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6.2.1向量的加法运算【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.向量的加法法则，培养数学抽象、逻辑推理素养，如第3题、第4题、第9题、第12题；
2.向量加法的运算律及其应用，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第1题、第2题、第6题、第10题、第11题、第16题；
3.向量加法的实际应用，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第5题、第7题、第8题、第13题、第14题、第15题；
一、单选题
（2023·河南安阳·高一统考期末）
1．如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
2．、为非零向量，且，则（ ）
A．与方向相同 B． C． D．与方向相反
（2023·北京大兴区·高一期中）
3．如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024·辽宁朝阳·高一统考期末）
4．已知向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西吕梁·高一统考期中）
5．在矩形中，，设，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2023·福建三明高一期中）
6．已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山东烟台·高一统考期末）
7．如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（　　）
A． B． C． D．
（2023·江苏宿迁·高一校联考期中）
8．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若P点坐标为，则（ ）
A．k B．
C．5 D．10
二、多选题
（2023·山东菏泽三中高一期中）
9．如图，在平行四边形中，下列计算正确的是
A． B．
C． D．
（2023·四川绵阳高一期中）
10．设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
（2023·湖南娄底·高一期中）
11．已知，，，，，则 ．
（2023·吉林通化·高一统考期中）
12．若，则的取值范围为 ，当取得最大值时，向量的方向 ．
（2023·河北邯郸高一期中）
13．已知命题甲：非零向量满足；命题乙：可以构成三角形，则甲是乙的 条件．
（2023·江西宜春高一期中）
14．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式.若点E为AC的中点，则的值为 .
四、解答题
（2023·山西晋中·高一统考期末）（2016·高一课时练习）
15．如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：
(1)；
(2).
（2023·山东枣庄·高一枣庄市第三中期末）
16．设是正边形的中心，求证：.
【易错题目】第4题、第12题
【复盘要点】向量中的最值与取值范围问题，常常要借助向量加法的几何意义解决.
典例（2023·山西师大附中高一期末）如图，已知向量
（1）求作
（2）设，为单位向量，试探索的最大值．
【答案】(1)作图见解析；(2)3
【分析】（1）由平面向量的加法运算作图
（2）由向量三角不等式求解
【解析】（1）（1）在平面内任取一点O，作，，，，
则
（2）由向量三角不等式知，当且仅当同向时等号成立
故的最大值为3
易错提示：在向量加法运算中，需关注向量共线情况，当向量共线时，结合向量的方向，可确定两个向量模长的最大与最小值，即同向和的模最大、反向和的模最小。
【复盘训练】
（2023·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）
17．若平面向量、满足，，则的取值范围是 ．
（2023·福建莆田一中高一期中）
18．已知非零向量，若向量，则的取值范围是 ．
（2023·陕西安康高一期中）
19．已知点P是边长为2的等边三角形的边上的一个动点，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】由平面向量的运算法则，可得.
故选：A.
2．A
【分析】由向量模长的三角不等式即可判断．
【详解】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立，
因为，所以与方向相同，
故选：A．
3．D
【分析】利用相等向量的定义判断选项AB，利用平面向量的三角形法则判断CD．
【详解】对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；
对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；
对于C，利用三角形法则知，故C错误；
对于D，利用三角形法则知，故D正确；
故选：D
4．B
【分析】利用向量的加法的几何意义求解即得.
【详解】向量满足，则，当且仅当同向时取等号；
，当且仅当反向时取等号，
所以的取值范围是.
故选：B
5．C
【分析】根据题意，得，延长至，使，连接，证出四边形是平行四边形，从而，最后得出，即可得出结果.
【详解】解：，
延长至，使，连接，
由于，∴，
四边形是平行四边形，
，
，
.
故选:C
6．B
【分析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可.
【详解】解：对于A，因为，,
所以，故正确；
对于B，因为,(为中点)，故错误；
对于C，因为(为中点),
(为中点),
所以，故正确；
对于D，因为，，
所以，故正确.
故选：B.
7．D
【分析】分点在、轴进行分类讨论，可得出点、关于坐标轴对称，由此可得出点的个数.
【详解】分以下两种情况讨论：
①若点在轴上，则、关于轴对称，
由图可知，与、与、与、与关于轴对称，
此时，符合条件的点有个；
②若点在轴上，则、关于轴对称，
由图可知，与、与、与、与关于轴对称，
此时，符合条件的点有个.
综上所述，满足题中条件的点的个数为.
故选：D.
【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.
8．D
【分析】由解析式并画出图象，可知它们共有5个交点且与、与关于对称，结合平行四边形法则有，即可求目标向量的模长.
【详解】因为均过点，且关于该点中心对称，
由解析式，可得函数图象如下：
由图知：有5个交点，其中与、与关于对称，
所以，故.
故选：D
9．AD
【分析】由向量加法的运算法则以及运算律即可求解.
【详解】由向量加法的平行四边形法则可知，故A正确；
，故B不正确；
，故C不正确；
，故D正确．
故选AD
【点睛】本题主要考查向量加法的运算法则以及运算律，需熟记运算律.
10．AC
【分析】化简得到，进而根据平面向量的定义判断答案.
【详解】由题意，，
易知A, C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误.
故选：AC.
11．##
【分析】根据向量加法的三角形法则可得.
【详解】.
故答案为：.
12． [0，4] 相同
【分析】由平面向量的加法法则求解
【详解】由知
当时，两向量方向相同
故答案为：[0，4]　相同
13．既不充分也不必要
【分析】若且共线，可知充分性不成立；在中，，，，可知，可知必要性不成立；由此可得结论.
【详解】若，且共线，则无法构成三角形，充分性不成立；
当可以构成三角形时，令，，，
则，必要性不成立；
甲是乙的既不充分也不必要条件.
故答案为：既不充分也不必要.
14．
【解析】根据向量的加法减法运算法则可证明四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的几何性质即可求解.
【详解】∵向量，，，满足等式，
，
即，则四边形ABCD为平行四边形.
∵E为AC的中点，
∴E为对角线AC与BD的交点，
∴，
则.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量加法、向量减法的运算，数形结合，属于中档题.
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由向量加法的三角形法则，得到，即可作出证明；.
（2）由向量加法的平行四边形法则，得到，进而作出证明.
【详解】（1）证明：由向量加法的三角形法则，
因为，所以.
（2）证明：由向量加法的平行四边形法则，
因为，
所以
.
16．证明见解析.
【分析】利用正边形中，及加法的平行四边形法则，得到，由不恒成立，即可证明.
【详解】证明：设正边形的各个顶点分别为，则有，
根据加法的平行四边形法则，有：
累加得：，
∵不恒成立，
.
即证.
【点睛】用符号表示的向量的加减法：
①加法：首尾相连，方向为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（符合三角形法则）；
②减法：起点相同，方向指向被减向量（符合三角形法则）.
17．
【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】由向量模的三角不等式可得，当且仅当、反向时，等号成立，
，当且仅当、同向时，等号成立，
综上所述，.
故答案为：.
18．
【分析】根据分别表示方向上的单位向量，讨论的位置关系研究的最值，即得范围.
【详解】由分别表示方向上的单位向量，
当对应起止点依次首尾相连构成封闭三角形时，，此时最小；
当都同向共线时，，此时最大；
所以的取值范围是.
故答案为：
19．
【分析】如图，由加法的平行四边形法则可得，根据题意可得点P在A点时取得最小值，点P在C点时，取得最大值.
【详解】解：如图所示，由加法的平行四边形法则，可知O为的中点，，
因为点P从C运动到A时，点O从C运动到的中点，
所以当点P在A点时，点O在的中点.
因为是等边三角形，所以.
所以此时取得最小值；
当点P在C点时，取得最大值2.
所以的取值范围是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.2.1向量的加法运算【第三课】
扩展1 用向量加法解决几何问题
例1（2023·江西宜春高一期中）求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】根据向量的线性运算即可求证.
【解析】证明：由题知，，
因此．
所以AB，DC平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形．
【方法总结】用向量方法证明几何问题
用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．
【举一反三1-1】
（2023·山西晋中·高一统考期中）
1．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【举一反三1-2】
（2023·湖南永州·高一期中）
2．已知点O为ABC外接圆的圆心，且＋＋＝，则ABC的内角A等于 ．
【举一反三1-3】
（2023·山西师大附中高一期中）
3．设，则的最大值与最小值分别为 ．
【举一反三1-4】
（2023·河北邯郸高一单元测试）
4．如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：.
扩展2 向量加法的实际应用
例2（2023·福建三明一中高一期中）如图所示，一架飞机从地按北偏东的方向飞行到达地，然后又从地按南偏东的方向飞行到达地，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．（附：）
【解析】设分别表示飞机从地按北偏东的方向飞行，
从地按南偏东的方向飞行，则飞机飞行的路程指的是；
两次位移的和指的是．
依题意，有．
因为，所以．
在中，，
，所以，
所以这架飞机飞行方向大致为北偏东．
从而飞机飞行的路程是，两次位移和的大小为，方向大致为北偏东．
【方法总结】利用向量的加法解决实际应用题的步骤
【举一反三2-1】
（2023下·陕西榆林·高一统考期末）
5．若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（ ）
A．向东北方向航行
B．向北偏东方向航行
C．向正北方向航行
D．向正东方向航行
【举一反三2-2】
（2023·河南周口·高一期中）
6．某人在静水中游泳，速度为km/h．如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿 的方向前进，速度为 ．
【举一反三2-3】
（2023·成都七中高一月考）
7．如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.

（四川·高考真题）
8．如图，正六边形中，（ ）
A． B． C． D．
（福建·高考真题）
9．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于
A． B． C． D．
（2023·四川宜宾·二模）
10．在中，是的中点，，点为的中点，则 .
（2023·甘肃武威·一模）
11．已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝ .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则判断即可.
【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形.
故选：A
2．30°##
【分析】由＋＋＝，得到四边形OACB为平行四边形，再由OA＝OB，得到四边形OACB为菱形求解.
【详解】解：由＋＋＝得＋＝，
由向量加法的几何意义知四边形OACB为平行四边形，
又OA＝OB=OC，
则四边形OACB为菱形，
所以OAC是正三角形，
所以∠CAO＝60°，
所以∠CAB＝∠CAO＝30°，
故答案为：30°
3．20，4
【分析】根据给定的条件，利用向量的三角形不等式求解作答.
【详解】因，则，当且仅当与同向共线时取等号，
，当且仅当与反向共线时取等号，
所以的最大值与最小值分别为12，4.
故答案为：12，4
4．证明见解析
【分析】表示出，，相加结合已知，即可得出证明.
【详解】因为，
，
所以.
又因为，所以.
5．B
【分析】根据向量的方向，画出图形，利用向量的加法运算，计算结果.
【详解】如图，

易知，所以．故的方向是北偏东．又.
故选：B．
6． 与水流方向成60° 8km/h
【分析】利用向量加法法则即可求得此人实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8km/h.
【详解】将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度，
由此人的游泳速度为km/h，水的流速为4km/h，
可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成60°
故答案为：与水流方向成60°；8km/h
7．分析答案见解析，OA受力最大
【分析】根据题意利用向量加法的平行四边形法则，画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系得出拉力最大的是OA．
【详解】设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为，，，则.
因为，的合力为，所以.
如图在平行四边形中，

因为，，
所以，，即，.
故细绳OA受力最大.
8．D
【详解】将平移到，平移到，
故，
故选D.
本题主要考查平面向量的基本概念及线性运算
考点：向量的加法.
9．D
【详解】试题分析：由已知得，
而所以，选D.
考点：平面向量的线性运算，相反向量.
10．4
【分析】由题可得，，从而即可得到本题答案.
【详解】
因为是的中点，所以，
又因为点为的中点，所以，
所以，，则.
故答案为：4
11．
【分析】根据平面向量线性运算求解．
【详解】设D为AB的中点，则.
又M为△ABC的重心，则，
所以
故答案为：．
答案第1页，共2页
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