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选 修 系 列 4
选修 4-1 几何证明选讲
【课程目标】
本专题的内容包括：相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识、圆锥截线。
通过本专题的教学，使学生能证明一些反映圆与直线关系的重要定理，有助于培养学生的逻辑推理能力；使学生不仅理解逻辑演绎的程序，而且体验大量的观察、探索、发现的创造性过程；通过对圆锥曲线性质的进一步探索，使学生提高空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。
【学习要求】
1．相似三角形的进一步认识
了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理。
教学中，可以使用如下定理作为推理的依据：
◆平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例。
◆三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比。
◆经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰。
◆梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
◆若一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行。
◆斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
2．圆的进一步认识
理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论。
掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理。
教学中，可以使用如下定理作为推理的依据：
◆从圆外一点引圆的两条切线长相等。
◆若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆。特别的，对定线段张角为直角的点共圆。
3．圆锥截线（本节内容不作要求，可以选择部分内容教学）
了解平行投影的含义；了解平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。
了解平面截圆锥面的定理（简称圆锥截线定理）。
【教学建议】
1.本专题的部分内容，学生在初中已经初步了解其内容，并且在学习中侧重于观察、实验和操作，而本专题不仅是初中所学知识的深化，而且侧重于逻辑推理与抽象思维。教学中应使学生逐步适应这一思维层次的提升。
2.本专题的教学，应按照从简到繁、从具体到抽象、从实验到论证的过程进行，要使学生在学习具体的平面几何内容中体会数学的思想方法，从而进一步培养创新思维的意识和能力。
3．几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过程中，相似三角形（或全等三角形）的使用不宜超过2次，添置的辅助线不超过3条。
4.圆锥截线定理的证明，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体会空间想像能力和几何直观能力在解决问题中的作用，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力。对这部分内容可以选择开设相关讲座或指导学生阅读。
选修 4-2 矩阵与变换
【课程目标】
本专题的内容包括：二阶矩阵与平面向量、几种常见的平面变换、变换的复合与矩阵的乘法、逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的简单应用。
通过本专题的教学，使学生了解矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，许多数学模型都可以用矩阵来表示；使学生理解二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义；初步体会矩阵应用的广泛性，进一步体会代数与几何结合的数形结合思想。
【学习要求】
1．二阶矩阵与平面向量
了解矩阵的有关概念；掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法。
2．几种常见的平面变换
理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线，即A(λ1α+λ2β)＝λ1Aα+λ2Aβ。
理解几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换；了解单位矩阵。
3．矩阵的复合与矩阵的乘法
掌握二阶矩阵的乘法；理解矩阵乘法的简单性质（不满足交换律、满足结合律、不满足消去律）。
4．逆变换与逆矩阵
理解逆矩阵的意义；掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件。
理解逆矩阵的唯一性和 (AB)-1＝B-1A-1 等简单性质，并了解其在变换中的意义。
会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵。
了解二阶行列式的定义；会用二阶行列式求逆矩阵。
了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义。
会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组。
理解二元线性方程组解的存在性、唯一性。
5．特征值与特征向量
掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义。
会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。
会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题。
了解三阶或高阶矩阵。
了解矩阵的简单应用。
【教学建议】
1．本专题只对具体的二阶方阵加以讨论，而不讨论一般m×n阶矩阵以及（aij）形式的表示。
2．矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组。
3．要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法，并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律。
4．要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性，结合具体实例能用线性方程组或用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值。逆矩阵的唯一性定理要结合具体几何变换来理解其合理性。
5．在学习二阶矩阵基础知识的同时，教师可以根据教学的实际情况适时地介绍一些矩阵的拓广知识（如三阶矩阵或高阶矩阵），这些知识不要求学生掌握，只要求学生作一些感性的认识，也便于学生对矩阵的有关知识有一个较为全面的了解，有利于以后的学习。
6．这部分内容的教学应让学生认识到，矩阵从实际生活需要中产生，并在实际的问题中有着广泛的应用，体验数学的抽象更有助于人们对问题的思考与解决。
7．矩阵的简单应用，在教学中主要把握以下两方面情况：
（1）运用的矩阵为：m×1矩阵或1×n矩阵（m，n≤4）或n×n方阵（n=2，3）。
（2）问题类型为：简单的网络图中的一级路、二级路矩阵问题；简单的二阶逆矩阵应用问题；简单的特征向量应用问题。
选修4-4 坐标系与参数方程
【课程目标】
本专题的内容包括：坐标系、曲线的极坐标方程、平面坐标系中几种变换、参数方程。
通过本专题的教学，使学生简单了解柱坐标系、球坐标系，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的应用价值；培养学生探究数学问题的能力和应用意识。
【学习要求】
1．坐标系
了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化。
了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法（本节内容不作要求）。
2．曲线的极坐标方程
了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。
3．平面坐标系中几种常见变换（本节内容不作要求）
了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。
4．参数方程
了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
【教学建议】
1．坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处
2．教学中应通过具体例子让学生体会极坐标的多值性，但是在表示点的极坐标时，如无特别要求，通常取ρ≥0 ，0≤θ＜2π。极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐标方程；参数方程与普通方程的互化，主要是参数方程化为普通方程，并注意参数的取值范围。
3．求曲线的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（如过极点的直线）、圆（过极点或圆心在极点的圆）；求曲线的参数方程主要包括：直线、圆、椭圆和抛物运动轨迹的参数方程。
4．应通过对具体物理现象的分析(如抛物运动的轨迹)引入参数方程，使学生了解参数的作用。应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程。
5．可以组织学生成立兴趣小组，合作研究摆线的性质，收集摆线应用的实例，了解平摆线和圆的渐开线的参数方程。可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的美。
选修4-5 不等式选讲
【课程目标】
本专题的内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。
通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。
【学习要求】
1．不等式的基本性质
掌握不等式的基本性质。
2．含有绝对值的不等式
理解绝对值的几何意义；会解绝对值不等式：∣ax＋b∣≤c 、∣ax＋b∣≥c ；了解绝对值不等式∣x－c∣＋∣x－b∣≥a 的解法。
理解绝对值不等式∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣。
3．不等式的证明
了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法；能用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式。
4．几个著名的不等式
理解二元柯西不等式的几种不同形式：
（1）柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|。
（2）（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2。
（3）≥。
（通常称作平面三角不等式）。
掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式。
5．利用不等式求最大（小）值
会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。
6．数学归纳法与不等式
了解数学归纳法的原理及其使用范围；会用数学归纳法证明简单的不等式。
会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n＞1＋nx（x＞-1，n为正整数）。
【教学建议】
1．在本专题教学中，教师应引导学生了解重要不等式的数学意义和背景，例如本专题给出的不等式大都有明确的几何背景。学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质。
2．代数恒等变换以及放缩法是证明不等式的常用方法，在利用这些方法证明不等式时，常常使用一些技巧。对于专门从事某些数学领域研究的人们掌握这些技巧是极为重要的。但是，对大多数学生来说，往往很难掌握这些技巧，对他们更为重要的是理解这些不等式的背景和它们所体现的数学思想。所以，教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想，对一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中。
3．数学归纳法是重要的数学思想方法，教师应通过对一些简单问题的分析，帮助学生掌握这种思想方法。在利用数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换。教师不要选择过于技巧化的问题或习题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解。
4．在教学解绝对值不等式时，要控制难度：含未知数的绝对值不超过两个；绝对值内的关于未知数的函数主要限于一次函数。
5．不等式证明的教学，主要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法只要求了解。
6．不等式应用的教学，主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题，其中最值问题主要是用平均不等式、柯西不等式求解。
7．下列内容可指导学生阅读：n元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式。

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