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6.2.1向量的加法运算【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.向量的加法法则，培养数学抽象、逻辑推理素养，如第2题、第6题、第9题；
2.向量加法的运算律及其应用，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第1题、第4题、第8题；
3.向量加法的实际应用，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第3题、第5题、第7题、第10题、第11题、第12题；
一、填空题
（2023·高一课时练习）
1．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD//BC，则＋＋＝ .
（2023·高一课时练习）
2．若，，，则向量与的方向必为 .
（2023·河北邢台·高一河北巨鹿中学校考阶段练习）
3．四边形中，若，则四边形的形状为 .
（2023·高一课时练习）
4．化简： ．
（2023·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）
5．如图，在四边形ABCD中，，且，则 ．

6．若向量与共线，且，则 ．
（2023·高一课时练习）
7．如图，两条绳子悬挂一个重量为G的物体，已知每条绳子用力为4N，两条绳子的夹角为90°，则 .
（2023·全国·高一课时练习）
8．如图，正六边形中， .
二、解答题
（2023·高一课时练习）
9．如图，已知下列各组向量，，求作.
(1)；
(2)；
(3)‘
(4)
（2023·高一课前预习）
10．在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).
（2023·高一课时练习）
11．如图，已知电线AO与天花板的夹角为，电线AO所受拉力，绳BO与墙壁垂直，所受拉力．求和的合力．
（2023·高一课时练习）
12．一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及．
【易错题目】第1题、第4题、第8题
【复盘要点】对向量加法运算律运用不够灵活，使运算受阻
【典例】（2023·北京·高一北京市第二十五中学校考期中）在平行四边形ABCD中， .
【答案】
【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得；
【解析】解：
故答案为：
易错警示：向量加法运算律应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
【复盘训练】
（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）
13．（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏盐城·高一校考期中）
14．已知M为四边形ABCD内任一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高一专题练习）
15．如图，正六边形ABCDEF中，则（ ）

A． B． C． D．
（2023下·云南迪庆·高一统考期末）
16．四边形是梯形，，则等于（ ）

A． B． C． D．
（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）
17．已知正方形ABCD的边长为2，，则＝ ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】利用向量的加法运算即得.
【详解】＋＋.
故答案为：.
2．反向
【分析】注意到=，利用向量加法的几何意义可得答案.
【详解】由已知可得，
由向量加法的几何意义可知，向量与的方向的方向相反，
故答案为：反向.
3．平行四边形
【分析】由平面向量的加法法则直接可得答案
【详解】解：因为四边形中，，
所以，
所以，
所以，且‖，
所以四边形为平行四边形，
故答案为：平行四边形
4．
【分析】利用向量的加法运算即可求解.
【详解】解：
故答案为：.
5．
【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.
【详解】因为，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，
又因为，所以四边形ABCD是菱形，
且，所以．
故答案为：
6．0或2
【分析】由题可知与相等或互为相反向量，据此即可求
【详解】向量与共线，且，∴与相等或互为相反向量，
当与相等时，，
当与互为相反向量时，．
故答案为：0或2．
7．
【分析】求得两条绳子用力的合力即可.
【详解】因为每条绳子用力为4N，两条绳子的夹角为90°，
所以两条绳子用力的合力为N，
所以N，
故答案为：N
8．
【分析】将平移到，平移到，根据平面向量的加法运算即可求解.
【详解】将平移到，平移到，
故.
故答案为:.
9．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)作图见解析
【分析】应用向量的性质，将，作平移处理，使一个向量起点与另一个的起点或终点重合，结合三角形或平行四边形法则画出，注意共线向量只需将一个向量起点平移至另一个向量的终点，再连接两向量的另一个起点和终点即可.
【详解】（1）将的起点移至的终点，即可得，如下图：
（2）将的起点移至的终点，即可得，如下图：
（3）以，为顶点作平行四边形，应用平行四边形法则可得，如下图：
（4）将的起点移至的终点，应用三角形法则可得，如下图：
【点睛】
10．
【分析】根据向量加法的平行四边形法则及正切函数的定义即可求解.
【详解】如图所示，
表示船速，表示水速，以、为邻边作，则表示船实际航行的方向.
所以
在中，.
所以船实际行进的方向的正切值为.
11．与的合力大小为，方向为与成角竖直向上．
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，作出受力分析图，然后计算即可.
【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力，
在中，，
，，
∴，∴，
∴与的合力大小为，方向为与成角竖直向上．
12．作图见解析
【分析】根据题意可作出向量、、以及.
【详解】根据题意，、、以及的示意图如下图所示：
13．D
【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】由向量的运算法则，可得.
故选：D.
14．B
【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.
【详解】根据平面向量的加法运算法则可知，
，
故选：B.
15．D
【分析】利用向量的线性运算直接求解即可.
【详解】由已知，ABCDEF为正六边形，所以，,
所以.
故选：D.
16．B
【分析】根据向量的加法运算法则即可求解.
【详解】,
故选：B
17．
【分析】利用向量的加法计算即可.
【详解】.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.2.1向量的加法运算【第一课】
[课标要求]
1.理解并掌握向量加法的概念.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.
[明确任务]
1.向量加法的概念（数学抽象）；
2.向量加法的法则（直观想象）；
3.向量加法的运算律（逻辑推理）.
1.物理中求力的合力方法；
2.数量的加法概念及其运算律.
核心知识点1 向量加法法则
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A， 作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和， 记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
提示：位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
例1. （1）如图①所示，求作向量a＋b.
（2）如图②所示，求作向量a＋b＋c.
【解析】（1）首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示.
（2）方法一(三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求.
方法二(平行四边形法则)如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则＝＋＝a＋b＋c即为所求.
归纳总结 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 （1）首尾相接 （2）适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 （1）共起点 （2）仅适用于不共线的两个向量求和
【举一反三】
1．已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．
(1)＋＝ ；
(2)＋＝ ；
(3)＋＝ .
核心知识点2 向量加法运算律的应用
1.向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
例2.化简：（1）＋；
（2）＋＋；
（3）＋＋＋＋.
【解析】 (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
归纳总结：向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
（2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
【举一反三】
3．已知，，，，，则 ．
4．已知正方形的边长为1，则 ．
核心知识点3 向量加法的实际应用
例3. 河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度.
【解析】设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b，
以，为邻边作矩形OACB，连接，
如图，则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度.
∴||＝＝＝20(km/h)，
tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°，
∴小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行.
归纳总结： 应用向量解决实际问题的基本步骤
（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
【举一反三】
5．若在中，，，则的形状是（ ）
A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形
6．如图，用两根绳子把重的物体吊在水平杆子上，，求处和处所受力的大小．（绳子的重量忽略不计）
7．化简等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正六边形中， .
9．正方形的边长为1，则为（ ）
A．1 B． C．3 D．
10．下列等式不正确的是( )
①；
②；
③.
A．②③ B．② C．① D．③
11．在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是平行四边形 B．四边形是矩形
C．四边形是菱形 D．四边形是正方形
12．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（ ）
A． B．
C． D．
13．已知向量表示“向东航行3km”，表示“向南航行3 km”，则表示 .
14．如图，已知在中，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：
(1)；
(2).
15．在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据菱形的性质，结合平面向量加法的运算性质进行判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误.
故选：C
2．
【分析】利用向量的平行四边形法则和三角形法则，即可求解
【详解】(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故
(2)因为，故与方向相同，
长度为长度的2倍，
故
(3)因为，故
故答案为：①；②；③
3．##
【分析】根据向量加法的三角形法则可得.
【详解】.
故答案为：.
4．
【分析】结合向量的线性运算的加法法则得出，
根据题意求出即可.
【详解】因为,
所以,
又正方体的边长为1，所以对角线,
即，所以.
故答案为：
5．D
【分析】，平方计算得到得到答案.
【详解】，则，故，
故，故三角形为等腰直角三角形.
故选：D.
【点睛】本题考查了根据向量运算判断三角形形状，意在考查学生的计算能力.
6．A处所受力的大小为，B处所受力的大小为．
【分析】根据平行四边形法则，再由可证得四边形为矩形，由，即可求解.
【详解】解:如图所示，设分别表示A处，B处所受的力，10 N的重力用表示，则.
易得
∴易证得四边形为矩形，
，
∴A处所受力的大小为，B处所受力的大小为．
【点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则，与物理中的重力结合，体现了向量在其他学科中的应用，属于基础题
7．D
【分析】利用向量加法直接得到答案.
【详解】.
故选：D
8．
【分析】将平移到，平移到，根据平面向量的加法运算即可求解.
【详解】将平移到，平移到，
故.
故答案为:.
9．B
【分析】利用向量加法运算及向量的摸的定义，结合勾股定理即可求解.
【详解】在正方形中，如图所示,
根据向量加法的平行四边形法则，,
又因为正方形的边长为1，
所以，
故选：B.
10．B
【分析】根据向量加法的运算律判断即可.
【详解】对于①，，正确；
对于②，，错误；
对于③，，正确.
故选：B
11．A
【分析】由推出，再根据向量相等的定义得且，从而可得答案.
【详解】因为，故，即，
故且，故四边形一定是平行四边形，
不一定是菱形、正方形和矩形，故A正确；BCD不正确.
故选：A.
12．B
【分析】利用向量加法的三角形法则以及向量加法的交换律即可求解.
【详解】.
故选：B
13．向东南航行km.
【分析】根据向量加法法则分析即可.
【详解】根据题意由于向量表示“向东航行3km”，向量表示“向南航行3km”，
那么可知表示向东南航行km.
故答案为：向东南航行km
14．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用向量的加法法则作图即可；
（2）利用向量的加法法则作图即可.
【详解】（1）延长，在延长线上截取，则向量即为所求.
（2）在上取点，使，则向量即为所求.
15．船是沿与水流的方向成的角的方向行进的.
【分析】作出图形，是水流方向，是垂直于河岸的实际方向，作平行四边形，其中是一条对角线，是平行四边形的一边，则是船行进的方向，由平行四边形进行计算可得．
【详解】作出图形，如图所示.船速船与岸的方向成角，由图可知水＋船＝实际，结合已知条件，
四边形为平行四边形，在中，水，
船，所以，所以，
从而船与水流方向成的角.
所以船是沿与水流的方向成的角的方向行进的.
答案第1页，共2页
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