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6.2.4向量的数量积【第二练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
6.2.4向量的数量积【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.向量数量积的相关概念（夹角、投影向量），培养数学抽象、直观想象、逻辑推理素养，如第2题、第8题、第9题；
2. 求向量数量积及其运算性质，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第1题、第3题、第6题、第7题、第12题；
3.运用向量数量积求夹角与模长，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第4题、第5题、第10题、第11题、第13题；
4.与垂直有关问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第14题、第15题；
（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考期中）
1．在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
（2023上·浙江丽水·高一校联考期中）
2．已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）
3．已知单位向量，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·宁夏银川·高一银川一中校考期中）
4．如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，，，则（ ）
A．-16 B．16 C．-20 D．20
（2024上·云南昆明·高一统考期末）
5．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）
6．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
（2023·江苏扬州·高一仪征中学校月考）
7．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
（2024·辽宁丹东·高一统考期末）
8．已知，，则下列说法正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则与的夹角为0°
C．若与的夹角为60°，则在上的投影向量为
D．的取值范围为
（2024上·广西柳州·高一柳州高级中学校考期末）
9．已知，且与的夹角为，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为 .
（2023·江苏南通·高一海门中学校期中）
10．已知向量满足，的夹角为，则 .
（2023·北京昌平·高一统考期末）
11．已知向量，满足，，，则 ．
（2023下·山东东营·高一统考期末）
12．如图，直角梯形中，，，，，，则 ．

（2023·广东广州·高一广州市第八十六中学校考期末）
13．已知平面向量，满足，，．
(1)求与的夹角；
(2)求．
（2023下·江西宜春·高一统考期中）
14．已知平面向量满足，且．
(1)求向量的夹角；
(2)若，求实数的值．
（2023·陕西安康高一期中）
15．如图所示，已知中，分别为边上的高，而且与相交于点O，连接并延长，与相交于点D.求证：.

【易错题目】第2题、第8题、第9题
【复盘要点】向量投影概念内涵丰富，应用广泛.但由于对概念理解不清，在解决问题时缺少灵活性.
例1.（2023·福建莆田一中高一期末）已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据投影向量的概念求解.
【详解】因为，所以．
所以向量在向量上的投影向量为．故选：C．
易错警示：投影向量基本算法
(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定．
(2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ.
【复盘训练】
（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）
16．已知，且满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
（2023下·浙江金华·高一校联考期中）
17．已知平面向量满足，且，则在上投影向量为，则 ．
（2023上·广东惠州·高一校考期中）
18．已知、为单位向量且夹角为，设，，则在上的投影向量为 .
（2023下·云南·昆明市第一中学高一期末）
19．已知非零向量满足，，则在方向上的投影向量的模为 ．
（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）
20．已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.
【详解】∵，向量与的夹角为120°，
∴.
故选：D
2．D
【分析】直接根据投影向量的定义即可得结果.
【详解】在方向上的投影向量为，
故选：D.
3．B
【分析】根据题意可得，，，结合数量积的运算律分析求解.
【详解】由题意可知：，，，
所以.
故选：B.
4．B
【分析】根据向量的新定义和向量数量积计算即可.
【详解】由于，，，，
则，则
所以，则.
故选：B
5．C
【分析】先求出，然后再利用夹角公式计算即可.
【详解】由得，设
又，
所以，
由于，
所以与的夹角为.
故选：C.
6．B
【分析】设，根据勾股定理求得，得出，再根据数量积的定义即可得解.
【详解】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以,
设，则，
在中，，即，解得或（舍去），
所以，
易知在正方形中，，，，
所以.
故选：B.
7．AC
【分析】根据平面向量数量积运算性质和定义逐一判断即可.
【详解】A：由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立；
B：与共线，与共线，而与不一定共线，
所以不一定成立，因此本选项不一定成立；
C：，所以本选项一定成立；
D：当 时，，所以本选项不一定成立，
故选：AC
8．AC
【分析】通过分析各选项即可得出结论.
【详解】由题意，
A项，由数量积的概念，当时，，A正确；
B项，当时，与的夹角为0°或180°，故B错误；
C项，在上的投影向量为，C正确；
D项，，所以的取值范围为，D错误.
故选：AC.
9．
【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知数据，求解即可.
【详解】因为与的夹角为，
所以在向量上的投影向量为.
故答案为：.
10．
【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可.
【详解】，
故答案为：.
11．
【分析】根据垂直关系得，进而根据夹角公式即可代入求解.
【详解】由得，
所以，
故答案为：
12．
【分析】根据条件得出是等边三角形，然后利用向量的数量积公式求解即可.
【详解】由题知，，
因为，
所以，
又，所以是等边三角形，
，，
所以.
故答案为：
13．(1)
(2)12
【分析】（1）根据定义法直接求解即可；
（2）根据平方关系的转化求解向量的模即可.
【详解】（1）设与的夹角为
因为，，，
所以，
所以，
即与的夹角为
（2）由题意得，.
14．(1)；
(2)﹒
【分析】(1)由平方，根据向量数量积的运算方法即可求出cosθ，从而可求θ；
(2)由得，根据向量的数量积运算律即可求出λ﹒
【详解】（1）由平方得，
∵，∴，解得，
∵，∴；
（2）由(1)知．
∵，∴，
化简得，
∴，解得．
15．证明见解析
【分析】通过向量线性运算以及数量积运算求得，由此证得.
【详解】因为，所以，即，
因此①，
又因为，所以，即，
因此②，
由①―②可得，因此，
从而，故，即.
16．D
【分析】根据进行求解，得到答案.
【详解】因为，，
所以在上的投影向量为.
故选：D
17．
【分析】根据向量的投影的概念及公式直接计算.
【详解】在上投影向量为，即，
故.
故答案为: .
18．
【分析】首先利用数量积公式求得，再由投影向量的概念和公式求解在上的投影向量即可.
【详解】因为、为单位向量且夹角为，且，，
则，
所以，，且，
所以，在上的投影向量为.
故答案为：.
19．
【分析】根据投影向量定义可知所求模长为，由向量垂直关系可求得，根据可得结果.
【详解】在方向上的投影向量为，为与同向的单位向量，
在方向上的投影向量的模长为；
，，，
，即所求模长为.
故答案为：.
20．2
【分析】由题设有，结合数量积的定义得，，应用数量积的运算律有，即可求模长的最小值.
【详解】由题意，在方向上的投影数量为1，
故，则，设向量夹角为，
，则，（），
由，故的最小值为.
故答案为：2
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.2.4向量的数量积【第二课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
6.2.4向量的数量积
题型一 与向量数量积有关的概念
例1. （2023·山东泰安实验高中高一期中）以下三种说法中正确的有______（填序号）
（1）若向量与满足，则与的夹角为钝角；
（2）在中，若，则为直角三角形；
（3）若向量与是两个单位向量，则．
【思路分析】根据向量数量积的定义、性质及运算律来解答．
【答案】②③
【解析】由向量数量积的定义知（为向量的夹角）．
①若，则为钝角或，故①错误；
②由知，则为直角三角形，故②正确；
③由，知，故③正确．
【方法技巧与总结】两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别．解决这一类题需要把握好数量积的定义、性质及运算律，注意零向量与数字0的差异，实数乘积运算与向量数量积运算的差异，向量数量积不满足向量结合律．
【变式训练1-1】（2024·辽宁阜新高一期末）
1．下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则对任一非零向量都有
C．若，则与中至少有一个为
D．若与是两个单位向量，则
【变式训练1-2】（2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）
2．已知两个非零单位向量、的夹角为.
①不存在，使；
②；
③；
④在方向上的投影为.
则上述结论正确的序号是 （请将所有正确结论都填在横线上）
题型二 几何图形中的向量数量积的运算
例2．（2023·安徽铜陵·高一期中）已知正方形的边长为2，
分别求：（1）；（2）；（3）．
【思路分析】结合图形运用数量积公式进行求解．
【解析】（1）∵的夹角为，
∴．
（2）∵的夹角为，
∴．
（3）∵的夹角为，
∴．
【方法技巧与总结】求两个向量的数量积的关键是在几何图形中准确求出两个向量的夹角，
要注意夹角的范围为．
【变式训练2-1】（2023·宁夏石嘴山·高一统考期末）
3．在等腰直角三角形中，若 ，，则的值等于（ ）
A． B．2 C． D．
【变式训练2-2】（2023·江苏徐州·高一期末）
4．在平行四边形中，是线段的中点，则（ ）
A．1 B．4 C．6 D．7
【变式训练2-3】（2023·河南开封高一期中）
5．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中的值为（ ）
A．24 B．6 C． D．
【变式训练2-4】（2023·江苏南京·高一校联考期中）
6．在直角梯形ABCD中，已知，，，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点.
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围.
题型三 向量垂直问题
例3．（2023·安徽铜陵·高一期中）不共线的向量与满足什么条件时，与互相垂直
【思路分析】可由向量与互相垂直的条件出发得到的关系，即满足的条件．
【解】若，
则，
整理得，即．
∴当向量与的模相等时，与互相垂直．
【方法技巧与总结】本题可以从向量加、减法的平行四边形法则的角度理解，与分别对应平行四边形的两条对角线，对角线互相垂直，说明平行四边形是菱形，边长相等．
【变式训练3-1】（2024上·黑龙江大庆·高一期中）
7．已知向量，的夹角为，，且向量与垂直，则实数（ ）
A．2 B． C． D．2
【变式训练3-2】（2023·山西大同·高一统考期中）
8．已知，，，且与垂直，则 .
【变式训练3-3】（2023·四川泸州·高一统考期中）
9．已知向量、的夹角为．
(1)求·的值
(2)当时，对于任意的，证明，和都垂直．
题型四 利用平面向量数量积求向量的夹角或模长
例4.1（2023·安徽铜陵·高一期中）已知与的夹角为，
求向量与向量的夹角的余弦值．
【解析】，
，
，
∴．
．
设的夹角为，
∵，
∴，即．
例4.2（2023·江西赣州高一期中）已知向量与的夹角为，且，
求：（1）；（2）．
【思路分析】利用或求解．
【解析】设与的夹角为，由已知得，
，．
（1）∵．
（2）．
【方法技巧与总结】1.求向量与夹角的思路
（1）求向量夹角的关键是计算及，在此基础上结合数量积的定义或性质计算，最后借助，求出的值．
（2）在个别含有与的等量关系式中，常利用消元思想计算的值．
2.求模长问题基本思路
（1）此类求模问题一般利用模的平方与数量积的联系求解．
（2）利用或，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
【变式训练4-1】（2023·福建莆田高一期中）
10．若向量与的夹角为，，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【变式训练4-2】（2023·浙江宁波高一期中）
11．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】（2023·陕西安康高一期中）
12．已知非零向量，满足，且与的夹角为，则＝ .
【变式训练4-4】（2023·四川宜宾·高一统考期中）
13．已知非零向量满足，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为 ．
【变式训练4-5】（2023·河南周口高一统考期中）
14．已知是平面内的单位向量，若向量满足，则的取值范围是 ．
易错点1 未弄清向量的夹角而出错
【典例】（2023·江西宜春高一统考期末）在中，，求．
【错解】．
【错因分析】判断两向量的夹角，应先将表示这两个向量的有向线段平移到同一起点，与的夹角是的补角．
【正解】
易错警示 求两个向量的夹角时，应把表示这两个向量的有向线段的起点平移到重合的位置．若不便于平移，就需要作辅助线．两向量夹角满足，当两向量同向共线时，；当两向量反向共线时，．
针对训练1-1（2023下·甘肃兰州·高一统考期末）
15．等边三角形中，与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
针对训练1-2（2023·吉林通化高一校考期中）
16．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是 ．
易错点2 混淆两向量的夹角为钝（锐）角与两向量的数量积为负（正）之间的关系而出错
【典例】设两向量满足的夹角为．若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【错解】由已知得，
于是．
因为与的夹角为钝角，
所以，解得，所以实数的取值范围为．
【正解】由已知得，
于是．
因为与的夹角为钝角，
所以，解得．
但是，当与反向共线时，它们的夹角为，也有，但不符合题意，
此时存在实数，使得，即且，
解得（正值舍去）．
故所求实数的取值范围是．
易错警示 若两向量的夹角为钝角，则它们的数量积为负，反之不成立．因为两向量反向共线时，夹角为平角，即，其数量积也为负．
若两向量的夹角为锐角，则它们的数量积为正，反之不成立．因为两向量同向共线时，夹角为零角，即，其数量积也为正．
针对训练2-1（2023·北京101中学校高一校考期中）
17．已知，，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 ．
针对训练2-2（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）
18．单位向量，满足.
(1)求与夹角的余弦值：
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．AD
【分析】根据数量积的定义可知A正确，利用垂直关系的向量表示可得B、C均错误，由单位向量定义以及向量运算律可得D正确.
【详解】因为的长度为0，结合数量积的公式可知，A正确；
当非零向量时，有，可知B错误；
若，则与可以是相互垂直的两个非零向量，即C错误；
因为与是单位向量，即，
所以，，故，即D正确；
故选：AD
2．①②③
【分析】根据平面向量的定义、平面向量数量积的运算律、垂直向量的等价条件以及向量投影的定义来判断各命题的正误.
【详解】对于命题①，，命题①正确；
对于命题②，，同理可得，则，命题②正确；
对于命题③，，
，命题③正确；
对于命题④，在方向上的投影为，命题④错误.
因此，正确命题的序号为①②③，故答案为：①②③.
【点睛】本题考查平面向量数量积的定义以及运算律，同时也考查了平面向量垂直的等价条件和投影的定义，解题时应充分从这些定义和等价条件出发来加以理解，考查推理能力，属于中等题.
3．B
【分析】直接根据向量数量积的定义计算即可得答案.
【详解】解：
故选：B.
4．A
【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
5．A
【分析】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得的坐标，再由数量积的坐标表示计算．
【详解】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
，，
，即，
，由分形知，所以，
所以，
所以．
故选：A．
6．(1)2；
(2).
【分析】（1）由、，应用向量数量积的运算律及向量位置关系求即可.
（2）令且，同（1）应用向量数量积的运算律得到关于的表示式，即可求值.
【详解】（1）由图知：，，
所以，
所以，
又，，，
所以.
（2）由（1）知：，
令且，则，，
所以.
则.
7．D
【分析】根据垂直向量的数量积建立方程，结合题意，可解得答案.
【详解】由，则，
即，
解得.
故选：D.
8．
【分析】由平面向量的数量积及向量垂直的充要条件即可求解.
【详解】，
与垂直，
，
∴.
故答案为：.
9．(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数量积的定义运算求解；
（2）根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.
【详解】（1）．
（2）当时，，
则，与实数的值无关，
即当时，对于任意的，和都垂直．
10．C
【分析】根据向量数量积运算化简已知条件，从而求得.
【详解】因为
，
，解得（负根舍去）.
故选：C
11．A
【分析】利用向量，则数量积为零，将已知和公式代入求解.
【详解】设与的夹角为
因为，
所以
所以，因为，
所以.
故选：A
12．##
【分析】由题意可得，，结合数量积的定义可得，即可得答案.
【详解】解：因为，所以，
又，
，
，
所以，
化简得，
所以.
故答案为：
13．##
【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.
【详解】由得，
两边平方得，
，
所以，
由得，
两边平方得，
，
所以向量与的夹角为.
故答案为：
14．
【分析】根据向量的数量积运算列方程，化简求得正确答案.
【详解】因为，
即，
所以或，
即或，
由于，且是非负数，
所以.
故答案为：
15．C
【分析】根据平面向量夹角的定义可得结果.
【详解】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．

故选：C．
16．
【分析】依题意可得，再求出，，最后根据夹角公式计算可得；
【详解】解：因为两个非零向量，满足，所以，即，所以，，
设向量与的夹角为，则
因为，所以
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，属于中档题.
17．
【分析】利用数量积的定义，再根据条件得到，从而得到，再去掉与共线同向时，的取值，即可求出结果.
【详解】因为与的夹角为锐角，又，
所以，
又，，，所以，
解得，又因，
当时，也满足，此时不合题意，
当与共线同向时，有，从而得到，解得，
又，所以实数t的取值范围是，
故答案为：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值；
（2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，即，则，
则，即与夹角的余弦值.
（2）因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
当与共线时，有，即，
由（1）知与不共线，所以，解得，
所以当与不共线时，，
由，得，
即，解得，
所以且，即实数的取值范围为.
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