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第七章 复数
第7.1.1讲 数系的扩充和复数的概念
班级_______ 姓名_______ 组号_______
1．了解数系的扩充与引进复数的必要性．(重点)　
2.理解复数的有关概念及其代数形式．(难点)
3．掌握复数相等的充要条件及其应用．(重点)
1、复数的概念
2、已知复数类型求参数
3、根据相等条件求参数
知识点一　复数的概念及其表示
1．复数的定义
我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C叫做复数集．规定i·i＝i2＝－1．
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
两个复数一定能比较大小吗？
提示：当两个复数为实数时，能够比较大小；否则不能比较大小．
知识点二　复数相等
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
若复数a＋2i＝3＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是什么？
提示：因为a＋2i＝3＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a＋b＝5.
知识点三　复数的分类
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类情况如下：
复数
2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：
题型1、复数的概念
1．复数，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为
C．的实部为 D．的虚部为
【答案】B
【分析】根据复数的概念求解.
【详解】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误；
的虚部为，B正确，D错误.
故选：B.
2．已知，，若，则z的虚部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
【答案】A
【分析】根据复数相等求得，然后利用共轭复数的概念求虚部，即可求解．
【详解】由，可得，所以，所以的虚部是．
故选：A．
3．若，，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件即可得解.
【详解】由，得，则，
根据复数相等的充要条件得，解得，
故．
故选：B．
4．已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数
C．可能是实数 D．复数的虚部是
【答案】C
【分析】根据复数的概念即可求解.
【详解】A.，说法不正确；
B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；
C.当时，是实数，说法正确；
D.复数的虚部是1，说法不正确.
故选：.
5．下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数，那么是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果，那么是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
【答案】B
【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【详解】对于A中，若，那么，所以A错误；
对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确；
对于C中，若且时，复数，所以C不正确；
对于D中，由虚数单位，可得D错误.
故选：B.
题型2、已知复数类型求参数
6．如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ）
A．且 B．
C． D．或
【答案】C
【分析】根据题意复数为纯虚数，即得，从而求解.
【详解】由复数是纯虚数，
得
解得:.
故选:C.
7．若复数是实数，则等于（ ）
A．1 B．1 C． D．不存在
【答案】C
【分析】由复数的类型有，即可求参数值.
【详解】由题设，故.
故选：C
8．若复数是纯虚数，则实数m等于（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】根据纯虚数的特征，列式求解.
【详解】由题意可知，解得：.
故选：A
9．已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可.
【详解】由题，所以为实数，即，
则有，解得，即a的取值范围为.
故选：A
10．复数，为实数的充要条件是（　　）
A． B．且
C．且 D．
【答案】D
【分析】依题意可得，即可求出的取值范围.
【详解】若复数，为实数，则，
即，所以.
故选：D
题型3、根据相等条件求参数
11．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由复数相等的条件列方程组求解出，从而可求出的值.
【详解】由题意得，
所以，得，
所以.
故选：A
12．若，是虚数单位，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数相等可得，，进而即得.
【详解】因为，
所以，，即，，
所以．
故选：D．
13．实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解
【详解】因为，
所以，解得，
所以，
故选：A
14．下列命题：①若，则；②；③若，且，则.其中正确命题的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】通过反例可知①②错误；由且可构造方程组求得，知③正确.
【详解】对于①，若，，则，①错误；
对于②，若，，则，②错误；
对于③，由，得：，解得：，③正确.
故选：B.
15．关于的方程有纯虚数根，则为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】C
【分析】设出方程的纯虚根并代入方程，根据复数相等的条件即可解得结果.
【详解】设关于的方程的纯虚数根为，且，
则，即，
根据复数相等的条件得，
因为，所以，解得或（舍去）
故选：C.
一、单选题
1．设复数，则的虚部为（ ）
A．4 B．-4 C．4i D．-4i
【答案】B
【分析】由复数虚部的概念即可得解.
【详解】由题意复数，则的虚部为-4.
故选：B.
2．如果复数是纯虚数,则实数= ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由纯虚数概念建立关系式求解即可.
【详解】由复数是纯虚数，
得，解得.
故选：C.
3．适合的实数x、y的值为（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】根据复数相等的定义，联立关于x、y的方程组求解即可．
【详解】根据复数相等的定义可得，，解得.
故选：A．
4．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
因此所选方程的两根为，仅有符合要求，
故选：A.
5．设m为实数，已知复数为纯虚数，则m的值为（ ）
A．0或1 B．1或-2 C．0 D．-2
【答案】C
【分析】根据复数为纯虚数列方程计算求解即可.
【详解】复数为纯虚数,
,
故选:C.
6．已知，．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
【答案】C
【分析】根据两个实数才能比较大小进行求解即可.
【详解】因为，
所以，解得或．
故选：C
7．i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．－2i B．－2 C．2 D．2i
【答案】C
【分析】先化简复数，然后由复数的基本概念求解即可.
【详解】，所以其虚部为：.
故选：C.
8．已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由复数虚部，实部定义可得答案.
【详解】由题，，则．
故选：B
二、多选题
9．对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．
【答案】AB
【分析】根据复数的概念判断AC，根据复数相等判断B，根据虚数单位的定义判断D.
【详解】对于A：当，，当时为实数，A错误；
对于B：若，则，B错误；
对于C：若，则为实数，C正确；
对于D：，D正确.
故选：AB.
10．的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于的一元二次方程，解方程求得，根据特殊角三角函数值和的范围可求得结果.
【详解】由题意得：，，
解得：或，，或或，
故选：ACD.
三、填空题
11． ．
【答案】/
【分析】利用的性质计算可得答案.
【详解】∵，∴，
则，故原式．
故答案为：.
12．定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值分别为
【答案】.
【分析】由题意，结合复数相等，建立方程组，可得答案.
【详解】由得，，
所以，解得.
故答案为：.
四、解答题
13．已知复数．当实数取什么值时，复数是：
(1)虚数；
(2)纯虚数；
【详解】（1）
整理得
当复数是虚数时，，此时，
即实数取任意值，复数都是虚数；
（2）当复数是纯虚数时，，得，
即实数时，复数是纯虚数.
14．已知复数，其中.
(1)若且，求的值；
(2)若，求.
【详解】（1）因为，所以，解得，
因为，所以，
当时，，不符合条件，当时，满足，
综上，.
（2）若，则，
所以，即，
所以，即，
解得，又因为，
所以.
15．已知复数，则实数x取什么值时，z是
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【详解】（1）依题意，由，解得，所以当时，z是实数.
（2）依题意，由，解得且，
所以当且时，z是虚数.
（3）依题意，由，解得或，
所以当或时，z是纯虚数.第七章 复数
第7.1.1讲 数系的扩充和复数的概念
班级_______ 姓名_______ 组号_______
1．了解数系的扩充与引进复数的必要性．(重点)　
2.理解复数的有关概念及其代数形式．(难点)
3．掌握复数相等的充要条件及其应用．(重点)
1、复数的概念
2、已知复数类型求参数
3、根据相等条件求参数
知识点一　复数的概念及其表示
1．复数的定义
我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C叫做复数集．规定i·i＝i2＝－1．
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
两个复数一定能比较大小吗？
提示：当两个复数为实数时，能够比较大小；否则不能比较大小．
知识点二　复数相等
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
若复数a＋2i＝3＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是什么？
提示：因为a＋2i＝3＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a＋b＝5.
知识点三　复数的分类
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类情况如下：
复数
2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：
题型1、复数的概念
1．复数，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为
C．的实部为 D．的虚部为
2．已知，，若，则z的虚部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
3．若，，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数
C．可能是实数 D．复数的虚部是
5．下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数，那么是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果，那么是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
题型2、已知复数类型求参数
6．如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ）
A．且 B．
C． D．或
7．若复数是实数，则等于（ ）
A．1 B．1 C． D．不存在
8．若复数是纯虚数，则实数m等于（ ）
A． B．1 C．0 D．
9．已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．复数，为实数的充要条件是（　　）
A． B．且
C．且 D．
题型3、根据相等条件求参数
11．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若，是虚数单位，，则等于（ ）
A． B． C． D．
13．实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（ ）
A． B．2 C．3 D．
14．下列命题：①若，则；②；③若，且，则.其中正确命题的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
15．关于的方程有纯虚数根，则为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．0或2
一、单选题
1．设复数，则的虚部为（ ）
A．4 B．-4 C．4i D．-4i
2．如果复数是纯虚数,则实数= ( )
A． B． C． D．
3．适合的实数x、y的值为（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
4．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
5．设m为实数，已知复数为纯虚数，则m的值为（ ）
A．0或1 B．1或-2 C．0 D．-2
6．已知，．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
7．i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．－2i B．－2 C．2 D．2i
8．已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
9．对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．
10．的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11． ．
12．定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值分别为
四、解答题
13．已知复数．当实数取什么值时，复数是：
(1)虚数；
(2)纯虚数；
14．已知复数，其中.
(1)若且，求的值；
(2)若，求.
15．已知复数，则实数x取什么值时，z是
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？

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