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6.1 平面向量的概念【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.平面向量的概念，培养数学抽象、逻辑推理素养，如第1题、第4题、第5题、第7题；
2.平面向量的几何意义及其简单应用，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第2题、第3题、第12题；
3.相等线向量与共线向量，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第6题、第8题、第9题、第10题、第11题、第13题、第14题；
（2023·山西师大附中·高一假期作业）
1．下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④非零向量的单位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起点是 D．向量的终点是
（2023·陕西渭南·高一期中）
3．如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ）．
A． B． C． D．与不能比较大小
（2023·福建三明一中高一期末）
4．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
（2023·湖北孝感高一期中）
5．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（ ）
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
（2023·辽宁大连金州区·高一期中）
6．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（2023·广西桂林·高一校考期末）
7．下列关于向量的描述中，不正确的有（ ）
A．有向线段就是向量
B．若向量与向量共线，则四点共线
C．零向量没有方向
D．若，则
（2023·辽宁抚顺·高一校联考期末）
8．下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线
（2023·内蒙古赤峰·高一期中）
9．已知O是正方形ABCD的中心，则向量是 .（填序号）
①平行向量；②相等向量；③有相同终点的向量；④模都相等的向量.
（2023·湖南益阳高一期中）
10．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.

（2023·江西宜春高一期中）
11．给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 .
（2023·福建莆田五中高一月考）
12．小明从学校的教学楼出发，向北走了到达图书馆，后从图书馆向南偏东方向走了到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了来到操场运动．请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移．
（2023·陕西汉中·高一期中）
13．如图，设O是 ABCD对角线的交点，则
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)写出与共线的向量．
（2023·安徽霍邱·高一期中）
14．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
【易错题目】第8题、第12题、第14题
【复盘要点】零向量是一类特殊的向量，在涉及向量概念辨析、判断向量共线问题等问题，常常因对零向量概念不清而致错.
例1.（2023·山东泰安实验高中高一期中）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．向量与向量的长度相等
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
D．若，则
【答案】 B
【解析】对于A；当，则不一定平行，故A错，
对于B；向量与向量是相反向量，故长度相等，故B正确，
对于C；两个单位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C错，
对于D；向量有方向和大小，不能比较大小，故D错，
故选：B
易错警示： 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作．
（1）零向量的方向是任意的．
（2）若用有向线段表示零向量，则其终点与起点重合．
（3）要注意0与的区别与联系：0是一个实数，是一个向量，且有；书写时表示零向量，一定不能漏掉0上的箭头．
【复盘训练】
15．下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为0
D．任意两个单位向量方向相同
（2023·河北邯郸·高一期中）
16．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意向量共线
（2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）
17．下列命题中正确的个数是（ ）
①起点相同的单位向量，终点必相同；
②已知向量，则四点必在一直线上；
③若，则；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023·广东湛江高一期中）
18．下列命题正确的有 ．(填序号)
①向量与向量的长度相等、方向相反;
②与平行，则与的方向相同或相反;
③两个相等向量的起点相同，则其终点必相同;
④与是共线向量，则四点共线．
19．下列关于向量的命题，序号正确的是 .
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
20．已知A、B、C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则＝ .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】①错误，只有速度，位移是向量．
②错误，零向量有方向，它的方向是任意的．
③错误，
④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向．
故选：A.
2．D
【分析】根据向量的几何表示逐个选项分析可得答案.
【详解】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确；
向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.
故选：D
3．A
【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案.
【详解】由题意，作图如下：
则该飞机由先飞到，再飞到，则，，，
则飞机飞行的路程为，，
所以.
故选：A.
4．A
【分析】根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误.
【详解】A：与的长度相等，方向相反，正确；
B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；
C：零向量的方向任意，故错误；
D：向量的模是一个非负实数，故错误.
故选：A
5．A
【分析】根据单位向量的概念，以及圆的定义，即可得出结果.
【详解】平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是单位圆．
故选：A.
6．A
【分析】根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错.
【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；
时，只说明向的长度相等，无法确定方向，
所以B，C均错；
时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D错.
故选：A.
【点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题.
7．ABC
【分析】由有向线段和向量定义可知A错误；由共线向量定义可知B错误；根据零向量方向任意可知C错误；由相等向量定义知D正确.
【详解】对于A，有向线段是固定的，向量是可以平行移动的，二者不是相等关系，A错误；
对于B，若和是平行四边形的一组对边，此时向量与向量共线，但四点不共线，B错误；
对于C，零向量方向任意，C错误；
对于D，若，则大小相等，方向相同，D正确.
故选：ABC.
8．ABD
【分析】根据相等向量和共线向量的定义判断即可.
【详解】解：因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同、大小（长度）相等的两个向量才相等，故A错误；
两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；
无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线故C正确，D错误.
故选：ABD．
9．④
【分析】根据向量的有关概念及正方形的性质即可求解.
【详解】解：根据向量的有关概念及正方形的性质，可得向量是模都相等的向量.
故答案为：④.
10．3
【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解.
【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个.
故答案为：3
11．①③④
【分析】运用向量共线的定义判断即可.
【详解】因为与为相等向量，所以，即①能够使成立；
由于并没有确定与的方向，即②不一定能使成立；
因为当与方向相反时，则，即③能够使成立；
因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立.
故使成立的条件是①③④.
故答案为：①③④.
12．答案见解析
【详解】如图所示，
向量表示从教学楼到图书馆的位移；
向量表示从图书馆到食堂的位移；
向量表示从食堂到操场的位移；
向量表示从开始到最后的位移．
13．(1)三个
(2)，
(3)，，
【分析】（1）（2）（3）根据平行四边形的性质、共线向量、向量的模的定义判断即可；
【详解】（1）解：在平行四边形中，为对角线的交点，所以，且，所以与的模相等的向量有，，三个向量．
（2）解：与的模相等且方向相反的向量为，.
（3）解：与共线的向量有，，.
14．见解析
【解析】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明；
【详解】解：因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以且.
又与的方向相同，所以.
同理可证，四边形是平行四边形，所以.
因为，，所以，
又与的方向相同，所以
【点睛】本题考查向量相等的定义的应用，属于基础题.
15．C
【分析】根据零向量和单位向量的概念求解.
【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.
故选：C.
16．D
【分析】根据零向量、单位向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】解：对于A：模为的向量叫做单位向量，但是单位向量不一定相等，因为方向不一定相同，故A错误；
对于B：零向量的相反向量依然是零向量，零向量相等，故B错误；
对于C：平行向量即共线向量，故C错误；
对于D：模为的向量叫零向量，零向量和任意向量共线，故D正确；
故选：D
17．A
【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，
【详解】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，
对于B，向量，则四点共线或，故B错误，
对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，
对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，
故选：A
18．①③
【分析】根据向量相关的定义判断即可.
【详解】对①，根据相反向量的定义知①正确;
对②，可能存在或其中之一为，由方向具有任意性知②错误;
对③，根据相等向量的定义知③正确;
对④，共线的两个向量可能不在同一直线上，故④错误．
故答案为：①③．
19．①③
【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.
【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②错误；
对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.
故选：①③
20．
【分析】依据向量共线的定义及零向量定义即可求得向量.
【详解】向量与向量是平行向量，则向量与向量方向相同或相反；
向量与是共线向量，则向量与向量方向相同或相反，
又由A、B、C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线
则＝.
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.1平面向量的概念【第二课】
题型一 向量的有关概念
例1 下列五个结论：
①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；
②若向量，则与的方向必不相同；
③若，则；
④方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量一定是平行向量．
其中，正确的有（ ）
A．①④ B．② C．④ D．③
【答案】C
【解析】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错误；，但与的方向可以相同，
故②错误；向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错误；作图易得④正确．故选C．
【方法技巧与总结】与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质．向量的核心为方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．
（2023·天津河北区高一期末）
1．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
（2023·湖南衡阳·高一期末）
2．下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数
B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等
D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
题型二 向量的几何表示
例2. 某人从点出发，向西走了后到达点，然后改变方向，向北偏西一定角度的某方向行走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，发现点在点的正北方．
（1）作出向量（图中1个单位长度表示）；
（2）求向量的模．
【解析】（1）如图．
（2）由题意可知，四边形是平行四边形，
所以．
【方法技巧与总结】（1）准确画出向量的方法是先确定有向线段的起点，再确定有向线段的方向，然后根据有向线段的大小确定有向线段的终点．
（2）要注意能够运用向量的观点将实际问题转化为数学模型．
（2023·山西长治高一期末）
3．中国象棋中规定：马走“日”字．图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量或表示马走了“一步”．试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．
（2024·吉林实验中学·高一统考期末）
4．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.

（1）画出所有的向量；
（2）求的最大值与最小值．
题型三 相等向量与共线向量
例3．如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形．在图中所示的向量中，
（1）分别写出与相等的向量；
（2）写出与共线的向量；
（3）写出与模相等的向量．
【解析】（1）．
（2）与共线的向量有．
（3）与模相等的向量有．
【方法总结】（1）寻找共线向量的技巧：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向
与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
（2）寻找相等向量的技巧：先找模与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向
共线向量．
（2024·福建三明高一期末）
5．如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量
则：（1）与向量相等的向量有 ；
（2）与向量共线，且模相等的向量有 ；
（3）与向量共线，且模相等的向量有 .
易错点1 忽视零向量致错
（2023·湖南长沙长郡中学高一期中）
【典例】已知向量满足，则与一定平行吗
【错解】一定平行．
因为，所以向量与向量具有相同或相反方向，
又因为，所以向量与向量具有相同或相反方向．
所以向量与向量具有相同或相反方向，故．
【正解】分两种情况说明：
①当向量，向量与向量均为非零向量时，不能保证．
②当向量时，若向量中有一个为或两者都为，则一定有；若向量均不为，
因为，所以向量与向量具有相同或相反方向．
又因为，所以向量与向量具有相同或相反方向．
所以向量与向量具有相同或相反方向，故．
综上所述，当向量时，向量与平行；当向量时，向量与不一定平行．
易错警示 求解向量问题时，要注意题目中的向量能否为零向量．零向量是特殊的向量，方向是任意的，且与任意向量平行．因此，向量平行是不具有传递性的．
（2023·湖北黄石·高一统考期末）
6．关于零向量，下列说法中错误的是
A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度是0
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
（2023·福建三明·高一期中）
7．若，，则向量与向量
A．共线 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线
易错点2 混淆两向量相等、平行和模相等的区别
（2023·陕西安康高一期末）
例2．给出下列三个说法：①若，则；②若，则；③若，则．其中，说法正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】①忽略了0与的区别，正确的应是；
②混淆了两个向量的模相等与两个向量相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，
它们的方向并不确定；③两个非零向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它
们的模相等．故选A．
易错警示： 两个向量的模相等，则它们的长度相等，方向不确定；两个非零向量相等，则它们的长度相等，方向相同．两个非零向量平行，则它们的方向相同或相反，长度不确定．
（2023·山西忻州·高一忻州一中期中）
8．下列说法正确的是(　　)
A．单位向量都相等 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（2023·浙江嘉兴第五高级中学高一期中）
9．已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
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参考答案：
1．D
【分析】根据向量的基本概念辨析可知.
【详解】解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；
对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；
对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；
对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确.
故选：D
2．B
【分析】利用平面向量的相关概念逐项分析判断即得.
【详解】向量的模是一个非负实数，如零向量的模是0，A错误；
零向量与任意向量共线，若与不共线，则与都是非零向量， B正确；
共线的单位向量方向可能相同，也可能相反，C错误；
两个向量相等的条件是长度相等、方向相同，与起点无关，D错误．
故选：B
3．见解析
【详解】　试题分析：利用“马”走“日”的行棋规则，画出马在 处走了“一步”的所有情况．
即可；
试题解析：根据规则，作出符合要求的所有向量，如图
【点睛】此题是考查向量的实际应用，关键是利用“马”走“日”的行棋规则表示的意义．
4．(1)见解析；(2)最大值为，最小值为.
【详解】试题分析：
（1）由||=及点C为小正方形的顶点和点A的位置可确定点C的位置，然后可画出．（2）根据（1）中的点C，逐一求得||后，可求得||的最大值为，最小值为．
试题解析：
(1)画出所有的向量，如图所示：

(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值=；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值=；
所以||的最大值为，最小值为．
5． ， ，，，， ，，，，
【解析】（1）在图形中找出与向量相等的向量，即找出和已知向量大小相等，方向相同的向量．
（2）与向量共线且模相等的向量，是指所有与已知向量方向相同或相反的向量，且长度相等.
（3）与向量共线且模相等的向量，是指所有与已知向量方向相同或相反的向量，且长度相等.
【详解】解：解：（1）与向量相等的向量是，；
（2）与向量共线且模相等的向量是，，，， ，
（3）与向量共线且模相等的向量，，，，
故答案为：（1），；
（2），，，，；
（3），，，，.
【点睛】向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合．
6．A
【分析】根据零向量的概念，逐项判定，即可求解，得到答案．
【详解】由定义可得，零向量的长度为0，方向任意；且零向量与任意向量都平行，所以选项A错误，所以选项B,C,D正确，故选A．
【点睛】本题主要考查了零向量的概念的应用，其中解答中熟记零向量的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
7．D
【解析】利用反例判断选项即可.
【详解】已知，，若，则向量与向量可以不共线，当，则向量与向量共线.
故选：D
【点睛】本题考查向量共线定理的应用，基本知识的考查，属于基础题．
8．D
【解析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项.
【详解】对于A，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A错误；
对于B，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当时可能，所以B错误；
对于C，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当时和不一定平行，所以C错误；
对于D，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若，则成立，所以D正确.
综上可知，D为正确选项，
故选：D
【点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题.
9．BD
【分析】利用向量、共线向量、相等向量等概念逐项判断.
【详解】对于A，向量是具有方向的量，
若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；
对于B，若，则一定有，故B正确；
对于C，若，则只能说明非零向量、共线，
当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；
对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．
故选：BD．
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