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6.2.2 向量的减法运算【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的．
【目标分析】
1．向量的减法运算，培养数学抽象、逻辑推理素养，如第1题、第2题、第8题、第11题；
2．向量减法法则的应用，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第4题、第6题、第10题、第12题、第13题；
3．向量加法与减法及模的综合应用，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第3题、第5题、第7题、第9题、第14题；
一、填空题
（2023·全国高一课时练习）
1．设与是两个相等向量，则
（2023·全国高一课时练习）
2． .
（2023·高一课时练习）
3．在边长为的等边中， ．
（2023·北京丰台·高一校联考期中）
4．如图，在中，是上一点，则 ．
（2023·高一课时练习）
5．若四边形为正方形，且边长为，则 .
（2023·高一课时练习）
6．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中，则等于 ．
（2023·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）
7．已知正方形边长为,则 ．
（2023·高一课时练习）
8．中，D是的中点，若，，，，则 ， ．
（2023·高一课时练习）
9．设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则① ；②；③中成立的序号为 ．
（2023·高一课时练习）
10．已知，，则的取值范围是 ．
二、解答题
（2023·高一课时练习）
11．如图，在各小题中，已知，分别求作．
（2023·河南周口·高一校考阶段练习）
12．化简下列各式：
(1)；
(2)
（2023·高一课时练习）
13．作图验证：．
（2023·高一课时练习）
14．已知中，，满足，求与的面积．
【易错题目】第4题、第9题、第12题
【复盘要点】对向量减法和加法法则运用不清，使运算出错
【典例】（2023·福建三明一中高一期中）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为（ ）
A.0 B．
C． D．
【答案】　A
【解析】＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0．
易错警示：　（1）向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和．
②起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
【复盘训练】
（2023·山东泰安·高一校考阶段练习）
15．如图，在矩形中，是两条对角线的交点，则
A． B． C． D．
（2023· 湖北黄石高一期中）
16．下列结果为零向量的是( )
A． B．
C． D．
（2023·全国高一课时练习）
17．化简下列各式：
(1)；
(2)．
（2023·四川南充高一期中）
18．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且，，，试用表示向量，，.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】利用向量的运算即得.
【详解】因为与是两个相等向量，
所以.
故答案为：.
2．
【分析】根据平面向量减法的几何意义进行求解即可.
【详解】由平面向量减法的几何意义可知：，
故答案为：
3．
【分析】直接利用向量的减法计算，然后求模即可.
【详解】
故答案为：1.
4．
【分析】根据题意利用向量加法与减法法则运算即可.
【详解】由题意得.
故答案为:
5．
【分析】根据向量加减法运算直接求解即可.
【详解】.
故答案为：.
6．
【分析】根据向量的减法法则即可求解.
【详解】.
故答案为：.
7．
【分析】由向量的加减法法则化简向量，利用正方形对角线长度为可得．
【详解】∵正方形边长为1，∴．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的加减法的三角形法则，属于基础题．
8．
【解析】根据题意画出图形，再利用向量的加法与减法法则，即可得到答案.
【详解】根据题意画出图形如图，
则；
．
故答案为：；
【点睛】本题考查向量加法与减法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.
9．②
【分析】利用向量的三角形法则及其几何意义求解.
【详解】如图，
因为四边形为平行四边形，
所以连接对角线交于点，则为的中点，
根据向量的加法运算法则可得，
在中，,
在中，,
所以,
故答案为:②.
10．[2，14]
【分析】根据向量减法的三角形法则，由，则向量，同向时，有最小值；向量，反向时，有最大值；代入计算即可得到答案．
【详解】解：，
即
故答案为：
11．见解析
【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量.
【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，
如图，，

(1) (2)

(3) (4)
【点睛】本题考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想，属于基础题.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果；
（2）首先化简出两个向量的结果，再与第三个向量进行加减运算即可求得结果.
【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得，
（2）由平面向量的加减运算法则可得
13．见解析
【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量.
【详解】当中至少有一个为时，显然成立（图略）；
当不共线时，作图如图（1），显然；
当共线时，同理可作图如图（2）所示．
【点睛】本题考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想，属于基础题.
14．；三角形面积为
【分析】根据向量减法法则结合，可得为等边三角形，从而可求得三角形得面积，再根据结合数量积得运算律即可求解.
【详解】由，得，
因为，
所以为等边三角形，则，
则，
的高为，
所以.

15．B
【分析】利用向量加减法的三角形法则即可求解.
【详解】原式=，答案为B.
【点睛】主要考查向量的加减法运算，属于基础题.
16．BCD
【分析】根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.
【详解】A项，；
B项，；
C项，；
D项，.
故选：BCD.
17．(1)
(2)
【分析】根据向量的加法减法运算求解即可.
【详解】（1）.
（2）
18．，，.
【解析】直接根据向量加法与减法的三角形法则求解．
【详解】解：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴，，
∴，，．
【点睛】本题主要考查平面向量加法与减法的三角形法则，属于基础题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.2.2 向量的减法运算【第一课】
[课标要求]
1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.
2.掌握向量减法的几何意义.
3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.
[明确任务]
1.向量减法的概念（数学抽象）；
2.向量减法的几何意义（直观想象）；
3.向量加法与减法的综合运算（逻辑推理）.
1.数量运算中减法与加法关系及相反数的概念；
2.向量加法的运算法则.
核心知识点1 向量减法运算
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋（－b），因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
例1. 如图，已知a，b，求作a－b.
【解析】如图，即为所求作的a－b.
归纳总结 求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可.
（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，
指向被减向量的终点的向量.
【举一反三】
1．如图，D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高一随堂练习）
2．如图，已知向量，，不共线，求作向量．

核心知识点2 向量减法法则的应用
例2. （1）化简：（－）＋（－）＝________.
【答案】　
【解析】原式＝＋＋－＝＋－＝.
（2）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为（　　）
A.0 B. C. D.
【答案】A
【解析】＋－－＝（－）＋（－）＝＋＝－＝0.
归纳总结 （1）向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
【举一反三】
3．下列式子可以化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，，，，则 .

核心知识点3 向量加法与减法的综合应用
例3. 如图，已知向量、、、、．
（1）用、、表示；
（2）用、表示；
（3）用、、表示；
（4）用、表示．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】平面向量的线性运算法则依次求解即可.
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
归纳总结： 向量加法与减法的三角形法则
向量加法三角形法则：“首尾相接， 首指向尾为和.”
向量减法三角形法则：“共起点连终点，指向被减向量.”
【举一反三】
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＝ .
6．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.

7．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设，，，求证：.
8．在△ABC中，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．化简的结果等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
11．下列等式成立的个数是（　　）
①；
②；
③；
④；
⑤.
A．5 B．4 C．3 D．2
12．(多选)下列各向量运算的结果与相等的有（ ）
A． B．
C． D．
13． .
14．在边长为1的正三角形中，的值为 ．
15．如图，根据图示填空：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；（5） ．
16．如图所示，O为△ABC内一点，，，，求作：.

试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．BCD
【分析】由中位线的性质及相等向量的定义和向量减法的运算法则即可求解.
【详解】解：因为D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，
所以,且，，且，
所以，，
所以，
故选：BCD.
2．答案见解析
【分析】根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可.
【详解】如图，作，则即为，
再作，则向量即为．

3．AD
【分析】利用平面向量的线性运算即可得解.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AD.
4．
【分析】根据几何图形，利用相等向量转化，结合向量的加减运算公式，即可求解.
【详解】由已知，则.
故答案为：
5．
【分析】先化为，利用向量加法与减法的运算，可得答案.
【详解】因为－－＋
故答案为：
6．2
【分析】利用相等向量转化，再求，再求模.
【详解】作，连结，则，

而，
所以，且，
所以.
7．证明见解析
【分析】根据图形关系，利用向量线性运算化简即可得到结论.
【详解】因为
所以.
8．D
【分析】根据平面向量的减法法则计算即可，
【详解】由已知可得：.
故选：D
9．B
【分析】利用向量加减法的运算法则，即可化简目标式.
【详解】.
故选：B
10．A
【分析】根据平面向量减法法则判断即可.
【详解】由，可得，
所以四边形一定是平行四边形.
故选：A
11．B
【分析】根据向量的运算逐个选项判断即可.
【详解】由向量的线性运算可得，，，
，，，故①③④⑤正确.
故选：B
12．AD
【分析】由向量的线性运算法则计算并判断.
【详解】由向量的线性运算法则得，对A，，所以A符合题意，B不符合题意；对C， ，对D，，故C不符合题意，D符合题意.
故选：AD
13．
【分析】根据向量加法和减法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故答案为：
14．
【详解】在正三角形中， ,故的夹角为 ，所以 ，故填.
点睛：求向量的模时，一般可考虑求其平方的值，根据向量中来计算，特别注意本题目中的夹角，并不是三角形的内角 ，而是其补角 ，这种情况在解题中要特别注意.
15．
【分析】利用平面向量的加法和减法法则求解.
【详解】解：由平面向量的加法和减法法则得：
（1）在中，，即 ；
（2）在中，，即；
（3）在四边形ABCD中，，即；
（4）在五边形ABCDE中，，即；
（5）在四边形ABCD中，，即，
所以.
16．作图见解析
【分析】方法一，首先利用平行四边形法则，作出，再利用向量减法，即可作出；
方法二，首先求得，利用相等向量进行转化，即可作出.
【详解】方法一　以为邻边作，连接，，

则，.
方法二　作

连接，则，
答案第1页，共2页
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