可导函数在处取得极值的必要不充分条件．
例1.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极小值点的个数为________．
【答案】1
【解析】在内，使的点有．若为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧，导函数的符号满足左负右正，故只有点符合．
例2．函数的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点．
【答案】是函数的极值点，是极大值点，是极小值点.
【分析】根据极值点的导数为0，点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号.
【详解】因为点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以是函数的极值点；又因为时，，时，，所以是极大值点；
因为时，，时，，所以是极小值点.
归纳总结：由函数的图象确定极大值或极小值时，需关注图象在某点处从左侧到右侧的变化情况，极值点一般是指单调性的转折点．若图象由“上升”变为“下降”，则在该点附近，该点的位置最高，即该点处的函数值比它附近其他点处的函数值都大，因此该点处的函数值是极大值；若图象由“下降”变为“上升”，则在该点附近，该点的位置最低，即该点处的函数值比它附近其他点处的函数值都小，因此该点处的函数值是极小值．
【举一反三】
1．已知函数的导函数图像如图所示，则函数有
A．两个极大值 ，一个极小值 B．两个极大值，无极小值
C．一个极大值，一个极小值 D．一个极大值，两个极小值
核心知识点2：函数极值的求法与步骤
1.函数在某点处取得极值的判断方法
（1）若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，则是极大值点，是极大值；是极小值点，是极小值．
与随的变化情况如表所示：
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
（2）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在点处的左侧与右侧，的符号不同．
①如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值；
②如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值．
（3）若函数在上单调，则在上没有极值．
极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值；极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点，极小值是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值．
解读：求含参函数的极值的注意点
（1）要注意运用分类讨论思想和数形结合思想；
（2）某区间内的单调函数没有极值；
（3）导数为0的点不一定是极值点．
例1. 求函数的极值．
解：因为，所以
．
令，解得，或．
当x变化时，，的变化情况如下表；
x 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为
；
当时，有极小值，并且极小值为
．
例2.求函数f(x)＝－2的极值.
【解析】函数的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) －3 －1
由上表可以看出：
当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
归纳总结：
（1）求可导函数的极值的步骤
①确定函数的定义域，求导数；
②求方程的根；
③用函数的导数为0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小开区间的正负；
④利用与随变化的表格，并根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
（2）判断极大值、极小值的方法
（1）从函数的角度看，先增后减是极大值，先减后增是极小值．
（2）从导数的角度看，先正后负是极大值，先负后正是极小值．
（3）从图象的角度看，先上升后下降是极大值，先下降后上升是极小值．
【举一反三】
2．求下列函数的极值：
（1）
（2）
（3）；
（4）
3．已知函数在点处的切线方程为.
(1)求实数、的值；
(2)求函数的极值．
4．设函数，则的极大值点和极小值点分别为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是　(　　)
A．(2,3)
B．(3,+∞)
C．(2,+∞)
D．(-∞,3)
（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）
6．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）

A．有2个极值点 B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减
（2023上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）
7．函数的极值点为 .
8．函数在其极值点处的切线方程为 .
9．已知有极大值和极小值，则a的取值范围为
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【详解】导函数有三个零点，设为,,,
当时，，当时，
所以函数在处取得极小值；
当时，，当时，；
所以函数在处无极值；
当时，，当时，；
所以函数在处取得极大值.
故选C
2．（1）极小值为，无极大值；（2）极小值为，极大值为；.
（3）极小值为，极大值为；（4）极小值为，极大值为.
【分析】求写出定义域，求出导函数，研究单调性，用列表法求出极值.
【详解】（1）的定义域为R，.
令，解得：，列表得：
x
- 0 +
↘ ↗
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）的定义域为R，.
令，解得：，列表得：
x -3 3
+ 0 - 0 +
↗ 54 ↘ -54 ↗
所以函数的极小值为，极大值为..
（3）的定义域为R，.
令，解得：，列表得：
x -2 2
- 0 + 0 -
↘ -10 ↗ 22 ↘
所以函数的极小值为，极大值为..
（4）的定义域为R，.
令，解得：，列表得：
x -1 1
- 0 + 0 -
↘ -2 ↗ 2 ↘
所以函数的极小值为，极大值为.
3．(1)，
(2)极小值为，无极大值
【分析】（1）求出，由导数的几何意义可得，可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值；
（2）利用导数分析函数的单调性，利用极值与导数的关系可求得该函数的极值.
【详解】（1）解：因为，则，
因为函数在点处的切线方程为，
则，解得.
（2）解：函数的定义域为，则，
由可得，列表如下：
减 极小值 增
所以，函数的单调减区间为，单调增区间为，
故函数的极小值为，无极大值.
4．A
【分析】利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值点.
【详解】易知函数的定义域是，
由题意，，
当或时，；当或时，，
在和上单调递增，在和上单调递减，
极大值点是，极小值点是．
故选：A.
5．B
【详解】f′(x)=6x2+2ax+36,
因为f(x)在x=2处有极值,
所以f′(2)=0,
解得a=-15.
令f′(x)>0得x>3或x<2.
所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).
点睛：本题考查的是利用导数研究函数的单调性和极值问题：（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
6．C
【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.
【详解】由题意及图得，
在上单调递增，在上单调递减，
∴有一个极大值，没有极小值，
∴A，B，D错误，C正确，
故选：C.
7．0
【分析】利用导数，结合极值点的定义得解.
【详解】，
，令解得，令解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极值点为0.
故答案为：0.
8．
【详解】，令，此时
函数在其极值点处的切线方程为
考点：：导数的几何意义.
9．
【分析】求导得出，然后根据题意得出，最后通过计算即可得出结果.
【详解】∵，
∴，
因为函数既有极大值，又有极小值，
所以，
解得或，
故的取值范围为.
故答案为：.
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答案第1页，共2页

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