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【高分突破】平行线 重点模型 专项训练
平行线问题过拐点作已知直线的平行线可以解决大部分问题
模型一 猪蹄模型
【例1】在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程：
证明：过点，作，如图2
∴______（_________________）
∵，_______=（已知）
∴（___________）
∴______=_______
∴_____（________________）
∵
∴
【思路点拨】
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
【详解】证明：过点，作，如图2，
（两直线平行 内错角相等），
，（已知），
（等量代换），
，
（内错角相等 两直线平行），
，
．
故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
【练习1-1】如图，直线，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作直线，，根据平行线的性质可得，，，进而即可求得．
【详解】解：如图，作直线，，

∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
【练习1-2】如图，，设，那么x，y，z的关系式为 ．

【答案】
【分析】过作，延长交于，根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，，代入求出即可．
【详解】解：过作，延长交于，

则，
即
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．
【练习1-3】（1）如图1，，，，直接写出的度数．
（2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．
（3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）过点作，可得，，根据即可求解；
（2）过点作，可求出，过点作，可求出，由此即可求解；
（3）延长交于点，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（2），理由如下：
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
同理，过点作，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
（3）如图，延长交于点，
∴，
，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
【练习1-4】阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题．
①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　．
②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　．
【答案】(1)见解析
(2)①；②结论：
【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；
（2）①利用基本结论求解即可；
②利用基本结论，，求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过作，
，
，
，
,
，
平分，平分，
，，
，
，
；
（2）解：①如图2中，由题意，，
平分，平分，
，
，
故答案为：；
②结论：．
理由：如图3中，由题意，，，
平分，平分，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
【练习1-5】已知ABCD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．
【答案】（1）65°（2）（3）2n∠M+∠BED=360°
【分析】（1）首先作EGAB，FHAB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义可求∠M的度数；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；
（3）先由已知得到，，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．
【详解】解：（1）如图1，作，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵的角平分线和的角平分线相交于F，
∴，
∴，
∵、分别是和的角平分线，
∴，，
∴，
∴；
（2）如图2，∵，，
∴，，
∵与两个角的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，
∴，，
∵与两个角的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
【练习1-6】问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析
(2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β
(3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+
【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．
（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+．
故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用．
模型二 铅笔模型
【例2】如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+ +∠n＝　 　．
【思路点拨】
【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
【练习2-1】如图，两直线、平行，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB
观察图形可知，图中有5组同旁内角，
则
故选D
【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键
【练习2-2】如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，．

(1)若点在图（1）位置时，求证：；
(2)若点在图（2）位置时，写出、、之间的关系并给予证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】此题两个小题的解题思路是一致的，过作直线、 的平行线，利用平行线的性质得到和、相等的角，然后结合这些等角和的位置关系，来得出、、的数量关系．
【详解】（1）过作，

∵，
∴，
由两直线平行，内错角相等，可得：
、；
∵，
∴．
（2）关系：．
过作，

∵，
∴，
同（1）可证得：；
∵，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，能够正确多出辅助线是解题关键．
【练习2-3】问题情境：如图1，，，，求的度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；
小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数；
小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°；
问题迁移：
（1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．
【答案】110；（1），理由见解析；（2）或，理由见解析
【分析】小明的思路是：过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得．
（1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：小明的思路：如图2，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：110；
（1），理由如下：
如图5，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）当P在延长线时，；
理由：如图6，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
当P在之间时，．
理由：如图7，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
【练习2-4】如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．
（1）试问：，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________．
（2）如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①若，则的度数为______；
②猜想与的数量关系，并说明理由；
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【答案】（1）；（2）①130°；②，见解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°
【分析】（1）过点P作PHAB，利用平行线的性质即可求解；
（2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解．
【详解】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PMAB，则PMCD，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，
∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，
∵∠EPF＝100°，
∴∠PEA+∠PFC＝100°，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，
∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，
∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，
∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°，
∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，
∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，
故答案为：130°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下：
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，
∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，
∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，
∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°，
∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，
∴∠EPF +2∠EQF＝360°；
③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD，
∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1，
∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，
∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°，
∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°，
∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)＝360°，
∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，
∴∠EPF +22∠EQ1F＝360°；
同理可得：∠EPF +23∠EQ2F＝360°，∠EPF +24∠EQ3F＝360°，……
∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键．
模型三 靴子模型
【例3】如图，，，则 ．
【思路点拨】
【分析】延长交于F，由平行线的性质得出同位角相等，再由三角形的外角性质即可求出的度数．
【详解】解：延长交于F，∵，，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
【练习3-1】如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得，根据平角的定义和三角形的外角性质可得，推得，即可求解．
【详解】解：如图：

∵，∴，
又∵，，
∴，整理得：，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
【练习3-2】如图，平分平分，则的度数用含的式子表示为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线．
根据角平分线得出过H作过E作证出即可得结论；
【详解】平分平分
过H作过E作
故选：B．
【练习3-3】如图，已知，，点C在直线上方，连接，．若，，则的度数为 ．

【答案】/152度
【分析】延长交于点F，根据可求得度数，进而求得的度数．
【详解】解：延长交于点F，如下图：

，，，
，，，．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和为是解题关键．
【练习3-4】已知，

(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由
【答案】(1) (2)，理由见解析
【分析】（1）如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质分别求出，则；
（2）如图所示，过点F作，过点E作，则，则有，，再根据角平分线的定义得到，再证明，，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，过点E作，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴

（2）解：，理由如下：如图所示，过点F作，过点E作，
∵，∴，
∴，，
∵平分平分，∴，
∵，
∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线并且熟知平行线的性质是解题的关键．
【练习3-5】已知，，点C在上方，连接、．

(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得；（2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得；（3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解．
【详解】（1）解：过点C作，如图1，∴，

∵，∴∴，
∵，∴；
（2）解：，理由：过点C作，如图，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，即；
（3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3，∴，
∵，∴，∵，∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，由（2）可得：，
∴，即．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
【练习3-6】（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数；
（2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由；
（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解；
（3）过点作．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解．
【详解】解：（1）如图1，过点作，
∵，
∴，
∵，
∴．
，而，
∴，
，
（2），
理由：如图2，过点作，
∵，，
∴，
，
，
，
∵，
，
；
（3）如图3，过点作．
∵，，
∴，
，，
又的平分线和的平分线交于点，
，，
由（2）得，，
∵，
，
．
【点睛】本题主要考查平行公理的推论，平行线的性质，角平分线的定义，角的和差运算灵活运用平行线的性质是解题的关键．
【练习3-7】【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】（3）如图③，已知，，，则 °．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）20
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．
（1）过点作，根据平行线的性质可求解；
（2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图①，过点作，
则，
又∵，
∴，
，
，
即；
（2）解：．
证明：如图②，过作，
，
∵，
∴，
，
，
即：．
故答案为：；
（3）如图③，过作，
，
∵，
∴，
，
，
故答案为：20．
模型四 鹰嘴模型
【例4】如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P= 度．

【思路点拨】
【分析】要求∠P的度数，只需根据平行线的性质，求得其所在的三角形的一个外角，根据三角形的外角的性质进行求解．
【详解】解：根据平行线的性质，得∠A的同位角是70°，再根据三角形的外角的性质，得∠P＝70° 40°＝30°．
故答案为30．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可以牢记此题中的结论：∠P＝∠A ∠B．
【练习4-1】如图1，已知，请补充完整下面证明的地过程：
证明：过点E作，（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）
则有，（ ）
∵ ，
∴，（等量代换）
又∵，（ ）
∴ ，（等量代换）
∴ ，（ ）
∴ ．（平行于同一直线的两直线平行）
【答案】两直线平行，内错角相等；；已知；；；内错角相等，两直线平行；
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干提供的部分过程结合条件写好每一步的推理过程与依据，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键．
【详解】解：过点E作，（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）
则有，（两直线平行，内错角相等）
∵ ，
∴，（等量代换）
又∵，（已知）
∴，（等量代换）
∴，（内错角相等，两直线平行）
∴．（平行于同一直线的两直线平行）
【练习4-2】如图，，交于点B，交于点E，交于点A．(1)画图：过点B作交于点M；(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据画平行线的方法画图即可；
（2）根据平行线的性质先证明，，，再有进行证明即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）证明：如图，∵，∴．
∵，∴，，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，画平行线，熟知老两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【练习4-3】如图，，，，，则下列说法不正确的是（ ）

A． B．平分 C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，，，推得，结合题意即可推得，根据角平分线的判定可得平分；根据垂直的性质可得，结合题意即可求得；根据三角形外角的性质可得，，即可推得．
【详解】解：过点作，与交于点，如图：

∵，，∴，∵，∴，，
∵，∴，又∵，
∴，∴，
∵，∴， 即平分；故选项B说法正确；
∵，∴，∴，
又∵，∴；故选项C说法正确；
∵，，∴，
即；故选项D的说法正确；故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
模型五 蛇型模型
【例5】已知：，，，则度数为（ ）
A．60° B．80° C．85° D．75°
【思路点拨】
【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解.
【详解】解：过点作，
∵，，（两直线平行，内错角相等），
（已知），（平行于同一直线的两直线平行），，
（两直线平行，同旁内角互补）
即，，.故选D.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键.
【练习5-1】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则为 ．

【答案】
【分析】过点B作，则，根据平行线的性质，先求出，再得出，即可求解．
【详解】解：过点B作，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，故答案为：160．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
【练习5-2】如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ．
【答案】/68度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【练习5-3】如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为 ．
【答案】74
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点作，过点作，先由垂线的定义得到，则由两直线平行内错角相等得到，证明得到，再根据两直线平行同旁内角互补得到，则．
【详解】解：如图所示，过点作，过点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【练习5-4】如图，在一片高新技术经济开发区的旁边修了一条公路，已知公路的第一个拐角，第二个拐角，第三个拐角记为，如果公路段与公路段恰好平行，那么的度数为 ．
【答案】/150度
【分析】本题考查了平行线的性质定理及三角形的外角性质，先延长，交于点，根据平行线的性质，得出，再根据，可得，根据进行计算即可，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【详解】解：如图，延长，交于点，
根据题意，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【练习5-5】如图，已知，，，则的度数为 ．

【答案】/120度
【分析】此题考查了平行线的判定和性质．过作，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：过作，

∵，
∴，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【练习5-6】如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，如果第一次拐的角是（即），那么第二次拐的角（）是 度．
【答案】136
【分析】此题考查了平行线的性质定理，解题的关键是读懂题意，掌握平行线的性质定理．
根据两条直线平行，内错角相等就可以求解．
【详解】解：根据题意
，
所以第二次拐的角是136度，
故答案为：136．
综合训练
1.综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系；
　　　 　　　 　　　
【问题迁移】
（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动，
①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由．
②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或
【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；
②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．
【详解】解：（1）作PQ∥EF，如图：
∵，
∴，
∴，，
∵
∴；
（2）①；
理由如下：如图，
过作交于，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②当点在延长线时，如备用图1：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPC=，∠EPD=，
∴；
当在之间时，如备用图2：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPD=，∠CPE=，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．
2．已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
【答案】(1)证明见详解
(2)①；证明见详解；②；证明见详解
【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；
（2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；
②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出．
【详解】（1）解：如图4所示：过点作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）解：①如图5过点作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴；
②如图6过点作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．
3．已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P．
(1)如果P点在C，D之间运动时，问，，有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索，，之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
【答案】(1)
(2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．
【分析】（1）过点作，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出，再由“两直线平行，内错角相等”得出、，再根据角与角的关系即可得出结论；
（2）按点的两种情况分类讨论：①当点在直线上方时；②当点在直线下方时，同理（1）可得、，再根据角与角的关系即可得出结论．
【详解】（1）解：．
过点作，如图1所示．
，，
，
，，
，
．
（2）解：结论：当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．
①当点在直线上方时，如图2所示．过点作．
，，
，
，，
，
．
②当点在直线下方时，如图3所示．过点作．
，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．中小学教育资源及组卷应用平台
【高分突破】平行线 重点模型 专项训练
平行线问题过拐点作已知直线的平行线可以解决大部分问题
模型一 猪蹄模型
【例1】在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程：
证明：过点，作，如图2
∴______（_________________）
∵，_______=（已知）
∴（___________）
∴______=_______
∴_____（________________）
∵
∴
【思路点拨】
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
【详解】证明：过点，作，如图2，
（两直线平行 内错角相等），
，（已知），
（等量代换），
，
（内错角相等 两直线平行），
，
．
故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
【练习1-1】如图，直线，，，则（ ）

A． B． C． D．
【练习1-2】如图，，设，那么x，y，z的关系式为 ．

【练习1-3】（1）如图1，，，，直接写出的度数．
（2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．
（3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．
【练习1-4】阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题．
①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　．
②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　．
【练习1-5】已知ABCD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．
【练习1-6】问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
模型二 铅笔模型
【例2】如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+ +∠n＝　 　．
【思路点拨】
【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
【练习2-1】如图，两直线、平行，则（ ）．
A． B． C． D．
【练习2-2】如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，．
(1)若点在图（1）位置时，求证：；
(2)若点在图（2）位置时，写出、、之间的关系并给予证明．
【练习2-3】问题情境：如图1，，，，求的度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；
小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数；
小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°；
问题迁移：
（1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．
【练习2-4】如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．
（1）试问：，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________．
（2）如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①若，则的度数为______；
②猜想与的数量关系，并说明理由；
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
模型三 靴子模型
【例3】如图，，，则 ．
【思路点拨】
【分析】延长交于F，由平行线的性质得出同位角相等，再由三角形的外角性质即可求出的度数．
【详解】解：延长交于F，∵，，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
【练习3-1】如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（ ）

A． B． C． D．
【练习3-2】如图，平分平分，则的度数用含的式子表示为（）
A． B． C． D．
【练习3-3】如图，已知，，点C在直线上方，连接，．若，，则的度数为 ．

【练习3-4】已知，

(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由
【练习3-5】已知，，点C在上方，连接、．

(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
【练习3-6】（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数；
（2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由；
（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）．
【练习3-7】【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】（3）如图③，已知，，，则 °．
模型四 鹰嘴模型
【例4】如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P= 度．

【思路点拨】
【详解】解：根据平行线的性质，得∠A的同位角是70°，再根据三角形的外角的性质，得∠P＝70° 40°＝30°．
故答案为30．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可以牢记此题中的结论：∠P＝∠A ∠B．
【练习4-1】如图1，已知，请补充完整下面证明的地过程：
证明：过点E作，（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）
则有，（ ）
∵ ，
∴，（等量代换）
又∵，（ ）
∴ ，（等量代换）
∴ ，（ ）
∴ ．（平行于同一直线的两直线平行）
【练习4-2】如图，，交于点B，交于点E，交于点A．(1)画图：过点B作交于点M；(2)求证：．
【练习4-3】如图，，，，，则下列说法不正确的是（ ）

A． B．平分 C． D．
模型五 蛇型模型
【例5】已知：，，，则度数为（ ）
A．60° B．80° C．85° D．75°
【思路点拨】
【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解.
【详解】解：过点作，
∵，，（两直线平行，内错角相等），
（已知），（平行于同一直线的两直线平行），，
（两直线平行，同旁内角互补）
即，，.故选D.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键.
【练习5-1】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则为 ．

【练习5-2】如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ．
【练习5-3】如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为 ．
【练习5-4】如图，在一片高新技术经济开发区的旁边修了一条公路，已知公路的第一个拐角，第二个拐角，第三个拐角记为，如果公路段与公路段恰好平行，那么的度数为 ．
【练习5-5】如图，已知，，，则的度数为 ．

【练习5-6】如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，如果第一次拐的角是（即），那么第二次拐的角（）是 度．
综合训练
1.综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系；
　　　 　　　 　　　
【问题迁移】
（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动，
①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由．
②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系．
2．已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
3．已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P．
(1)如果P点在C，D之间运动时，问，，有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索，，之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）

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