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6.2.3向量的数乘运算【第一练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
6.2.3向量的数乘运算【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.向量的线性运算，培养数学抽象、逻辑推理素养，如第1题、第2题、第5题、第9题、第13题、第14题；
2.用已知向量表示其他向量，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第4题、第10题、第12题、第15题；
3.向量共线定理的应用，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第3题、第6题、第7题、第8题、第11题、第16题；
一、填空题
（2023·全国高一课时练习）
1．等于 ．
（2023·全国高一课时练）
2．若，，则 ， ， .
（2023·全国高一课时练习）
3．已知向量，满足，，且，则实数的值是 ．
（2023·甘肃天水高一校考阶段练习）
4．在中，点为边的中点，记，则 ．
（2023·上海青浦·高一课时练）
5．已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量
（2023·吉林长春·高一课时练）
6．已知则使得的实数 .
（2023·全国高一课时练）
7．若，，，则四边形ABCD是 ．
（2023·全国高一课时练）
8．已知是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 .
（2023·甘肃兰州·高一课时练）
9．平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简 ．
（2023下·辽宁高一课时练）
10．在中，点为边的中点，若，则实数的值为 .
（2023·四川资阳·高一阶段练习）
11． 三点共线 （答案不唯一）.
（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）
12．若，则 ．
二、解答题
（2023·全国高一课时练习）
13．若向量表示小船沿东北方向行驶了，则向量和的意义分别是什么？
（2023·全国高一课时练）
14．如图，已知向量，，求作向量.
（2023·高一课时练习）
15．如图，的两条对角线相交于点M，且，，用，表示，，和．
（2023·高一课时练习）
16．设，是不共线的两个非零向量．
(1)若，，，求证：，，三点共线；
(2)若，，，且，，三点共线，求的值．
【易错题目】第4题、第12题、第15题
【复盘要点】用已知向量表示其他向量，对向量线性运算掌握不牢，几何图形性质不清，使运算受阻
【典例】（2023·重庆南开中学高一期中）如图6.2.3－4，在△ABC中，，，M是AB的中点，N是CM的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，，M是AB的中点，N是CM的中点，
∴．
易错警示：要关注题目中图形的几何性质，分析已知向量和所求向量之间的关系，可能是线性组合、共线等.根据向量的加法、减法、数乘等运算规则，将已知向量进行组合或变换，建立所求向量与已知向量之间的等量关系，进行化简，求出所求向量的表达式.
【复盘训练】
（2023·山东临沂·高一校考阶段练习）
17．如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·高一课时练习）
18．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若，用表示 .
（2023·湖南邵阳·高一课时练）
19．如图，已知，若，则 ， .
（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学月考）
20．在平行四边形中，，，设，．
(1)用，表示；
(2)用，表示．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．##
【分析】利用向量线性运算求解作答.
【详解】.
故答案为：
2． ## ##
【分析】根据平面向量线性运算可求出结果.
【详解】因为，，
所以，，.
故答案为：，，
3．
【分析】利用向量的线性运算，以及向量的模，转化求解即可.
【详解】由，得，因为，，所以，即.
故答案为：
4．
【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.
【详解】由点为边的中点，得，
所以.
故答案为：
5．
【分析】由等式变形可得出关于、的表达式.
【详解】因为，所以，，则.
故答案为：.
6．
【分析】根据向量数乘的定义求解．
【详解】，则在线段上，且，所以，又，
所以．
故答案为：．
7．梯形
【详解】由题意知，所以，且|.
则四边形ABCD是梯形.
故答案为：梯形.
8．
【分析】由向量共线可得，由此构造方程组求得结果.
【详解】与是共线向量，
，即，
，解得：，
.
故答案为：.
9．
【分析】根据平面向量的运算法则计算即可.
【详解】如图所示，
，
所
故答案为：
10．2
【分析】利用向量的加减运算化简即可求解.
【详解】因为，，
所以，所以，即.
故答案为：2
11．（答案不唯一）
【分析】根据给定条件，利用共线向量写出结论作答.
【详解】解： 三点共线∥，
或者 三点共线∥.
故答案为：
12．1
【分析】由，得到，又，代入后即可求解.
【详解】，
，
又，
，
，解得，，
，
故答案为：1．
13．答案见解析
【分析】根据数乘的定义求解.
【详解】表示与同向且模长为模长的3倍，故意义为小船沿东北方向行驶了；
表示与反向且模长为模长的，故意义为小船沿西南方向行驶了.
14．作图见解析
【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解.
【详解】如图所示.在平面内取一点O，作，，连接，则.
15．，，，．
【解析】根据向量加减法的平行四边形法则、三角形法则和数乘运算法则进行运算即可.
【详解】在中，，．
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
，
，
，
．
【点睛】本题考查利用平行四边形的性质，用向量表示几何元素，结合向量的加减法和数乘运算等性质，用向量来解决几何问题.
16．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用向量加减法及向量共线条件证明三点共线；
（2）由三点共线转化为向量共线即得结果.
【详解】（1）证明：因为，
又，
故，又与有公共点，
所以，，三点共线．
（2），．
因为，，三点共线，所以，
即，因为与是不共线的两个非零向量，
所以，故.
综上，的值为．
17．B
【分析】由向量的线性运算，可得解
【详解】由题意，．
故选：B
18．
【分析】利用平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
.
故答案为：
19．
【分析】根据向量的加减法运算以及共线向量的表示方法可求解.
【详解】如图，,
故答案为: ,.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量加减法化简得便可得答案.
（2）利用向量加减法化简得便可求出答案.
【详解】（1）解：，且四边形是平行四边形
（2）
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.2.3向量的数乘运算【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
6.2.3向量的数乘运算
[课标要求]
1.了解向量数乘的概念.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.
3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.
[明确任务]
1.实数与向量的积的定义（数学抽象）；
2.利用共线向量定理证明三点共线、两线平行（逻辑推理）；
3.利用实数与向量积的运算律进行有关的计算（数学运算）；
4.共线向量定理（直观想象）.
1.数量运算中加法与乘法关系；
2.共线向量的概念、向量加法与减法的运算法则.
核心知识点1 向量的线性运算
1.向量数乘的定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，
记作λa，其长度与方向规定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|.
（2）λa（a≠0）的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0；当λ＝－1时，（－1）a＝－a.
2.向量数乘的运算律：设λ，μ为实数，那么
（1）λ（μa）＝（λμ）a；
（2）（λ＋μ）a＝λa＋μ a；
（3）λ（a＋b）＝λa＋λb.
特别地，（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.
3.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，
以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b.
例1.（1）若a＝2b＋c，则化简3（a＋2b）－2（3b＋c）－2（a＋b）等于（　　）
A.－a B.－b
C.－c D.以上都不对
【答案】C
【解析】原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b
＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.
（2）若3（x＋a）＋2（x－2a）－4（x－a＋b）＝0，则x＝________.
【答案】4b－3a
【解析】由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，
所以x＝4b－3a.
归纳总结 向量线性运算的基本方法
（1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
（2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.
【举一反三】
1．已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．若向量，，则 .
3．如图，已知向量与不共线，求作向量．

核心知识点2 用已知向量表示其他向量
例2.如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于（　　）
A. a－b B. a＋b
C.a＋b D.a－b
【答案】　D
【解析】因为E是BC的中点，
所以＝＝－＝－b，
所以＝＋＝＋＝a－b.
归纳总结 用已知向量表示其他向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
【举一反三】
4．在中，点为边的中点．记，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若点满足，则( )
A． B．
C． D．
核心知识点3 向量共线的判定及应用
向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
例3.设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线.
（1），；
（2），；
（3），.
【答案】（1）共线
（2）共线
（3）不共线
【解析】（1），则有，即共线；
（2），则有，即共线；
（3）设，共线，则由共线向量基本定理，得存在，使，
即，所以，所以共线，
这与已知条件不共线矛盾，不共线.
（2）利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
【举一反三】
6．已知向量，不共线，如果，，，则共线的三个点是 .
7．设与是两个不共线向量，，，.若A，B，D三点共线，则的值为 ．
8．下列运算正确的个数是（ ）
①；
②；
③.
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
11．设P是所在平面内的一点，，则
A． B． C． D．
12．化简 .
13．已知点在线段上，且，若向量，则 .
14．设是不共线的两个向量.
(1)若，，，求证：A，B，C三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据向量混合运算即可.
【详解】，
故选：C.
2．
【分析】根据向量的加减与数乘，可得答案.
【详解】；
；
；
.
故答案为：.
3．答案见解析
【分析】画出，从而利用向量减法法则画出.
【详解】如图所示，，，故即为.

4．D
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点D为边的中点，所以，
.
故选：D.
5．D
【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果.
【详解】由，得，
得，得.
故选：D．
6．，，
【分析】利用共线向量的充要条件化简求解即可.
【详解】因为，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
故答案为：，，
7．
【分析】根据三点共线，转化为向量，计算向量后，再转化为向量相等，即可求解的值.
【详解】因为A，B，D三点共线，所以必存在一个实数λ，使得.又，，，所以 ，化简为，所以，又与不共线，所以 解得.
故答案为：
8．C
【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.
【详解】根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；
在③中，，显然该运算错误.
所以运算正确的个数为2.
故选：C
9．B
【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为四边形为矩形，为中点，
所以，
所以.
故选：B
10．C
【分析】结合图形，用、表示出、和即可.
【详解】因为是的中点，所以.
故选：C
11．B
【详解】移项得.故选B
12．
【分析】利用向量的线性运算求解即得.
【详解】
故答案为：
13．
【分析】根据线段的数量关系，即可确定向量之间的倍数关系，即得答案.
【详解】如图，由，可得，所以，即，
故答案为：
14．(1)证明见解析；
(2)±4.
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）由，，，
得，
，
因此，且有公共点B，
所以A，B，C三点共线.
（2）由于与共线，则存在实数，使得，
即，而是不共线，
因此，解得或，
所以实数k的值是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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