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七年级数学下册 预习篇
6.3 实数
一、无理数
1.无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数。
2.有理数与无理数的区别：
（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；
（2）任何一个有理数都可以化成分数的形式，而无理数不能化成分数形式；
3.无理数近似值的估算方法：估算无理数的近似值通常用“夹逼法”，第一步：先确定被估算无理数的整数取值范围；第二步：以较小整数逐步开始加0.1，并求其平方，确定被估算数的十分位，以此类推下去可以求出无理数的近似值。
4.无理数的常见类型：
（1）特点结构的数。如0.2020020002……是无理数；
（2）圆周率以及含的数；
（3）开方开不尽的数的方根；
二、实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
2.实数的性质：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
（1）相反数：实数的相反数是，0的相反数是0；
（2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；
（3）实数的绝对值可表示为，即的绝对值一定是一个非负数；
（4）倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即如果与互为倒数，则；反之，如果，则与互为倒数，0没有倒数。
（5）实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则。正实数大于0，负实数小于0，正数大于一切非负实数。两个负实数，绝对值大的反而小。数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。
6.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数和数轴上的点是一一对应的。
7.实数的运算：
（1）运算法则、运算率：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。
（2）运算顺序：在进行实数的混合运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方，开方，在算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行。
选择题
1.如图，已知正方形的面积为5，顶点A在数轴上，且表示的数为．现以A为圆心，为半径画圆，与数轴交于点E（E在A的左侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积为5，且，
∴，
∵点A表示的数是，且点E在点A的左侧，
∴点E表示的数为．
故选：C．
2.下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数，根据无理数的概念（即无限不循环小数）判断即可．
【详解】A选项：，它不是无理数；
B选项：是无理数；
C选项：0不是无理数；
D选项：不是无理数．
故选：B
3.在四个数，0，，0.8中，绝对值最大的是（ ）
A． B．0 C． D．0.8
【答案】A
【分析】本题主要考查绝对值及实数的大小比较，熟练掌握绝对值的意义及实数的大小比较是解题的关键；由题意得，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴绝对值最大的是；
故选A．
4.在，，，，，，…（每两个之间依次多一个）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．由题意直接根据无理数的定义，进行分析即可得出答案．
【详解】解：实数，，，，，，…（每两个之间依次多一个）中，无理数有、、…（每两个之间依次多一个），共计个，
故选：C．
5.以下正方形的边长是无理数的是（ ）
A．面积为的正方形 B．面积为的正方形
C．面积为的正方形 D．面积为的正方形
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、面积为的正方形的边长为，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、面积为的正方形的边长为5，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、面积为的正方形的边长为7，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、面积为的正方形的边长为，是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
6.有一列数按一定规律排列：…．则第n个数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，找到实数的变化规律是解题的关键．根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，再按分子、分母分别找规律求解即可．
【详解】解：根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，该列数的分子是，分母是，
第个数是
故选B．
7.如图，半径为1个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数轴上的点与对应数字的关系．解题的关键是得出点对应的数为该半圆的周长，计算半圆周长即可．
【详解】解：点对应的数是半圆周长为直径半圆弧长，
即，
故选：C．
8.估计的值在( )
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，利用算术平方根的性质可得，易得结果．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
填空题
1.按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，根据运算程序运算即可得到结果，理解运算程序是解题的关键．
【详解】解：，
∵不是无理数，
∴最后输出的值为，
故答案为：．
2.整数a，满足，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握无理数的估算方法是正确解答的前提．
根据算术平方根的定义估算无理数、的大小，进而确定的整数值．
【详解】解：，，而整数，满足，
，
，
故答案为：．
3.我们记边形为，其内角和为，则 （不要求求出具体结果）
【答案】
【分析】本题考查了新定义内容：先根据的定义，列式代入数字即可作答．考查学生对符号的理解能力．
【详解】解：依题意，∵边形为，其内角和为，
∴
故答案为：
4.已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小方法是解本题的关键．一个数是由整数部分＋小数部分构成的．通过估算的整数部分是3，那么它的小数部分就是，再代入式子求值．
【详解】解：∵是的整数部分，是它的小数部分，
∴
∴．
故答案为：。
5.比较大小（用“＞，＜，＝”表示）： ； 3.14； ．
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较，解题的关键在于：（1）根据绝对值的性质、相反数的定义化简，再根据正数大于一切负数解答；（2）根据即可比较；（3）先通分再比较．
【详解】（1）
又
（2）
（3）
故答案为：；；
解答题
1.有下列各数：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每两个3之间依次多一个1）．
(1)属于整数的有 ．（填序号）
(2)属于负分数的有 ．（填序号）
(3)属于无理数的有 ．（填序号）
【答案】(1)④⑥
(2)②⑤
(3)③⑦
【分析】本题考查实数的分类，正理解整数、负分数、无理数是解题的关键．
（1）根据有理数定义直接写即可；
（2）根据负分数的定义直接写即可；
（3）根据无理数的定义直接写即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴整数的有④⑥．
（2）解：∵，，
∴负分数的有②⑤．
（3）解：∵，，
∴无理数的有③⑦．
2.(1)计算： ．
(2) 计算：
【答案】（1），（2）
【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可；
（2）本题考查实数的混合运算．先化简各数，再进行加减运算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）原式．
3.【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分为，∴的小数部分为．
【解决问题】
(1)填空：的小数部分是 ；
(2)已知、分别是的整数部分、小数部分，求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）由于，可求的整数部分，进一步得出的小数部分；
（）先求出的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可．
本题考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
【详解】（1）∵，
∴的整数部分是，
∴的小数部分是，
故答案为；
（2）∵、分别是的整数部分、小数部分，
∴，，
∴
，
，
，
．
4.如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．
(1)这个魔方的棱长为______．
(2)图1的侧面有一个正方形，求这个正方形的面积和边长．
(3)将正方形放置在数轴上，如图2所示，点A与数3表示的点重合，则D在数轴上表示的数为______．
【答案】(1)6
(2)，边长
(3)
【分析】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系，正方体的体积＝棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上的点的左右移动后对应的数的表示．
（1）根据正方体的体积，求的立方根，即可作答．
（2）根据正方形的面积，求的平方根，即可作答．
（3）根据数轴上表示实数，在左边的点用减法表示，即可作答．
【详解】（1）解：设魔方的棱长为，
则，
∴，
故答案为：6；
（2）解：，
∵边长乘边长，
∴边长；
（3）解：∵，点A为3，
∴点D代表的数为，
故答案为：．
5.计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查实数的混合运算能力，
（1）先将原式化简，再进行加减运算；
（2）先计算有理数的乘除法，再计算加减运算；
（3）先计算立方、变除法为乘法，再运用乘法分配律计算乘法，最后计算加减运算；
（4）先计算绝对值、算术平方根和立方根，再进行加法运算；
解题的关键是能准确确定运算顺序和运算法则，并能进行正确地计算．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
6.把下列各数分别填入相应的集合里：，3，，，，0，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）
正有理数集合：{ ……}；
整数集合：{ ……}；
负分数集合：{ ……}；
无理数集合：{ ……}；
【答案】3，，3.14； 3，0，；，，；，
【分析】本题主要考查了实数，直接利用正有理数以及无理数和负分数的定义、整数的定义分别分析得出答案．
【详解】解：正有理数集合：（3，，3.14…）；
整数集合：（3，0，…）；
负分数集合：（，，，…）；
无理数集合：（，……）．
故答案为：3，，3.14； 3，0，；，，；，．
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七年级数学下册 预习篇
6.3 实数
一、无理数
1.无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数。
2.有理数与无理数的区别：
（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；
（2）任何一个有理数都可以化成分数的形式，而无理数不能化成分数形式；
3.无理数近似值的估算方法：估算无理数的近似值通常用“夹逼法”，第一步：先确定被估算无理数的整数取值范围；第二步：以较小整数逐步开始加0.1，并求其平方，确定被估算数的十分位，以此类推下去可以求出无理数的近似值。
4.无理数的常见类型：
（1）特点结构的数。如0.2020020002……是无理数；
（2）圆周率以及含的数；
（3）开方开不尽的数的方根；
二、实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
2.实数的性质：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
（1）相反数：实数的相反数是，0的相反数是0；
（2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；
（3）实数的绝对值可表示为，即的绝对值一定是一个非负数；
（4）倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即如果与互为倒数，则；反之，如果，则与互为倒数，0没有倒数。
（5）实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则。正实数大于0，负实数小于0，正数大于一切非负实数。两个负实数，绝对值大的反而小。数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。
6.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数和数轴上的点是一一对应的。
7.实数的运算：
（1）运算法则、运算率：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。
（2）运算顺序：在进行实数的混合运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方，开方，在算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行。
选择题
1.如图，已知正方形的面积为5，顶点A在数轴上，且表示的数为．现以A为圆心，为半径画圆，与数轴交于点E（E在A的左侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
2.下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C．0 D．
3.在四个数，0，，0.8中，绝对值最大的是（ ）
A． B．0 C． D．0.8
4.在，，，，，，…（每两个之间依次多一个）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.以下正方形的边长是无理数的是（ ）
A．面积为的正方形 B．面积为的正方形
C．面积为的正方形 D．面积为的正方形
6.有一列数按一定规律排列：…．则第n个数是（ ）
A． B．
C． D．
7.如图，半径为1个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点对应的数是（ ）
A． B． C． D．
8.估计的值在( )
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
填空题
1.按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是 ．
2.整数a，满足，则 ．
3.我们记边形为，其内角和为，则 （不要求求出具体结果）
4.已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则 ．
5.比较大小（用“＞，＜，＝”表示）： ； 3.14； ．
解答题
1.有下列各数：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每两个3之间依次多一个1）．
(1)属于整数的有 ．（填序号）
(2)属于负分数的有 ．（填序号）
(3)属于无理数的有 ．（填序号）
2.(1)计算： ．
(2) 计算：
3.【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分为，∴的小数部分为．
【解决问题】
(1)填空：的小数部分是 ；
(2)已知、分别是的整数部分、小数部分，求代数式的值．
4.如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．
(1)这个魔方的棱长为______．
(2)图1的侧面有一个正方形，求这个正方形的面积和边长．
(3)将正方形放置在数轴上，如图2所示，点A与数3表示的点重合，则D在数轴上表示的数为______．
5.计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
6.把下列各数分别填入相应的集合里：，3，，，，0，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）
正有理数集合：{ ……}；
整数集合：{ ……}；
负分数集合：{ ……}；
无理数集合：{ ……}；
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