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从08年中考新题中探究数学价值
○ 南昌市实验中学 徐建国
纵观08年全国中考数学试题，新题数量尽管不多，内容却精彩纷呈，由于这些新题大部分是小题，练习时极易走马观花、数典忘祖，难以达到预期效果．选择08年中考新题复习，我们应从08年中考新题中追溯其数学背景，演绎其数学内涵，展示其数学魅力，探究其数学价值，引领学生跳出题海，回归解题能力提升．
一、“滑动对称变换”——探究几何组合变换
例1（浙江省台州市）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）
A．对应点连线与对称轴垂直
B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分
D．对应点连线互相平行
解：将“滑动对称变换”的中间步骤补出可得图3，连接，及，不难发现△是以∠为直角的直角三角形，显然对称轴垂直平分，并且平行，故平分，故选B．
将两个相近的知识联系在一起是中考命题常用手段，本例是将两种几何变换——轴对称、平移相联系，很有创意．下面讨论两次轴对称变换带来的奇妙现象．
（1），且、相距．
可以发现：从△到△是平移变换，且平移的距离为．
（2）与相交于点，且相交所成的锐角为．
可以发现，从△到△是以点O为旋转中心，顺时针旋转
练习1（江苏省淮安市）我们约定,若一个三角形(记为△A1)是由另一个三角形(记为△A)通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图l是由△A复制出△A1，又由△Al复制出△A2，再由△A2复制出△A3，形成了一个大三角形，记作△B.以下各题中的复制均是由△A开始的，由复制形成的多边形中的任意两个小三角形(指与△A全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠．
(1)图l中标出的是一种可能的复制结果．它用到_____次平移．_______次旋转．小明发现△B∽△A，其相似比为_________．若由复制形成的△C的一条边上有11个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形)，则△C中含有______个小三角形；
(2)若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是________；
(3)在复制形成四边形的过程中，小明用到了两次平移一次旋转，你能用两次旋转一次平移复制形成一个四边形吗?如果能，请在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记；如果不能,请说明理由；
(4)图3是正五边形EFGHI．其中心是O．连结O点与各顶点．将其中的一个三角形记为 △A，小明认为正五边形EFGHI是由复制形成的一种结果，你认为他的说法对吗?请判断并说明理由．
二、“乘方分裂”——探究观察、发现、推广
例2（浙江省衢州市），和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，也能按此规律进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中最大的是( )
A．41 B．39
C．31 D．29
解：观察题中给出的几个乘方的“分裂”形式，发现对于的“分裂”是分出个连续奇数的和，当为奇数时，“分裂”后的中间数为；当为偶数时，“分裂”后的中间两个数依次为：，，所以不难得到的“分裂”为：
其中最大的奇数是41，故选A．
由上可推广到将“分裂”：
（1）当为偶数时： （2）当为奇数时：

练习2（山西省太原市2008年）已知，且均为正整数，
如果将进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：
（1）在的“分解”中最大的数是11．
（2）在的“分解”中最小的数是13．
（3）若的“分解”中最小的数是23，则等于5．
其中正确的是 ．
三、“蛋圆”——探究两个不同图象组合
例3（湖南省益阳市）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，
如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.
如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，
AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.
请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，
并写出自变量的取值范围；
(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析
式吗？试试看；
(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D
的“蛋圆”切线的解析式.
解：(1) 抛物线的解析式为：y=x2-2x-3，自变量范围：-1≤x≤3
(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，
在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=
在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4
∴点C(0，)、E(-3,0) ，∴切线CE的解析式为
(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0)
由题意可知方程组只有一组解，即有两个相等实根，解得k=-2，∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3
练习3（江西省）如图，已知点的坐标为（3，0），点分别是某函数图象与轴、轴的交点，点是此图象上的一动点．设点的横坐标为，的长为，且与之间满足关系：（），则结论：①；②；③；④中，正确结论的序号是_ 　　 ．
四、“平行四边形个数”——探究几何计数方法
例4（贵州省贵阳市）根据如图所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，
依次下去第个图中平行四边形的个数是（ ）
A． B．
C． D．
解：（1）中平行四边形有6个，（2）中平行四边形有18个，（3）中平行四边形有36个，代入选择支验算可知：选B．
如何直接通过计数来探求平行四边形的个数呢？我们可以计算更一般情况，如下图：
共有行列小平行四边形，选取水平方向的线段可计数为条，斜方向的线段可计数为条，故共有平行四边形个．
练习4（2008年天津市）如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，
则图中相似三角形共有 对．
五、“选择安装点”——探究几何设计方案
例5（江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）
解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．（图案设计不唯一）
（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，．
由，得，
∴，∴，
即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求．
要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形，设经过，与交于，连，则，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形．所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求．
练习5（浙江省丽水市）如图是2008北京奥运会某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成、、三个不同的票价区．其中与场地边缘的视角大于或等于45°，并且距场地边缘的距离不超过30米的区域划分为票区，票区如图所示，剩下的为票区．
（1）请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出票区所在的区域（只要求作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，
请估算票区有多少个座位．
六、“调和数”——探究数形结合
例6（山东省济南市）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的
音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15:12:10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、ｍi、so．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、5、3（x>5），则x的值是　　　　　　　　．
解：根据题意可列方程：
整理得：，解得： 故填15.
本例中的“调和数”是指三个不同正整数，按定义列方程求解是不难的，但在具体调试琴音时，却没有这样好的数据，这时我们可以通过几何的方法求解，下面的例子即可.
如图，AB⊥BC于点Ｂ，DC⊥BC于点C，AC、BD相交于点O，OF⊥BC交BC于点F，交AD于点E，且设，，，则（、、为调和数）.
由AB∥EF∥DC得，，
∴，
同理，∴，即.
练习6（福建省龙岩市）已知α为锐角，则的值（ ）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1
七、“，”——探究新定义运算
例7（江苏省镇江市）理解发现
阅读以下材料：
对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：
；；
解决下列问题：
（1）填空： ；
如果，则的取值范围为．
（2）①如果，求；
②根据①，你发现了结论“如果，那么 （填的大小关系）”．证明你发现的结论；
③运用②的结论，填空：
若，
则 ．
（3）在同一直角坐标系中作出函数，，的图象（不需列表描点）．通过观察图象，
填空：的最大值为 ．
解：（1）；．
（2）①．
，
∴，∴ ，∴．
②
证明：，
如果，则，．则有，即．
∴．
又，．∴且．∴．
其他情况同理可证，故．
③
（3）作出图象． 
练习7（四川省达州市）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：
，请你根据上述规定求出下列等式中的值．
八、“数字游戏”——探究数字规律
例8（江苏省泰州市）让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1得a3；
…………
依此类推，则a2008=_______________．
解：，；，；
，，∴
，故填26．
解完本例后，我们至少有两件事可以做，也必须做：
①重新取一个数；②重新定义一个代数式计算．
①取，则，；，；
，，以下过程与例题相同，大家也可以重新选取一个数仿照做一次．
②将换成，则有
，；，；
，；，，
∴，．
练习8（广东省肇庆市）已知，，=8，=16，2=32，……
观察上面规律，试猜想的末位数是 .
九、“等边三角形在正方形内滑动”——探究课题学习过程
例9（江西省）如图1，正方形和正三角形的边长都为1，点分别在线段上滑动，设点到的距离为，到的距离为，记为（当点分别与重合时，记）．
（1）当时（如图2所示），求的值（结果保留根号）；
（2）当为何值时，点落在对角线上？请说出你的理由，并求出此时的值（结果保留根号）；
（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
0.03
0
0.29
0.29
0.13
0.03
（4）若将“点分别在线段上滑动”改为“点分别在正方形边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点运动所形成的大致图形．
（参考数据：．）
解：（1）过作于交于，于．
，，∴，．∴，．
（2）当时，点在对角线上，其理由是：
过作交于，过作交于．
平分，∴，∴．
，∴，∴．
，∴．
，∴．
即时，点落在对角线上．
，∴．在中，
，∴．∴．
（3）
0.13
0.03
0
0.03
0.13
0.29
0.50
0.50
0.29
0.13
0.03
0
0.03
0.13
（4）由点所得到的大致图形如图所示：
练习9（江苏省南通市）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．
答案： 1.（1）1，2；2；121 (2)正六边形 （3）如图 （4）不对，任何2个三角形都不能通过复制得到．
2．（2） 3．①②③ 4．6
5．（1）如图，以线段、与、所围成的区域就是所作的票区．

（2）连接、、、，设的中垂线与、分别相交于点和．
由题意，得．，∴．
∴．∴
（米2）．
∴．∴票区约有1445个座位．
6．如图，构造Rt△ABC，∠C=90°，，，，则：
，故选A．
7．整理得：2×－＝1，＋＝1，解之得：x＝4. 8.6
9．（1）理由如下：
∵扇形的弧长＝16×＝8π，圆锥底面周长＝2πr，∴圆的半径为4cm．
由于所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，，∴方案一不可行．
（2）方案二可行．求解过程如下：
设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则
， ① ． ②
由①②，可得，．
故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm．
《数学背景下的中考题》
——《初中生之友》2004.1-2 P.58~60
2003年江西省（包括南昌市）的中考数学题中，出现了一批新题，其中就有不少在深刻数学背景下的问题，追根溯源，我们可以更清楚地认识这些数学问题。
一、棋盘街及其行走方式
在南昌市卷中出现了棋盘街问题，对于棋盘街行走方式（路径）数可以杨辉三角形给出，如图是三横四纵的棋盘街，由右下方P处走到左上方Q处的路径共有35种（只能朝上、朝左行走，不能走回头路）.
例1 如图，①表示三经路与一纬路的十字路口，②表示一经路与三纬路的十字路口，如果用(3，1)→(3，2)→(3，3)→(2，3)→(1，3)
表示由①到②的一条路径，用同样的方式写出另外一条由①到②的路径：(3，1)→( )→( ) →( )→(1，3).
析解：显然由①到②的路径共有6种，除题中给出的一种外还有以下五种：
(3，1)→( 3，2 )→( 2，2 ) →( 2，3 )→(1，3)；
(3，1)→( 3，2 )→( 2，2 ) →( 1，2 )→(1，3)；
(3，1)→( 2，1 )→( 2，2 ) →( 2，3 )→(1，3)；
(3，1)→( 2，1 )→( 2，2 ) →( 1，2 )→(1，3)；
(3，1)→( 2，1 )→( 1，1 ) →( 1，2 )→(1，3).
二、格点及其面积公式
在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三
角形，关于格点三角形的面积有如下公式：
其中为三角形内部所含格点数，为三角形三边上所含格点数.
已知下面方格纸中的小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，
位置如图所示，请在小方格的顶点上确定一点C，连结AB、AC、BC，使△ABC的面积为2个平方单位.
析解：∵，
∴，即：，
显然为偶数，且，∴，6.
当时，，即△ABC内部只有一个格点，
三边上有四个格点，除三个顶点外，还有一个格点。
∴C点的位置可能是：A点上或下二格点，B点上或下二格点。
当时，，即△ABC内部没有格点，三边上有六个格点，除三个顶点
外，还有三个格点。
∴C点的位置只可能在B点的左四格点.
三、三元对称式及其构造解法
把代数式，，称为三元基本对称式，求解可通过构造一元三次多项式进行.
例3 抛物线的解析式满足如下四个条件：；；；＜＜.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与轴的交点为C。①在第一象限内，这条抛物线上有一点P，AP交轴于点D，当OD＝1.5时，试比较与的大小；②在轴的上方，这条抛物线上是否存在点，使得＝，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
析解：（1）求、、的值，可构造关于的一元三次式：
∵＜＜
∴，，
故抛物线的解析式为
（2）略.
解：（1）∵≠0，＝0， ∴＝0
①当＝0时，由得
解得
∵＜＜
∴不符题意舍去。
∴＝－1，＝0，＝4
②当＝0时，由得
解得
∵＜＜
∴与都不符合题意，舍去.
∴所求抛物线的解析式为：
（2）①在中，∵当＝0时，＝±2；当＝0时，＝4
∴A、B、C三点的坐标分别为（－2，0）、（2，0）、（0，4）
过P作PG⊥轴于G，设点P的坐标为（，）
∵点P是这条抛物线上第一象限内的点∴＞0，＞0，
∴PG＝，OA＝2，AG＝
∵OD∥PG，OD＝1.5
∴，即
解得＝，＝－2（不合题意，舍去）
OG＝ 又CD＝OC－OD＝4－1.5＝2.5，＝＝＝
＝＝＝＝ ∴＞
又∵＝＋，＝＋，∴＞
②分两种情况讨论：
在第一象限内，设在抛物线上存在点（，）使得＝
过作G⊥轴于点G，则＞0，＞0，
OG＝，G＝，OA＝2，AG＝
设A交轴于点，设O＝
∵OD∥G
∴，即化简为，＝
＝＝＝
＝＝
∵＝，∴＝
即 ＝，化简得
将代入中有＝，整理得
解得，
∵＞0，∴不合题意，舍去。∴
此时＝＝－＝
∴存在点坐标为（，）使得＝
在第二象限内，这条抛物线上任取一点，连结A、C，分别过点A作直线⊥轴；过点C作直线⊥轴；与相交于Q点，则四边形QAOC是矩形，＝，设点的坐标为（，），则有－2＜＜0
∵＝，∴0＜＜4
∴点在矩形QAOC内
又易知在△AQC内
∴＜，＜
∴在第二象限内这条抛物线上不存在点，使＝。
曾经沧海难为水
——我的命题实践
1．在算式的中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
7.下列各式的结果中，可能是负数的是（ ）
A． B． C． D．
10．若一元二次方程ax2+x-b=0的一根为1，则a-b的值是____________．
24．已知：（，1）
（1）写出不论为何值时，直线的图象都具有的2条性质；
（2）利用列表、描点和连线的方法在给定的坐标系（小方格单位长度为1）中画出函数 的图象；
（3）如果函数、的图象有两个不同的交点，求出由这两个图象围成的图形面积（可用含的式子表示）；
（4）如果函数、的图象只有一个交点，写出与轴交点坐标的最小值．
16.如图，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的不同展开图 (填出三种答案) .
19．如图，已知任意△ABC，D是BC边上一点，连接AD．请回答下列问题：
（1）图中有多少条线段？请分别用字母表示出来；
（2）图中有多少个角？请分别用字母表示出来．
20．如图，任意画一个三角形ABC，D、E是AB、AC两边的中点，连接DE.
（1）请量出DE，BC的长度，写出你发现的这两条线段的长度的数量关系；
（2）请量出∠ADE和∠ABC的度数，写出你发现的这两个角的度数的数量关系；
（3）利用（2）中的结果，写出∠AED和∠ACB的数量关系．
23． 将棱长为（，且为整数）的正方体的各面都染成红色后再切分成棱长为1的小正方体，表面积、个数等都会发生有规律的变化
（1）①当时，所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的____ ___倍；
②当时，所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的____ ___倍；
③当时，所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的_____ _倍．
（2）①三面带红色的棱长为1的小正方体有 个；
②二面带红色的棱长为1的小正方体有 个；
③一面带红色的棱长为1的小正方体有 个．
（3）如要二面带红的小正方体的个数是三面带红色的小正方体的个数的30倍，求的值．
（4）当时，一面带红色的小正方体的个数能否为两面带红色的小正方体的个数的整数倍？说明你的理由．
7．如图所示，AC与BD相交于点O，则（　　）
A．
B．
C．
D．与的大小不能确定
23．如图1是一个正方形，如图2是将图1中的正方形划分为4小正方形，如图3是将图1中的正方形划分为6个小正方形，如图4是将图1中的正方形划分为7个正方形．
图1 图2 图3 图4
（1）梆梆说：“可以将图1中的正方形划分为5个小正方形”，你认为他的说法对吗？
（2）请你帮助梆梆在备用图1、备用图2中，用2种不同方法把正方形划分为9个小正方形；
备用图1 备用图2
（3）观察以上所有将图1中的正方形划分为若干个小正方形的图形，请你写出将图1中的正方形划分为（m是正整数）个小正方形的划分方法（用示意图及文字说明）；
（4）观察以上所有将图1中的正方形划分为若干个小正方形的图形，请你写出将图1中的正方形划分为（n是大于或等于2的正整数）个小正方形的划分方法（用示意图及文字说明）．
1．下列式子中
，，，，，
其中分式有（ ）
Ａ．0个 Ｂ．2个 C．4个 D．6个
22．如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求四边形ABCD的面积与周长（周长的结果精确到0.01）
（2）问是直角吗？说明理由．
23．已知，反比例函数上两个相异的点A（3，4），B（，）．
（1）求出的值及，的等式关系；
（2）求OA、OB（用含的式子表示）的长度；
（3）若OA=OB，求B点的坐标；
（4）问可能是直角吗？说明理由．
例1、（加与减）（1）、分解因式：a4＋(a +1)4+a2(a +1)2 解：a4＋(a +1)4+a2(a +1)2= a4＋(a +1)4+2a2(a +1)2 -a2(a +1)2=[ a2＋(a +1)2]2 -a2(a +1)2=[ a2＋(a +1)2 +a(a +1)][ a2＋(a +1)2-a(a +1)]
=(3 a2＋3a+1) (a2＋a+1)（2）、分解因式：a2＋(a +1)2+a2(a +1)2
解：a2＋(a +1)2+a2(a +1)2
= a2＋(a +1)2-2a(a +1)+ 2a(a +1)+a2(a +1)2
= [a - (a +1)]2+ 2a(a +1)+a2(a +1)2
=1+ 2a(a +1)+a2(a +1)2
=[1+ a(a +1)]2
=( a2+a +1)2
内角平分线与外角平分线
1、（1）
AB：AC=BD：CD
AD2=AB·AC-BD·CD
（2）
AB：AC=BD：CD
AD2= BD·CD- AB·AC
2、（1）
AB·AC=AD·AE
（2）
AB·AC=AD·AE
3、（1）如图，⊿ABC中，AC＞AB ，AD平分∠BAC，P为AD上任意一点。求证：AC-AB＞ PC-PB。
（2）如图，⊿ABC中，AD平分∠BAC的外角，P为AD上任意一点。求证：AC-AB＞ PC-PB。
。求证：AC+AB＜ PC+PB。

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