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第七章 复数
第7.1.2讲 复数的几何意义
班级_______ 姓名_______ 组号_______
1．了解复平面的概念．(重点)　
2.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系．(重点、难点)　
3.掌握复数模的概念，会求复数的模．(重点)
1、复数的坐标表示
2、复数的模和共轭复数
3、根据复数的几何意义求参问题
知识点一　复数的几何意义
1．复平面
(1)复平面：建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；
(2)实轴：坐标系中的x轴叫实轴，在它上面的点都表示实数；
(3)虚轴：坐标系中的y轴叫虚轴，除去原点外，在它上面的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)复数与复平面内的点一一对应：
复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应：
复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量．
(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？
提示：不是．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(2)象限内的点与复数有何对应关系？
提示：第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负．
知识点二　复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值)．由模的定义可知，|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)．
知识点三　共轭复数
1．定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
通常记复数z的共轭复数为，若z＝a＋bi，则＝a－bi．特别地，实数a的共轭复数仍是a本身．
2．性质
(1)||＝|z|.
(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝ z∈R.
题型1、复数的坐标表示
1．复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在复平面内，复数和表示的点关于虚轴对称，则复数z＝（ ）
A． B． C． D．
5．已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型2、复数的模和共轭复数
6．已知，若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A．2 B．4 C． D．8
9．已知复数在复平面内对应的点在实轴上，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
10．若，z为纯虚数，且，则（ ）
A． B．5 C． D．3
题型3、根据复数的几何意义求参问题
11．已知复数z的实部和虚部均为自然数，在复平面内z对应的点为Z，那么满足的点Z的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．已知i是虚数单位，若，则实数a=（ ）
A．2 B．2 C．-2 D．±2
13．已知复数满足，且，那么实数不可能取的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
14．在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．复数对应的点在函数图象上，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．复数，其中为虚数单位，则（ ）
A． B．2 C． D．5
2．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．复数满足，则的虚部是为（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数，则的共轭复数对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（ ）
A．1 B． C． D．
6．若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
7．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　）
A． B．
C． D．
8．设复数满足，则的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．对于复数（，），下列说法正确的是（ ）
A．若，则为实数
B．若，则为纯虚数
C．若，，则在复平面上对应的点位于第四象限
D．若，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形的面积为4
10．已知复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，的共轭复数在复平面内对应的点为D，则（ ）
A．点A在第二象限 B．
C． D．点D的坐标为
三、填空题
11．已知，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合对应的图形为 .
12．已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为 ．
四、解答题
13．已知复数在复平面内所对应的点为A.
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若点A在第二象限，求实数的取值范围.
14．已知复平面内的动点所对应的复数为，且满足，求点与复数所对应的点的距离的最大值．
15．已知在复平面内表示复数的点为.
(1)若点在函数的图象上，求实数的值；
(2)若为坐标原点，点A在轴的正半轴上，且向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.第七章 复数
第7.1.2讲 复数的几何意义
班级_______ 姓名_______ 组号_______
1．了解复平面的概念．(重点)　
2.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系．(重点、难点)　
3.掌握复数模的概念，会求复数的模．(重点)
1、复数的坐标表示
2、复数的模和共轭复数
3、根据复数的几何意义求参问题
知识点一　复数的几何意义
1．复平面
(1)复平面：建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；
(2)实轴：坐标系中的x轴叫实轴，在它上面的点都表示实数；
(3)虚轴：坐标系中的y轴叫虚轴，除去原点外，在它上面的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)复数与复平面内的点一一对应：
复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应：
复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量．
(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？
提示：不是．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(2)象限内的点与复数有何对应关系？
提示：第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负．
知识点二　复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值)．由模的定义可知，|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)．
知识点三　共轭复数
1．定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
通常记复数z的共轭复数为，若z＝a＋bi，则＝a－bi．特别地，实数a的共轭复数仍是a本身．
2．性质
(1)||＝|z|.
(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝ z∈R.
题型1、复数的坐标表示
1．复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围.
【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，
根据第二象限坐标的特点可得，从而可得.
故选：D.
2．若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】写出复数的实部与虚部，再判断其正负，再结合复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，实部为，虚部为，
因为，所以，，
所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.
故选：D
3．复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】得到对应的点坐标，得到所在象限.
【详解】在复平面上对应的点为，位于第四象限.
故选：D
4．在复平面内，复数和表示的点关于虚轴对称，则复数z＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】由题意可得对应的点为，
该点关于虚轴对称的点为，所以复数对应的点为，
所以.
故选：B
5．已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义得出对应点的坐标，即可求出实数的取值范围.
【详解】将整理化简可得，
所以复数在复平面内对应的点坐标为，
由点位于第四象限可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
题型2、复数的模和共轭复数
6．已知，若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据纯虚数的定义可得，进而利用复数的模长公式即可求解.
【详解】由为纯虚数，得，，解得，
所以，
故选:B．
7．已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出复数，利用复数的模长公式可求得的值.
【详解】因为，则，故.
故选：B.
8．已知，则（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】根据复数的模长计算公式，可得答案.
【详解】因为，所以.
故选：C.
9．已知复数在复平面内对应的点在实轴上，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】D
【分析】由题意可得，由解出a的值，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】由题意知，
，
所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，
又该点在实轴上，所以，解得，
所以，则.
故选：D.
10．若，z为纯虚数，且，则（ ）
A． B．5 C． D．3
【答案】A
【分析】根据复数相等及复数的模求解即可.
【详解】因为z为纯虚数，
所以设，
由得，
所以，解得，
所以，则，
故选：A．
题型3、根据复数的几何意义求参问题
11．已知复数z的实部和虚部均为自然数，在复平面内z对应的点为Z，那么满足的点Z的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】设，得到，再依次列举得到答案.
【详解】设，，，即，
当时，或；
当时，；
当时，，或；
当时，.
综上所述：共有个点满足条件.
故选：C
12．已知i是虚数单位，若，则实数a=（ ）
A．2 B．2 C．-2 D．±2
【答案】D
【分析】根据复数模的概念求解即可.
【详解】，
，
解得，
故选：D
13．已知复数满足，且，那么实数不可能取的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】令复数，代入模长公式，再代入，化简列方程组即可求得.
【详解】令，则分别带入，中得
当时，，或；
当时，解得；
综上：或或.
故选：A
14．在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据复数对应的点所在位置列不等式组求解.
【详解】复数所对应的点在第二象限，
，
解得.
故选：C.
15．复数对应的点在函数图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复数几何意义可得对应点的坐标，代入函数解析式即可求得结果.
【详解】对应的点为，，解得：.
故选：D.
一、单选题
1．复数，其中为虚数单位，则（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】根据复数的模的公式计算即得.
【详解】因，则.
故选：C.
2．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义求出即可.
【详解】因为，
所以对应复平面内点的坐标，
所以位于第二象限，
故选：B
3．复数满足，则的虚部是为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据复数虚部的定义以及共轭复数的概念即可得解.
【分析】因为，则
所以的虚部为.
故选：D.
4．已知复数，则的共轭复数对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据题意求，进而结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，则，
所以复数对应的点为，位于复平面的第一象限.
故选：A.
5．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义判断即可.
【详解】由题意得，，，
则对应复数1.
故选：A．
6．若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件，求出，由复数模的公式计算.
【详解】若，即，
得，解得，
所以．
故选：B
7．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复数对应的点的坐标写出复数的代数形式，结合共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】因为复数对应的点的坐标是，
所以，因此，
故选：B
8．设复数满足，则的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】设复数，根据题意得到，得到复数对应的点的轨迹为为圆心半径为的圆，进而求得的最大值.
【详解】设复数，可得，所以，
所以复数对应的点的轨迹为为圆心半径为的圆，
所以的最大值是．
故选：B.

二、多选题
9．对于复数（，），下列说法正确的是（ ）
A．若，则为实数
B．若，则为纯虚数
C．若，，则在复平面上对应的点位于第四象限
D．若，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形的面积为4
【答案】AC
【分析】根据复数的概念以及几何意义，结合圆的性质，可得答案.
【详解】对于A，由，，则，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，由，则其在复平面上对应的点为，由，，则该点在第四象限，故C正确；
对于D，，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形为以原点为圆心，以为半径的圆，则其面积，故D错误.
故选：AC.
10．已知复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，的共轭复数在复平面内对应的点为D，则（ ）
A．点A在第二象限 B．
C． D．点D的坐标为
【答案】ACD
【分析】对于A，求得的坐标即可判断；对于B，求得的坐标，从而可求得即可判断；对于C，分别计算的模即可判断；对于D，先计算，再求得的坐标即可判断.
【详解】对于A，，所以点A在第二象限，A对；
对于B，，所以，所以，B错；
对于C，，，所以，C对；
对于D，，所以，D对.
故选：ACD
三、填空题
11．已知，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合对应的图形为 .
【答案】以为圆心，1为半径的圆（含内部）
【分析】令，根据复数模的定义可得，即得图形.
【详解】令，由，即点的集合对应的图形是以为圆心，1为半径的圆（含内部）.
故答案为：以为圆心，1为半径的圆（含内部）
12．已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为 ．
【答案】6
【分析】由复数的几何意义求解即可.
【详解】设(为实数)，
则复数满足的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点，
则表示的几何意义是圆上的点到的距离，
根据圆的性质可知，所求最大值为.
故答案为：6.
四、解答题
13．已知复数在复平面内所对应的点为A.
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若点A在第二象限，求实数的取值范围.
【详解】（1）若复数为纯虚数，则，解得，
所以实数的值为.
（2）若点A在第二象限，则，解得，
所以实数的取值范围为.
14．已知复平面内的动点所对应的复数为，且满足，求点与复数所对应的点的距离的最大值．
【详解】∵满足的点Z的轨迹是以，对应的点B，C为端点的线段．
由平面几何知识知点与复数所对应的点的距离的最大值．

15．已知在复平面内表示复数的点为.
(1)若点在函数的图象上，求实数的值；
(2)若为坐标原点，点A在轴的正半轴上，且向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【详解】（1）由题可知，复数在复平面内对应的点的坐标为.
又该点位于函数的图象上，
所以，
即，
解得或.
（2）由题可知，点在第二象限或第三象限，
所以且，
即且且，
所以的取值范围为.

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