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6.1 平面向量的概念【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.平面向量的概念，培养数学抽象、逻辑推理素养，如第1题、第5题；
2.平面向量的几何意义及其简单应用，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第6题、第7题、第8题；
3.相等线向量与共线向量，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第2题、第3题、第4题、第9题、第10题；
一、填空题
1．下列各量中，向量有： ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
2．如图所示，在中，分别为的中点．图中与相等的向量为 ．
（2023·全国·高一假期作业）
3．下列说法中正确的是
①若向量与向量不平行，则与的方向一定不相同；
②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；
③向量与不共线，则与都是非零向量．
4．如图，四边形ABCD与四边形ABDE都是平行四边形．试回答下列问题：
（1）与相 等的向量是 ；
（2）若，则 ．
（2023·高一课时练习）
5．某人从A点出发向西走了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，则的模= ．
（2023·高一课时练习）
6．在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD的形状是 .
二、解答题
（2023·全国·高一随堂练习）
7．画图表示小船的下列位移（用的比例尺）：
(1)由A地向东北方向航行15km到达B地；
(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地；
(3)由C地向正南方向航行20km到达D地．
（2023·安徽淮北·高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）
8．在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
（2023·全国·高一课堂例题）
9．已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
（2023·全国·高一专题练习）
10．在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：．
【易错题目】第6题、第8题
【复盘要点】对共线向量概念理解不清，致误
【典例】判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【分析】根据平面向量的基本概念一一判定即可.
【解析】相等向量即方向相同大小相等，故两个相同向量同起点比同终点，即①正确；
零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当，若，而是非零向量，
则不满足两向量方向相同或相反，即②错误；
同理若，且时，，是非零向量，也得不到，即③错误.
综上正确的是1个.
故选：B
易错警示：涉及平行向量（共线向量）的判断时，一定要注意此定义体现了分类讨论的思想，对于非零向量只需要考虑方向相同或者相反.而对于零向量，规定零向量和任意向量是平行向量.记住：在不明确向量是否为非零向量的情况下，一定要分向量为零向量与非零向量两种情况讨论.
【复盘训练】
（2023·高一课时练习）
11．下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
12．下列命题中正确的是
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．若与满足，且与同向,则
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
13．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：

①共线向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
14．在矩形中，，点、分别为和的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，相等的非零向量共有多少对？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．③⑤⑥
【分析】根据向量的概念判断即可.
【详解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.
故答案为：③⑤⑥.
2．
【分析】根据相等向量的定义判断.
【详解】由几何性质，平行且相等，平行且相等，
所以．
故答案为：．
3．①③
【详解】由向量平行的定义知①正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，正确，不妨设为零向量，则与共线，与与不共线矛盾，故③正确．
4． ， 6
【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，，可得结论．
（2）根据向量模的定义解决问题即可．
【详解】解：（1）四边形与都是平行四边形，
，，
向量相等的向量有，，
（2）若，则向量的模等于，
故答案为：，；6．
5．
【分析】根据向量共线，且，判断四边形为平行四边形，可得，即可求得答案.
【详解】如图示，由题意可得向量共线，且，

则四边形为平行四边形，故，
故答案为：
6．梯形
【分析】利用向量关系得出对边平行且边长不等，进而得出答案.
【详解】在四边形ABCD中，因为，所以，
又，所以四边形ABCD的形状是梯形.
故答案为：梯形
7．(1)答案见详解
(2)答案见详解
(3)答案见详解
【分析】先画出以点A为顶点，北偏东45°的角，并取出相应的长度确定B点； 接下来再以点A为顶点画出北偏西30°的角，并取出相应的长度确定C点，再以点C为顶点正南方向，并取出相应的长度确定D点即可.
【详解】（1）根据的比例尺，即图上，作图如下，

（2）根据的比例尺，即图上，作图如下，

（3）根据的比例尺，即图上，作图如下，

8．(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)3
【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量，
（2）根据向量的大小和方向，作向量，
（3）根据向量的模的定义求.
【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：

（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：

（3）
.
9．(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答.
【详解】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.
（2）由于与长度相等且方向相同，所以.
（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.
10．(1),
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意直接写出与向量共线的向量即可；
（2）证明四边形是平行四边形即可证明.
【详解】（1）据题意，与向量共线的向量为：, ；
（2）证明：是平行四边形，且，分别为边，的中点，
，且，
四边形是平行四边形，
，且，
．
11．A
【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.
【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.
故选：A
12．AD
【解析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】单位向量的模均为1，故A正确；
向量共线包括同向和反向，故B不正确；
向量是矢量，不能比较大小，故C不正确；
根据相等向量的概念知，D正确.
故选：AD
【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．
13． 与，与 与，与
【分析】观察图形，利用共线向量、方向相反向量、模相等的向量的意义判断作答.
【详解】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反，
显然，因此的模相等.
故答案为：与，与；与，与；
14．对
【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出相等的向量共有多少对．
【详解】在矩形中，，点、分别为和的中点，
所以和为边长相等的正方形，
如图所示，
由题意得，，有3对（即、、）；
，有6对（即、、、、、）；
，有1对；
，有1对，有1对，共有对；
加上它们的方向相反的向量也有12对，
所以总共有对．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.1 平面向量的概念【第一课】
[课标要求]
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
[明确任务]
1.平面向量的概念（数学抽象）；
2.区分平行向量、相等向量和共线向量（逻辑推理）；
3.向量的几何表示（直观想象）.
1.数量的概念、物理中力、速度等矢量的概念；
2.数量的几何意义、有向线段的概念.
核心知识点1 平面向量的概念
向量的概念 ：既有大小又有方向的量，常用，等表示；向量的长度是向量的模，记作.
提示：平面向量在平面内是可以任意移动的.
例1. 下列说法错误的有（ ）
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量都是相等的
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】　BCD
【解析】两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.
归纳总结 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
【举一反三】
1．下列量中是向量的为（ ）
A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离
2．下列说法正确的是
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
核心知识点2 向量的几何表示及应用
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.
2.向量的表示
（1）几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
（2）字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，).
例2.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
（1）作出向量，，；
（2）求||.
【解析】 （1）向量，，如图所示.
（2）由题意，可知与方向相反，故与共线，
∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200 km.
归纳总结 作向量的方法
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
【举一反三】
3．如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ）．
A． B． C． D．与不能比较大小
4．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为终点画一个向量，使；
(2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？
核心知识点3 相等向量与共线向量
1.常见向量的概念
名称 定义 特点
零向量 长度为的向量 零向量的方向是任意的
单位向量 长度为一个单位长度的向量 与共线的单位向量是
相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性
平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量，，记作 零向量和任何向量平行
相反向量 长度相等方向相反的向量 的相反向量记作
提示 （1）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
（2） 平行向量无传递性！(因为有；
（3） 因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念.
例3. 如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出模与的模相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
【解析】 （1）因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，EF＝BC.
又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
（2）模与的模相等的向量有，，，，.
（3）与相等的向量有，.
归纳总结： 相等向量与共线向量的探求方法
（1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
（2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
【举一反三】
5．若向量与向量不相等，则与一定（　　）
A．不共线 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量
6．如图所示，O是正六边形的中心.

(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有几个？
7．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（ ）
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
8．(多选)下列说法错误的有（ ）
A．共线的两个单位向量相等
B．相等向量的起点相同
C．若，则一定有直线ABCD
D．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
9．若且，则四边形的形状为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
10．如图所示，设是正方形的中心，则下列结论正确的有 ．（填序号）
①；②；③与共线；④．
11．已知A，B，C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.
【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故选：B
2．D
【详解】向量不能比较大小，向量的模能比较大小，显然D正确.
考点：平面向量的概念.
3．A
【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案.
【详解】由题意，作图如下：
则该飞机由先飞到，再飞到，则，，，
则飞机飞行的路程为，，
所以.
故选：A.
4．(1)答案见解析
(2)答案见解析, 终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆
【分析】（1）根据相等向量的定义可得向量；
（2）根据向量的模长公式的几何知识可得轨迹.
【详解】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等．
图如下所示：

（2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．

5．D
【分析】向量相等为长度和方向都相同，所以若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同，分析选项可得结果.
【详解】若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同，
所以与有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，
所以A，B，C都是错误的，
但是与一定不都是零向量．
故选：D.
6．(1)23；
(2)存在，4；
(3)9.
【分析】（1）利用正六边形的特征，结合平面向量模的意义即可得出结论.
（2）利用正六边形的特征，结合互为相反向量的意义即可得出结论.
（3）利用正六边形的特征，结合共线向量的意义即可得出结论.
【详解】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，
所以这样的向量共有23个.
（2）存在，由正六边形的性质知，，
所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.
（3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上，
所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.
7．A
【分析】根据单位向量的概念，以及圆的定义，即可得出结果.
【详解】平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是单位圆．
故选：A.
8．ABCD
【分析】根据单调向量、相等向量的性质可判断A，B；根据共线向量的性质可判断C，D.
【详解】对于A，共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误；
对于B，相等向量的起点和终点都可能不相同，故B错误；
对于C，直线AB与CD可能重合，故C错误；
对于D，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线．
故选：ABCD
9．C
【分析】根据条件中的向量关系反映出来大小关系和方向关系来判断.
【详解】可知，四边形为平行四边形，
又因为,
所以四边形为菱形．
故选：C.
【点睛】本题考查向量的大小和方向问题，是基础题.
10．①②③
【分析】利用正方形的几何性质结合相等向量、共线向量的定义判断可得出结论.
【详解】对于①，与方向相同，长度相等，则，则①正确；
对于②，因为、、三点共线，则，则②正确；
对于③，，则与共线，则③正确；
对于④，、方向不相同，故，则④错误.
故答案为：①②③.
11．
【分析】由共线向量的性质以及零向量的定义即可得解.
【详解】与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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