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6.2.2 向量的减法运算【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的．
【目标分析】
1．向量的加法与减法运算，培养数学抽象、逻辑推理素养，如第1题、第2题、第3题、第5题、第9题、第12题、第15题；
2．向量减法与加法及模的综合问题，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第4题、第7题、第8题、第10题、第11题、第14题；
3．与向量模长有关的最值与范围问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第3题、第6题、第13题、第16题；
一、单选题
（2023下·陕西西安·高一校考期中）
1．下列各式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·陕西渭南高一期中）
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·河南南阳·高一统考期中）
3．八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·北京西城·北京师大附中高一期末）
4．向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·湖南邵阳·高一统考期中）
5．下列各式的结果一定为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·湖北黄石高一期中）
6．若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期中）
7．在中，若，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
（2023·河北正定高一期中）
8．在平面上有A，B，C三点，设若与的长度恰好相等，则有（ ）
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
二、多选题
（2023·山东泰安一中高一期中）
9．在平行四边形中，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·江西宜春高一期中）
10．对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
（2023·湖北十堰·高一期中）
11．已知非零向量，满足，则 .
（2023·广西北海高一期中）
12．如图所示，中心为O的正八边形中，，，则 ．（结果用，表示）
（2023·安徽铜陵高一期中）
13．已知向量，，的模分别为3，4，5，则的最大值为 ，最小值为 ．
（2023·福建厦门·高一校考期末）
14．在四边形ABCD中，若，且，则的面积为 .
四、解答题
（2023·山西大同·高一统考期末）
15．如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
（1）；
（2）.
（2023·辽宁阜新高一期末）
16．已知，.求的最大值和最小值.
【易错题目】第6题、第13题、第16题
【复盘要点】向量中的最值与取值范围问题，常常要借助向量中的三角不等式解决．
典例（2023·湖南衡阳高一期末）已知，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由已知，可根据，，借助直接得到的范围．
【解析】∵，且，，
∴．
当与同向时，；
当与反向时，．
∴的取值范围为．
故答案为：．
易错提示：对任意向量总有：．
因为，所以，
即．
将两式结合起来即为．
利用向量三角不等式可以解决有关向量的大小（模）的取值范围或最值问题，但需要注意的是运用此性质时，必须验证等号成立的条件，即当与同向时，；当与反向时，．
【复盘训练】
（2023·福建福州三中高一期中）
17．若向量，满足，则的最小值为 ，的最大值为 ．
（2023·湖北孝感高一期中）
18．已知，的取值范围是[5，15]，则a＝ ，b＝ .
（2023·北京大兴区高一期中）
19．如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的最小值是 ；最大值是 .
（2023·浙江温州·高一校联考期末）
20．若平面向量满足，，则的取值范围为 .
（2023·江苏盐城高一期末）
21．已知向量满足，则的取值范围是 ．
（2023·江西赣州高一期末）
22．平面向量满足，则的取值范围为 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
2．A
【分析】根据空间向量线性运算计算即可.
【详解】
.
故选：A.
3．B
【分析】利用相等向量和向量的减法直接求解.
【详解】．
故选：B
4．A
【分析】利用向量的线性运算的几何表示及充分条件，必要条件的概念即得.
【详解】当向量“，不共线”时，由向量三角形的性质可得“| +|<||+||”成立，即充分性成立，
当“，方向相反”时，满足“| +| < ||+||”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，
故向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的充分不必要条件.
故选：A.
5．B
【分析】根据向量的加减运算化简后可判断.
【详解】对于A，不一定为零向量，不选A；
对于B，，满足题意；
对于C，，不一定为零向量, 不选C；
对于D，，不一定为零向量，不选D.
故选：B
6．A
【分析】由向量模长的三角不等式可求得的取值范围．
【详解】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立；
，当且仅当、的方向相反时，等号成立，
因此，的取值范围是，
故选：A．
7．D
【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果.
【详解】解：因为，，
所以，
所以为等边三角形．
故选：D
8．C
【分析】以为邻边作平行四边形，根据m，n的长度相等可知平行四边形一定是矩形,即可判断.
【详解】以为邻边作平行四边形，则由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形,所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角．
故选：C.
9．ABD
【分析】应用几何图形进行向量加减运算，结合向量的概念、三角形及平行四边形法则，即可判断各项正误.
【详解】在平行四边形ABCD中，如图，
因为，，所以，故A正确；
由向量平行四边形法则可得，故B正确；
因为，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABD.
10．BCD
【解析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.
【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，
所以B结论正确，A结论错误；
因为，，且，
所以，即C结论正确；
因为，
，所以D结论正确.
故选：BCD
【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
11．
【分析】由已知，结合向量的减法法则，可以得出一个特殊的等边三角形，再根据向量加法的平行四边形法得出，从而求得结果.
【详解】如图，设，，则，以OA，OB为边作平行四边形OACB，则.
因为，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形，，所以，
所以.
故答案为：．
12．
【分析】根据向量的加减运算即可求得答案.
【详解】由题图可知，
,
故答案为：
13． 12 0
【分析】当，，同向时，的模最大，当，，和时，的模最小，问题得以解决．
【详解】解：向量，，的模分别为3，4，5，则向量可共线，又，则以为边长可构成直角三角形，
则当，，同向时，的模最大，
所以；
当，，和为时，的模最小，由于以为边长可构成直角三角形，
设，，，所以此时，故.
故答案为：12；0.
14．
【解析】由向量的加减运算可得四边形为平行四边形，再由条件可得四边形为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值．
【详解】
在四边形中，，即为，即，
可得四边形为平行四边形，又，
可得四边形为边长为4的菱形，
则的面积为正的面积，即为，
故答案为：．
15．（1）；作图见解析；（2）；作图见解析.
【分析】（1）利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.
（2）利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.
【详解】（1），如图中向量.
（2），
如图中向量.
【点睛】本题考查了向量加法以及减法的几何意义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题.
16．最大值是3，最小值是1.
【分析】根据得到最大值，得到最小值.
【详解】因为，，
所以，当且仅当与，即与的方向相同时取等号.
，当且仅当与，即与的方向相反时取等号.
所以的最大值是3，最小值是1.
17． 4 20
【分析】根据向量同向和反向，即可判断选项.
【详解】当向量与反向时，最小，最小值，
当向量与反向时，最大，最大值是.
故答案为：4；20
18． 10 5
【分析】由即可得到，则可求.
【详解】因为
所以，因为的取值范围是[5，15]
所以解得
故答案为：10；5.
19．
【分析】，进而得到答案.
【详解】本题即求点A到阴影区域中的点距离的最值，如图，
于是最小值为，最大值为.
故答案为：.
20．
【分析】设，则，，进而得,再利用基本不等式可得结果.
【详解】解：，
设，则，，
所以，，
，
所以，的取值范围为.
故答案为：
21．
【分析】根据向量的和差的模与模的和差的关系求解即可.
【详解】∵
∴
∴，即；
当且仅当与方向相同或与至少有一个为零向量时取等号，
，即.
当且仅当与方向相反或与至少有一个为零向量时取等号，
∴的取值范围是
故答案为：.
22．
【分析】先利用题给条件求得向量之间的关系，再利用托勒密定理数形结合即可求得的取值范围.
【详解】预备定理：
圆内接四边形ABCD中，连接，作交于E，
则（，）
则
又（，）
则，又
则
由题意得，平面向量满足，
令，
则四点A、B、C、D在以O为圆心半径为1的圆上，
又，则向量两两夹角为，且为等边三角形，
则
不妨设点D在A、B为端点的优弧上，
由以上预备定理可得
又，则
则
又点D在圆O上任意移动，则，则
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.2.2 向量的减法运算【第三课】
扩展1 向量加法与减法及模的综合应用
例1（2023·河南南阳·高一统考期中）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．
（1）若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．
（2）化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．
【答案】（1）菱形，理由见解析
（2）答案见解析
【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可；
（2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可．
【解析】（1）由条件知，
即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形．
（2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知．
所以．
作出向量如图所示．
【方法总结】平行四边形中有关向量的结论，在中，记，
若，则平行四边形为矩形．
【举一反三1-1】（2023下·云南西双版纳·高一校考期中）
1．在四边形中，若，且，则（ ）
A．在四边形是矩形
B．在四边形是菱形
C．在四边形是正方形
D．在四边形是平行四边形
【举一反三1-2】（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）
2．在中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【举一反三1-3】（2023·江西赣州高一期中）
3．已知非零向量满足，且，则 .
【举一反三1-4】（2023·四川南充高一期中）
4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且，，则 .
扩展2 向量三角不等式的应用
例2（2023·福建三明一中高一期中）对于不等式，给出下列四个结论：
①不等式左端的不等号“≤”只能在时取“＝”；
②不等式左端的不等号“≤”只能在与均为非零向量且不共线时取“＜”；
③不等式右端的不等号“≤”只能在与均为非零向量且同向共线时取“＝”；
④不等式右端的不等号“≤”只能在与均为非零向量且不共线时取“＜”．
其中正确的结论有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
【答案】A
【解析】当时，也成立，故①不正确；
当，时，也成立，故②不正确；
当，有一个为时，也成立，故③不正确；
当与反向共线时，也成立，故④不正确．
所以正确的结论有0个．
【方法总结】对任意向量总有：．
因为，所以，即．
将两式结合起来即为．
利用向量三角不等式可以解决有关向量的大小（模）的取值范围或最值问题，但需要注意的是运用此性质时，必须验证等号成立的条件，即当与同向时，；当与反向时，．
【举一反三2-1】（2023·陕西榆林·高一统考期末）
5．若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三2-2】（2023·河南周口·高一期中）
6．任给两个向量和，则下列式子恒成立的有 ．
① ②
③ ④
【举一反三2-3】（2023·山西师大附中高一月考）
7．已知，.求的最大值和最小值.
（湖南·高考真题）
8．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川南充·统考一模）
9．已知正方形的边长为1，则（ ）
A．0 B． C． D．4
（2023·河北邢台一模）
10．以下四个选项中，正确的有（ ）
A．若向量，则
B．若非零向量满足，则表示的有向线段可以构成三角形
C．若四边形满足，且，则四边形为矩形
D．为四边形所在平面内一点，若，则四边形为平行四边形
（2023·浙江丽水高考模拟）
11．若非零向量和满足,则的取值范围是 ,的取值范围是 .
（2023·江苏盐城一模）
12．三角形OAB中，、、…、是边上的等分点，设，，若，用、表示，其结果为 .
（2023·河北邯郸联考一模）
13．已知向量满足，则的取值范围是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可判断为平行四边形，再由向量加法、减法运算和模的含义可得对角线相等，然后可判断四边形形状.
【详解】因为，所以四边形为平行四边形，
又，所以，即对角线相等，所以四边形为矩形.
故选：A
2．A
【分析】根据向量加减法法则及模的定义判断.
【详解】因为，，，，
所以，
所以是等边三角形．
故选：A．
3．4
【分析】根据向量加减运算及向量的模长可得出平行四边形OACB是矩形，由矩形对角线相等得解.
【详解】如图所示，设，，
则，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则，
由于，
故，
所以是直角三角形，，
从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等得，即.
故答案为：4
4．2
【分析】由向量加减法的几何意义，求得，由为线段的中点，得到，即可求解.
【详解】以为临边作平行四边形，如图所示，
由向量加减法的几何意义，可知，
因为，所以，
又由，且为线段的中点，
所以.
故答案为：.
5．C
【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】因为，所以，，即.
故选：C.
6．②③
【分析】根据向量加法的平行四边形法则可判断①；根据向量减法的三角形法则可判断②③④.
【详解】①根据向量加法的平行四边形法则，得，则①不恒成立；
②根据向量减法的三角形法则，得，则②恒成立；
③根据向量减法的三角形法则，得，则③恒成立；
④根据向量减法的三角形法则，得，则④不恒成立.
故答案为：②③.
7．最大值是3，最小值是1.
【分析】根据得到最大值，得到最小值.
【详解】因为，，
所以，当且仅当与，即与的方向相同时取等号.
，当且仅当与，即与的方向相反时取等号.
所以的最大值是3，最小值是1.
8．B
【详解】根据平面向量减法运算的“三角形”法则可知＝-　，
只有选项B符合题意，
故选B.
9．C
【分析】利用向量运算法则得到.
【详解】，
因为正方形的边长为1，所以，
故.
故选：C
10．CD
【分析】当时，无法确定的方向，即可判断A；当共线时，即可判断B；由，可得且，再根据结合平面向量的减法的三角形法则即可判断C；根据，可得，即可判断D.
【详解】对于A，当时，无法确定的方向，故不能判断是否平行，故A错误；
对于B，若非零向量满足，则，
当共线时，则表示的有向线段不可以构成三角形，故B错误；
对于C，若四边形满足，则且，
则四边形为平行四边形，
因为，即，
所以平行四边形为矩形，故C正确；
对于D，因为，所以，即，
所以且，
所以四边形为平行四边形，故D正确.
故选：CD.
11．
【分析】(1)根据平面向量的三角不等式求解的取值范围即可.
(2)根据结合平面向量的三角不等式可得与,再根据求解的取值范围即可.
【详解】(1)因为,又是非零向量,所以的取值范围是.
(2)因为,所以,,
又,，所以的取值范围是.
故答案为：；
【点睛】本题考查平面向量加减法的几何意义 向量三角不等式运算.需要根据所给的向量构造合适的三角不等式,属于中档题.
12．
【分析】根据向量的加法可知，，，求和化简后再根据向量的减法即可求解.
【详解】由向量的加法法则可知：，
因为、、…、是边上的等分点，
所以，
同理可得：
，
所以,
而，
代入得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量的减法，共线向量的等分，属于中档题.
13．
【分析】根据向量的和差的模与模的和差的关系求解即可.
【详解】∵
∴
∴，即；
当且仅当与方向相同或与至少有一个为零向量时取等号，
，即.
当且仅当与方向相反或与至少有一个为零向量时取等号，
∴的取值范围是
故答案为：.
答案第1页，共2页
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